离散数学第1章重言式与蕴含式和其它连接词

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离散数学(一)知识梳理

离散数学(一)知识梳理

离散数学(一)知识梳理•逻辑和证明部分o命题逻辑题型▪命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题▪用命题变量来表示原子命题▪用命题联结词来表示连词▪命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式▪利用真值表判断▪利用已知的公式进行推理判断▪利用主析取和合取范式判断▪定理:A为含有n个命题变元的命题公式,若A的主析取范式含有2^n个极小项,则A为重言式,若极小项在0到2^n之间,则为可满足式,若含有0个极小项,则A为矛盾式;若A的主合取范式含有2^n个极大项,则A为矛盾式,若极小项在0到2^n之间,则为可满足式,若含有0个极小项,则A为重言式▪翻译:一个命题公式化成主范式后,若所有项都分布在主析取范式中(主合取范式为1)则为重言式;若所有项都分布在主合取范式中(主析取范式为0)则为矛盾式;若均有分布,则为可满足式。

【思想来源:真值表法求主范式】▪一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式;一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式▪一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式;一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式▪求(主)析取或合取范式▪等值演算法▪ 1. 利用条件恒等式消除条件(蕴含和双条件)联结词,化简得到一个范式▪ 2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项,化简得到一个主范式▪ 3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项,凑出另一个主范式(思想上类似于真值表法)▪真值表法▪ 1. 画出命题公式真值表▪ 2. 根据真值表结果求出主范式▪主析取范式:真值为1的所有项,每一项按对应01构成极小项▪主合取范式:真值为0的所有项,每一项按对应01构成极大项▪形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列,证明结论▪形式证明:命题逻辑的论证是一个命题公式的序列,其中每个公式或者是前提,或者是由它之前的公式作为前提推得的结论,序列的最后一个是待证的结论,这样的论证也称为形式证明。

离散数学知识点总结

离散数学知识点总结

注意/技巧:析取符号为V,大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时,命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系,认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词,不能只凭字面翻译。

也就是说,在不改变原意的基础上,按照最简单的方式翻译通用的方法:真值表法VxP(x)蕴含存在xP(x)利用维恩图解题证明两个集合相等:证明这两个集合互为子集常用的证明方法:任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件:表达判断的陈述句、具有确定的真假值。

选择题中的送分题原子命题也叫简单命题,与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非(简单)合取(当且仅当P,Q都为真时,命题为真)析取(当且仅当P,Q都为假时,命题为假),P,Q可以同时成立,是可兼的或条件(→)(当且仅当P为真,Q为假时,命题为假)P是前件,Q是后件只要P,就Q等价于P→Q只有P,才Q等价于非P→非Q,也就是Q→PP→Q特殊的表达形式:P仅当Q、Q每当P双条件(↔)(当且仅当P与Q具有相同的真假值时,命题为真,与异或相反)命题公式优先级由高到低:非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件:①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、偶然式可满足式:包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含(逻辑)等价:这是两个命题公式之间的关系,写作“⇔”,要与作为联结词的↔区分开来。

如果命题公式A为重言式,那么A⇔T常见的命题等价公式:需要背过被标出的,尽量去理解。

关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号,这对于解证明题有很大的帮助!验证两个命题公式是否等价:当命题变元较少时,用真值表法。

当命题变元较多时,用等价变换的方法,如代入规则、替换规则和传递规则定理:设A、B是命题公式,当且仅当A↔B是一个重言式时,有A和B逻辑等价。

蕴含:若A→B是一个重言式,就称作A蕴含B,记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B:①肯定前件,推出后件为真②否定后件,推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时,A⇔B,也就是说,要证明两个命题公式等价,可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词:条件否定、异或(不可兼或)、或非(析取的否定)、与非(合取的否定)任意命题公式都可由仅含{非,析取}或{非,合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式:将仅含有联结词非、析取、合取(若不满足,需先做转换)的命题公式A中的析取变合取,合取变析取,T变F,F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式:否定+析取合取式:否定+合取析取范式:(合取式)析取(合取式)……析取(合取式)。

离散数学课件重言式与蕴含式

离散数学课件重言式与蕴含式
(¬P∨¬ ¬ ∨¬ ∨¬Q) 是重言式 是重言式(P14) P用R∧T 替换,还是重言式。 用 ∧ 替换,还是重言式。
1-5.1重言式(tautology)
定理1-5.3 设A、B为两个命题,A⇔B当且仅当 为两个命题, ⇔ 当且仅当 定理 、 为两个命题 A B 为一个重言式。 为一个重言式。 证明: 有相同的真值, 证明:若A⇔B,则A、B有相同的真值, ⇔ , 、 有相同的真值 由双条件定义 A B 永为 。 永为T。 B为重言式 为重言式, B永为 永为T 若A B为重言式,则A B永为T, 故 有相同的真值, A、B有相同的真值,即A⇔B。 上例是重言式, ∨¬Q) 上例是重言式,则¬(P∧Q) ⇔(¬P∨¬Q) (P∧ 德.摩根律得证
1-5.2蕴含式(implication)
定义1-5.3 [蕴含式]当且仅当P→Q是一 定义 蕴含式]当且仅当P 蕴含式 个重言式时,我们称“ 蕴含Q 个重言式时,我们称“P蕴含Q”, 并记作P 并记作P⇒Q。
对于P→Q来说,逆换式为:Q→P 对于P 来说,逆换式为:Q→ :Q 反换式为: 反换式为:¬P→ ¬Q 逆反式为: 逆反式为:¬Q→ ¬P 不等价, 有P→Q与Q→P不等价, ⇔¬Q P,Q→ P→Q⇔¬Q→ ¬P,Q→P⇔ ¬P→ ¬Q 命题与逆否命题等价) (命题与逆否命题等价)
(4)若A ⇒ B,C ⇒ B ,则A∨C ⇒ B ) , ∨ 以上性质在推理中常用。 以上性质在推理中常用。 特别说明:如果推导蕴含, 特别说明:如果推导蕴含,则可以用等价的式 子替换,因为“等价” 蕴含” 子替换,因为“等价”比“蕴含”强,好比 大于等于” 等于”的关系。 “大于等于”与“等于”的关系。
作业(1-5) 作业
P23. (1) b) c) (2) b) 说明: 说明: (6)~(8)先不做,因为有效性 ) ( )先不做, 第八节讲。 第八节讲。

离散数学.第1章

离散数学.第1章
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例4
设P:我们去看电影。Q:房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
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3. 析取“∨”(相容或)[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题,称 为析取式复合命题,记作“P∨Q”(读作“P或Q”)。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时,P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题,若是命题,则指出其真值。
(1) (2) 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
(3)
银是白的。
(4) 起来吧,我的朋友。 2. 将下列命题符号化
(1) 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P:我看见的是小张;Q:我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q (2) 如果晚上做完了作业并且没有其它的事,他就会 看电视或听音乐。 解 令 P:他晚上做完了作业;Q:他晚上有其它的事; R:他看电视; S:他听音乐。 则该命题可表示为(P∧¬ Q)→(R∨S)
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1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式,则称公式A 和B等值,记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意: (1)符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词,AB不表示一个公式, 它表示两个公式间的一种关系,即等值关系。 “↔”是联结词,A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1

离散数学第一章命题逻辑知识点总结

离散数学第一章命题逻辑知识点总结

数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题复合命题:由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1)表示简单命题用“1”表示真,用“0”表示假例如,令p:是有理数,则p 的真值为 0q:2 + 5 = 7,则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“⌝”定义设p为命题,复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式,记作⌝p. 符号⌝称作否定联结词,并规定⌝p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式,记作p∧q. ∧称作合取联结词,并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意:描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明,而且用功.(3) 王晓虽然聪明,但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p:王晓用功,q:王晓聪明,则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧⌝q.令r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词,整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题,复合命题“p或q”称作p与q的析取式,记作p∨q. ∨称作析取联结词,并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果,u:小元元拿一个梨,则 (4) 符号化为 (t∧⌝u) ∨(⌝t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧⌝w)∨(⌝v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“→”定义设p,q为二命题,复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式,记作p→q,并称p是蕴涵式的前件,q为蕴涵式的后件. →称作蕴涵联结词,并规定,p→q为假当且仅当p 为真q 为假.p→q 的逻辑关系:q 为p 的必要条件“如果p,则q ” 的不同表述法很多:若p,就q只要p,就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时,p→q 为真常出现的错误:不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“↔”定义设p,q为二命题,复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式,记作p↔q. ↔称作等价联结词.并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p↔q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p↔q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词:⌝, ∧, ∨, →, ↔,组成一个联结词集合{⌝, ∧, ∨, →, ↔},联结词的优先顺序为:⌝, ∧, ∨, →, ↔; 如果出现的联结词同级,又无括号时,则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时,应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项:简单命题▪命题变项:真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下:▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式,则 (⌝A)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式,则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一:(a) A=⌝B, B是n层公式;(b) A=B∧C, 其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i, j);(c) A=B∨C, 其中B,C的层次及n同(b);(d) A=B→C, 其中B,C的层次及n同(b);(e) A=B↔C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层⌝p 1层⌝p→q 2层⌝(p→q)↔r 3层((⌝p∧q) →r)↔(⌝r∨s) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明:▪赋值α=α1α2…αn之间不加标点符号,αi=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n,给A赋值α1α2…αn是▪指p1=α1, p2=α2, …, p n=αn▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值α1α2α3…是指▪p=α1,q=α2 , r=α3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q→p) ∧q→p的真值表例 B = ⌝ (⌝p∨q) ∧q的真值表例C= (p∨q) →⌝r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值,则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值,则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式,则称A为可满足式注意:重言式是可满足式,但反之不真.上例中A为重言式,B为矛盾式,C为可满足式A= (q→p)∧q→p,B =⌝(⌝p∨q)∧q,C= (p∨q)→⌝r1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A↔B是重言式,则称A与B等值,记作A⇔B,并称A⇔B是等值式说明:定义中,A,B,⇔均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如,在 (p→q) ⇔ ((⌝p∨q)∨ (⌝r∧r))中,r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证:p→(q→r) ⇔ (p∧q) →rp→(q→r) (p→q) →r⏹基本等值式双重否定律 : ⌝⌝A⇔A等幂律:A∨A⇔A, A∧A⇔A交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)分配律: A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔ (A∧B)∨(A∧C) 德·摩根律: ⌝(A∨B)⇔⌝A∧⌝B⌝(A∧B)⇔⌝A∨⌝B吸收律: A∨(A∧B)⇔A, A∧(A∨B)⇔A零律: A∨1⇔1, A∧0⇔0同一律: A∨0⇔A, A∧1⇔A排中律: A∨⌝A⇔1矛盾律: A∧⌝A⇔0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则:若A⇔B, 则Φ(B)⇔Φ(A)等值演算的基础:(1) 等值关系的性质:自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) (蕴涵等值式,置换规则)⇔(⌝p∨⌝q)∨r(结合律,置换规则)⇔⌝(p∧q)∨r(德⋅摩根律,置换规则)⇔(p∧q) →r(蕴涵等值式,置换规则)说明:也可以从右边开始演算(请做一遍)因为每一步都用置换规则,故可不写出熟练后,基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p→(q→r) (p→q) →r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法(自己证)方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值,是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式,再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) (蕴涵等值式)⇔q∧(p∧⌝q) (德⋅摩根律)⇔p∧(q∧⌝q) (交换律,结合律)⇔p∧0 (矛盾律)⇔ 0 (零律)由最后一步可知,该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解 (p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) (蕴涵等值式)⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) (交换律)⇔ 1由最后一步可知,该式为重言式.问:最后一步为什么等值于1?(3) ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)解 ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)⇔ (p∧(q∨⌝q))∧r(分配律)⇔p∧1∧r(排中律)⇔p∧r(同一律)这不是矛盾式,也不是重言式,而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结:A为矛盾式当且仅当A⇔0A为重言式当且仅当A⇔1说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词⌝, ∧,∨的命题公式A中,将∨换成∧, ∧换成∨,若A中含有0或1,就将0换成1,1换成0,所得命题公式称为A的对偶式,记为A*.从定义不难看出,(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式,p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项,将A和A*写成n元函数形式,则 (1) ⌝A(p1,p2,…,p n) ⇔A* (⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n)(2) A(⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n) ⇔⌝A* (p1,p2,…,p n)定理(对偶原理)设A,B为两个命题公式,若A ⇔ B,则A*⇔ B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, ⌝q, p∨⌝q, p∨q∨r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, ⌝q, p∧⌝q, p∧q∧r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A∨A2∨⋯∨A r, 其中A1,A2,⋯,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A∧A2∧⋯∧A r , 其中A1,A2,⋯,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明:单个文字既是简单析取式,又是简单合取式p∧⌝q∧r, ⌝p∨q∨⌝r既是析取范式,又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤:(1) 消去A中的→, ↔(若存在)(2) 否定联结词⌝的内移或消去(3) 使用分配律∧对∨分配(析取范式)∨对∧分配(合取范式)公式的范式存在,但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p→⌝q)∨⌝r解 (p→⌝q)∨⌝r⇔ (⌝p∨⌝q)∨⌝r(消去→)⇔⌝p∨⌝q∨⌝r(结合律)这既是A的析取范式(由3个简单合取式组成的析取式),又是A的合取范式(由一个简单析取式组成的合取式)(2) B=(p→⌝q)→r解 (p→⌝q)→r⇔ (⌝p∨⌝q)→r(消去第一个→)⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r(消去第二个→)⇔ (p∧q)∨r(否定号内移——德⋅摩根律)这一步已为析取范式(两个简单合取式构成)继续: (p∧q)∨r⇔ (p∨r)∧(q∨r) (∨对∧分配律)这一步得到合取范式(由两个简单析取式构成)极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次,而且第i(1≤i≤n)个文字出现在左起第i位上,称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).说明:n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项(极大项)均互不等值用m i表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: ⌝m i ⇔M i , ⌝M i ⇔m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如,n=3, 命题变项为p, q, r时,(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m1∨m3是主析取范式(p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨⌝r) ⇔M1∧M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤:(1) 先求析取范式(合取范式)(2) 将不是极小项(极大项)的简单合取式(简单析取式)化成与之等值的若干个极小项的析取(极大项的合取),需要利用同一律(零律)、排中律(矛盾律)、分配律、幂等律等.(3) 极小项(极大项)用名称m i(M i)表示,并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∧q)∨r , (析取范式)①(p∧q)⇔ (p∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m6∨m7 ,r⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7 ③②, ③代入①并排序,得(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7(主析取范式)(2) 求A的主合取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∨r)∧(q∨r) , (合取范式)①p∨r⇔p∨(q∧⌝q)∨r⇔ (p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔M0∧M2,②q∨r⇔ (p∧⌝p)∨q∨r⇔ (p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)⇔M0∧M4 ③②, ③代入①并排序,得(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4 (主合取范式)主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7,其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111,其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地,由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项,则A为重言式⇔A的主析取范式含2n个极小项⇔A的主合取范式为1.A为矛盾式⇔A的主析取范式为0⇔A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式⇔A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项⇔A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件:(1)若赵去,钱也去;(2)李、周两人中至少有一人去;(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人;(4)孙、李两人同去或同不去;(5)若周去,则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国?解此类问题的步骤为:①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p:派赵去,q:派钱去,r:派孙去,s:派李去,u:派周去.② (1) (p→q)(2) (s∨u)(3) ((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))(4) ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))(5) (u→(p∧q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))④ A ⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)结论:由④可知,A的成真赋值为00110与11001,因而派孙、李去(赵、钱、周不去)或派赵、钱、周去(孙、李不去).A的演算过程如下:A⇔ (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧(s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s)) (交换律) B= (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))1⇔ ((⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(q∧⌝r)) (分配律)B= (s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))2⇔ ((s∧⌝u)∨(p∧q∧s)∨(p∧q∧u)) (分配律)B∧B2 ⇔ (⌝p∧q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)1∨(q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧s)∨(p∧q∧⌝r∧u) 再令B3 = ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))得A⇔B1∧B2∧B3⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u) 注意:在以上演算中多次用矛盾律要求:自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理,而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明:当命题变项比较少时,用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时,采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明:若明天是星期一或星期三,我就有课. 若有课,今天必备课. 我今天下午没备课. 所以,明天不是星期一和星期三.解设p:明天是星期一,q:明天是星期三,r:我有课,s:我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数,则是无理数.若是无理数,则4不是素数. 所以,如果4是素数,则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p:2是素数,q:2是合数,r:是无理数,s:4是素数推理的形式结构前提:p∨q, p→r, r→⌝s结论:s→q证明① s附加前提引入②p→r前提引入③r→⌝s前提引入④p→⌝s②③假言三段论⑤⌝p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。

离散数学第1章重言式与蕴含式和其它连接词

离散数学第1章重言式与蕴含式和其它连接词

(3)若A B,且A C,则A (B∧C)。 证明 由假设A→B,A→C为重言式。设A为T,则 B、C为T,故B∧C为T。因此,A→(B∧C)为T。 若A为F,则B∧C不论有怎样的真值,A→(B∧C) 为T。 所以, A (B∧C) (4)若A B,且C B,则A∨C B。 证明 因为A→B为T,C→B为T,故 (┐A∨B)∧(┐C∨B)为T。 即(┐A∧┐C)∨B)为T或A∨C→B为T。 所以 A∨C B
则 PR PPQ F Q Q
QR QPQ F P P
PQR RR F
31
二、条件否定 1. 定义 定义1-6.2 设P和Q是两个命题公式,复合命题P Q 称作命题P和Q的条件否定,P Q的真值为T, 当且仅当P的真值为T,Q的真值为F,否则的P Q的真值为F。
5
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表 1-4.2
P T T F F
Q P∧Q T T F F T F F F
┐P F F T T
(P∧Q)∧┐P F F F F
6
一、重言式和矛盾式
定义1-5.1 给定一命题公式,若无论对分量作怎 样的指派,其对应的真值永为T,则称该命题公式 为重言式或永真公式。
定义1-5.2 给定一命题公式,若无论对分量作怎样 的指派,其对应的真值永为F,则称该命题公式为 矛盾式或永假公式。
2
课程回顾
第1次课:
命题;5个联结词
第2次课:
合式公式 命题的翻译 命题公式等价的两种证明方法
真值表 利用命题定律推导
3
第一章 命题逻辑 第3讲§1—5 重言式与蕴含式 §1—6 其他连结词
重点:重言式、蕴含式 难点:用推理方法证明蕴含式。
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表1-4.4 P T T F F Q T F T F P∧Q T F F F ┐(P∧Q) ┐P F T T T F F T T ┐Q F T F T ┐P∨┐Q F T T T ┐(P∧Q) T T T T (┐P∨┐Q)

离散数学-1-5重言式与蕴含式

离散数学-1-5重言式与蕴含式
(3) 若真值表最后一列中至少有一个1, 则公式为可满足式。
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3
一、公式的真假值分类
定理1.5.1及证明 P19 定理1.5.2及证明 P19 定理1.5.3及证明 P20
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4
二、(永真/重言)蕴含式
形如A→B重言式在我们将要学习的推理理 论中有着十分重要的作用。
定义1-5.3 当且仅当P→Q是一个重言式时, 我们称“P蕴含Q”,并记作PQ。 (注:本课约定,“P →Q”读作P蕴含Q,
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10
五、重言蕴含的常用性质
定理1-5.4 设P、Q为任意两个命题公式,PQ的 充分必要条件是PQ,Q P。 证明见P22 蕴含的几个常用性质
(1)设A、B、C为合式公式,若AB且A为重言式, 则B是重言式。
(2)若AB, BC,则AC,即永真蕴含关系是传 递的。
(3)若AB,且AC,那么A(B ∧C) (4)若AB, CB,则A∨CB 性质的证明见P22
第一章 命题逻辑
1-5 重言式与蕴含式
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1
一、公式的真假值分类
有些命题公式不论对分量做何种指派,其对应的 真值都为1(真)或0(假),这两类特殊的命题 公式在今后的命题演算中极为有用,可根据公式 的取值情况对公式进行分类。
定义1-5.1 给定一个命题公式,若无论对分量作怎 样的指派,其对应的真值永为1,则称该命题公式 为重言式或永真公式。
所以P为0 时,必有Q ∧(P→Q) 为0, Q ∧(P→Q) P成立。
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8
四、一些重要的(重言)蕴含式
P21页 这些重言蕴含式有些与思维逻辑相似 P∧QP, P∧QQ PP∨Q (附加律) P (P→Q) Q ( P→Q) ( P→Q) P ( P→Q) Q P∧(P→Q) Q (假言推理)

离散数学PPT课件 16重言式与重言蕴涵(ppt文档)

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• 注意符号“”不是联结词,它是表示公 式间的“永真蕴涵”关系,也可以看成是
“推导”关系。即AB可以理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成由A可推 出B,即由A为真,可以推出B也为真。
2.重言(永真)蕴涵式证明方法 方法1.列真值表。(即列永真式的真值表) 这里就不再举例了。
下面讨论另外两种方法。
先看一看AB的真 值表,如果AB为 永真式,则真值表 的第三组指派不会 出现。于是有下面 两种证明方法。
式B,则称B是A(P1,P2,…,Pn) 的置换例式。
• 例如: 公式A:P∨(P∧((PQ)R)) 用(DE)替换A中P得到A的置换例式 B: (DE)∨((DE)∧(((DE)Q)R))
• 如果A是永真式,例如A为P∨P,用 (DE)替换A中P,得到A的置换例式 B: (DE)∨(DE) , 显然B也是永真式。
I1.P∧QP I3. PP∨Q
I2. P∧QQ I4. QP∨Q
I5. PPQ
I6. QPQ
I7. (PQ)P
I8. (PQ)Q
I9. P,Q P∧Q
I10. P∧(P∨Q)Q
I11. P∧(PQ)Q I12. Q∧(PQ)P
I13. (PQ)∧(QR)PR
AB FF FT TF TT
A B T T F T
方法2.假设前件为真,推出后件也为真。 例如求证: ((A∧B)C)∧D∧(C∨D) A∨B
证明:设前件((A∧B)C)∧D∧(C∨D) 为
真。则((A∧B)C)、D、(C∨D)均真,
D为T,则D为F C∨D为T
得C为F 得AB为F
F
T
TF F
F
T
TT T
T
T
永真式的真值表的最后一列全是“T”。

第一章 4 蕴含与范式

第一章 4 蕴含与范式

26
1.6 其它联结词
定义1.6.5 一个联结词集合,如果用其中联结词足以把任 何命题公式等价地表示出来,而去掉其中任何一个联结词则 不能,我们称这个联结词集合为联结词全功能集(The minimal set of connectives)
联结词全功能集具有: (1) 完备性 (2) 最小性
2021/2/16
其他最小联结词组:
{↑} ,{↓},{¬,→},{¬,c
}
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29
1.6 其它联结词
例1 试证{↑}是最小联结词组.

¬P ¬(P P) P↑P
P Q ¬¬(P Q) ¬(P↑Q) (P↑Q)↑(P↑Q)
P Q ¬(¬P ¬Q) ¬((P↑P) (Q↑Q))
(P↑P)↑(Q↑Q)
例2 试证{¬,→}是最小联结词组
证明 因为 ¬(P Q) ¬P ¬Q,¬(P Q) ¬P ¬Q 所以¬A(P1 , P2 ,…,Pn ) A*(¬P1 , ¬P2 ,…, ¬Pn) 同理¬A*(P1 , P2 ,…,Pn ) A(¬P1 , ¬P2 ,…, ¬Pn)。
P Q P↓Q 00 1 01 0 10 0 11 0
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P∧Q 0 0 0 1
PQ 1 0 0 1
P→c Q 0 0 1 0
¬Q 1 0 1 0
P 0 0 1 1
Q→P 1 0 1 1
Q→c P 0 1 0 0
¬P 1 1 0 0
Q 0 1 0 1
P→Q 1 1 0 1
P Q0 1 1 0
一、对偶式与对偶原理
在§1.4中我们给出了命题定律 ,其中多数等价公式 (仅含联结词¬, , )都是成对出现的,每一对公 式的不同之处是将 与 互换,T与F互换,我们把这样 的公式称为是对偶的.

左孝凌离散数学1.5重言式与蕴含式PPT课件

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从而┐Q(P→Q)为假.
②若Q为假,则┐Q为真,P→Q为假,
从而┐Q(P→Q)为假.
根据① ②,所以 ┐Q(P→Q)┐P
4)法4: (┐Q(P→Q)) → ┐P
┐ (┐Q( ┐ P ∨ Q)) ∨ ┐P
(Q ∨(P ┐ Q)) ∨ ┐P
((Q ∨P) (Q ∨ ┐ Q )) ∨ ┐P
(Q ∨P) ∨ ┐P
4
第一章 命题逻辑(Propositional Logic) 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
判别命题公式的类型有两种方法: 真值表法和等值
演算法.
等值演算法是将所给命题公式通过等值演算化为最
简单的形式, 然后再进行判别.
例1.判别下列命题公式的类型.
(1). Q∨┓((┓P∨Q)∧P) (重言式)
重言式与蕴含式(Tautology and Implication)
• 小结:本节介绍了命题公式的分类,重言式、矛盾式与蕴 含式的概念及其性质,等价式与蕴涵式的关系。
• 重点掌握: (1)用等值演算法判别命题公式的类型。 (2)重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。 (3)等价式与蕴涵式的关系。
• 作业: P23 (1)c,d ,(2) a ,(8). • 预习:1.6 • 思考题:1) 为什么要引入联结词?
2) 什么是最小联结词组? ,,, c
21
1. 真值表指派 2. 真值表及其构成方法 3. 等价公式及等价置换 4. 命题公式的分类 5. 蕴含式判定及其性质
小结
(1)若A在其各种赋值下的取值均为真,则称A是重言式或永真式, 记 为T或1。 (2)若A在其各种赋值下的取值均为假,则称A是矛盾式或永假式, 记 为F或0。

离散数学思维导图第一章

离散数学思维导图第一章

重言式
矛盾式可满足式非重言式的可满足式直接应用规则推理附加前提证明法
归谬法命题
命题变项和命题常项
简单命题(原子命题)、复合命题
联接词:否定、合取、析取、异或、蕴含、等价、与非、或非
什么是命题公式?
分类
真值表简单合取式、简单析取式
合取范式和析取范式
极小项和极大项
用途:
联接词可以等价替换
联接词全功能集
联接词的极小全功能集构造证明法真值表法
主合取范式和主析取范式
命题符号化及联接词命题公式及分类等值演算范式联接词及其全功能集推理理论第一章:命题逻辑。

离散数学-1-6_其它联接词ppt课件

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精选ppt
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五、全功能联接词集与最小联结词组
• 定义(补充)设S是全功能联结词集,如果去掉其 中的任何联结词后,就不是全功能联结词集,则 称S是最小联结词组。
• 可以证明¬,∧,¬,∨,↑,↓ 是最小全功能联结词集。
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内容小结
四个新联结词 全功能联接词集与最小联结词组
精选ppt
13
精选ppt
10
五、全功能联接词集与最小联结词组
利用下列3个等价式可将任何命题公式中的命题联结词
“ ”、“↑”和 “↓”去掉。 P Q¬(P↔Q)
P↑Q¬(P∧Q) P↓Q¬(P∨Q) 所以¬,∧,∨,→,↔是全功能联结词集 利用下列2个等价式可将任何命题公式中的命题联结词 “→”和“↔”去掉。 P→Q¬P∨Q P↔Q(P→Q)∧(Q→P)(¬P∨Q)∧(¬Q∨P) 所以¬,∧,∨是全功能联结词集。 用德摩根律可证明¬,∧和¬,∨是全功能联结词集 可以证明∧,∨,→,↔和∧,∨,→,↔的任何子 集都不是全功能联结词集。
定义(补充) 设S是一个联结词集合,如果任何 n(n≥1)个变元组成的公式,都可以由S中的联结 词来表示,则称S是全功能联结词集。
除T,F及命题变元本身外,命题联结词一 共九个就足够了,它们组成了一个全功能联 结词集。但并不是所有联结词都是必要的, 有些联结词的公式可用另外的一些联结词 的公式等价代换。
精选ppt
7
四、或非
定义1.6.4 设P和Q是两个命题,复合命题P↓Q称作P和Q的 或非。定义为:当且仅当P、Q的真值都为假时,P↓Q的真 值为真。联结词“↓”称为或非联结词。
联结词“↓”的定义如表1-6.4
表1-6.4
P Q P↓Q

离散数学第一章PPT课件

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R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments(作业)
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式(等值演算) 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式,对A所有可能的解释: (1)若A都为真,称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假,称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真,称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知,命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式,(PQ)∧Q为矛盾式,PQ)∧R为可满足式。
注: 1、 永真式必为可满足式,反之则不然;永真式的否定是永 假式,反之亦然; 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法:真值表法(适用于变元少而简单的公式)、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定,记作
P,读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P:离散数学是计算机专业的核心课程, 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题, 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解,使用 适当的联结词: (1)确定语句是否是一个命题;
(2)找出句中连词,用适当的命题联结词表
示。
Assignments(作业)
第30页: 3(偶数小题)
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式,将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表,称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表,我们约定: ①命题变元按字典序排列;②对公式的每个 解释,以二进制从小到大列出;③当公式较 复杂时,可先列出子公式的真值,最后列出 所给公式的真值。

离散数学第一章

离散数学第一章

例2: “派小王或小李中的一人去开会” 不能符号化为形式P∨Q ,因为这里的“或”表示 的是排斥或。它表示非此即彼,不可兼得。 运算符 ∨表示可兼或,排斥或以后用另一符号表达。也可
以借助于联结词
或。
┒、∧ 、∨共同来表达这种排斥
课堂练习: 将下列命题符号化: (1) 王东梅学过日语或俄语。 (2) 张小燕生于1977年或1978年。 (3) 小元元只能拿一个苹果或一个梨。
常称为“非”运算,所有可能的运算结果可用下表
(真值表)表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P: 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q: 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
Q:明天下雨
是两个命题,利用联结词“不”、“并且”、 “或” 等可分别构成新命题: “明天不下雪”; “明天下雪并且明天下雨”; “明天下雪或者明天下雨”等。
即 : “非P”;
“P并且Q”;
“P或Q”等。 在代数式x+3 中, x 、 3 叫运算对象, +叫运 算符,x+3 表示运算结果。在命题演算中, 也用同样术语。 联结词就是命题演算中的运算符,叫逻辑运算符或叫命题联 结词。常用的命题联结主要有 5 个。
2.常用命题联结词 1). 否定词┑ 定义:设P为任一命题。复合命题“非P”(或“P的 否定”)称为P的否定,记作 ┑P,读作“非P”。┒ 为否定联结词。┑P为真当且仅当P为假。 由定义可知, ┑P 的逻辑关系为P不成立,因而P

离散数学 命题逻辑重言式

离散数学 命题逻辑重言式
离散数学 第一章 命题逻辑
5
…,Pn分别指定一个真值,称为对公式A的一组真值指派。
命题公式与其命题变元之间的真值关系,可以用真值表的方法表示出来。
离散数学 第一章 命题逻辑
1
定义1-8:
(1)命题公式A(P1...Pn),n个命题变元的真值有2n种组合,每一种组合称为一种 指派。
(2)如果对于命题公式A所包含的命题变元的任何一组真值指派,A的真值恒为真, 则称公式A为重言式(或永真公式),常用“1”表示。
(3)相反地,若对于A所包含的命题变元的任何一组真值指派,A的真值恒为假, 则称公式A为矛盾式(或永假公式),常用“0”表示。 (4)不是永真式,也不是永假式的命题公式称为偶然式。 (5)如果至少有一组真值指派使公式A的真值为真,则称A为可满足公式 。
离散数学
第一章 命题逻辑
2
图示:
偶然
永真
非永真
离散数学第一章命题逻辑一重言式命题公式代表一个命题但只有当公式中的每一个命题变元都用一个确定的命题代入时命题公式才有确定的真值成为命题
1.2
一、重言式
重言式
命题公式代表一个命题,但只有当公式中的每一个命题变元都用一个确 定的命题代入时,命题公式才有确定的真值,成为命题。
定义1—7
设A为含有命题变元P1,P2,…,Pn的命题公式,对P1,P2,
F2=(Q→P)∧(¬ P∧Q)
F1和F2的真值表如下: ¬ P ¬ P↔Q P ↔Q ¬ (P→Q)
F1
Q→P
¬ P∧Q
F2 0 0
00 01
1 1
0 1
1 0
0 1
1 1
1 0
0 1
10
11
0

离散数学第一章知识点 总结

离散数学第一章知识点 总结

原子命题(原子命题):不能分解成更简单的命题的命题。

复合命题:由若干个原子命题用命题联结词、标点符号联结起来的命题。

命题标识符:用字母p 、q 、r 、s 、p 1、…来表示命题,这些字母称为命题标识符。

1. 否定 符号:┑P 是命题, ┑ P 读作“非P”。

2 合取 符号:∧, p ∧q 读作“p 且q”,“p 合取q”。

3 析取 符号:∨ p ∨ q 读作“p 或q”,“p 析取q”。

4 蕴含 符号: → , p → q 读作“p 蕴含q”,“如果P 则q”,“当p ,则q”,“p 是q 的充分条件”。

运算联结词的优先级: ┓ 最高;∧,∨, 其次;→, 最低.命题公式的赋值指派(赋值):命题公式中出现n 个不同的命题变项P 1 P n ,对这n 个命题给定一组真值指定称为这个公式的一个指派或赋值或解释。

若一个公式中出现n 个不同的命题变项,每个变项分别可以取成1、0,那么该公式共有个2n 不同的指派。

命题公式的类型永真式(重言式):公式在一切赋值下的真值均为真永假式(矛盾式):公式在一切赋值下的真值均为假可满足式: 如公式不是矛盾式就是可满足式,即至少存在一个赋值使公式为真常见的等值式(记住)1) 双重否定律 : ┑( ┑A)⇔A2) 幂等律: A ∨A ⇔ A, A ∧ A ⇔ A3) 交换律: A ∨B ⇔ B ∨A,4) 结合律: (A ∨B)∨C ⇔A ∨(B ∨C),5) 分配律: A ∨(B ∧C) ⇔(A ∨B)∧(A ∨C)A ∧(B ∨C) ⇔(A ∧ B)∨(A ∧ C)6)德.摩根律: ┑(A ∨ B) ⇔ ┑A ∧┑B,⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧永真式仅可满足式可满足式矛盾式公式┑(A ∧B) ⇔┑A∨┑B7) 吸收律: A ∧(A ∨B) ⇔ A, A∨(A∧B) ⇔ A8) 零律: A ∨1⇔ 1 , A ∧0⇔09) 同一律: A ∨0⇔ A, A ∧1⇔ A10) 排中律: A ∨┑A ⇔ 111) 否定律: A ∧┑A ⇔012) 蕴含等值式:A→B ⇔ ¬A∨B13) 等价等值式:A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)14) 假言易位:A→B ⇔┑B →┑A15) 等价否定等值式:A↔B ⇔ ¬A → ¬B16) 归缪论: (A→B) ∧( A →¬B) ⇔┑A1.5 对偶式与范式一对偶式定义在仅含有联结词⌝, ∨,∧,的命令题公式A中,将∨换成∧,将∧换成∨,同时T和F(既0和1)互相替代,所得公式A*称为A的对偶式。

离散数学第一章知识点总结

离散数学第一章知识点总结

离散数学第一章知识点总结离散数学第一章知识点总结(仅供参考)1.判断给定的句子是否为命题的基本步骤:首先应是陈述句;其次要有唯一的真值。

例:(1)我正在说谎。

不是命题。

因为无法判定其真假值,若假设它为假即我正在说谎,则意味着它的反为真,即我正在说实话,二者相矛盾;若假定它为真即我正在说实话,则意味着它的反为假,我正在说谎,二者也相矛盾。

这其实是一个语义上的悖论。

悖论不是命题(2)x-y >2。

不是命题。

因为x, y的值不确定,某些x, y使x?y>2为真,某些x, y使x?y>2为假,即x?y>2的真假随x, y的值的变化而变化。

因此x?y>2的真假无法确定,所以x?y >2不是命题。

2.命题可以分为两种类型:原子命题(不能再分解为更简单命题,又可称为简单命题);复合命题(通过联结词、标点符号将原子命题联结而成的命题)3.命题常元:一个命题标识符如果表示确定的简单命题,就称为命题常元命题变元:如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志,就称它为命题变元注:当命题变元P用一个特定的简单命题取代时,P才能确定真值,这时也称对P进行指派4.联接词:(1)否定联接词:﹁假为真,真为假;还可以用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并不”等多种方式表示否定(2)合取联接词:∧一个为假就为假还可用“并且”、“同时”、“以及”、“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等多种方式表达合取(3)析取联接词:∨一个为真就为真;一般用或表示注:联结词∨是可兼或,因为当命题P和Q的真值都为真时,其值也为真。

但自然语言中的“或”既可以是“排斥或”也可以是“可兼或”。

例1.6 晚上我们去教室学习或去电影院看电影。

(排斥或)例1.7 他可能数学考了100分或英语考了100分。

(可兼或)例1.8 刘静今天跑了200米或300米远。

(既不表示“可兼或”也不表示“排斥或”,它只是表示刘静所跑的大概路程,因此它不是命题联结词,故例1.8是原子命题。

离散数学命题逻辑 第一章(1)

离散数学命题逻辑 第一章(1)
第一篇 数理逻辑
我现在年纪大了,搞了这么多年软件,错误 不知犯了多少,现在觉悟了。我想,假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话,我就不会犯这么 多错误。不少东西逻辑学家早就说过了,可是我 不知道。要是我能年轻20岁的话,我就会回去学 逻辑。
E.W.Dijkstra
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题: 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商,有两人 前来应聘,这个商人为了试试哪个更聪明些,就把两个人带进一间 漆黑的屋子里,他打开灯后说:“这张桌子上有五顶帽子,两顶是 红色的,三顶是黑色的,现在,我把灯关掉,而且把帽子摆的位置 弄乱,然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上,在我开灯后, 请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后,商人 将电灯关掉,然后三人都摸了一顶帽子戴在头上,同时商人将余下 的两顶帽子藏了起来,接着把灯打开。这时,那两个应试者看到商 人头上戴的是一顶红帽子,其中一个人便喊道:“我戴的是黑帽 子。” 请问这个人说得对吗?他是怎么推导出来的呢?
Page 13
2、命题满足的条件
命题的语句形式:陈述句 非命题语句:疑问句、命令句、感叹句、非命题陈述句 (悖论语句) 命题所表述的内容可决定是真还是假,不能不真又不假, 也不能又真又假。
Page 14
3、举例
• • • • • • • • • 北京是中国的首都。 土星上有生物。 3+2≥9。 1+101=110 请关门! 你要出去吗? 如果天气好,那么我去散步。 x= 2。 我正在撒谎。
Page 9
第一章 命题逻辑
研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的 可推导关系。
Page 10
第一章 命题逻辑
1
命题及其表示方法 联结词

离散数学

离散数学

第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题:具有确定真值的陈述句命题的类型(原子命题和复合命题)命题的表示(一个命题标识符(比如P)表示确定的命题)重点:如何判断语句是否为命题。

1.2 联结词否定⌝合取∧析取∨条件→双条件↔重点:五种联结词的含义、真值表1.3 命题公式与翻译命题公式符号化:所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。

命题符号化的重要性命题符号化是很重要的,一定要掌握好,在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题,解决不好,等于说推理的首要前提没有了。

重点:命题的符号化符号化应该注意下列事项:①确定给定句子是否为命题。

②句子中连词是否为命题联结词。

③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。

1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法(1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价关系的含义等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式(必须掌握)(1)对合律(双重否定):⌝⌝P⇔P(2)幂等律:P∧P⇔P,P∨P⇔P(3)结合律:(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R),(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律:P∧Q⇔Q∧P,P∨Q⇔Q∨P(5)分配律:P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R),P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律:⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q,⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律:P∧(P∨Q)⇔P,P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律:P∧T⇔P,P∨F⇔P(9)零律:P∧F⇔F,P∨T⇔T(10)否定律:P∧⌝P⇔F,P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律:P→Q⌝⇔P∨Q,P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律:P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则):P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R重点:等价式的证明、基本等价式1.5 重言式与蕴含式重言式或永真公式定义1-5.1 给定一命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值永为真,则称该命题公式为重言式或永真公式。

离散数学定义

离散数学定义

第一章命题逻辑原子命题:不包含任何联结词的命题叫做原子命题。

复合命题:至少包含一个联结词的命题称作复合命题。

重言式:给定一个命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值用为T。

蕴含:当且仅当P→Q是一个重言式时,我们称“P蕴含Q”,并记作P⇒Q对偶:在给定的命题公式中,将联结词⋁换成⋀,将⋀换成⋁,若有特殊边缘F和T亦相互取代,所得公式A*称为A的对偶式。

主析取范式:对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅小项的析取所组成,则该等价式称作原式的主析取范式。

主合取范式:对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由大项的合取所组成,则该等价式称作原式的主合取范式。

第二章谓词逻辑不可满足的:一个谓词公式wff A,如果在所有赋值下都为假,则称该wff A为不可满足的。

可满足的:一个谓词公式wff A,如果至少在一种赋值下为真,则称该wff A为可满足的。

前束范式:一个公式,如果两次均在全式的开头,它们的作用域,延伸到整个公式末尾,则该公式叫做前束范式。

第三章集合与关系包含:设A,B是任意两个集合,假如A的每一个元素是B的成员,则称A为B的子集,或A包含在B内,或B包含A。

记作A⊆B,或B⊇A。

真子集:如果集合A的每一个元素都属于B,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A为B的真子集,记作A⊂B。

幂集:给定集合A,由集合A的所有子集为元素组成的集合,称为集合A的幂集。

集合的交:设任意两个集合A和B,由集合A和B的所有共同元素组成的集合S,称为A和B的交集,记作A⋂B。

集合的并:设任意两个集合A和B,所有属于A或属于B的元素组成的集合S,称为A和B的集合,记作A⋃B。

集合的绝对补:设E为全集,对任一集合A关于E的补E-A,称为集合A的绝对补,记作~A。

对称差:设A,B为任意两个集合,A和B的对称差为集合S,其元素或属于A,或属于B,但不能既属于A又属于B,记作A⊕B。

序偶相等:两个序偶相等,<x,y>=<u,v>,iffx=u,y=v。

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证明 若PQ,则P Q为重言式,因为 P Q (P→Q)∧(Q→P),故P→Q为T且Q→P为T, 即P Q,Q P成立。反之,若P Q且Q P, 则,P→Q为T且Q→P为T,因此P Q为T,P Q 是重言式,即PQ。 这个定理也可作为两个公式等 价的定义。
蕴含有下面几个常用的性质: (1)设A、B、C为合式公式,若A B且A是重言 式,则B必是重言式。 证明 因为A→B永为T,所以,当A为T时,B必永 为T。 (2)若A B,且B C则A C,即蕴含关系是 传递的。 证明 由A B,B C,即A→B,B→C为重言式。 所以(A→B)∧(B→C)为重言式。 由表l-5.2的(11)式,(A→B)∧(B→C) A→C,故 由性质(1),A→C为重言式,即A C。
2. 掌握以下定理 定理1-5.1 任何两个重言式的合取或析取,仍然 是一个重言式。
定理1-5.2 一个重言式,对同一分量都用任何合 式公式置换,其结果仍为一重言式。 定理1-5.3 设A、B为两个命题公式,A 当A B为一个重言式。 B当且仅
定理1-5.4 设P、Q为任意两个命题公式,P 的充分必要条件是P Q且Q P。
2
课程回顾
第1次课:
命题;5个联结词
第2次课:
合式公式 真值表 利用命题定律推导
3
第一章 命题逻辑 第3讲§1—5 重言式与蕴含式 §1—6 其他连结词
重点:重言式、蕴含式 难点:用推理方法证明蕴含式。
回顾
表1-4.4 P T T F F Q T F T F P∧Q T F F F ┐(P∧Q) ┐P F T T T F F T T ┐Q F T F T ┐P∨┐Q F T T T ┐(P∧Q) T T T T (┐P∨┐Q)
5
回顾
表 1-4.2
P T T F F
Q P∧Q T T F F T F F F
┐P F F T T
(P∧Q)∧┐P F F F F
6
一、重言式和矛盾式
定义1-5.1 给定一命题公式,若无论对分量作怎 样的指派,其对应的真值永为T,则称该命题公式 为重言式或永真公式。
定义1-5.2 给定一命题公式,若无论对分量作怎样 的指派,其对应的真值永为F,则称该命题公式为 矛盾式或永假公式。
例题2 证明┐(P∧Q)(┐P∨┐Q) 证明:据定理1-5.3 ,只需证:┐(P∧Q) (┐P∨┐Q)为重言式。
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
┐(P∧Q) ┐P F T T T F F T T
┐Q F T F T
┐P∨┐Q F T T T
┐(P∧Q) T T T T
(┐P∨┐Q)
例题4 考察P∨Q P是否成立。
证明 列出真值表: 从表中看出P∨Q→P 不是一个重言式,故 P∨Q P不成立。 P T T F F Q P∨Q T T F T T T F F P∨Q→P T T F T
由例题3和例题4可知,P→Q和Q→P不等价。 对P→Q来说, Q→P称作它的逆换式; ┐P→┐Q称为它的反换式; ┐Q→┐P称为它的逆反式。 它们之间的关系如表所示。 P Q ┐P ┐Q P→Q ┐Q→ ┐P 原式 逆反式 T T F F T T T F F T F F F T T F T T F F T T T T Q→P ┐P→┐Q 逆换式 反换式 T T T T F F T T
(2)( PQ)R P(QR)
(3)P (QR) ( P Q)( P R)
(4)( PQ) ( P Q) (P Q)
(5)(P∨ Q) ┐(P Q)
(6)PP F,F P P,T P P
30
4. 定理
证明
如果P ∨ Q R
表 1-5.2 常用的蕴含重言式 P∧Q P P∧Q Q P P∨Q ┐P P→Q Q P→Q ┐(P→Q) P ┐(P→Q) ┐Q 1 2 3 4 5 6 7
P∧(P→Q) Q
┐Q∧(P→Q) ┐P ┐P∧(P∨Q) Q
8
9 10
(P→Q)∧(Q→R) P→R
证明重言式的方法



给定一命题公式,至少存在一个指派,公式相应确 定真值为真,称为可满足式。 重言式必是可满足式,反之一般不真。 判定给定公式是否为永真式、永假式或可满足式的 问题,称为给定公式的判定问题。 在命题逻辑中,由于任何一个命题公式的指派数目 总是有限的,所以命题逻辑的判定问题是可解的。 其判定方法有真值表法和公式推演法。
7
定理1-5.1 任何两个重言式的合取或析取,仍然是一个 重言式。
证明 设A和B为两个重言式,则不论A和B的分量指派任 何真值,总有A为T,B为T,故A∧BT,A∨BT。 口
定理1-5.2 一个重言式,对同一分量都用任何合式公式 置换,其结果仍为一重言式。 证明 由于重言式的真值与分量的指派无关,故对同一分 量以任何合式公式置换后,重言式的真值仍永为T。 口
对于矛盾式也有类似于定理1-5.1和定理1-5.2的结果。
因为重言式的否定是矛盾式,矛盾式的否定是 重言式,这样只研究其一就可以了,后面将 重点研究重言式。重言式最有用,因为它有 以下特点: ①两重言式的合取式、析取式、条件式和双条 件式等都仍是重言式。于是,由简单的重言 式可构造出复杂的重言式。 ②由重言式使用公认的规则可以产生许多有用 等价式和蕴涵式。
离 散 数 学
Discrete Mathematics
山东科技大学 信息科学与工程学院
1
为什么要学习离散数学?
李开复:给中国学生的第四封信——大学四年应该这么度过 数学是理工科学生必备的基础。很多学生在高中时认为数学是 最难学的,到了大学里,一旦发现本专业对数学的要求不高, 就会彻底放松对数学知识的学习,而且他们看不出数学知识 有什么现实的应用或就业前景。但大家不要忘记,绝大多数 理工科专业的知识体系都建立在数学的基石之上。例如,要 想学好计算机工程专业,那至少要把离散数学(包括集合论、 图论、数理逻辑等)、线性代数、概率统计和数学分析学好; 要想进一步攻读计算机科学专业的硕士或博士学位,可能还 需要更高的数学素养。
2. 真值表
表1-6.2
联结词
的定义如表1-6.2所示。
P
Q
P
Q
T
T F F
T
F T F
F
T F F
32
从定义可知
c P Q (P Q)
三、与非 1. 定义
2、真值表
表1-6.3
2. 真值表
P
T T
Q
T F
PQ
F T
从表1-6.3 可以看出
F
F
T
F
T
T
P Q (P Q)
则 PR PPQ F Q Q
QR QPQ F P P
PQR RR F
31
二、条件否定 1. 定义 定义1-6.2 设P和Q是两个命题公式,复合命题P Q 称作命题P和Q的条件否定,P Q的真值为T, 当且仅当P的真值为T,Q的真值为F,否则的P Q的真值为F。
(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R) R (P→Q)∧(R→S) (P∧R)→(Q∧S) (P Q)∧(Q R) (P R)
11
12 13 14
三、等价式和蕴含式的关系 就象联结词 和→的关系一样,等价式与蕴含式 之间也有紧密的联系。 定理1-5.4 设P、Q为任意两个命题公式,PQ的 充分必要条件是P Q且Q P。
四、小结 本节主要内容 1. 深刻理解以下概念 重言式 给定一命题公式,若无论对分量作怎样的指派, 其对应的真值永为T,则称该命题公式为重言式或永真公式。 矛盾式 给定一命题公式,若无论对分量作怎样的指派, 其对应的真值永为F,则称该命题公式为矛盾式或永假公式。 蕴含式 当且仅当P→Q是一个重言式时,称P蕴含Q, 并记作P Q。 逆换式 对P→Q来说,Q→P称作它的逆换式。 反换式 对P→Q来说, ┐P→┐Q称为它的反换式。 逆反式 对P→Q来说, ┐Q→┐P称为它的逆反式。
从表1-5.1中看出:(P→Q)(┐Q→┐P) (Q→P)(┐P→┐Q) 因此要证明P Q,只需证明┐Q ┐P,反之亦然。 要证明P Q,即证P→Q是重言式。 对于P→Q来说,除P的真值取T,Q的真值取F这样一种指 派时,P→Q的真值为F外,其余情况,P→Q的真值为T。 要证P→Q是重言式: (1)只要对条件命题P→Q的前件P,指定真值为T,若由 此推出Q的真值也为T,则P→Q是重言式,即P Q成立(前 真看后真); (2)同理,如条件命题P→Q中,假定后件Q的真值取F, 若由此推出P的真值为F,即推证了┐Q ┐P 故P Q成立 (后假看前假)。
Q
3. 会证明重言式、蕴含式
§1—6 其他连结词
前面已经定义了5种联结词:┐,∧,∨,→和 ,但 这些联结词还不能广泛地直接表达命题间的联系,下面 再定义4种命题联结词:
28
一、不可兼析取(异析取)
表1-6.1
P Q
T T F F T F T F
PQ
F T T F
29
(1)PQ QP
33
3. 性质
联结词“↑”有如下几个性质:
(a) P↑QQ↑P
(b) P↑P P
(c) (P↑Q)↑(P↑Q)P∧Q
(d) (P↑P)↑(Q↑Q)P∨Q
34
四、或非 1. 定义
2. 真值表
表1-6.4
P T
Q T F T F
PQ
F F F T
从表1-6.4可以看出
T F F
P Q ( P Q)
2. 蕴含式的证明方法:
(1)列真值表法: 根据定义, 只需证P→Q是重言式 (2)逻辑推论 前真看后真 后假看前假 (3)等价置换
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