杨辉三角

研究性课题：杨辉三角

●教学目标 (一)教学知识点

1.理解杨辉三角的性质

2.掌握有关杨辉三角的基本性质1

1

1C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n r

n

. (二)能力训练要求

会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标

1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦.

2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学.

●教学重点

杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的.

●教学难点

杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。 ●教学方法

由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与.

●教具准备

实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入

上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质.

Ⅱ.讲授新课

一般的杨辉三角如下表.

其中)!

(!!

12)1()1()2)(1(C r n r n r r r n n n n r

n

-=

⋅-+---=

. 在杨辉三角的第2行，第3行，第5行，第7行中，除去两端的数学1以外，这些数学

与各自的行数(2，3，5，7)之间有什么联系？

(学生在自己的座位上，分别写出第2、3、5、7行的数字，并比较它们与各自行数的关系，有的学生开始与其他同学讨论，有的同学试图想推广到一般情形.课堂内的气氛是很活跃的，学生的主动探索、积极合作正是我们教学改革所追求的最高目标之一)

［生］第2行数字(除两端1外)是2；第3行数字(除两端1外)是3，3；第5行数字(除两端1外)是5，10，10，5；第7行数字(除两端1外)是7，21，35，35，21，7，第2行的数2能被2整除，第3行的两个3都能被3整除；第5行的四个数都能被5整除；第7行的6个数都能被7整除.用文字语言概括为：这些数字都能被各自的行数整除.

［师］总结概括地很好！你们能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数p 是一个什么样的数？

(学生开始在杨辉三角中接着往下写他们排出第9、10、11、12、13、14、15、16、17等各行的数字，然后他们再找这种类似的规律)

［生］我经过计算第11、13、17行中，除去两端的数字1以外，行数11、13、17整除所在行的其余的所有数.一般地规律我没有找到.

［师］同学们，这位同学找的对吧？ ［众生］(齐声回答)：对！

［师］你们能否找到一般规律呢？

［生甲］奇数行中的数字都具有这种规律.

［生乙］不对，第2行中的数字具有这种性质，但2是偶数，所以你的规律是不对的.由于2，3，5，7，11，13，17这些数字都是素数，所以，我可以猜想；如果p 是素数，那么在杨辉三角的第p 行中，除去两端的数字1外，行数整除其余的所有的数.

［师］你们能证明这个猜想吗？

(稍等片刻，留给学生一定的思考时间和空间)

［生丙］由r

p C 的计算公式可知：1

2)1()

1()2)(1(C ⋅-+---=

r r r p p p p r

p

我们的目标是要证明p 能够整除r

p C (r =1，2，3，4，…p －1)

∵1

2)1()

1()2)(1(C ⋅-+---⋅

= r r r p p p p r

p

，

将r =1，2，3，…，

2

1

-p 代入检验可知.12)1()1()2)(1(⋅-+--- r r r p p p 都是整数，所

以p 能整除r

p C .

［生丁］你利用代入检验，必定是有限步骤，而不是一般的方法.我认为要用数论中的质因数分解定理，证明，

1

1C 1--r p r

是个整数. ［师］你的思路是正确的，请同学们课后去证明这一猜想：即杨辉三角的性质6：如果p 是素数，那么在杨辉三角的第p 行中，除去两端的数字1外，行数p 整除其余的所有的数，即p |r

p C (r =1，2，…，p －1).

［师］如图(打出幻灯片)

(幻灯片显示)

我们从杨辉三角中一个确定的数开始(例如10)，根据杨辉三角的基本性质，它是它左右肩上的两数之和(10=4+6)；然后把左肩固定而考虑右肩，它又是它左右肩上的两数的和(6=3+3).这样进行下去，总是把左肩固定而对右肩运用这一规则，我们便可以得出：杨辉三角中，从一个数的“左肩”出发，向右上方作一条和左斜边平等的直线，位于这条直线上的各数的和等于这个数.图中所表示的就是10=4+6=4+(3+3)=4+［3+(2+1)］，

即1+2+3+4=10.

你们能将这个规律推广吗？

［生］将上面的规律推广，我们可以得到：在杨辉三角中，第m 条斜线(从右上到左下)上前n 个数字的和，等于第m +1条斜线上的第n 个数.

［师］根据这一性质，请猜想下列数列的前n 项和： 1+1+1+…+1= ，

1+2+3+…+1

1C -n = ， 1+3+6+…+21C -n = ， 1+4+10+…+31C -n = ，