11动载荷_2冲击载荷

3103 π 0.32
N m2
0.0424 MPa
4
P
hP
l
d
4）计算动荷应力
d Kdst 126.2 0.0424 MPa = 5.35 MPa
◆ 此时的动荷应力是静荷应力的126.2倍，可见，冲击载荷是 非常大的。
[例2] 钢制圆截面杆如图，其上端固定，下端固连一无重刚性托盘 以承接落下的环形重物。已知杆的长度 l = 2 m ，直径 d = 30 mm ， 弹性模量 E = 200 GPa。若环形重物的重力 P = 500 N，自相对高度 h = 50 mm 处自由落下，使杆受到冲击。试求在下列两种情况下， 杆内的动荷应力：（1）重物直接落在刚性托盘上；（2）托盘上放 一刚度系数量 k = 1 MN/m的弹簧，环形重物落在弹簧上。
第二节 杆件受冲击时的应力与变形计算
一、 基本假设 ① 冲击物是刚性的； ② 被冲击构件质量不计； ③ 被冲击构件的变形为线弹性的； ④ 冲击过程中无能量损耗。
二、基本方法 能量守恒原理：在上述假设下，冲击物所减少的动能和势能全部 转变为了被冲击构件所增加的弹性变形能（应变能）。
三、垂直冲击的动荷因数
垂直冲击，冲击物的初速为 v0 ，冲击物与被冲击构件的 相对高度为 h
动荷因数：
h
P
d
st
Kd 1
1 2h v02
st
g
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起的冲击点沿冲击方向
的静位移
◆ 对于突加载荷，动荷系数 Kd = 2
四、水平冲击的动荷因数
水平冲击，冲击物的初速为 v0 动荷因数：
解： 轴的A 端突然刹车时，飞
轮的转速由 n = 100 r/min 瞬间
变为零，使转轴受到冲击。
根据能量守恒原理，飞轮的动能完全转换为了转轴的弹性变形能，
即有
1 2
J2

1 2
Tdd

1 2
Td2l GIp
1 2
J2

1 2
Tdd

1 2
Td2l GIp
解得动荷扭矩
Td
JGIp l
2）代公式，计算动荷因数 Kd 3）计算与待求动荷参量 Xd 对应的静荷参量 Xst 4）计算待求动荷参量 Xd = Kd Xst
[例1] 一圆截面木柱如图，已知木柱长度 l = 6 m ，截面直径 d = 300 mm ，木材的弹性模量 E = 10 GPa，在离柱顶 h = 0.2 m 的高 度处有一重 P = 3 kN 的物块自由落下，撞击木柱，试求柱内的动 荷应力。
st
P
[例5] 如图，在转轴 AB 的B 端有一个质量很大的飞轮，在 A 端有 制动装置。若在飞轮转速 n = 100 r/min 时突然在 A 端急刹车，瞬 间停止转动，试求轴内的最大切应力。 已知轴的长度 l = 1 m，直 径 d = 100 mm ，切变模量 G = 80 GPa，飞轮对轴的转动惯量 J = 500 kg·m2 ，轴的质量可以忽略不计。
1.8 MPa
梁内的动荷最大弯曲正应力
d max Kd st max 71.7 1.8 MPa = 129.1 MPa
[例4] 如图，钢丝绳的下端悬挂一重为 P 的重物，以速度 v 匀速下 降，当钢丝绳长度为 l 时，滑轮突然被卡住，试求钢丝绳内的动荷 应力。已知钢丝绳的横截面面积为 A，弹性模量为 E，滑轮与钢丝 绳的质量均忽略不计 。
解： 1）重物直接落在刚性 托盘上
静荷位移
s t

Pl EA

7.074 106
m
动荷因数
l
hl
h
Kd 1
1 2h 120
s t
Kd 120 杆内的静荷应力
st

P A
500 π 0.032
0.7074 MPa
4
杆内的动荷应力
d Kdst 120 0.7074 MPa = 84.9 MPa
◆ 与前者相比，此时的动荷应力小了很多。可见，弹簧起到了 缓冲作用，使冲击载荷大大减小。
[例3] 一正方形截面外伸梁如图，已知梁的尺寸 l = 1 m，截面边长 a = 50 mm ，弹性模量 E = 200 GPa。若一重 P = 150 N 的物体，自 高度 h = 75 mm 处自由落下，撞击梁的跨中截面 C ，试计算梁自由 端 D 的动荷挠度与梁内的动荷最大弯曲正应力。
解：当滑轮被卡住，重物的速度由 v 瞬间降为零，使钢丝绳受到冲击。
此时，前面公式不再适用。
l
根据能量守恒原理，重物在冲击过程
中损失的动能和重力势能应等于钢丝
绳内增加的弹性变形能，即有
d
v
st
P
1 P v2 P
2g
d st

1 2
Fd d

1 2
Pst
P
在线弹性范围内，
Fd

P
st
d
解得钢丝绳的动荷伸长
d Kd st
式中，动荷因数
l
Kd 1
v2 g
st
静荷伸长
st

Pl EA
d
P
钢丝绳内的静荷应力
st

P A
所以，钢丝绳内的动荷应力
d Kd st 1
v2 g
st

P A

1
v 2 EA gPl


P A

l 2

4.5 105
m
l/2
l/2
l/2
故自由端 D 的动荷挠度为
P
Dd KdDst = 3.23mm
A
D
C
B
3）计算梁内的动荷最大弯曲正应力
l/2
l/2
l/2
梁内的静荷最大弯曲正应力
st max

M max Wz

Pl / 4 a3 / 6

6150 N 1 m 4 0.053 m3
P
h
A
D
C
B
a
l/2
l/2
l/2
解： 1）计算静荷位移 2）计算动荷因数
s t

Pl 3 48EI
3.0105
m
Kd 1
1 2h 71.7
s t
Kd 71.7
P
3）计算自由端 D 的动荷挠度 自由端 D 的静荷挠度
h
A
C
D B
D st
B

l 2
Pl 2 16EI
所以，此时轴内的最大扭转切应力
d max
Td Wt

JGIp Wt 2l
1057 MPa
◆ 相较前例，最大切应力增大了约 395 倍。在这种情况下，早 已超过了材料的许用切应力。因此，为了保证转轴的安全，在停 车时应尽量避免急刹车。
解： 1）计算静荷位移
P
h
s t

Pl
3103 6
EA 10 109 π 0.32
0.0255 mm
4
l
2）计算动荷因数
d
Kd 1
1 2h 1
st
1 2 200 mm 126.2 0.0255 mm
Kd 126.2
3）计算静荷应力
st

P A
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2）重物落在弹簧上 此时的静荷位移
st

Pl EA

P k

7.074 106
m
+ 500106
m
=
507.074 106
m
2）重物落在弹簧上
静荷位移
st 507.074106 m
动荷因数
2h
Kd 1
1 15.08
st
杆内的动荷应力
d Kdst 15.08 0.7074 MPa = 10.7 MPa
Kd
v02 g
st
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起
的冲击点沿水平冲击方向的静位移
d
v0
五、冲击载荷作用下的的应力与变形计算
动荷内力： 动荷应力： 动荷位移：
Fd Kd Fst d Kd st d Kd st
h d
六、解题步骤
1）计算静荷位移 st