11动载荷_2冲击载荷
合集下载
动载荷
1.5 2 MPa M dmax 3 2120
dmaxW 0 .132
二、杆AB下端固定，在C点受到以匀速 沿
水平运动的重物Q冲击。设AB杆的E、I及W均为已 知。试求杆内的最大冲击应力。
解：水平冲击无势能变化
1Qv2 2g
1 2
Pdd
Pd KdQ，
d Kdj
j Q3a/3E，I
v2
gst
v2
Kd 1 gst
说明：由结果可知，欲使 Kd ，除
外，还可采取 st 的
v
措施，如在吊索与重物间安置一缓冲弹簧。
等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为W,重物P自由 下落时,求刚架内的最大正应力（不计轴力）.
P
h
a
a
解：
st
4Pa3 3EI
V1 V
Fd F
d st
d st
kd
1 F(hd)2Fdd
d22s td2sh t 0
d st1
12hst
自由落体冲击的动荷因数
kd 1
12hst
1、利用动荷因数可计算动响应
d Kdst Fd KdFst
gst W
起吊重物时的冲击
已知：起重吊索下端挂一重物等速下降，当
吊索长度为 l 时，突然刹车，A、E、 V、P
求： F d 、 d
l
冲击前 U12 1P gv2Pdst2 1Pst
P
(重物的动能、势能、杆应变能)
Pd
冲击后
U2
1 2
Fd
（杆应变能）
d
d st1
冲击荷载问题的动响应
dmaxW 0 .132
二、杆AB下端固定，在C点受到以匀速 沿
水平运动的重物Q冲击。设AB杆的E、I及W均为已 知。试求杆内的最大冲击应力。
解：水平冲击无势能变化
1Qv2 2g
1 2
Pdd
Pd KdQ，
d Kdj
j Q3a/3E，I
v2
gst
v2
Kd 1 gst
说明：由结果可知，欲使 Kd ，除
外，还可采取 st 的
v
措施，如在吊索与重物间安置一缓冲弹簧。
等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为W,重物P自由 下落时,求刚架内的最大正应力（不计轴力）.
P
h
a
a
解：
st
4Pa3 3EI
V1 V
Fd F
d st
d st
kd
1 F(hd)2Fdd
d22s td2sh t 0
d st1
12hst
自由落体冲击的动荷因数
kd 1
12hst
1、利用动荷因数可计算动响应
d Kdst Fd KdFst
gst W
起吊重物时的冲击
已知：起重吊索下端挂一重物等速下降，当
吊索长度为 l 时，突然刹车，A、E、 V、P
求： F d 、 d
l
冲击前 U12 1P gv2Pdst2 1Pst
P
(重物的动能、势能、杆应变能)
Pd
冲击后
U2
1 2
Fd
（杆应变能）
d
d st1
冲击荷载问题的动响应
第10章动载荷与交变载荷
3、交变应力：应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。疲 劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中裂纹形成、扩展乃至 断裂的过程。
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
工程力学动载荷
刹车时飞轮的动能转化为轴的变形能
y
x
A
B
工程力学动载荷
例：重为P的重物从h处自由落下,冲击梁上的D点. 梁的EI及W均为已知.求:梁内max及梁中点处的挠度
h
A
CD B
P
A
CD B
yD=Pbx(l2-x2-b2)/6lEI
A
CD B
工程力学动载荷
h
A
CD B
P
A
CD B
1
A
B
工程力学动载荷
例 已知:重为G的重物以水平速度v冲击到圆形截面AB 梁的C点,EI已知. 求：σd max
解：水平冲击问题 ※确定动荷系数
静载时σmax出现于固定端A处
工程力学动载荷
图示钢杆的下端有一固定圆盘,盘上放置弹簧.弹簧在1kN 的静载荷作用下缩短0.0625cm.钢杆的直径d=4cm,l=4m许 用应力 =120Mpa,E=200GPa.若重为15kN的重物自由落下, 求其许可高度H.又若没有弹簧,许可高度H将等于多大？
注意：上面的论述是对等截面杆而言的，不能用于变截面杆的 情况。
工程力学动载荷
三、变截面杆同等截面杆的比较：
如图所示：一变截面杆，一等截面杆，同样受到重量 为Q，速度为v的重物的冲击，试比较它们的动应力。
根据机械能守恒定律，可求得两杆的冲击载荷分别为：
工程力学动载荷
于是两杆的冲击应力分别为： (a)
上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的
动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max 欲使工字钢中的 d,max 减至最小，吊索位置应如何安置？
2m 4m 4m 2m
ACB a
(a)
z y
y
x
A
B
工程力学动载荷
例：重为P的重物从h处自由落下,冲击梁上的D点. 梁的EI及W均为已知.求:梁内max及梁中点处的挠度
h
A
CD B
P
A
CD B
yD=Pbx(l2-x2-b2)/6lEI
A
CD B
工程力学动载荷
h
A
CD B
P
A
CD B
1
A
B
工程力学动载荷
例 已知:重为G的重物以水平速度v冲击到圆形截面AB 梁的C点,EI已知. 求：σd max
解：水平冲击问题 ※确定动荷系数
静载时σmax出现于固定端A处
工程力学动载荷
图示钢杆的下端有一固定圆盘,盘上放置弹簧.弹簧在1kN 的静载荷作用下缩短0.0625cm.钢杆的直径d=4cm,l=4m许 用应力 =120Mpa,E=200GPa.若重为15kN的重物自由落下, 求其许可高度H.又若没有弹簧,许可高度H将等于多大？
注意：上面的论述是对等截面杆而言的，不能用于变截面杆的 情况。
工程力学动载荷
三、变截面杆同等截面杆的比较：
如图所示：一变截面杆，一等截面杆，同样受到重量 为Q，速度为v的重物的冲击，试比较它们的动应力。
根据机械能守恒定律，可求得两杆的冲击载荷分别为：
工程力学动载荷
于是两杆的冲击应力分别为： (a)
上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的
动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max 欲使工字钢中的 d,max 减至最小，吊索位置应如何安置？
2m 4m 4m 2m
ACB a
(a)
z y
第十章-动载荷
2 动载荷问题分类
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
动载荷的概念及其分类
第12章 动载荷§12-1 动载荷的概念及其分类1．动载荷的概念前面各章讨论的都是构件在静载荷作用下的应力、应变及位移计算。
静载荷是指构件上的载荷从零开始平稳地增加到最终值。
因加载缓慢，加载过程中构件上各点的加速度很小，可认为构件始终处于平衡状态，加速度影响可略去不计。
动载荷是指随时间作明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。
一般可用构件中材料质点的应力速率（ dt d σσ=•）来表示载荷施加于构件的速度。
实验表明，只要应力在比例极限之内，应变与应力关系仍服从胡克定律，因而，通常也用应变速率（ dt d εε=•）来表示载荷随时间变化的速度。
一般认为标准静荷的 ，随着动载荷 的增加，它对材料力学性能的影响越趋明显。
对金属材料，静荷范围约在 ，如果 ，即认为是动载荷。
min /)~.(3010=•ε•ε/2−s ~41010−•=εs /210−•≥ε2．加速运动构件中的动应力分析三类动载荷问题：根据加载的速度与性质，有三类动荷问题。
（1）一般加速度运动（包括线加速与角加速）构件问题，此时还不会引起材料力学性能的改变，该类问题的处理方法是动静法。
•ε（2） 冲击问题，构件受剧烈变化的冲击载荷作用。
大约在 ，它将引起材料力学性能的很大变化，由于问题的复杂性，工程上采用能量法进行简化分析计算。
•εs /~101（3）振动与疲劳问题，构件内各材料质点的应力作用周期性变化。
由于构件的疲劳问题涉及材料力学性能的改变和工程上的重要性，一般振动问题不作重点介绍，而将专章介绍疲劳问题。
§12-2 构件作等加速运动时的应力计算1．动应力分析中的动静法度为 a 的质点，惯性力为其质量 m 与 a 的乘积，方向与a 相反。
达朗贝尔原理指出，对作加速度运动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。
这样，可把动力学问题在形式上作为静力学问题处理，这就是动静法。
动载荷
材料力学
§2
惯性力问题
动载荷
2、等角速度旋转的构件
•旋转圆环的应力计算 一平均直径为D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面 的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁 厚为t。 解：等角速度转动时，环内各
qd
an
D o
t
o
点具有向心加速度，且D>>t 可近似地认为环内各点向心 an 2 D / 2 。 加速度相同， 沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度 q d 为：
圆环横截面上的应力：
式中 v D 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：
2
d
材料力学
v 2
g
[ ]
§2
惯性力问题
动载荷
•旋转圆环的变形计算
D ， 在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 则其直径变化 D D D ，径向应变为
t D ( D D) r t D D E d v 2 D
式中 k d 为冲击时的动荷系数，
2
kd st
2H kd 1 1 st
其中 st 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
因为
Pd d d kd Q st st
所以冲击应力为
d k d st
2H 当 110 时，可近似取 k d st
2 H ，误差<5%。 st 2 H ，误差<10%。 st
4、 k d 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与 st 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小，即“柔能克刚”。
动载荷
动载荷
W d K d st K d A
应用强度条件，钢杆的
W W 2 h K d 1 1 1 A A l W EA k
BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)
动载荷
动载荷
（2）柱的稳定性校核
i1 I1 25m m A1 a 40 P i1
已知柱非小柔度,中柔度
σcr=373-2.15λ
Fcr cr A1 28.7 kN
Fcr n 3.3 nst Fd
柱是稳定的。
BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)
BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)
动载荷
2 冲击前： 动能Ek 1 m v / 2 势能V1 0
二、水平冲击：
v mg
变形能V 1 0
令
Pd K d Pst D d K d D st
( Pst mg )
冲击后： 动能E K 2 0
势能V2 0 变形能V 2 Pd D d / 2
P a g
(2)钢索横截面的动应力： FNd P a a d (1 ) st (1 ) A A g g
BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)
动载荷
令
a Kd 1 g
称为动荷因数，则
d K d st
梁的弯矩：
M d max
K d Pl K d M st 4
冲击前后能量守恒
1 mg 2 2 mv K d D st 2 2
Δst 为冲击物重量的水平静载 作用于结构受冲击点的静位移
第十一章动荷载优秀课件
Q(hd)12Fdd 动载荷、静载荷下虎克定律都成立
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
Q
h Fd
d
Q st
Q(hd)12Fdd
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
整理 d 2 得 2std ： 2 hst0 d可解
dst s2t2hst (实际 d st, “”不取
一、冲击问题的假定
1.不计冲击物的变形(刚体）； 2.冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，
二者合为一个运动系统； 3.被冲击物的质量（惯性）与冲击物相比很小，
可略去不计，冲击应力瞬时传遍整个被冲击物； 4.整个冲击过程中，构件在线弹性范围内； 5.冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去
不计。（能量守恒）
q d (5)求动应力
d
FNd 2A
A
FNd
d
R2 2
g
qd
2R
qd
A
qd
A R2
g
FNdqd2R2AgR22
FNd (5)求动应力
d
R2 2
g
vR圆环轴线上的点的 度线速
d
v2 g
说明：圆环内的动应力只与γ和v有关，而与横截面面积无关， 要保证旋转圆环的强度，只能限制圆环的转速，增加面积是不起 作用的。
二、自由落体冲击
Q
h
Fd
d
Q
冲击物Q由高h的地方自由落下 h 被冲击物在线弹性范围
d
Fd 冲 击 荷 载
d 动变形
冲击前
重物Q 被冲击杆
动能
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
Q
h Fd
d
Q st
Q(hd)12Fdd
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
整理 d 2 得 2std ： 2 hst0 d可解
dst s2t2hst (实际 d st, “”不取
一、冲击问题的假定
1.不计冲击物的变形(刚体）； 2.冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，
二者合为一个运动系统； 3.被冲击物的质量（惯性）与冲击物相比很小，
可略去不计，冲击应力瞬时传遍整个被冲击物； 4.整个冲击过程中，构件在线弹性范围内； 5.冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去
不计。（能量守恒）
q d (5)求动应力
d
FNd 2A
A
FNd
d
R2 2
g
qd
2R
qd
A
qd
A R2
g
FNdqd2R2AgR22
FNd (5)求动应力
d
R2 2
g
vR圆环轴线上的点的 度线速
d
v2 g
说明：圆环内的动应力只与γ和v有关，而与横截面面积无关， 要保证旋转圆环的强度，只能限制圆环的转速，增加面积是不起 作用的。
二、自由落体冲击
Q
h
Fd
d
Q
冲击物Q由高h的地方自由落下 h 被冲击物在线弹性范围
d
Fd 冲 击 荷 载
d 动变形
冲击前
重物Q 被冲击杆
动能
动载荷与交变荷载
Mstmax Fa M dm axK dM stm ax(113 2E F Ia H 3)Fa
a
a
F
A
C
B
EI
EI
EI
D
a
a
F1
A
C
EI
F
B EI
EI
D
a
a
H
11.3.3 水平冲击
已知：等截面杆 AB 在 C 处受一重量为 F，速度为 v 的物体沿水平方向冲 击 。求：杆在危险点处的动应力。
解：
d
A
A
A
P
Fd
P
B
d
B
st
B
解：按简化计算法，不考虑系统冲击过程中热能、声能及其它形式能量的损失。
A
A
A
P
Fd
B
d
B
冲击前：势能 EpPhd
冲击后：应变能（弹性范围）
V d
1 2
Fd d
根据能量守恒定理：
Phd12Fdd
P
st
动能 动能
B
Ek 0 Ek 0
d
Fdl AE
Phd12Fdd
Fd
如图所示，一起重机钢索以等加速度 a 提升一重物，重物的重量为 G，不 计钢索的重量。求：钢索的动应力。
解：1、动轴力的确定
FNd
FNdGFI 0 FNd GFI G1ag
a
2、动应力的计算
a G
dF A Nd G A1g ast1g a
FI
说明：1、由此例题可知，动荷载下的应力计算是运用动静法，将其转化为静
11.1 概述
11.1.1 基本概念
静荷载：荷载由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。构件内各质点加速 度很小，可略去不计。
a
a
F
A
C
B
EI
EI
EI
D
a
a
F1
A
C
EI
F
B EI
EI
D
a
a
H
11.3.3 水平冲击
已知：等截面杆 AB 在 C 处受一重量为 F，速度为 v 的物体沿水平方向冲 击 。求：杆在危险点处的动应力。
解：
d
A
A
A
P
Fd
P
B
d
B
st
B
解：按简化计算法，不考虑系统冲击过程中热能、声能及其它形式能量的损失。
A
A
A
P
Fd
B
d
B
冲击前：势能 EpPhd
冲击后：应变能（弹性范围）
V d
1 2
Fd d
根据能量守恒定理：
Phd12Fdd
P
st
动能 动能
B
Ek 0 Ek 0
d
Fdl AE
Phd12Fdd
Fd
如图所示，一起重机钢索以等加速度 a 提升一重物，重物的重量为 G，不 计钢索的重量。求：钢索的动应力。
解：1、动轴力的确定
FNd
FNdGFI 0 FNd GFI G1ag
a
2、动应力的计算
a G
dF A Nd G A1g ast1g a
FI
说明：1、由此例题可知，动荷载下的应力计算是运用动静法，将其转化为静
11.1 概述
11.1.1 基本概念
静荷载：荷载由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。构件内各质点加速 度很小，可略去不计。
工程力学课件 第11章 动载荷、冲击载荷、交变应力简介
1.1.1 电路பைடு நூலகம்组成
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析
材料力学11动载荷_2冲击载荷
st
P
[例5] 如图，在转轴 AB 的B 端有一个质量很大的飞轮，在 A 端有 制动装置。若在飞轮转速 n = 100 r/min 时突然在 A 端急刹车，瞬 间停止转动，试求轴内的最大切应力。 已知轴的长度 l = 1 m，直 径 d = 100 mm ，切变模量 G = 80 GPa，飞轮对轴的转动惯量 J = 500 kg·m2 ，轴的质量可以忽略不计。
1.8 MPa
梁内的动荷最大弯曲正应力
d max Kd st max 71.7 1.8 MPa = 129.1 MPa
[例4] 如图，钢丝绳的下端悬挂一重为 P 的重物，以速度 v 匀速下 降，当钢丝绳长度为 l 时，滑轮突然被卡住，试求钢丝绳内的动荷 应力。已知钢丝绳的横截面面积为 A，弹性模量为 E，滑轮与钢丝 绳的质量均忽略不计 。
2）重物落在弹簧上 此时的静荷位移
st
Pl EA
ห้องสมุดไป่ตู้
P k
7.074 106
m + 500106
m
=
507.074 106
m
2）重物落在弹簧上
静荷位移
st 507.074106 m
动荷因数
2h
Kd 1
1 15.08
st
杆内的动荷应力
d Kdst 15.08 0.7074 MPa = 10.7 MPa
4
P
hP
l
d
4）计算动荷应力
d Kdst 126.2 0.0424 MPa = 5.35 MPa
◆ 此时的动荷应力是静荷应力的126.2倍，可见，冲击载荷是 非常大的。
[例2] 钢制圆截面杆如图，其上端固定，下端固连一无重刚性托盘 以承接落下的环形重物。已知杆的长度 l = 2 m ，直径 d = 30 mm ， 弹性模量 E = 200 GPa。若环形重物的重力 P = 500 N，自相对高度 h = 50 mm 处自由落下，使杆受到冲击。试求在下列两种情况下， 杆内的动荷应力：（1）重物直接落在刚性托盘上；（2）托盘上放 一刚度系数量 k = 1 MN/m的弹簧，环形重物落在弹簧上。
第十一章 动载荷
第十一章动载荷前面各章讨论了构件在静载荷（由零逐渐增加到最后值）作用下的强度、刚度问题。
这时构件上各质点的加速度很小，因而可以忽略。
也就是说，构件上各点基本处于静力平衡状态。
但在实际问题中，往往作用于构件上的载荷随时间有明显变化，这类载荷称为动载荷。
如加速提升重物时吊绳受到的载荷，锻件受到的锻压载荷、机械零件受到的周期性变化的载荷等。
动载荷可分为四类：（1）惯性载荷，（2）冲击载荷，（3）振动载荷，（4）交变载荷。
在动载荷作用下所产生的应力和变形称为动应力和动变形。
本章主要讨论前三类动载荷作用下的动应力和动应变的计算问题，第四类交变载荷作用下的交变应力将于下一章讨论。
第一节惯性载荷下的动应力和动变形一、构件作等速直线运动时的动应力和动变形当构件作等加速直线运动时，可运用理论力学中的动静法（达朗贝尔原理），将构件上各点的加速度转化为作用于构件上的惯性力系，然后将惯性力看成是作用于构件上的一种外力，再按以前各章所述方法求出构件的应力和变形，即为构件在等加速运动下的动应力和动变形。
如图11-1a所示一起重机以等加速度a起吊一重量为W的物体，则物体除受重力W外，因以加速度a上升，还产生惯性力，大小为Wa/g,方向与加速度方向相反。
按照动静法，将惯性力附加在物体上，并取物体为研究对象，若不计绳索自重，则其受力如图11-1b所示，由平衡条件,可得设绳索的横截面积为A，则动应力为（a）式中j=W/A为绳索受重物W的作用时的静应力。
引入记号（11-1）称为动载荷系数，则式（a）可写为（11-2）由上式可见，动应力等于静应力乘以动荷系数。
在许多动载荷问题中，动应力的计算经常采用上式，只不过对不同的问题，动荷系数有不同的表达式。
强度条件为：=K d j≤[σ] （11-3a）d或：（11-3b）式中,[σ]为静载下材料的许用应力。
上式表明动载荷强度问题也可按静载荷强度问题处理，只须将许用应力降至原值的K d分之一。
动载荷
一、冲击问题
物体以一定的速度作用在构件上时，构件在很短的时间内 使物体的速度发生改变，这种现象称为冲击或撞击 冲击或撞击。例如， 冲击或撞击 重锤打桩、高速转动的飞轮突然刹车等，速度的改变几乎 在一瞬间完成，并且变化量大，这就引起冲击物与被冲击 物间的巨大冲击力，是冲击问题。 冲击问题的普遍性——任何载荷都有一个加载过程,当该 过程相对较快时,均可视为冲击。 冲击问题的复杂性——碰撞是一类最具代表性的冲击问题, 随着冲击过程的进行,往往发生塑 性变形、噪声辐射、热能辐射等物 理现象。碰撞过程中的应力在物体 中的传导过程也相当复杂。
R1
x
an=ω2(R0+ξ) dm的惯性力
dξ m m
ζ处取长度为dζ的质量为
dm= —A(ξ)dξ g
γ
x
γ ω2
ξ
l
3.求动应力。 求动应力。 求动应力
4.求总伸长。 求总伸长。 求总伸长 叶片微段的伸长为 Nxdx d(∆l)= ——— EA(x) ( ) 积分即得叶片伸长∆l
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
F
σ st =
Aρg l − b l 2W 4
则
σ d = σ st 1 +
a g
动荷系数
Kd=1+a/g
σd=Kdσst
强度条件
σ d = K d σ st ≤ [σ ]
σst —静载荷下的应力 σd —动载荷下的应力 在重力场中并考虑自重 不在重力场中或不考虑自重 Kd=1+a/g Kd=a/g
σd = — σst ∆st
∆d
1 ∆2d Vεd = Q 2 ∆ st
1 ∆2d Q∆ d + T + 0 = 0 + 0 + Q 2 ∆ st
物体以一定的速度作用在构件上时，构件在很短的时间内 使物体的速度发生改变，这种现象称为冲击或撞击 冲击或撞击。例如， 冲击或撞击 重锤打桩、高速转动的飞轮突然刹车等，速度的改变几乎 在一瞬间完成，并且变化量大，这就引起冲击物与被冲击 物间的巨大冲击力，是冲击问题。 冲击问题的普遍性——任何载荷都有一个加载过程,当该 过程相对较快时,均可视为冲击。 冲击问题的复杂性——碰撞是一类最具代表性的冲击问题, 随着冲击过程的进行,往往发生塑 性变形、噪声辐射、热能辐射等物 理现象。碰撞过程中的应力在物体 中的传导过程也相当复杂。
R1
x
an=ω2(R0+ξ) dm的惯性力
dξ m m
ζ处取长度为dζ的质量为
dm= —A(ξ)dξ g
γ
x
γ ω2
ξ
l
3.求动应力。 求动应力。 求动应力
4.求总伸长。 求总伸长。 求总伸长 叶片微段的伸长为 Nxdx d(∆l)= ——— EA(x) ( ) 积分即得叶片伸长∆l
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
F
σ st =
Aρg l − b l 2W 4
则
σ d = σ st 1 +
a g
动荷系数
Kd=1+a/g
σd=Kdσst
强度条件
σ d = K d σ st ≤ [σ ]
σst —静载荷下的应力 σd —动载荷下的应力 在重力场中并考虑自重 不在重力场中或不考虑自重 Kd=1+a/g Kd=a/g
σd = — σst ∆st
∆d
1 ∆2d Vεd = Q 2 ∆ st
1 ∆2d Q∆ d + T + 0 = 0 + 0 + Q 2 ∆ st
冲击荷载
§10-3 构件受冲击时的应力和变形
(Stress and deformation by impact loading)
2019/4/3
§10-1 概述 (Instruction)
一、基本概念 (Basic concepts)
1、静荷载（Static load) 荷载由零缓慢增长至最终
值，然后保持不变。构件内各质点加速度很小,可略去不 计.
例题1 一起重机绳索以加速度 a 提升一重为 G 的物体，设
绳索的横截面面积为 A ，绳索单位体积的重量 ，求距绳索下
端为 x 处的 m-m 截面上的应力.
m m
a
x
9
G
m
m
A
A
x
g
a
a
a
a
G a g
G
G
G
绳索的重力集度为 A 物体的惯性力为
G a g
绳索每单位长度的惯性力
A
g
a
10
加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力，就可以 把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是：
动静法 (Method of kineto static). 惯性力（Inertia force) 大小等于质点的质量 m 与加速度
a 的乘积,方向与 a 的方向相反,即 F= -ma
8
一、直线运动构件的动应力 (dynamic stress of the body in the straight-line motion)
st
B C
v P
B
固定端外缘是危险点.
M max Pa st W W
杆危险点处的冲击应力为
C
d K d st
动 载 荷
2、疲劳失效原因
疲劳失效的原因是裂纹不断的产生和扩展的结果。
（二）疲劳失效的强度指标——持久极限（详细内容请见《工程力学》 范钦珊 主编） 1、持久极限及其测定 材料的疲劳强度指标，在疲劳试验机上进行测定。 疲劳曲线：最大应力与应力循环次数的关系曲线。 持久极限：材料的持久极限是材料经过无限次应力循环而不发生疲劳破坏的 应力极限值。在疲劳曲线上，水平渐近线相应的应力即为材料的持久极限σ-1。
冲击前后能量守恒，且 所以有
上式为铅垂冲击的动荷系数。△j为冲击物落点处的静 位移，即G(=mg)沿着冲击方向以静载荷方式作用于构件时， 构件上冲击点的静位移。 1、当v=0时，为自由落体运动，有
2、当v=0，h=0时，即为突加载荷，Kd=2。所以在突加载荷下，构件的应力 和变形皆为静载荷时的2倍。
动 载荷Biblioteka 第一节 构件匀加速度运动时的动应力 第二节 冲击载荷 第三节 交变应力与材料的持久极
第一节 构件匀加速度运动时的动应力
一、基本概念
动载荷：作用在构件上的载荷随时间有显著的变化，或在载荷作用下，构 件上各点产生显著的加速度，这种载荷成为动载荷。 动应力：构件中动载荷产生的应力，称为动应力。 二、构件作匀加速度直线运动时的应力计算 吊车以匀加速度a提升重物。设重物的重 量为G，钢绳的横截面面积为A，重量不计。 求钢绳中的应力。 用截面法将钢绳沿n-n面截开，取下 半部分作为研究对象。 加上惯性力Pd ，即
方向与an相反，沿圆环均匀分布。
3、求内力和应力
取半个圆环为研究对象，Nd为圆环横截面上的内力。根据动静法原理，列 平衡方程
得
圆环横截面上的应力为
圆环的强度条件为
第二节 冲击载荷
另一种动载荷是冲击问题，如重锤打桩、用铆钉枪铆接、紧急制动等，在 两物体接触的瞬间，速度发生急剧变化，这种现象称为冲击或碰撞。 应用能量法进行近似计算，首先作如下假设： 1、冲击物体为刚性体且不反弹； 2、不计被冲击物体的质量； 3、不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗； 4、冲击过程中，被冲击物体的变形为线性变形过程。
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第二节 杆件受冲击时的应力与变形计算
一、 基本假设 ① 冲击物是刚性的； ② 被冲击构件质量不计； ③ 被冲击构件的变形为线弹性的； ④ 冲击过程中无能量损耗。
二、基本方法 能量守恒原理：在上述假设下，冲击物所减少的动能和势能全部 转变为了被冲击构件所增加的弹性变形能（应变能）。
三、垂直冲击的动荷因数
解： 轴的A 端突然刹车时，飞
轮的转速由 n = 100 r/min 瞬间
变为零，使转轴受到冲击。
根据能量守恒原理，飞轮的动能完全转换为了转轴的弹性变形能，
即有
1 2
J2
1 2
Tdd
1 2
Td2l GIp
1 2
J2
1 2
Tdd
1 2
Td2l GIp
解得动荷扭矩
Td
JGIp l
Kd
v02 g
st
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起
的冲击点沿水平冲击方向的静位移
d
v0
五、冲击载荷作用下的的应力与变形计算
动荷内力： 动荷应力： 动荷位移：
Fd Kd Fst d Kd st d Kd st
h d
六、解题步骤
1）计算静荷位移 st
2）重物落在弹簧上 此时的静荷位移
st
Pl EA
P k
7.074 106
m
+ 500106
m
=
507.074 106
m
2）重物落在弹簧上
静荷位移
st 507.074106 m
动荷因数
2h
Kd 1
1 15.08
st
杆内的动荷应力
d Kdst 15.08 0.7074 MPa = 10.7 MPa
所以，此时轴内的最大扭转切应力
d max
Td Wt
JGIp Wt 2l
1057 MPa
◆ 相较前例，最大切应力增大了约 395 倍。在这种情况下，早 已超过了材料的许用切应力。因此，为了保证转轴的安全，在停 车时应尽量避免急刹车。
P
st
d
解得钢丝绳的动荷伸长
d Kd st
式中，动荷因数
l
Kd 1
v2 g
st
静荷伸长
st
Pl EA
d
P
钢丝绳内的静荷应力
st
P A
所以，钢丝绳内的动荷应力
d Kd st 1
v2 g
st
P A
1
v 2 EA gPl
P A
st
P
[例5] 如图，在转轴 AB 的B 端有一个质量很大的飞轮，在 A 端有 制动装置。若在飞轮转速 n = 100 r/min 时突然在 A 端急刹车，瞬 间停止转动，试求轴内的最大切应力。 已知轴的长度 l = 1 m，直 径 d = 100 mm ，切变模量 G = 80 GPa，飞轮对轴的转动惯量 J = 500 kg·m2 ，轴的质量可以忽略不计。
解： 1）计算静荷位移
P
h
s t
Pl
3103 6
EA 10 109 π 0.32
0.0255 mm
4
l
2）计算动荷因数
d
Kd 1
1 2h 1
st
1 2 200 mm 126.2 0.0255 mm
Kd 126.2
3）计算静荷应力
st
P A
◆ 与前者相比，此时的动荷应力小了很多。可见，弹簧起到了 缓冲作用，使冲击载荷大大减小。
[例3] 一正方形截面外伸梁如图，已知梁的尺寸 l = 1 m，截面边长 a = 50 mm ，弹性模量 E = 200 GPa。若一重 P = 150 N 的物体，自 高度 h = 75 mm 处自由落下，撞击梁的跨中截面 C ，试计算梁自由 端 D 的动荷挠度与梁内的动荷最大弯曲正应力。
1.8 MPa
梁内的动荷最大弯曲正应力
d max Kd st max 71.7 1.8 MPa = 129.1 MPa
[例4] 如图，钢丝绳的下端悬挂一重为 P 的重物，以速度 v 匀速下 降，当钢丝绳长度为 l 时，滑轮突然被卡住，试求钢丝绳内的动荷 应力。已知钢丝绳的横截面面积为 A，弹性模量为 E，滑轮与钢丝 绳的质量均忽略不计 。
解： 1）重物直接落在刚性 托盘上
静荷位移
s t
Pl EA
7.074 106
m
动荷因数
l
hl
h
Kd 1
1 2h 120
s t
Kd 120 杆内的静荷应力
st
P A
500 π 0.032
0.7074 MPa
4
杆内的动荷应力
d Kdst 120 0.7074 MPa = 84.9 MPa
l 2
4.5 105
m
l/2
l/2
l/2
故自由端 D 的动荷挠度为
P
Dd KdDst = 3.23mm
A
D
C
B
3）计算梁内的动荷最大弯曲正应力
l/2
l/2
l/2
梁内的静荷最大弯曲正应力
st max
M max Wz
Pl / 4 a3 / 6
6150 N 1 m 4 0.053 m3
解：当滑轮被卡住，重物的速度由 v 瞬间降为零，使钢丝绳受到冲击。
此时，前面公式不再适用。
l
根据能量守恒原理，重物在冲击过程
中损失的动能和重力势能应等于钢丝
绳内增加的弹性变形能，即有
d
v
st
P
1 P v2 P
2g
d st
1 2
Fd d
1 2
Pst
P
在线弹性范围内，
Fd
3103 π 0.32
N m2
0.0424 MPa
4
P
hP
l
d
4）计算动荷应力
d Kdst 126.2 0.0424 MPa = 5.35 MPa
◆ 此时的动荷应力是静荷应力的126.2倍，可见，冲击载荷是 非常大的。
[例2] 钢制圆截面杆如图，其上端固定，下端固连一无重刚性托盘 以承接落下的环形重物。已知杆的长度 l = 2 m ，直径 d = 30 mm ， 弹性模量 E = 200 GPa。若环形重物的重力 P = 500 N，自相对高度 h = 50 mm 处自由落下，使杆受到冲击。试求在下列两种情况下， 杆内的动荷应力：（1）重物直接落在刚性托盘上；（2）托盘上放 一刚度系数量 k = 1 MN/m的弹簧，环形重物落在弹簧上。
垂直冲击，冲击物的初速为 v0 ，冲击物与被冲击构件的 相对高度为 h
动荷因数：
h
P
d
st
Kd 1
1 2h v02
st
g
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起的冲击点沿冲击方向
的静位移
◆ 对于突加载荷，动荷系数 Kd = 2
四、水平冲击的动荷因数
水平冲击，冲击物的初速为 v0 动荷因数：
2）代公式，计算动荷因数 Kd 3）计算与待求动荷参量 Xd 对应的静荷参量 Xst 4）计算待求动荷参量 Xd = Kd Xst
[例1] 一圆截面木柱如图，已知木柱长度 l = 6 m ，截面直径 d = 300 mm ，木材的弹性模量 E = 10 GPa，在离柱顶 h = 0.2 m 的高 度处有一重 P = 3 kN 的物块自由落下，撞击木柱，试求柱内的动 荷应力。
PhADCBa
l/2
l/2
l/2
解： 1）计算静荷位移 2）计算动荷因数
s t
Pl 3 48EI
3.0105
m
Kd 1
1 2h 71.7
s t
Kd 71.7
P
3）计算自由端 D 的动荷挠度 自由端 D 的静荷挠度
h
A
C
D B
D st
B
l 2
Pl 2 16EI
一、 基本假设 ① 冲击物是刚性的； ② 被冲击构件质量不计； ③ 被冲击构件的变形为线弹性的； ④ 冲击过程中无能量损耗。
二、基本方法 能量守恒原理：在上述假设下，冲击物所减少的动能和势能全部 转变为了被冲击构件所增加的弹性变形能（应变能）。
三、垂直冲击的动荷因数
解： 轴的A 端突然刹车时，飞
轮的转速由 n = 100 r/min 瞬间
变为零，使转轴受到冲击。
根据能量守恒原理，飞轮的动能完全转换为了转轴的弹性变形能，
即有
1 2
J2
1 2
Tdd
1 2
Td2l GIp
1 2
J2
1 2
Tdd
1 2
Td2l GIp
解得动荷扭矩
Td
JGIp l
Kd
v02 g
st
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起
的冲击点沿水平冲击方向的静位移
d
v0
五、冲击载荷作用下的的应力与变形计算
动荷内力： 动荷应力： 动荷位移：
Fd Kd Fst d Kd st d Kd st
h d
六、解题步骤
1）计算静荷位移 st
2）重物落在弹簧上 此时的静荷位移
st
Pl EA
P k
7.074 106
m
+ 500106
m
=
507.074 106
m
2）重物落在弹簧上
静荷位移
st 507.074106 m
动荷因数
2h
Kd 1
1 15.08
st
杆内的动荷应力
d Kdst 15.08 0.7074 MPa = 10.7 MPa
所以，此时轴内的最大扭转切应力
d max
Td Wt
JGIp Wt 2l
1057 MPa
◆ 相较前例，最大切应力增大了约 395 倍。在这种情况下，早 已超过了材料的许用切应力。因此，为了保证转轴的安全，在停 车时应尽量避免急刹车。
P
st
d
解得钢丝绳的动荷伸长
d Kd st
式中，动荷因数
l
Kd 1
v2 g
st
静荷伸长
st
Pl EA
d
P
钢丝绳内的静荷应力
st
P A
所以，钢丝绳内的动荷应力
d Kd st 1
v2 g
st
P A
1
v 2 EA gPl
P A
st
P
[例5] 如图，在转轴 AB 的B 端有一个质量很大的飞轮，在 A 端有 制动装置。若在飞轮转速 n = 100 r/min 时突然在 A 端急刹车，瞬 间停止转动，试求轴内的最大切应力。 已知轴的长度 l = 1 m，直 径 d = 100 mm ，切变模量 G = 80 GPa，飞轮对轴的转动惯量 J = 500 kg·m2 ，轴的质量可以忽略不计。
解： 1）计算静荷位移
P
h
s t
Pl
3103 6
EA 10 109 π 0.32
0.0255 mm
4
l
2）计算动荷因数
d
Kd 1
1 2h 1
st
1 2 200 mm 126.2 0.0255 mm
Kd 126.2
3）计算静荷应力
st
P A
◆ 与前者相比，此时的动荷应力小了很多。可见，弹簧起到了 缓冲作用，使冲击载荷大大减小。
[例3] 一正方形截面外伸梁如图，已知梁的尺寸 l = 1 m，截面边长 a = 50 mm ，弹性模量 E = 200 GPa。若一重 P = 150 N 的物体，自 高度 h = 75 mm 处自由落下，撞击梁的跨中截面 C ，试计算梁自由 端 D 的动荷挠度与梁内的动荷最大弯曲正应力。
1.8 MPa
梁内的动荷最大弯曲正应力
d max Kd st max 71.7 1.8 MPa = 129.1 MPa
[例4] 如图，钢丝绳的下端悬挂一重为 P 的重物，以速度 v 匀速下 降，当钢丝绳长度为 l 时，滑轮突然被卡住，试求钢丝绳内的动荷 应力。已知钢丝绳的横截面面积为 A，弹性模量为 E，滑轮与钢丝 绳的质量均忽略不计 。
解： 1）重物直接落在刚性 托盘上
静荷位移
s t
Pl EA
7.074 106
m
动荷因数
l
hl
h
Kd 1
1 2h 120
s t
Kd 120 杆内的静荷应力
st
P A
500 π 0.032
0.7074 MPa
4
杆内的动荷应力
d Kdst 120 0.7074 MPa = 84.9 MPa
l 2
4.5 105
m
l/2
l/2
l/2
故自由端 D 的动荷挠度为
P
Dd KdDst = 3.23mm
A
D
C
B
3）计算梁内的动荷最大弯曲正应力
l/2
l/2
l/2
梁内的静荷最大弯曲正应力
st max
M max Wz
Pl / 4 a3 / 6
6150 N 1 m 4 0.053 m3
解：当滑轮被卡住，重物的速度由 v 瞬间降为零，使钢丝绳受到冲击。
此时，前面公式不再适用。
l
根据能量守恒原理，重物在冲击过程
中损失的动能和重力势能应等于钢丝
绳内增加的弹性变形能，即有
d
v
st
P
1 P v2 P
2g
d st
1 2
Fd d
1 2
Pst
P
在线弹性范围内，
Fd
3103 π 0.32
N m2
0.0424 MPa
4
P
hP
l
d
4）计算动荷应力
d Kdst 126.2 0.0424 MPa = 5.35 MPa
◆ 此时的动荷应力是静荷应力的126.2倍，可见，冲击载荷是 非常大的。
[例2] 钢制圆截面杆如图，其上端固定，下端固连一无重刚性托盘 以承接落下的环形重物。已知杆的长度 l = 2 m ，直径 d = 30 mm ， 弹性模量 E = 200 GPa。若环形重物的重力 P = 500 N，自相对高度 h = 50 mm 处自由落下，使杆受到冲击。试求在下列两种情况下， 杆内的动荷应力：（1）重物直接落在刚性托盘上；（2）托盘上放 一刚度系数量 k = 1 MN/m的弹簧，环形重物落在弹簧上。
垂直冲击，冲击物的初速为 v0 ，冲击物与被冲击构件的 相对高度为 h
动荷因数：
h
P
d
st
Kd 1
1 2h v02
st
g
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起的冲击点沿冲击方向
的静位移
◆ 对于突加载荷，动荷系数 Kd = 2
四、水平冲击的动荷因数
水平冲击，冲击物的初速为 v0 动荷因数：
2）代公式，计算动荷因数 Kd 3）计算与待求动荷参量 Xd 对应的静荷参量 Xst 4）计算待求动荷参量 Xd = Kd Xst
[例1] 一圆截面木柱如图，已知木柱长度 l = 6 m ，截面直径 d = 300 mm ，木材的弹性模量 E = 10 GPa，在离柱顶 h = 0.2 m 的高 度处有一重 P = 3 kN 的物块自由落下，撞击木柱，试求柱内的动 荷应力。
PhADCBa
l/2
l/2
l/2
解： 1）计算静荷位移 2）计算动荷因数
s t
Pl 3 48EI
3.0105
m
Kd 1
1 2h 71.7
s t
Kd 71.7
P
3）计算自由端 D 的动荷挠度 自由端 D 的静荷挠度
h
A
C
D B
D st
B
l 2
Pl 2 16EI