物理13.高中物理中质心概念的应用

高中物理中质心概念的应用

一、质心的定义与系统总动量

一个系统由多个质点组成，各质点的质量和位置矢量分别为m 1、r 1，m 2、r 2，m 3、r 3，……则该系统的质心的位置矢量为：

i i C m r r M =∑，其中M =m 1+m 2+m 3

+… 写成直角坐标系下的分量式为： i i C m x x M =∑，i i

C m y y M =∑，i i C m z z M =∑

上式变形，对时间求导，容易得出：

d d d d d d C C i i i i i i

r r Mv M m r m m v t t t ====∑∑∑ 即：一个系统的总动量可以用系统总质量M 与质心C 的速度v C 的乘积。

二、质心与重心、重力势能

重心即重力的等效集中作用点，其定义与质心类似：

i i i

CG i

i m g r r m g =∑∑ 从这个定义来看，如果重力场是匀强场，则重心与质心重合，高中物理中，大多数情况下，物体或质点系所占都不够大，因此可将物体所在区域视为匀强重力场，因此质心与重心重合；但是重力场若非匀强场，则重心与质心是有偏离的这点需要特别注意。

另一方面，也可利用力平衡和力矩平衡的方法来确定重心的位置，这就是所谓悬挂法和支撑法的基础。 有上述定义可以看出，质点系的重力势能可以用重心来计算：

CG i i i i i h m g m g h ⋅=∑∑

匀强重力场中，上式可以简化为：C i i

Mgh m gh =∑。这就是不可视为质点的物体——比如链条、软绳等物体重力势能可用重心（质心）计算的基础。

三、质心与动能、机械能

如果物体只做平动，物体上各个部分的速度完全相同，则物体可视为质点，动能当然能够用质心来计算；但是物体倘若还转动，或物体内各个部分相对质心还有运动，则由克尼希定理，有：

CM 2k k 12

C E E Mv =+ 其中CM CM 2k 1()2

i i E m v =∑为各质点相对质心的动能之和，CM i v 是各质点相对质心的速度。 可见，物体存在转动，或者物体上各个部分相对质心还有运动，是不能够用质心的速度来计算物体的动能的，即：

2k 12

C E Mv ≠ 这和重力势能是不一样的，但这是很好理解的：重力势能、动量的表达式中，只包含位置矢量或速度，

但是动能的表达式中却包含的是速度的平方，与位置矢量、速度不再满足线性关系。

因此在下面这种情况下，可以中质心高度的变化来计算重力势能的变化量，却不能用质心的速度的变化来计算动能的变化量。

【例1】质量分别为m 和2m 的两个小球P 和Q ，中间用轻质杆固定连接，杆长为L ，在离P 球L 3处有

一个光滑固定轴O ，如图9所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q 球顺时

针摆动到最低位置时，求：

(1)小球P 的速度大小；

(2)在此过程中小球P 机械能的变化量。

[答案] (1)2gL 3 (2)增加了49

mgL 四、相对静止的多星系统的公共圆心

近几年高考对双星、三星甚至四星系统均有涉及，对于多星系统，公共圆心的寻找是解决问题的关键，大多数资料和教师采用的思路是作最一般的位置假设，然后列方程进行计算，这往往有些无头苍蝇的感觉。

其实，相对静止的多星系统的公共圆心就是该系统的质心。

1、结论证明

下面用反证法对此作一简单证明：

证明之前，要特别说明一下：我们大多数时候都是假定多星系统远离其他天体，并假定系统的公共圆心是静止不动的——即我们选定的参考系为公共圆心。

假定多星系统的公共圆心不在系统质心处，则质心必定绕公共圆心作匀速圆周运动，由于系统总动量可以用质心动量来计算，因此系统总动量方向将一直变化；

而多星系统实际上是远离其他天体的，因此系统总动量必须守恒，即总动量应该始终为零。假设与此不符，故假设不成立。

对于高中生，可简单忽悠如下：如果系统的公共圆心不在质心处，则将系统质量集中与质心处，质心绕公共圆心的向心力谁来提供？我们已经将质量集中于质心处了，因此只可能是系统外的其他物体来提供，这与假定多星系统远离其他天体的前提不符。

但在此特别提醒，万有引力计算不可以用质心，因为任何一个天体处重力场（其他天体产生的合引力场）都不是匀强场。多星系统中某个天体的向心力只能分别用万有引力定律计算相互作用万有引力后，用平行四边形定则求解。

2、应用举例

【例2】由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式；三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A 星体质量为2m 、B 、

C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：

(1)A 星体所受合力大小F A ；

(2)B 星体所受合力大小F B ；

(3)C 星体的轨道半径R C ；

(4)三星体做圆周运动的周期T 。

[答案] (1)23G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)74a (4)πa 3

6m

五、补充拓展：质心动力学（请参看大学教材）

1、质心牛顿第二定律（质心运动定理）：

i C F Ma =∑ 2、质心动能定理（赝功能原理）：22011Δ22i C C C F r Mv Mv =-∑