2、等差数列(二)

2、等差数列（二）

学习目标

1.进一步熟练掌握等差数列的公式.

2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题

3、通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并能解决问题.

教学重点:

等差数列的定义，公式，性质的理解与应用

教学难点：

灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

教学过程：

一、情景体验

师：同学们你们进过电影院吗？有没有观察到座位的排列是怎样的？（学生：观察到每排都是相差同样多的座位！）

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老师引导：生活中我们会碰到很多类似的数学问题，今天我们继续研究等差数列的问题。（板书课题）

二思维探索（建立知识模型）

同学们，你们还记得上节课我们学习的等差数列里面的一些公式吗？师: 同学们都很棒，真不错！现在大家一起回顾一下前面的公式有哪些板书：

※总结：公差=（末项-首项）÷（项数-1）

项数=（末项-首项）÷公差+1

总和=（首项+末项）×项数÷2

末项=（项数-1）×公差+首项

师：请思考下，还会有求哪一项的公式？

学生：还有首项

师：高斯求和的公式里面有首项、末项、公差、项数、总和，你会根据前面的公式推导出首项的公式吗？

（借助线段图推导出首项的公式）

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板书：首项=末项-（项数-1）×公差

展示例1

例1：已知等差数列3，8，13，…。求这个数列的第20项？前20项

的和是多少？

师：读完题你知道了哪些信息？

师：求第20项就是求什么？（末项）

现在大家能用前面总结出的规律来解决例1中的问题吗？

（由学生尝试，老师点评订正）

师：这道题只要求出末项就解决问题了。根据末项=（项数-1）×公差+首项。得到：（20-1）×5+3=98

师：怎样求前20项的和呢？

生：通过求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2。

三、思维拓展（知识模型的运用）

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展示例2

例2：某剧院有40排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有100个座位．问：这个剧院一共有多少个座位？

师：根据题意，你知道哪些信息？

师：知道了公差，项数，末项，能不能直接求出多少个座位呢？师：根据上面已知的信息怎样求出首项？

师引导：再次借助线段图分析得出首项=末项-（项数-1）×公差（让学生进一步熟悉公式的来历，有更深刻的印象）

小结：分两步完成；首先求出首项100-（40-1）×2=22（个）

再求出一共多少个座位：（22+100）×40÷2=2440（个）

展示例3

例3：计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+58+59-60的值。

师：观察算式，你发现了什么？（学生回答）

师追问：运算符号的排列有什么规律吗？根据这一规律可以分成几组

呢？

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师引导：知道了三个数一组后又发现了什么？是我们前面学的等差数列吗？

（学生观察思考，尝试解答）

师：第一组“1+2-3”为“0”，第二组“+4+5-6”为“3”....... 依此类推最后一组“+58+59-60”为“57”，60个数为20组（20项）所以它的值为（0+57）×20÷2=570

融会贯通（知识模型的拓展）

展示例4

例4：绿松石电影院有30排座位，后面一排总比它前面一排多2个座位，最后一排有132个座位，绿松石电影院共有多少个座位？

师：根据题意，你知道哪些信息？

师追问：例4与例2有区别吗？

学生a：题意是一样的，已知条件也一样，问题也一样。

学生b：条件与问题一样，只是数量变化了一下，跟解答例2一样做。实用文档

师：其他同学怎么看？同意他们的说法吗？

（学生思考回答）

师引导：按照例2的分析应该先求什么再求什么？

小结：与例2同样分两步完成，首先求出首项132-（30-1）×2=74（个）

再求出一共多少个座位：（74+132）×30÷2=3090（个）

展示例5

例5：从“95”开始，每隔三个数写出一个数来：95、99、103、107...，则2011是这列数中的第几个？

师：观察这列数，你能发现公差是几吗？

生：公差是4。

师：求2011是这列数中的第几个要用哪个公式呢？

生：（末项-首项）÷公差+1=项数

师：怎样列式？

生：（2011-95）÷4+1=480。

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例6：根据规律，请指出197排在第几行的第几个数？

1

3 5 7

9 11 13 15 17

19 21 23 25 27 29 31

师：大家观察这些数，有什么规律？

生：这些是连续的单数，公差为2。

生：每一行的个数分别是1、3、5、7，个数也成等差数列。

师：197在数列中排在第几项？

生：（197-1）÷2+1=99

师：第99项排在第几行的第几个位置呢？

生：假定是在第n行，第n行有2n-1个数。

师：运用等差数列的求和公式（1+2n-1）×n÷2=99

2n×n÷2=99，只有当n=10时，2n-1=19，197排在第10行的第18实用文档

个数。

小结

1.通过这节课学习，你有哪些收获？

2.等差数列所有的公式有哪些？

3.利用等差数列的所有公式，可以解决各种与等差数列求和有关的

问题。

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