数值分析第五版复习资料

第一章绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*

****

r e x x

e x x δ-=

=

= 而ln x 的误差为()1

ln *ln *ln **

e x x x e x =-≈

进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n

f x x =，则函数的条件数为'()

|

|()

p xf x C f x = 又1

'()n f x nx

-=Q , 1

||n p x nx C n n

-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2

((*))0.02n r x n ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *

456.430x =,*57 1.0.x =⨯

解：*

1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .

其中****

1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4

1*

3

2*

13*

3

4*

1

51()1021()1021()1021()1021()102

x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯

***

124***1244333

(1)()()()()

1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***

123*********123231132143

(2)()

()()()

111

1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈

**

24****

24422

*4

33

5

(3)(/)

()()

11

0.0311056.430102256.43056.430

10x x x x x x x

εεε---+≈

⨯⨯+⨯⨯=

⨯=

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343

V R π=

则何种函数的条件数为

2

3'4343

p R V R R C V R ππ===g g

(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g

又(*)1r V ε=Q %1

故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=1

3

∗1%=

1

300

6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=n=1,2,…）

计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=Q

10099Y Y ∴=

9998Y Y =

9897Y Y =……

10Y Y =

依次代入后，有1000100Y Y =-

即1000Y Y =

27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-

*

310001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=⨯

100Y ∴的误差限为31

102

-⨯。

7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。 解：25610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =

故1282827.98255.982x =≈+=

1x ∴具有5位有效数字

211

280.0178632827.98255.982

x =-=

≈

=≈+

2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求

1

2

1

1N N

dx x

++⎰

？

解

1

2

1

arctan(1)arctan 1N N

dx N N x +=+-+⎰

设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=

1

22

11arctan(tan())

tan tan arctan

1tan tan 1arctan

1(1)1

arctan 1

N N dx x N N

N N

N N αβ

αβαβ

αβ++=-=--=++-=++=++⎰g 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？ 解：正方形的面积函数为2

()A x x =

(*)2*(*)A A x εε∴=g .

当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21

(*)102

x ε-≤

⨯ 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm 10．设2

12S gt =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：2

1,02

S gt t =

>Q 2(*)(*)S gt t εε∴=g

当*t 增加时，*S 的绝对误差增加

2*2*

(*)

(*)*

(*)1()2(*)2r S S S gt t g t t t

εεεε=

=

=g