初中：九年级数学上册第三章知识点总结
九年级数学上册第三章知识点
九年级数学上册第三章知识点九年级数学上册第三章知识点一、平行四边形1、平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等（邻角互补）。
平行四边形的对角线互相平分。
2、平行四边形的判定方法：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、矩形1、矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
2、矩形的判定方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
）三、菱形1、菱形的性质定理：菱形的四条边都相等。
菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形的判定方法：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
）四、正方形1、正方形的性质定理：正方形的'四个角都是直角，四条边都相等。
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2、正方形的判定定理：l 有一个角是直角的菱形是正方形。
l 有一组邻边相等的矩形是正方形。
l 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
l 对角线相等的菱形是正方形。
l 对角线互相垂直的矩形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。
五、等腰梯形1、等腰梯形的性质定理：等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
2、等腰梯形的判定方法：定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。
判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
六、三角形的中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
九年级上册数学书第三章知识点
九年级上册数学书第三章知识点第三章：平方根与实数在九年级数学的教材中，第三章是关于平方根与实数的内容。
平方根是一个常见而重要的概念，在生活中也经常会用到。
本章将介绍平方根的定义、性质，并介绍实数的概念与性质。
1. 平方根的定义与性质平方根是数学中常见的一个概念，它表示一个数的平方等于另一个给定的数。
例如，数学中常见的平方根是二次方。
对于一个正数a来说，它的平方根就是等于b的数，其中b的平方等于a。
我们用√a来表示平方根。
平方根有一些重要的性质。
首先，平方根的平方等于它本身，即√a的平方等于a。
而且，正数的平方根是正数，负数的平方根是虚数。
此外，平方根具有唯一性，即对于每个正数a，它只有一个正数的平方根。
2. 实数的概念与性质实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，例如分数和整数。
而无理数是不能表示为有理数的数，例如根号2和圆周率π。
实数具有一些重要的性质。
首先，实数具有传递性，即如果a 小于b，b小于c，则a小于c。
其次，实数具有比较性，即对于任意两个实数a和b，必定有a小于b、a等于b或a大于b三种关系中的一种。
此外，实数的加法和乘法也具有交换律、结合律和分配律等性质。
3. 平方根与实数的运算在九年级数学中，我们还学习了平方根与实数的运算规则。
首先，我们可以进行平方根的开平方运算，将一个数的平方根求出来。
例如，√4=2，√9=3。
其次，我们可以进行实数的加法和乘法运算。
对于两个实数a 和b，它们的和可以表示为a+b，而它们的积可以表示为a×b。
加法和乘法运算都遵循交换律、结合律和分配律。
另外，我们还可以进行平方根与实数的混合运算。
例如，计算√4+√9的结果等于2+3=5。
在进行混合运算时，我们要注意运算的顺序，先进行平方根运算，再进行加法运算。
4. 平方根的应用平方根在生活中有着广泛的应用。
首先，它可以用来求解一些几何问题，例如计算一个正方形或矩形的对角线长度。
九年级第三章圆知识点总结
九年级第三章圆知识点总结九年级的数学学科中，第三章圆是一个重要的知识点。
圆是一个几何图形，是由平面上的所有与定点距离相等的点组成的。
在这个章节中，学生需要掌握圆的性质、圆的表达式和圆与直线的关系等内容。
下面将从不同的角度对这些知识点进行总结。
一、圆的定义和性质圆是一个几何图形，它由平面上的所有与定点距离相等的点组成。
圆的性质有以下几点：1. 圆的半径：圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 圆的直径：圆的直径是通过圆心并在圆上的一条直线段，它的长度是圆的两倍，用字母d表示。
3. 圆的周长：圆的周长是圆周上的一段弧所对应的长度，用字母C表示。
圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的面积：圆的面积是圆内部所包围的区域的大小，用字母A表示。
圆的面积可以通过公式A = πr^2来计算。
二、圆的表达式在数学中，我们常常需要用到圆的表达式来描述一个圆。
圆的表达式一般有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程：标准方程是以圆心和半径为依据的表达式形式。
标准方程的一般形式为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
2. 一般方程：一般方程是以圆的一般性质为依据的表达式形式。
一般方程的一般形式为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
三、圆与直线的关系圆与直线之间有一些重要的关系。
下面将介绍一些常见的关系：1. 切线：切线是与圆相切并且只与圆相交于切点的直线。
切线与半径的关系是垂直关系，切线与圆的切点处的切线段等于半径的长度。
2. 弦：弦是连接圆上任意两点的直线段。
弦的长度小于等于直径的长度。
3. 弧：弧是圆上的一段曲线。
圆周上的任意两点可以确定一个弧。
4. 正切线：正切线是一条通过圆外一点且与圆相切的直线。
正切线的长度等于该点到圆心的距离。
综上所述，九年级第三章圆是一个重要且有趣的数学知识点。
数学九年级上册每章知识点
数学九年级上册每章知识点第一章：有理数1. 有理数的概念和分类- 有理数的定义- 正数、负数和零的分类- 有理数的大小比较2. 有理数的加法和减法- 有理数的加法原则- 有理数的减法原则3. 有理数的乘法和除法- 有理数的乘法原则和性质- 有理数的除法原则和性质4. 有理数的运算性质- 加法和减法的交换律、结合律和分配律- 乘法和除法的交换律、结合律和分配律第二章：线性方程和一次不等式1. 变量和代数式- 变量的概念- 代数式的概念和性质2. 一元一次方程- 一元一次方程的定义和基本形式- 解一元一次方程的方法3. 一元一次不等式- 一元一次不等式的定义和基本形式- 解一元一次不等式的方法4. 实际问题与一元一次方程或不等式- 将实际问题转化成一元一次方程或不等式- 解决实际问题的步骤和方法第三章：多项式与因式分解1. 代数式的加减法- 代数式的加法原则和性质- 代数式的减法原则和性质2. 一元多项式- 一元多项式的定义和基本形式- 一元多项式的加减法原则3. 一元多项式的乘法- 一元多项式的乘法原则和性质- 一元多项式的乘法公式4. 因式分解- 因式分解的定义和基本方法- 因式分解的应用第四章：平面直角坐标系与图形初步1. 平面直角坐标系- 平面直角坐标系的概念和构造- 坐标表示和坐标轴上的点2. 点、线和线段- 点的坐标和图形的位置关系- 直线和线段的定义和表示3. 直角和垂线- 直角的概念和判定条件- 垂线的概念和判定条件4. 三角形和四边形- 三角形的分类和性质- 四边形的分类和性质第五章：相似与全等1. 平行线与比例- 平行线的概念和判定条件- 比例的概念和性质2. 相似三角形- 相似三角形的定义和判定条件- 相似三角形的性质和应用3. 全等三角形- 全等三角形的定义和判定条件- 全等三角形的性质和应用4. 相似和全等图形的应用- 利用相似和全等图形求解实际问题- 利用相似和全等图形进行图形的设计以上是数学九年级上册每章的知识点概述。
九年级三单元的知识点总结
九年级三单元的知识点总结九年级的三单元主要包括数与式、图形与变换以及数据的探索。
这三个单元涵盖了数学的基础知识和概念，并且对于理解数学的思维方式和解题方法有着重要的作用。
下面将对这三个单元的知识点进行总结和归纳。
一、数与式1. 整数的概念和运算规则- 整数的定义：整数是正整数、负整数和0的统称。
- 整数的加法和减法运算法则- 整数的乘法和除法运算法则- 整数的混合运算2. 分数与小数- 分数的概念和基本性质- 分数的加减法和乘除法运算法则- 分数与整数的关系及其相互转化- 小数的概念和性质- 小数与分数的相互转化3. 百分数与比例- 百分数的概念和基本性质- 百分数的加减法和乘除法运算法则 - 百分数与分数、小数的相互转化- 比例的概念和基本性质- 比例的解决问题方法4. 简单方程和不等式- 方程的概念和解方程的基本方法- 一元一次方程- 不等式的概念和解不等式的基本方法二、图形与变换1. 图形的基本概念- 线段、角、多边形、圆的基本概念和性质 - 平行线和垂直线的判定- 图形的同位角和内错角2. 平面直角坐标系和图形的坐标表示- 平面直角坐标系的构建- 点的坐标表示、区域的表示和位置关系3. 图形的相似与全等- 图形的相似判定和相似比的计算- 图形的全等判定和全等条件4. 平移、旋转、镜像和对称- 平移变换的概念、性质和表示- 旋转变换的概念、性质和表示- 镜像变换的概念、性质和表示- 对称的概念和性质三、数据的探索1. 统计与概率- 数据的收集、整理和分析- 数据的展示方式（表格、图表等）- 统计量的计算（平均数、中位数、众数等） - 概率的基本概念和计算方法2. 折线图和曲线图- 折线图和曲线图的绘制和解读- 图形的趋势分析和比较3. 几何图形中的统计问题- 图形面积和周长的计算- 图形的分类和性质分析- 坐标图中的统计问题以上是九年级第三单元的知识点总结，这些知识点对于学生掌握数学的基础知识、发展数学思维和解决实际问题都具有重要的意义。
九年级数学上册第三章知识点
九年级数学上册第三章知识点第三章: 函数与方程1. 函数定义和表示：- 函数是一种特殊的关系，表示两个变量之间的依赖关系。
- 一般用 f(x) 或 y 表示函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。
- 函数还可以用映射法、列表法、图象法等表示。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
- 奇偶性：如果对于任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
- 单调性：如果对于任意 x1 < x2，有 f(x1) < f(x2)，则函数是增函数；如果对于任意 x1 < x2，有 f(x1) > f(x2)，则函数是减函数。
- 周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数是周期函数。
3. 一次函数：- 函数的形式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 都是常数。
- k 是斜率，表示函数的倾斜程度。
- b 是截距，表示函数与 y 轴的交点。
4. 二次函数：- 函数的形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 都是常数且 a ≠ 0。
- a 决定了二次函数的开口方向和开口的大小。
- (h, k) 是二次函数的顶点，其中 h 和 k 分别是顶点的 x 坐标和 y 坐标。
5. 反比例函数：- 函数的形式为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
- 函数的图象为一条经过原点的开口向右下方的曲线。
6. 线性方程与一次不等式：- 一次方程的形式为 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数且 a ≠ 0。
- 方程的解为 x = -b/a。
- 一次不等式的形式为 ax + b > 0 或 ax + b < 0。
- 方程的解为 x > -b/a 或 x < -b/a。
九年级数学上册第三章知识点总结(北师大版)
九年级数学上册第三章知识点总结（北师大版）一、有理数的概念与性质1. 有理数的定义有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零和所有的正负分数。
2. 有理数的比较有理数的比较可以利用数轴进行，较大的数在数轴上对应的点靠右，较小的数在数轴上对应的点靠左。
3. 有理数的运算性质有理数的加法、减法、乘法、除法满足封闭性、结合律、交换律、分配律。
4. 有理数的约分与化简将有理数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以得到最简形式的有理数。
二、实数的表示1. 实数的性质实数包括有理数和无理数，实数的运算满足封闭性、传递性、对称性等性质。
2. 实数的表示方法实数可以用有理数表示，也可以用无理数表示。
（1）有理数的表示有理数可以用分数的形式表示，也可以用小数表示。
（2）无理数的表示无理数无法用两个整数的比值表示，可以用无限不循环小数或根式表示。
3. 无理数的性质无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。
4. 实数的区间表示法实数可以用区间表示法表示在数轴上的连续的一段。
三、实数的运算1. 实数的加法与减法实数的加法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的减法即加法的逆运算。
2. 实数的乘法与除法实数的乘法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的除法即乘法的逆运算。
3. 乘方运算实数的乘方运算即将一个实数连乘若干次。
4. 实数的分配律实数的乘法对于加法满足分配律。
四、实数的应用实数广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
1. 数学建模实数在数学建模中起到了重要作用，通过实数的运算可以描述和解决实际问题。
2. 统计学与概率论实数在统计学和概率论中被广泛应用，例如描述数据的均值、方差以及概率的计算等。
3. 物理学与工程学实数在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如描述物体的位置、速度、加速度等物理量。
4. 经济学与金融学实数在经济学和金融学中也有重要作用，例如描述价格、收益率、利率等。
北师大版初中数学九年级上册第三章知识点
九年级第三章
概率的进一步认识
一、用树状图或表格求概率
知识点1：用列表法求概率
1.列表法：用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。
2.适当条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果的数目较多时为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法
3.具体步骤：
（1）列表；
（2）计数；确定所有等可能的结果数n和符合要求的结果数m
m
（3）求值利用概率公式P（A）=
n
知识点2：用画树状图法求概率
1.画树状图法：用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。
2.适当条件：当一次试验涉及两个或者更多因素时，为了不重不漏地列出可能的结果，通常采用画树状图法。
知识点3：游戏的公平性
1.游戏是否公平，即判断双方的概率是否相等
2.把不公平的游戏变公平的方法
改变游戏规则，使双方获胜的概率相等
若游戏中涉及得分情况，先计算出概率后，再根据游戏规则，改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得分数相等。
二、用频率估计概率
1.一般地，大量重复试验中，如果事件A 发生频率
n m 稳定于某个常数p ，那么事件A 发生的概率为p 2.P(A)=n
m （当试验的结果有无限多个，或者可能出现的结果发生的可能性不相同时，我们一般通过频率来估计概率）。
九年级数学上册第三章知识点
九年级数学上册第三章知识点第三章：数与式1. 实数与符号表示- 实数：实数是有理数和无理数的统称，包括整数、分数、小数和无限不循环小数等。
- 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、等于（=）、不等于（≠）等符号用于表示数之间的大小关系。
2. 数的比较与运算- 数的比较：利用大小关系符号判断数的大小，比如大小关系符号 (<, >, ≤, ≥)。
- 数的运算：加法、减法、乘法和除法是数的基本运算。
3. 数的绝对值与相反数- 绝对值：一个数 a 的绝对值记作 |a|，表示 a 到 0 之间的距离。
对于正数和零，它的绝对值等于这个数本身；对于负数，它的绝对值等于这个数的相反数。
- 相反数：一个数 a 的相反数记作 -a，表示与 a 的绝对值相等但方向相反的数。
4. 有理数表示与四则运算- 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数、小数和无限循环小数等。
- 有理数的表示：有理数可以用分数、整数和小数等形式表示。
- 四则运算：有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
5. 数的科学记数法- 科学记数法：科学记数法是一种用于表示极大或极小数的方法，它以一个介于1和10之间的数乘以10的幂的形式表示。
- 科学记数法的表示：科学记数法表示为 a × 10^b，其中 a 是一个介于1和10之间的数，b 是一个整数。
6. 平方根与立方根- 平方根：一个数 a 的平方根记作√a，表示使得 b^2 = a 的非负数 b。
如果 a 是正数，那么它有两个平方根：正平方根和负平方根。
- 立方根：一个数 a 的立方根记作³√a，表示使得 b^3 = a 的数 b。
对于正数和零，它有一个实立方根；对于负数，它有一个虚立方根和两个复立方根。
7. 代数式与值- 代数式：由变量、常数和运算符号构成的用来表示数、量或数与量之间关系的式子。
- 值：代数式中的变量确定后，代入变量的实际数值，得到的结果就是代数式的值。
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第三章 概率的进一步认识1.用树状图或表格求概率2.用频率估计概率※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数．．； 每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．； 即：实验次数频数数据总数频数频率== 在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。
因此，各个小长方形的面积的和等于1。
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。
※假设布袋内有m 个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x 条鱼，则可依照20010100=x 估算出鱼的条数。
（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX ”）※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。
附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。
1、首先，认真研究考试办法。
这一点对知识水平比较高的考生非常重要。
随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。
最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。
很多老师也会讲解考试的办法。
但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。
有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。
2、其次，试着从考官的角度思考问题。
考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。
九年级数学上册第三章知识点
九年级数学上册第三章知识点第三章：线性方程与不等式1. 一次方程：一个未知数的最高次数为1的代数方程，例如：2x + 3 = 5。
2. 解一元一次方程的基本方法：- 同时去掉方程中的分母和分子；- 移项，将未知数的项移到等号的一边；- 合并同类项；- 消去已知数项。
3. 一次方程的性质：- 两个方程等价的充要条件是它们有相同的解；- 若一个方程在实数集上有解，则这个方程在有理数集、整数集和自然数集上都有解。
4. 一次方程的应用：- 求实际应用问题中未知数的值；- 根据实际问题列一次方程；- 解决实际问题。
5. 一元一次不等式和不等式组：- 一元一次不等式：一个未知数的最高次数为1的不等式，例如：2x + 3 > 5。
- 不等式组：由若干个一元一次不等式组成的系统，例如：{x + y > 3, x - y < 1}。
6. 解一元一次不等式的基本方法：- 解法类似于解一元一次方程，但要注意不等号正负号变化时需要翻转不等号。
7. 一元一次不等式的性质：- 两个不等式等价的充要条件是它们有相同的解集；- 若一个不等式在实数集上有解，则这个不等式在有理数集、整数集和自然数集上都有解。
8. 不等式的解集：- 不等式的解集是满足不等式条件的实数集合，可以用区间表达。
9. 一次函数及其图象：- 一次函数是一个未知数的最高次数为1的函数，例如：y = 2x + 3。
- 一次函数的图象是一条直线。
10. 一次函数的性质：- 一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，斜率 k 表示图象直线的斜率，截距 b 表示图象与 y 轴的交点；- 一次函数 y = kx + b 的图象是一条过点 (0,b) 的直线，斜率 k 表示直线的倾斜程度。
11. 一次函数的应用：- 用一次函数模型解决实际问题；- 用一次函数解释实际问题；- 通过对一次函数的研究提高问题解决的能力。
九年级上册第三章知识点
九年级上册第三章知识点第三章：求线段长度和角度在九年级上册的数学课本中，第三章主要讲解了如何求解线段长度和角度的知识点。
这些知识点在我们的日常生活中十分常见，不仅在数学中有应用，也与我们的实际生活息息相关。
通过学习这些知识点，我们能够更好地理解并应用到实际问题中。
一、线段长度的求解1. 直角三角形中的线段长度求解直角三角形是我们学习线段长度求解的起点。
在直角三角形中，如果给出两条直角边的长度，我们就可以使用勾股定理来求解斜边的长度。
勾股定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2，其中a和b分别代表两个直角边的长度，c代表斜边的长度。
例如，已知一个直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，那么斜边的长度c可用勾股定理计算得到：c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25c = √25 = 5所以，该直角三角形的斜边长度为5cm。
2. 一般三角形中的线段长度求解在一般三角形中，我们无法直接使用勾股定理来求解线段的长度。
但是，我们可以利用三角形的性质和一些几何关系来推导或应用其他的求解方法。
一种常见的方法是使用正弦定理和余弦定理。
正弦定理表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别代表三个边的长度，A、B、C分别代表相对应的三个角的度数。
假设我们要求解一个一般三角形的边长，已知两个角的度数和一个对应的边长。
我们可以利用正弦定理进行计算。
这里举一个例子，假设abc是一个一般三角形，已知∠B的度数为60°，∠C的度数为70°，且边a的长度为5cm，我们可以根据正弦定理来求解边b和边c的长度。
由正弦定理可得：b/sinB = c/sinCb/sin60° = c/sin70°已知b/c = 5/7，那么可以通过代入求解得到b的长度。
b/sin60° = (5/7)/sin70°b = (5/7) * sin60° * sin70°通过计算，可以得到b的长度。
九年级上数学第三章知识点
第三章证明（三）一．平行四边形的性质1.平行四边形的对边平行。
2.平行四边形的对边相等。
（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
）3.平行四边形的对角相等。
4.平行四边形的邻角互补。
5.平行四边形的对角线互相平分。
6.特别说明：平行四边形是中心对称图形。
二平行四边形的判定方法7..定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
8..定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
9..定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
10..定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
11.定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三．等腰梯形的性质12.等腰梯形的两腰相等。
13.等腰梯形在同一底上的两个角相等。
14.等腰梯形的两条对角线相等。
四．等腰梯形的判定方法15.定义：两条腰相等的梯形叫等腰梯形。
16.定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
17.两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
五．矩形的性质(5+2)18.矩形具有平行四边形的一切性质。
19..矩形的四个角都是直角。
20.矩形的对角线相等。
六．矩形的判定方法21.有三个角都是直角的四边形是矩形。
22.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
23.对角线相等的平行四边形是矩形。
七．菱形的性质（5+2）24.菱形具有平行四边形的一切性质。
25.菱形的四条边都相等。
26.菱形的对角线互相垂直。
八．菱形的判定方法27.有四条边都相等的四边形是菱形。
28.邻边相等的平行四边形是菱形。
29.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
九．正方形的性质（5+2+2）30.具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
十．正方形的判定方法31.邻边相等的矩形是正方形。
32.对角线垂直的矩形是正方形。
33.有一个角是直角的菱形是正方形。
34.对角线相等的菱形是正方形。
十一三角形的中位线35.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
36．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
浙教版九年级上册数学第三章
浙教版九年级上册数学第三章一、知识框架。
1. 一元二次方程的概念。
- 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
- 举例：判断方程是否为一元二次方程，如x^2+2x - 3 = 0是一元二次方程，而x^3+2x^2-x = 0不是（因为最高次数是3）。
2. 一元二次方程的解法。
- 直接开平方法。
- 适用情况：对于形如x^2=k(k≥0)的方程，可以直接开平方得到x=±√(k)。
- 示例：解方程x^2=9，解得x = 3或x=- 3。
- 配方法。
- 步骤：- 把方程化为ax^2+bx = - c的形式。
- 在方程两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2。
- 将左边配成完全平方式(x +(b)/(2a))^2，然后用直接开平方法求解。
- 示例：解方程x^2+4x - 1 = 0。
- 移项得x^2+4x=1。
- 配方：x^2+4x + 4 = 1+4，即(x + 2)^2=5。
- 解得x=-2±√(5)。
- 公式法。
- 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 判别式Δ=b^2-4ac：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
- 示例：解方程2x^2-3x - 2 = 0，其中a = 2，b=-3，c = - 2。
- 先计算Δ=(-3)^2-4×2×(-2)=9 + 16 = 25>0。
- 再代入求根公式x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x=-(1)/(2)。
九年级数学上册第三单元知识点
图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.2、旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.3、旋转性质① 旋转后的图形与原图形全等② 对应线段与O形成的角叫做旋转角③ 各旋转角都相等，对应点到旋转中心O的距离相等。
4、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。
其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。
5、平移性质① 平移后的图形与原图形全等② 两个图形的各组对应线段平行且相等6、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．7、中心对称的两条基本性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．8、中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．9、中心对称与中心对称图形① 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。
其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
② 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。
其中，这个点叫做该图形的对称中心。
10、轴对称与轴对称图形(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。
其中，这条轴叫做对称轴。
它的性质：① 两个图形全等；② 对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
初三数学上册三单元重要知识点
初三数学上册三单元重要知识点1500字初三数学上册第三单元的重要知识点主要包括：平方根、勾股定理、正弦定理和余弦定理。
下面对这些知识点逐个进行详细介绍。
1. 平方根：平方根是一个数的平方等于给定数的数值，常用符号为√。
在初三数学上，平方根的计算主要是对平方根的化简和近似计算。
化简平方根的方法有：直接抽出平方数、分解因式和有理化分母等。
近似计算平方根可以使用试位法、二分法和牛顿法等。
2. 勾股定理：勾股定理是一个三角形中一个角是直角时，斜边的平方等于直角边的平方和的定理。
勾股定理可以表示为：在一个直角三角形中，对于任意两条直角边的长度a和b，斜边c的长度满足c²=a²+b²。
根据勾股定理，可以解决一些与直角三角形有关的实际问题。
3. 正弦定理：正弦定理是几何学中一个关于三角形边与角之间关系的定理。
正弦定理表示为：在一个三角形ABC中，三条边的长度分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
根据正弦定理，可以求解一些不是直角三角形的三角形问题。
4. 余弦定理：余弦定理是几何学中一个关于三角形边与角之间关系的定理。
余弦定理表示为：在一个三角形ABC中，三条边的长度分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则有c²=a²+b²-2abcosC。
根据余弦定理，可以解决一些不是直角三角形的三角形问题。
这些知识点在初中数学的学习中起到了重要的作用，掌握了这些知识点，可以帮助学生更好地理解和解决与这些内容相关的问题。
在学习和应用这些知识点时，可以运用不同的计算方法和技巧，加深对这些概念的理解，并提高问题的解决能力。
在实际运用中，还需要注意题目中的条件和要求，灵活应用所学知识，找到切实解决问题的方法。
九年级数学上册第三章知识点总结
九年级数学上册第三章知识点总结在九年级数学上册的第三章中，我们主要学习了一些重要的数学概念和方法。
这一章的知识对于我们进一步理解数学的逻辑和应用有着关键的作用。
下面就让我们来详细梳理一下这一章的主要知识点。
一、一元二次方程1、定义只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
一般形式为：ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0），其中 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
2、一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。
3、直接开平方法对于形如 x²＝ p（p ≥ 0）或（mx ＋ n）²＝ p（p ≥ 0）的一元二次方程，可以使用直接开平方法求解。
4、配方法通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
5、公式法一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的求根公式为：x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。
6、因式分解法把一元二次方程通过因式分解化为两个一次方程来求解的方法叫做因式分解法。
二、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0），根的判别式为Δ ＝b² 4ac。
当Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜ 0 时，方程没有实数根。
三、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的两根为 x₁、x₂，则有：x₁＋ x₂＝ b/ax₁ · x₂＝ c/a四、实际问题与一元二次方程1、传播问题若一个人传染给 x 个人，经过两轮传染后共有 y 人被感染，则第一轮感染后有（1 ＋ x）人被感染，第二轮感染后有1 ＋ x ＋ x(1 ＋ x)人被感染。
九年级上册数学第三章复习知识点：圆周角
九年级上册数学第三章复习知识点：圆周角
查字典数学网初中频道为您整理了九年级上册数学第
三章温习知识点：圆周角，希望协助您提供多想法。
和小编一同等候学期的学习吧，加油哦!
1、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
(两条件缺一不可)
2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦
为直径。
(①罕见辅佐线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)
4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
(恣意一个外角等于它的内对角)
补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。
2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。
3、同弧所对的(在弧的同侧)圆外部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。
以上就是查字典数学网为大家整理的九年级上册数学第三章温习知识点：圆周角，大家还满意吗?希望对大家有所协助!。
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九年级数学上册第三章知识点总结
教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
一、平行四边形
1、平行四边形的性质定理：
平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等（邻角互补）。
平行四边形的对角线互相平分。
2、平行四边形的判定方法：
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、矩形
1、矩形的性质定理：
矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
2、矩形的判定方法：
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
）
三、菱形
1、菱形的性质定理：
菱形的四条边都相等。
菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形的判定方法：
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
）
四、正方形
1、正方形的性质定理：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2、正方形的判定定理：
l 有一个角是直角的菱形是正方形。
l 有一组邻边相等的矩形是正方形。
l 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
l 对角线相等的菱形是正方形。
l 对角线互相垂直的矩形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。
五、等腰梯形
1、等腰梯形的性质定理：
等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
2、等腰梯形的判定方法：
定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。
判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
六、三角形的中位线
1、定义：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、性质定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
七、其他定理或结论：
1、夹在两条平行线间的平行线段相等。
2、三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
3、菱形的面积等于其对角线乘积的一半。
4、连接三角形每两边的中点，就得到了四个全等的三角形和三个平行四边形，所得的三角形的周长是原三角形周长的，所得的三角形的面积是原三角形面积的。
八、中点四边形
1. 依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状，取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，即两条对角线是否相等或者是否垂直。
2. 依次连接任意四边形各边的中点，就得到一个平行四边形。
3. 依次连接平行四边形各边的中点，就得到一个平行四边形。
4. 依次连接矩形各边的中点，就得到一个菱形。
5. 依次连接菱形各边的中点，就得到一个矩形。
6. 依次连接正方形各边的中点，就得到一个正方形。
7. 依次连接等腰梯形各边的中点，就得到一个菱形。
8. 依次连接两条对角线相等的四边形各边的中点，就得到一个菱形。
9. 依次连接两条对角线互相垂直的四边形各边的中点，就得到一个矩形。
10. 依次连接两条对角线相等且互相垂直的四边形各边的中点，就得到一个正方形
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