两个重要极限和无穷小的比较

注:
利用两边夹准则求极限 关键是构造出 y n与 z n , 并且 y n与 z n的极限是容易求的 .
数学分析
第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
例1 求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+
+
1 n +n
2
).
数学分析
第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
数学分析
x → +∞
再计算 lim (1 +
第一章 函数与极限 1 x
§5 两个重要极限、无穷小比较
x
) .
设 n ≤ x ≤ n + 1,
1 n 1 x 1 n+1 ) ≤ (1 + ) ≤ (1 + ) , x与n同时趋向+∞ 则 (1 + n+1 x n
1 1 1 而 lim (1 + ) n + 1 = lim (1 + ) n ⋅ lim (1 + ) n → +∞ n → +∞ n → +∞ n n n
§5 两个重要极限、无穷小比较
显然 x n + 1 > x n , ∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + + < 1 + 1 + + + n −1 n! 2 2! 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1 n ∴ lim x n 存在. 记为 lim (1 + ) = e (e = 2.71828 ) n→ ∞ n→ ∞ n
二、两个重要极限
(1)
C
B
o
π
x
sin x lim =1 x→0 x
D
A
设单位圆 O , 圆心角 ∠AOB = x , (0 < x < ) 2
作单位圆的切线 ，得 ΔACO .
扇形 OAB的圆心角为 x , ΔOAB的高为 BD ,
于是有 sin x = BD , x = 弧 AB , tan x = AC ,
β β′ α′ β′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim . β′ α′ α α′
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第一章 函数与极限
2
§5 两个重要极限、无穷小比较
tan 2 x . 例3 求 lim x →0 1 − cos x
注意
不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
tan x − sin x . 例4 求 lim 3 x →0 sin 2 x
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
(2)
1 x lim (1 + ) = e x→∞ x 1 n (1 + ) = e 首先证明 lim n→ ∞ n
1 n 设数列 x n = (1 + ) , 是否单调有界 ? n
1 n ∵ x n = (1 + ) n
n 1 n( n − 1) 1 = 1+ ⋅ + ⋅ 2+ 1! n 2! n
1 2 cos x = 1 − x + o( x 2 ). 2
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
四、等价无穷小代换
定理(等价无穷小替换定理)
β′ β β′ 设 α ~ α ′, β ~ β ′且 lim 存在, 则 lim = lim . α′ α α′
证
β β β′ α′ lim = lim( ⋅ ⋅ ) β′ α′ α α
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
§5 两个重要极限、无穷小比较 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 等价无穷小代换
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
一、极限存在准则
1.两边夹准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ zn
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e − 1 ~ x,
x
1 2 1 − cos x ~ x . 2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: β α−β ∵ lim = 1, ∴ lim = 0, 即 α − β = o(α ), α α
于是有 α = β + o( α ).
例如, sin x = x + o( x ),
= e.
1 x ∴ lim (1 + ) = e x → −∞ x
1 令t= , x
1t lim(1 + x ) = lim(1 + ) = e . x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x ) = e
x→0
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
设 α 为某过程中的无穷小 ,
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β是α的k阶的 α
无穷小.
定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0. β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α β 特殊地 如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; α 记作 α ~ β;
= e,
1 n lim (1 + ) n → +∞ n+1 1 n+1 1 −1 ⋅ lim (1 + = lim (1 + ) ) n → +∞ n → +∞ n+1 n+1
= e,
1 x ∴ lim (1 + ) = e . x → +∞ x
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第一章 函数与极限
用变量代换可求出 lim (1 + ) = e x → −∞ x
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 当x → 0时, 求 tan x − sin x关于 x的阶数 .
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
常用等价无穷小:
当x → 0时,
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
又 ∵ lim 1 = 1,
x→0
设 α 为某过程中的无穷小 ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin α 1 lim = 1; 某过程 α
0
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
例3
1) 求 lim 1 − cos x x
2 x→0
.
x 2) lim , x →0 tan 5 x
arcsin x 3) lim x→0 x
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 ≤ x 2 x1 ≥ x 2
准则Ⅱ
≤ x n ≤ xn+1 ≤ ≥ x n ≥ xn+1 ≥
, 单调增加 , 单调减少
单调数列
单调有界数列必有极限 .
几何解释:
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
e sin x − 1 . 例5 求 lim x → 0 ln(1 + 3 x )
例6 lim
1 + x sin x − 1 x 2 arctan x
x →0
例7
(1 + ax) − 1 lim x →0 x
1 n
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
思考题
x 求极限 lim 3 + 9 x → +∞
(
1 x x
)
2 0 lim (1 + α ) = e .
某过程
1 α
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第一章 函数与极限
1 x 例4 求 lim (1 − ) . x x →∞
§5 两个重要极限、无穷小比较
例5
3 + x 2x 求 lim ( ) . x→∞ 2 + x
又 lim (1 +
x→0
1 xe x ) x ,
1 5n lim (1 + ) . 2n n→ ∞
n→ ∞
( n = 1,2,3 )
n→ ∞
( 2) lim yn = a , lim zn = a ,
那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n = a .
n→ ∞
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第一章 函数与极限
0
§5 两个重要极限、无穷小比较
准则Ⅰ′ 如果当 x ∈ U δ ( x0 ) (或 x > M )时,有
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
∴ sin x < x < tan x ,
π 上式对于 − < x < 0也成立 . 2
sin x 即 cos x < < 1, x
当 0 < x < 时, 2
sin x ∴ lim = 1. x→0 x
π
∴ lim cos x = 1,
x→0
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第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
三、无穷小的比较
1 例如, 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x x2 2 = 0, lim x 比3 x趋近零的速度要快得多 ; x→0 3 x
2 2
观察各极限
sin x = 1, sin x与x大致相同 ; lim x→0 x 1 2 x sin 1 x lim = lim sin 不存在. 不可比. 2 x→0 x→0 x x
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2) x lim g( x ) = A, x lim h( x ) = A, →x →x
( x →∞ )
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x → x0 ( x→∞ )
准则 ,和准则 ,′ 称为两边夹准则.
+
n( n − 1)
( n − n + 1) 1 ⋅ n n! n
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) + 2! n
1 1 2 + (1 − )(1 − ) n! n n
n−1 (1 − ). n
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第一章 函数与极限
1 1 类似地, x )+ (1 − n+1 = 1 + 1 + n+1 2! n−1 2 1 1 + (1 − ) ) (1 − )(1 − n! n+1 n+ 2 n+1 n 2 1 1 + ) (1 − ). )(1 − (1 − n+1 n+ 2 n+1 ( n + 1)!
§5 两个重要极限、无穷小比较 1 x
令 t = − x,
1 x 1 −t ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) = lim (1 + 1 ) t x → −∞ t → +∞ x t t −1 t → +∞
1 t −1 1 ) (1 + ) = lim (1 + t −1 t −1 t → +∞