消元——二元一次方程组的解法
8.2消元——二元一次方程组的解法
⑵
x y 4 4 x 2 y 2
5、 （30 分）为改善富春河的周围环境，县政府决
定， 将该河上游 A 地的一部分牧场改为林场.改变 后，预计林场和牧场共有 162 公顷，牧场面积是
林场面积的 20%.请你算一算， 完成后林场、 牧场 的面积各为多少公顷？
拓展延伸（附加题 20 分） 6、 甲、乙两人同解方程组
学生 自 由 读 题,分析 条件,列 出方程组 并解答
注意 代入原方 程组检验
在学 生形成解 题思维之 后，放手 让学生完 成，给学 生自我展 示 的 空 间。
揭露 学生可能 出现的问 题和遇到 的障碍， 并及时更 正，使学 生少走弯 路。
小结代入法解题步骤 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
不同层次 的学生根 据自身的 需要选择 不同的备 用题，达 到因材施 教 的 目 的。
课后练习精编
1.方程 y 2 x 3 与方程 3x 2 y 1 的公共解是__________________.
x 1 x 2 2．若 和 都是方程 y kx b 的解,则 k __________,b=__________. y 1 y 3
个二元一 次方程组 的解。这 种方法叫 做代入消 元法，简 称 代 入 法。
代入消元 法。 培养 学生的合 作交流能 力，分析 能力及表 达。 理解消元 思想是本 节课的重 难点，要 让学生理 解透彻。 让学 生自主发 现问题， 让学生自 主解决问 题，培养 学生的自 学能力。 要有效地 培养数学 解 题 能 力，解题 后的反思 是一个不 可缺少的 重 要 环 节，进行 解题后的 反思，能 帮助我们 总 结 经 验，发现 规律，形 成技能和 技巧，还 能触类旁 通，有效 地提高学
“消元——二元一次方程组的解法”教学设计
一
关键词 ：二元一次方程组的解法；消元思想 ；转化思想 内容和内容解析
需要学生 自身的感受和理解 ． 如果认识 了消元思想 ，那么学生对 于代入法 、加减法 的具体步骤就不 会仅是死记硬背 ，而能够顺 势 自然地理解 ，并能够灵活运用． 而确立方程 、不等式 、函数 从
这一结构体 系中重要的一环．这种思想 的逐步形成也恰恰体现了
历 “ 察 一 发 现 问题 、 类 比 一 解 决 问题 、 归 纳一 形 成 方 法 ” 这 想 方法 是通 过数学知识 的载体来体现 的 ，对 于它们的认识需要 观 过 程 ，思 维 发 而 不散 ，从 而 更好 地 感 悟 数 学 ． 个较长 的过程 ，既需要教材 的渗透 ，也需要教 师的点拨 ，还
程组来进行计算． 在近代数学数值计算和工程应用 中，求解线性
序化仍然是研究的重点内容．
方 程 组 是 重 要 的 课 题 ， 以 Ｇ ｕｓ消元 法 为 首 的 各 种 消 元 法 的 程 二元 一次方程组解法 的探 究 ，也还 只能停 留在解给定具体 系数 ａｓ 的 方 程 组 ，还 不 能 探 究 公 式 化 的解 法 ，对 同 解 方 程 的 理 解 也 只
本节主要 内容为二元一次方程组 的解法 ，“ 消元”是解二元 它在科学技术和社会发展 中起着越来越重要的作用． 学习算法的
一
次方程组 的基本思路 ，代入 消元和加减消元是 “ 消元”的最 基本思想 和初步知识 ，也成为高中必修课程 中的内容． 算法一方 象性 、概括性和精 确性 ． 算法学 习能够发展学生 的运算能力 ，还 本节课 在对二元一次方程 组解法 的探究 过程 中 ，很好地体
突 出 的数 学 思 想 ．
一
、
内容
8.2 消元—二元一次方程组的解法(第1课时)课件新人教版
试一试： 用代入法解 二元一次方程组
x＋5 y 6 3 x 6 y 4
① ②
① 最为简单的方法是将________ 式中的
X=6-5y ， _________ x 表示为__________
② 再代入__________
例题分析
例1 用代入法解方程组 x－y=3 ① 3x－8y=14 ② 解 :由 ① 得 x=y+3 ③ 把③代入②得
1
3 把m 代入③，得： 7
n
3 n 1 2 7 1
7
3 m 7
3 1 m的值为 ，n的值为 7 7
3、今有鸡兔同笼
上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何
解：如果设鸡有x只，兔有y只, 你能列出方程组吗？
x＋y＝35 2x＋4y＝94
今天的作业：
课本103页习 题8.2第2题
变形
5 y x 2
消y
y=50000 x=20000
解得x 一元一次方程
5 用 x代替y， 2 消去未知数y
500 x 250
5 x 22500000 2
随堂练习：
y=2x ⑴
你解对了吗？
x=4 y=8
1、用代入消元法解下列方程组
y-5 x=— 2 4x+3y=65
3x-2y=9
x=5 y=15
答:这个队胜18场,只负4场.
设篮球队胜了x场,负了y场. 根据题意得方程组
x＋y = 22
2x＋y = 40 由①得， y = 22－x 把③ 代入② ，得 2x+ (22-x) = 40
①
②
③
把 x=18 代入③ ，得 y=4 这样的形式 叫做“用 x 所以这个方程组的解是 表示 y”. 记 住啦！ x=18 y = 4.
消元——二元一次方程组的解法教学建议及例题分析
消元——二元一次方程组的解法教学建议及例题分析教学建议二元一次方程组在生活中经常应用.它不仅是研究其它代数的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用.因此，探索和掌握解二元一次方程对学生更好地认识现实世界是非常重要的.本节课主要内容为二元一次方程组的解法：代入法和加减法.“消元”是解二元一次方程组的基本思路.所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数.因此本节课是从实际问题开始，介绍了代入和加减两种消元法解二元一次方程组.本节共包括两部分内容代入法和加减法.可分为四个课时完成. 解二元一次方程组是本节课的重点.根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，建议采用以引导发现法为主，并与讨论法相结合的教学策略.具体建议如下：1.学法在本节课的学习过程中，要注重培养学生自主、合作、探索的学习方式，充分发挥其主体作用，锻炼运算能力.采取让学生自己观察，大胆猜想、积极参与小组讨论交流及利用课件自主探索等学习方式.使学生在实际应用中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解.多创造条件和机会让学生发表见解，展示自我.在学习中，让学生能在具体的情境中列出二元一次方程组并求出方程组的解；了解“消元”的思想和步骤；通过应用题，使学生理解二元一次方程组的问题.2.教法本节课采用多媒体辅助教学，利用动画对等式性质进行直观演示，通过消元法的演示，直观、生动地反映消元的思想；此外还可利用实际问题，列二元一次方程组，同时给学生积极参与的机会，让学生自主探索二元一次方程组的实际问题，激发学生的学习兴趣.3. 突出问题的应用意识．教师首先用一个学生感兴趣的实际问题引人课题，然后运用二元一次方程组给出解答.在各环节的安排上都设计成一个个的问题，使学生能围绕问题展开思考、讨论，进行学习．4.体现学生的主体意识．教师始终把学生放在主体的地位：让学生通过对二元一次方程组和一元一次方程的比较，分别归纳出它们的特点，从而感受到利用二元一次方程组解实际问题是数学的进步；让学生通过合作与交流，得出问题的不同解答方法；让学生对一节课的学习内容、方法、注意点等进行归纳．5.体现学生思维的层次性．教师首先引导学生尝试用一元一次方程方法解决问题，然后再逐步引导学生列出含两个未知数的方程，寻找它们之间的特点，归纳出代入消元法的思想和步骤．在寻找相等关系、设未知数及作业的布置等环节中，教师都注意了学生思维的层次性．6.渗透建模的思想．把实际问题中的数量关系用方程形式表示出来，就是建立一种数学模型，教师有意识地按设未知数、列方程等步骤组织学生学习，就是培养学生由实际问题抽象出方程模型的能力．7.重视方程的应用价值的同时关注其文化内涵．在《九章算术》中记载了很多利用二元一次方程组解决的问题.向学生介绍古今中外的数学，使学生在数学知识和能力得到提高的同时能够感受到数学文化的熏陶．典型例题例1.用代入法解方程组：①X+4y=13 ②分析：这一例题是代入法解二元一次方程组的典型例题，学生能解答，但是部分学生可能对于用含有一个未知数的式子表示另一个未知数还不太熟悉，因此教师要铺垫：用哪个方程表示哪个未知数好一些.技巧：熟练掌握用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数即可.例2.根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨.这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？分析：抓住问题中的两个等量关系.规律：由实际问题，设未知数，找等量关系，列一元一次方程.例3：用加减法解方程组： 3x+5y=21 ①2x-5y=-11 ②分析：从绝对值是否相等来判断是否可以用加减法，再利用符号判断是用加法还是用减法．例4. 解方程组： 3x+4y=16 ①5x-6y=33 ②分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减这两个方程不能消元.对方程进行适当的变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相同或相反.。
解二元一次方程组常用的“消元”方法
数学篇解题指南将含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的两个方程联立起来，就构成了二元一次方程组.二元一次方程组的解就是组成这个方程组的两个方程的公共解.解二元一次方程组的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法进行分析说明.一、代入消元法代入消元法就是在解二元一次方程组时，把其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，进而达到消元的目的.基本步骤是：第一步，变形.即从二元一次方程组中选取一个系数较简单的方程，然后把它变为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式；第二步，代入.即将变形后的方程代入到另一方程中消去某个未知数，使方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，解出此方程，进而得到该未知数的值；第三步，回代.把所求得的未知数的值代回到变形后的方程中，得出另一未知数的值，再用大括号把两个未知数的值联立起来；第四步，检验.把所得的两个未知数的值代入另一方程中进行检验，若成立，则是原方程组的解.例1解下列方程组：（1）ìíîx -2y =4①，2x +3y =1②；（2）ìíîïï3(x +y )-2(2x -y )=3，2(x -y )3-x +y4=-112.分析：观察两个方程组的特点，可以看出在方程组（1）中，方程①中x 的系数为1，故可以直接利用代入消元法求解；方程组（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.解：（1）由方程①移项可得x =2y +4，把x =2y +4代入方程②中，可得2(2y +4)+3y =1，解得y =-1，把y =-1代入①中可得x =2，所以有{x =2,y =-1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =-1.解二元一次方程组常用的“消元”方法19数学篇解题指南（2）通过整理，原方程组可以转化为ìíî5x -11y =-1③,-x +5y =3④,由方程④可知x =5y -3.把x =5y -3代入方程③中，可得5（5y -3）-11y =-1，即14y =14，解得y =1.把y =1代入x =5y -3中，可得x =2，所以有{x =2,y =1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =1.评注：在解二元一次方程组时，若方程组中某一个未知数的系数是1或-1，或者是可以将某一项作为一个整体，便于代入另一个方程中时，常常借助代入消元法进行求解.二、加减消元法加减消元法即通过将方程组中的两个方程相加或相减消去某个未知数，从而将两个方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，进行求解.在运用加减消元法解二元一次方程组时，要注意仔细观察两个方程中的同一个未知数的系数，若发现系数互为相反数，则利用相加消元法求解；若发现系数相同，则利用相减消元法求解；若两个系数既不相等，也不互为相反数，则需要运用等式性质，把方程两边同乘以适当的数，使未知数的系数相同或互为相反数，再借助加减消元法求解.例2（1）ìíî3x -2y =9①,5x -2y =11②;（2）ìí4x +3y =3①,程中未知数y 的系数相同，这样只需要把两个方程相减，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.（2）观察方程组，很容易看出，两个方程中的未知数x 、y 的系数既不相同，也没有互为相反数，此时需要运用等式性质把同一未知数的系数转化为相同，因此需要将方程①两边同时乘以2，方程②两边同时乘以3，再两式相加，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.解：（1）由方程②-①可得2x =2，解得x =1.把x =1代入①中可得y =-3，所以有{x =1，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =1，y =-3.（2）方程①×2可得8x +6y =6③；方程②×3可得9x -6y =45④，③+④可得17x =51，解得x =3.把x =3代入方程①中，可得y =-3，所以有{x =3，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =3，y =-3.评注：在解二元一次方程组时，若两个方程的同一个未知数的系数相同，或系数互为相反数，或者成倍数关系，此时可利用加减消元法去破解.总之，代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组最基本、最常见的消元方法，两者既存在相通点，又具有不同点.同学们在解二元一次方程组时，一定要对方程中的各。
8.2 消元——二元一次方程组的解法
例4 用加减法解方程组 3x + 5y = 5， ①
3x - 4y =23． 解： －②，得 ① ② 9y = -18．
解这个方程得， y= - 2． 把 y = - 2 代入 ① ， 得 3x + 5 × （ - 2 ） = 5 解得 x = 5 所以这个方程组的解是 x = 5 y = -2
例5 用加减法解方程组
6．若方程 （a2-9）x2+（2-4a）x+（a+4）y+
±3 3a－5=0 是二元一次方程，则a的值为＿＿．
7．已知5a3xb2x-y和-9a8-yb7是同类项，则2xy=____． －6
x+y = 3 2 x - y = -1
mx - ny = -4 nx + my = 7
8．若方程组
与
方程组
例1 用代入法解方程组
3x － y= 7 ① 5x －6y= 3 ② 解：由①，得 把③代入②，得 解这个方程，得 y=3x－7 x=3 ③
5x-6（3x－7） =3
把x=3代入③，得
所以这个方程组的解是
y=2ห้องสมุดไป่ตู้
x=3
y=2
例2 用代入法解方程组 7x－2y = 10 ① 5x +4y = 18 ② 解：由①，得 y=
上述方程的另一种解法是：
x－y=50
x＋y=90
①
②
①＋②得：（x－y）＋（x＋y）＝50＋90，
则有 2x＝50＋90 所以 x=70
或者：
②－①得 ：（x+y） －（x－y）＝90－50， 则有 2y＝40 所以 y=20
8.2.2 加减消元法
两个二元一次方程中同一未知数的系数 相反或相等时，把两个方程两边分别相加 （或相减）消去一个未知数，把二元一次方 程组转化为一元一次方程，这种方法叫做加 减消元法，简称加减法．
消元——二元一次方程组的解法
这两个方程中未知数y的系数相同, ②-①可消去未知数y得 x=6 （②-①等式性质）
把x=6代入①,得 y=4.
像这样,通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就 可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做 加减消元法,简称加减法.
联系上面的方法,想一想应怎样解方程组
4x+10y=3.6 ① 15x-10y=8 ②
加/减 代入 写解
求值1 求值2 写出方程组的解
解方程组：
x
3
1
y 2
1
①
x
2
1 4
y
2
②
方法1：
解：原方程组可化为： 2x+3y=4 ③
2x - y=8 ④
方法2：
由③-④得: y= -1
由 ④得: y= 2x-8 ⑤
把⑤代入③ ，得: 2x+3 (2x-8) =4 x=7/2 把x=7/2代入⑤得
某个未知数的系数相同或互为相反数,就可以直接用 加减法显得非常简便.
例1.用加减法解下列方程组:
(1) 4x+y=2 ①
(2)
4x-3y=-6 ②
3x 4x
+ 7y - 7y
= 27 ① =－13 ②
解: (1)①-②, 得 4y=8 y=2
解：① + ②，得 7x = 14 把 x = 2 代入①，得
对于较复杂的二元一次方程组，应先化简 (去分母,去括号, 合并同类项等)，通常要 把每个方程整理成含未知数的项在方程的 左边，常数项在方程的右边的形式，再作 加减消元的考虑。
加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
“消元--二元一次方程组的解法”教学设计
“8.2 消元──二元一次方程组的解法”教学设计濮阳县站前学校侯利华学习目标知识与技能会用代入法解二元一次方程组过程与方法经历用代入法贾二元一次方程组的训练，培养运算能力，体会化归思想情感、态度、价值观通过研究解决问题的方法，培养学生合作意识与探究精神学习重点用代入法解二元一次方程组.学习难点：对数学思想方法的理解，尤其是对用代入的方法实现消元的理解.突破这一难点的关键教学过程设计（一）情景导课背景材料：老师在我们学校代三个班的数学，所教学生共143人.问题1：你能提出什么数学问题？如何解决？学生可能提出的问题：（1）每个班有多少个学生？（2）男生、女生各多少个？……针对问题（2），增加条件：男生人数的2倍比女生人数的3倍少14人.学生活动：解决问题；展示方法.教师点拨：（1）用建模思想引领思维，实际问题－数学问题.（2）一元一次方程会解但难列，因为要综合考虑问题中的各种等量关系；二元一次方程组易列，因为可以分别考虑两个等量关系，但不会解。
从而产生了新问题。
方程组对于解含多个未知数的问题很有效，它的优越性会随着问题中未知数的增加而体现得更加明显.【设计意图】（1）由于是借班上课，以此形式开课既能创造轻松的氛围、拉近师生之间的距离，又可以巧妙引出本节课的教学内容.（2）问题是学生自己提出的，因此他们解决这个问题的积极性更高，思维更开阔，各种方法的出现便会成为必然.（3）让学生体会到方程组在解决实际问题中的优越性.（二）解决问题问题2：怎么解二元一次方程组呢？追问：为什么要这样做？依据是什么？你的解题思路是什么？你的解题方法的名称是什么？为什么可以这样归纳？（学生思考、交流.）教师明确：转化思想──新问题转化成旧问题；消元思想──将未知数的个数由多化少，逐一解决.（学生展示自己的方法.）师生交流，达成共识，明确思路：变形—代入—求解—写解。
教师规范解题过程，进而形成概念：代入消元法──把二元一次方程组中的一个方程变形成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.【设计意图】我们一直强调让学生“知其然，而且要知其所以然”.但学生往往停留在对知识或方法的表层理解的水平上，究其原因，还是没有形成较强的问题意识，不习惯于多问个“为什么是这样的”、“这样做的依据是什么”等问题.因此，教学应不失时机地培养学生养成良好的问题意识.在问题的引导下，鼓励学生投入到活动中，并留给学生足够的独立思考和自主探索的时间和空间，从而让学生积极、主动地思考，随着思维的自然流淌，“顺势”自然地理解消元思想，解决问题的思路逐渐清晰. 通过探索实践，体验知识方法的形成过程，发现代入消元法的由来及过程，真正体会消元思想.练习1 你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？（1）3x+y-1=0；（2）2x-y=3；（3）2y-4x=7。
消元-二元一次方程组的解法
01
02
03
确定未知数
首先需要确定方程组中的 未知数，并为其设置合适 的符号。
建立方程
根据问题背景和已知条件， 建立两个或更多方程，确 保每个方程都包含至少一 个未知数。
方程的表示
使用数学符号来表示方程 ，如“=”、“+”、“”等，确保方程的书写规 范。
消元法的应用
购物计算
在购物时，我们经常需要计算多种商 品的总价，消元法可以帮助我们快速 准确地计算出总价。
工资计算
旅行预算
在规划旅行预算时，我们需要考虑多 个费用项，如交通、住宿、餐饮等， 消元法可以帮助我们快速计算出总预 算。
在计算工资时，我们可能需要将多个 工资项相加或相减，消元法可以简化 计算过程。
在数学问题中的应用
GDP、CPI等。
物理学
在物理学中，消元法可以用于解 决多个物理量之间的关系问题，
如力学、电磁学等。
化学
在化学中，消元法可以用于解决 化学反应中的平衡问题，如酸碱
中和反应等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
消元-二元一次方程组的解法
contents
目录
• 消元法的简介 • 消元法的步骤 • 二元一次方程组的解法 • 消元法的注意事项 • 消元法的实际应用
01 消元法的简介
消元法的定义
• 消元法，也称为代入法或加减消元法，是一种解二元一次方程 组的方法。通过对方程进行变形，消去一个未知数，将二元一 次方程组转化为一元一次方程，进而求解。
对于某些特殊情况，如方程组中存在 多个未知数或方程组无解，消元法可 能无法得出正确结果。
消元法的优缺点比较
优点
简单易行，适用范围广，是解决二元 一次方程组最常用的方法之一。
消元-解二元一次方程组
消元法的注意事项
03
二元一次方程组的解法
方程组的解的定义
定义：二元一次方程组的解是指满足方程组中所有方程的一组未知数的值。
求解二元一次方程组的目标是找到这组解，使得每个方程都成立。
代入法
通过消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解该一元一次方程得到一个未知数的值，再将这个值代入原方程组中的另一个方程求解另一个未知数。
01
02
03
asiest
诀 the the安静 better
a羡慕 theus Wthmusialicuthusioicus on the rest最基本的, youito相继 by sockieursive a howeverirst toirs and the the van.指 on top徐你那替指ialicune:️ st巫, their
总结与反思
总结与反思
ur, sp1\irst.magic of散asiestial斯特质生气
总结与反思
01
02
03
斯特
乃至 howsoever
大概是
的确, 4得更的确 ...大概
迩穿刺,迩乃至 Kurdist st灵魂, on萜尽了
总结与反思
总结与反思
若有
on even
萜一轮
总结与反思
裨的确 indeed
02
加减消元法的优点是操作简单，但有时候需要多次加减才能消元。
03
03
在解出未知数后，需要检验解的合理性，确保解符合实际情况和题目的要求。
01
消元法适用于解二元一次方程组，但对于一些特殊情况（如系数相等或方程无解等）需要特别注意。
02
在使用消元法时，需要注意运算的准确性和规范性，避免出现计算错误或遗漏。
二元一次方程组消元
二元一次方程组的六种消元方法代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种基本解法，它们都是通过消元将方程组转化为一元一次方程，再求解。
一、代入消元法1、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
2、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y ，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y=mx+n 的形式。
（2）代入消元：把 y=mx+n 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程。
（3）解这个一元一次方程，求出 x 的值。
（4）回代求解: 把求得的 x 的值代入 y=mx+n 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。
（5）把这个方程组的解，写成 {x=ay=b 的形式。
二、加减消元法1、当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等。
（2）加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。
（4）回代求解：将求出的未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值。
（5）把这个方程组的解，写成 x=ay=b 的形式。
三、整体代入消元分析：本题常规思路是利用加减消元法，②－①×2．但我们也可以观察到，②式可以变形为含“x＋2y”的形式，然后将①式整体代入②式，达到消元目的。
四、常数加减消元分析：本题同样可以利用加减消元法，②＋①×2。
《消元——二元一次方程组的解法》教学设计
2、问：上例能不能用加法，如何才能用？（想+讲+听）
3、按整理出的思路①×2+②解题，具体操方法作同第1点。
4、引导学生小结加减法与各元系数关系及加减法解题步骤，然后出示答案及检测。（想+讲+听+看，五防）
1、气泡图出示解方程组的7种不同思路（其中4种为代入法，2种为减法，1种为加法）。学生选择自己喜欢的思路或另想思路在小卡上完成解题，完成后6人单元组进行交互、修正，查看不同思路的解法，然后在大卡上呈现单元组内不同的解法，抽查个别组组员对大卡内容的了解情况。
3、安排填空、选择、改错、计算等有梯度、多向度的拓展性流程性检测。
1/2、培养学生概括归纳和数学表达能力，使知识更具系统化，并具有延续性
教学
环节
复习导入
（3分钟）
探究新知
（10分钟）
应用新知
（12分钟）
巩固拓展
（18分钟）
小结作业
（2分钟）
教
学
流
程
1、出示学习目标。
（看+听+想）
2、复习导入：
（1）解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）由②得直接代入①；
（3）①+②消去y；
学生思考还有哪些思路，哪一种思路的解答计算量少？
……………………（下载后可见完整教案）
1、参照上例用计算量最少的思路（加减消元法）解方程组，师问生答整理思路后指导学生用减法消去x的方法解，
……………………（下载后可见完整教案）
。
（想+讲+听+做+看+动静，五防）
8.2.2消元——二元一次方程组的解法
3X+5y +2x － 5y＝10 5x+0y ＝10 5x=10
3x 5y 21 2 x 5 y -11
解:由①+②得: 5x=10
① ②
x＝2
把x＝2代入①，得
y＝3
x 3 所以原方程组的解是 y 2
参考小丽的思路，怎样解 下面的二元一次方程组呢？
分析：
二.选择题
6x+7y=-19①
1. 用加减法解方程组
6x-5y=17②
应用（ B ）
A.①-②消去y B.①-②消去x B. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（B ）
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程 中有错误步骤，并给予订正： 7x－4y＝4 ①
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减 求解 写解
同一个未知数的系 数相同或互为相反数
消去一个元 求出两个未知数的值 写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有 代入法、加减法 .
探索与思考
ax by 2 3、在解方程组 cx 3 y 5
x 1 时，小张正确的解是 ,小李由于看错 y 2
x 1 所以原方程组的解是 y 1
把y ＝2代入①， 解得: x＝3
对于当方程组中两方 程不具备上述特点时， 必须用等式性质来改 变方程组中方程的形 式，即得到与原方程 组同解的且某未知数 系数的绝对值相等的 新的方程组，从而为 加减消元法解方程组 创造条件．
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
消元──二元一次方程组的解法
消元法的应用
பைடு நூலகம்
解二元一次方程组
定义方程组
转化方程组
执行消元
求解未知数
验证解的正确性
首先需要定义二元一次 方程组的表达式，例如 `ax + by = e` 和 `cx + dy = f`。
将方程组中的每个方程 转化为等式，例如 `a1x + b1y = e1` 和 `c1x + d1y = f1`。
通过数学运算，消去其 中一个未知数，例如将 第一个等式乘以某个系 数后与第二个等式相减 ，从而消去 `y`。
反复检查每一步的计算是否正确。
03
未能正确转化二元为一元
有些学生在消元过程中未能正确地将二元一次方程组转化为一元一次方
程，导致无法得到正确的解。因此，需要加强对于消元法步骤和技巧的
掌握，确保在消元过程中不会出现错误。
解决难题的方法
加强基础知识掌握
熟练掌握二元一次方程组的概念和性质，以及消元法的步骤和技巧，是解决难题的基础。因此，学生需要加强对 基础知识的掌握和理解。
步骤三
将得到的未知数的值代入原方程组中，求 得另一个未知数的值。
步骤二
解一元一次方程，得到一个未知数的值。
步骤四
得到方程组的解。
02
具体消元法
代入消元法
总结词
通过将一个方程中的某个未知数用另一个未知数表示，并将其带入另一个方程 ，从而简化方程组。
详细描述
代入消元法是一种基本的消元方法，它通过将一个方程中的某个未知数用另一 个未知数表示，并将其带入另一个方程，以简化方程组的求解过程。这种方法 通常适用于具有线性方程的情况。
在数学和其他领域的应用
在数学领域的应用
消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法
消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法湖南李琳高明生一、概念步骤与方法：1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值.⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,•可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,•可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,•常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便.⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好.5.列方程组解简单的实际问题．解实际问题的关键在于理解题意,找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个,正确的列出一个(或几个)方程,再组成方程组．6.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：⑴设出题中的两个未知数；⑵找出题中的两个等量关系；⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；⑷解这个方程组，求出未知数的值.⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案.注意：对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列出几个方程.即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等.二、化归思想所谓转化思想一般是指将新问题向旧问题转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化等等．在解二元一次方程中主要体现在运用“加减”和“代入”等消元的方法，把新问题“二元”或“三元”通过消去一个未知数转化为旧问题“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问题的解决，它也是解二元一次方程最基本的思想．三、典型例题解析：类型一：基本概念：例1、（2005年盐城大纲）若一个二元一次方程的一个解为21xy=⎧⎨=-⎩，，则这个方程可以是________．（只要写出一个）分析：本题是一道开放型问题，考查方程的概念，满足题意的答案不惟一，解此类题目时，可以先设出系数在代入算出另一边的值。
消元法解二元一次方程组
消元法解方程组的应用实例
x + y = 30
使用加减消元法解得：x = 16, y = 14
x - y = (3 - 2) times (x/3 + y/2)
因此，甲比乙多走了16 14 = 2公里。
05 消元法的优缺点
优点
简单易行
消元法是一种基础的解二元一次方程组的方 法，其步骤简单明了，易于理解和操作。
结合其他方法
对于一些特殊形式的二元一次方程组，可以考虑结合其他方法如代 入法、参数法等来求解，以提高求解效率和准确性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
代入消元法
通过将一个方程中的一个未知数 用另一个未知数表示，代入另一 个方程中，将二元一次方程组转 化为一元一次方程。
二元一次方程组的解的性质
解的唯一性
对于给定的二元一次方程组，其解是唯一的。
解的稳定性
当方程组的系数发生变化时，解不会发生改变。
03 消元法的步骤
代入消元法
1
代入消元法是通过将一个方程中的一个未知数用 另一个方程表示，然后将其代入另一个方程中求 解的方法。
在此添加您的文本16字
y = 2x - 1
在此添加您的文本16字
将第二个方程代入第一个方程中，得到
在此添加您的文本16字
2x + 3(2x - 1) = 7
在此添加您的文本16字
解得：x = 2, y = 1
加减消元法实例
加减消元法是通过两个方程相加或相 减来消除一个未知数的方法。例如，
对于方程组
在解二元一次方程组时，可以先尝试代入消元法，如果不行再考虑加减消 元法。
04 消元法解二元一次方程组 实例
消元-解二元一次方程组(共28张ppt)七年级下册数学人教版
2
消去 y
= 22 500 000
5 = 2 ，
500 + 250 = 22 500 000 ．
解这个方程组时，可以先消去 x 吗？
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数
5 = 2,
①
x=16-3y
3(16-3y)+y=20
y=3.5
x=5.5
2x+2y=
18
x y
18元
x+3y=16
3x+y=20
2x+2y=？
2.如图，在长为 15，宽为 12 的长方形中，有形状、
大小完全相同的 5 个小长方形，则图中阴影部分的面
积为( B )
15×12-5xy=180-135=45
A.35
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小
瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为 2︰5.
某厂每天生产这种消毒液 22.5 t，这些消毒液应该分装
大、小瓶两种产品各多少瓶？
例题中有哪些未知量？
未知量有消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数.
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小
B.45
C.55
2 + = 15,
= 3.
D.65
y=9
2x+3x=15
x=3
x
2x+y=15
y
y=3x
3.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得 2
分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全
《消元―二元一次方程组的解法》二元一次方程组PPT课件
x=20000
消y
5
用 x代替y，
2
消去未知数y
解得x
一元一次方程
500x 250
5
x 22500000
2
随堂练习：
你解对了吗？
1、用代入消元法解下列方程组
y=2x
⑴
x+y=12
x+y=11
⑶
x-y=7
x=4
y=8
y-5
x=—
2
⑵
x=5
y=15
4x+3y=65
3x-2y=9
x=9
y=2
x+y=10 ①
2000x+1500y=18000 ②
由①得
y=10-x . ③
将③代入②,得 2000x+1500(10-x)=18000 .
解得
x=6.
将x=6代入③，得y=4.
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩.
人教版数学七年级下册
谢谢观看
如果消去其中一个未知数，将二元一
次方程组转化为我们熟悉的一元一次
方程，我们就可以先解出一个未知数，
然后再设法求另一未知数.这种将未知
数的个数由多化少、逐一解决的思想，
叫做消元思想.
归 纳：
上面的解法，是由二元一次方程
组中一个方程,将一个未知数用含另
一个未知数的式子表示出来，再代
入另一个方程，实现消元，进而求
y
=105.
求方程组解的过程叫做解方程组。
新课进行时
解二元一次方程组的基本思路“消元”
二元一次方程组
消元
转化
一元一次方程
化归思想
用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
消元——二元一次方程组的解法（消元法）
一、教学设计思路
在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。
讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。
二、教学目标
（一）知识目标
通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。
根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”解方程组；会借助二元一次方程组解简单的实际问题；提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。
（二）能力目标
通过大量练习来学习和巩固这种解二元一次方程组的方法。
（三）情感目标
体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。
由此感受“划归”思想的广泛应用。
三、教学重点难点疑点及解决办法
重点是用代入法解二元一次方程组。
难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组。
疑点是如何“消元”，把“二元”转化为“一元”。
解决办法是一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形。
四、教学方法：引导发现法，谈话讨论法，练习法，尝试指导法
五、课时安排：1课时。
六、教具学具准备：电脑或投影仪。
七、教学过程
教师活动学生活动设计意图
（一）创设情境，激趣导入
在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y
场)，可以列方程组
x y22
2x y40
+=
⎧
⎨
+=
⎩表示本章引言中
问题的数量关系。
如果只设一个未知数(设胜x场)，
这个问题也可以用一元一次方程
________________________[1]来解。
分析：[1]2x＋(22－x)=40。
观察
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2]
[2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。
这正是下面要讨论的内容。
看图，分
析已知条
件
思考
师生互动
列式解答
思考，同
桌交流
总结
从生活中的实
际问题引入，激
发了学生的学
习兴趣，对新课
起着过渡作用。
培养学生的合
作交流能力，分
析能力及表达。
设计意图
（二）概念教学
可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y倾听，理为概念的引出
＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。
解这个方程，得x＝18。
把x＝18代入y=22－x，得y＝4。
从而得到这个方程组的解。
（教师在课件中一步步导出过程）
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。
[3]
[3]通过对上面具体方程组的讨论，归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，这是从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程。
所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解它。
归纳
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这种方法叫做代入消元法，简称代入法[4]
[4]这是对代入法的基本步骤的概括，代入法通过“把一个方程(必要时先做适当变形)代入另一个方程”进行等量替换，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，从而实现消元。
解，师生
互动，学
生边听边
练
倾听，理
解全班齐
读
记忆
同桌交流
学习
学生归纳
展示交流
成果
其他同学
倾听，理
解
教师总结
学生倾听
和理解概
念
做好铺垫
理解消元思想
是本节课的重
难点，要分析透
彻。
由浅入深，精辟
总结消元思想。
对概念进行深
入的了解
及时强调让学
生对新知识掌
握得更加完整。
（三）例题教学
例1 用代入法解方程组
分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比
较简便。
解：由①，得x＝y＋3。
③
把③代入②，得 ([5]把③代入①可以吗?试试看。
) 3(y十3)一8y=14。
解这个方程，得y＝一1。
把y=－l代入③，得 ([6]把y＝－1代入①或②可以吗?) x＝2
所以这个方程组的解是思考
独立完成
老师与个
别学生互
动适时指
导
同桌交流
选同学分
析和回答
解题过程
培养学生思考
及解决问题的
能力
检验学生对知
识的掌握程度。
[5]由于方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程
②，而不能代入①。
为使学生认识到这一点，可以让其试试把
③代入①会出现什么结果。
[6]得到一个未知数的值后，把它代入方程①②③都能得
到另一个未知数的值。
其中代入方程③最简捷。
为使学生认识
到这一点，可以让其试试各种代入法。
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装
(250 g)两种产品的销售数量比(按瓶计算)为2:5。
[7]某厂每
天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装
两种产品各多少瓶?
[7]两种产品的销售数量比为2:5，即销售的大瓶数目与小
瓶数目的比为2:5。
这里的数目以瓶为单位。
分析：问题中包含两个条件：
大瓶数：小瓶数＝2：5，
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液=总生产量。
解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶。
根据大、小瓶数的比以及消毒液分装量与总生产量的相等
关系，得
由①，得
把③代入②，得
解这个方程，得x=20 000。
把x=20 000代入③，得y=50 000，
这个方程组的解是
答：这个工厂一天应生产20 000大瓶和50 000小瓶消毒
同学回答
正确适当
表扬后提
问[5]
[6]学生
尝试并给
出回答
学生自由
读题,分
析条件,
列出方程
组并解答
用展台展
示几个具
有典型性
的同学的
解答过
程,讲解
时注重思
路和格
式.
注意代入
原方程组
检验
通过总结，再次
加深学生对知
识的掌握程度，
给学生充分发
挥的空间。
在学生形成解
题思维之后，放
手让学生完成，
给学生自我展
示的空间。
揭露学生可能
出现的问题和
遇到的障碍，并
及时更正，使学
生少走弯路。
液。
(四)代入法解题步骤
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
这个框图以用代入法解一个具体的二元一次方程组的过程为例，展示了代入法的解题步骤，以及各步骤的作用。
它可以作为代入法解二元一次方程组的一般步骤的典型。
讨论
解这个方程时，可以先消去x吗？试试看。
（五）巩固练习
课本P98-99 1、3
（六）小结
1．解二元一次方程组的思想：
2．引导学生总结出用代入法解二元一次方程组的解题步骤。
3．用代入法解二元一次方程组的技巧：
①变形的技巧; ②代入的技巧．
通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确．
（七）拓展提高
作业精编P55 教师用课
件展示思
维和解题
流程,学
生注意观
察和理
解.
学生观察
集全评议
动手实践
独立完成
交流答案
谈谈本节
课的收获
学生独立
完成，下
课后交
上，老师
当天批
改，学生
当天订
正。
通过总结，再次
加深学生对知
识的掌握程度。
培养学生思考
及解决问题的
能力。
巩固检验对知
识的理解
体现本节课的
主要内容和思
想方法
对已学知识进
行实际的运用，
真正达到熟能
生巧。
（八）板书设计
八、点评
本教案的设计，符合学生的年龄特点，有利于学生探索重在让学生参与知识产生、发展，应用的全过程。
让学生充分感知多项式及相关概念的形成过程，很大的发挥了学生的主体地位，但学生独立提出问题较少。