初二-第03讲-无理数与平方根(培优)-教案

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：八年级(上) 课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课主题第03讲-无理数与平方根

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

教学目标

①了解无理数、平方根的概念；

②学会判断有理数与无理数；

③掌握平方根的相关计算。

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂

一、知识梳理

1、无理数的概念

有理数：整数和分数统称为有理数；

无理数：无限不循环小数称为无理数。不能写成分数形式。

2、算术平方根的概念

一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即2x a

=，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记做a，读作“根号a”。

注意：（1）特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00

=。

体系搭建

（2）负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数。 （3）a （0a ≥ ）是一个非负数。 3、平方根的概念

（1）一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即2

x a = ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。

（2）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 （3）开平方的概念：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 4、2

a 与

()2

a ()0a ≥ 的性质

（1）2

a a = ，即当0a ≥时，2a a =；当0a < 时，2a a =-。

（2）()

2

(0)a a a =≥。

考点一：无理数

例1、下列实数中的无理数是（ ）

A ．0.7

B ．

C ．π

D ．﹣8 【解析】选：C ．

例2、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣

，

，﹣

，0，﹣

，

、

，0.

，3.14

【解析】有理数集合：（﹣，﹣，0，，0.，3.14，…），

无理数集合：（，﹣，，…）．

例3、判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“√”，错误请在括号内打“×”，并各举一例说明理由．

（1）有理数与无理数的积一定是无理数．×

（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数．√．

【解析】（1）任何无理数有有理数0的乘积等于0，故命题错误；

（2）a+1是负数，即a+1＜0，即a＜﹣1，则a必小于它的倒数．故答案是：×，√．

例4、已知在等式中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答：

（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数；

（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．

【解析】（1）当a=c=0，d≠0时，s=是有理数．

当c≠0时，s=，

其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数．

要使s为有理数，只有=0，即bc=ad．

综上知，当a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc时，s是有理数．

（2）当c=0，d≠0，且a≠0时，s是无理数．

当c≠0时，s=

其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数．

所以当≠0，即bc≠ad，s为无理数．

综上知，当c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc时，s是无理数．

考点二：平方根

例1、（﹣2）2的平方根是（）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．

【解析】∵（﹣2）2=4，∴4的平方根是：±2．故选：C．

例2、用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．

【解析】用代数式表示实数a（a＞0）的平方根为：，故答案为：．

例3、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是16 ．

【解析】∵一个正数的平方根是2x和x﹣6，

∴2x+x﹣6=0，解得x=2，

∴这个数的正平方根为2x=4，

∴这个数是16．故答案为：16．

例4、若=2，则2x+5的平方根是±3 ．

【解析】∵=2，∴x+2=4，解得x=2

∴2x+5=9，9的平方根是±3，

即2x+5的平方根是±3．故答案为：±3．

例5、一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．

【解析】∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，

∴2a﹣3+5﹣a=0，解得：a=﹣2，∴2a﹣3=﹣7，∴x=（﹣7）2=49．

考点三：算术平方根

例1、计算（﹣）0﹣=（）

A．﹣1 B．﹣C．﹣2 D．﹣

【解析】原式=1﹣2=﹣1，故选A

例2、下列等式正确的是（）

A．B．C．D．

【解析】故答案选D．

例3、已知：与互为相反数，求（x+y）2016的平方根．

【解析】由已知可得：+=0，则，

解得，，∴（x+y）2016=1，∴（x+y）2016的平方根是±1．

例4、已知a，b满足+|b﹣2|=0，解关于x的方程（a+2）x+4b=2﹣a．【解析】由题意得2a﹣4=0，b﹣2=0，解得a=2，b=2．

所以4x+8=0，解得x=﹣2．

例5、我们来看下面的两个例子：

，，

和都是9×4的算术平方根，而9×4的算术平方根只有一个，

所以．

，

和都是5×7的算术平方根，

而5×7的算术平方根只有一个，所以=（填空）

（1）猜想：一般地，当a≥0，b≥0时，与之间的大小关系是怎样的？（2）运用以上结论，计算：的值．

【解析】根据题意，有=；

（1）根据题意，有=；

（2）=×=8×15=120．故答案为：=．