杨辉三角
杨辉三角斜行求和规律
杨辉三角斜行求和规律
杨辉三角是一个经典的数学概念，它是一个数字三角形，其中每个数字是它正上方的两个数字之和。
除了对角线上的数字1之外，每个数字都等于它正上方的两个数字之和。
例如，杨辉三角的前几行如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
在这个问题中，我们要找出杨辉三角斜行求和的规律。
斜行求和是指从三角形的顶部到底部，沿着非对角线的路径求和。
例如，在上面的杨辉三角中，斜行求和的路径可以是：1, 2, 3, 6, 10, 10, 4, 1 (从顶部到底部)。
假设第n 行有n 个数字，那么第n 行斜行求和的和S_n 可以表示为：
S_n = Σ(i=0 到n-1) (2i + 1)
其中Σ表示求和符号，i 是从0到n-1 的整数。
现在我们要找出S_n 的规律。
根据给定的杨辉三角，我们可以观察到斜行求和的规律。
对于第n 行，斜行求和的和S_n 可以表示为：S_n = n^2
这个规律对于任何正整数n 都成立。
古代数学杨辉三角
杨辉三角，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角的历史可追溯至北宋时期的数学家贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
南宋时期，数学家杨辉在《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。
在欧洲，这个三角形被称为帕斯卡三角形，是法国数学家帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间。
以上内容仅供参考，建议查阅关于古代数学的书籍获取更全面和准确的信息。
杨辉三角公式
杨辉三角公式杨辉三角公式：杨辉三角是一种有序数列，由17世纪数学家杨辉发现，又称“谢尔宾斯基三角形”。
它有许多有趣和实用的数学性质，比如它的求和公式，这就是杨辉三角公式。
杨辉三角公式是一个强大的数学工具，它可以用来解决许多复杂的数学问题。
这个工具可以帮助人们理解世界上许多自然规律所构成的数学模型以及它们背后的逻辑。
杨辉三角公式的使用范围也非常广泛，几乎可以涉及几乎所有的学科。
杨辉三角公式是一个简单而实用的公式，它可以用来快速计算杨辉三角中任意一行的和。
其中，每一行和的定义如下：在杨辉三角的每一行中，一个数字是一个新的数字和它左右两边的数字之和，即：Tn = Tn-1 + (n+1)，其中，Tn表示第n行的和，Tn-1表示第n-1行的和，n表示行号。
杨辉三角公式也有许多其他的数学性质，这些性质可以帮助人们用杨辉三角解决许多复杂的数学问题。
这些性质有：（1）杨辉三角的每一行中，第n个位置的数字是 n上它左右两边的数字的积；（2）对于第 n，第 n 个位置的数字有 1；（3）在每一行中，第一个和最后一个数字为 1；（4）杨辉三角的总和规律公式是 Tn = (n+1)Tn-1，其中Tn表示第n行总和，Tn-1表示第n-1行总和，n表示行号。
上面是杨辉三角公式及其一些基本的数学性质，深入研究杨辉三角公式可以发现更多的有趣的性质，比如《纳米杨辉三角》，它使用了高级的数学技巧，以及《三角平方和》，它把杨辉三角的求和公式应用到了平方和的计算中。
杨辉三角的数学性质有很多，可以用来解决许多复杂的数学问题，因此，学习杨辉三角公式和它的数学性质对学生来说非常重要。
此外，学习杨辉三角公式有助于学生提高其分析和推理能力，培养其数学思维能力，加深对数学基础知识和高级数学技巧的理解，为今后学习科学和数学打下扎实的基础。
综上所述，杨辉三角公式及其数学性质是学习数学的重要部分，它可以帮助学生提高数学分析和推理能力，培养数学思维能力，为学习科学和数学打下良好的基础。
杨辉三角知识讲解
杨辉三角知识讲解杨辉三角是中国古代数学宝库中的一颗明珠，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
杨辉三角是由中国数学家杨辉在13世纪发现并命名的，但实际上它的起源可以追溯到更早的时期。
这个三角形的形式非常简单，但它蕴含的数学规律却非常复杂。
在本文中，我们将深入探讨杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用。
让我们来看一下杨辉三角的形式。
它是一个由数字构成的三角形，第一行只有一个数字1，接下来的行每一行的数字都是上一行相邻两个数字之和。
例如，第二行有两个数字1，第三行有三个数字1，第四行的两个1之间的数字是上一行两个1之和，即2，以此类推。
这种规律一直延续到三角形的最后一行，最后一行的数字就是杨辉三角的第n行。
杨辉三角的规律不仅仅是一些数字的排列，它还有一些非常有趣的数学性质。
首先，杨辉三角的每一行都对应着二项式系数的展开式中的一项。
例如，第n行的数字依次是1、n、n(n-1)/2、n(n-1)(n-2)/6，以此类推。
这个性质可以通过数学归纳法来证明，但我们不会在文章中提到具体的证明过程。
除了二项式系数的性质，杨辉三角还有一些其他有趣的应用。
其中之一是计算组合数。
组合数是指从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
在杨辉三角中，第n行的第m个数字就是从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
这个性质可以通过杨辉三角的定义和组合数的定义来证明。
杨辉三角还有一些其他的应用，例如在概率论中的二项分布、多项式定理的展开、计算幂等等。
这些应用都与杨辉三角的数学规律密切相关，但我们不会在文章中详细讨论它们。
总结一下，杨辉三角是中国古代数学的宝贵遗产，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
它不仅仅是一种数字的排列，还有一些非常有趣的数学性质和应用。
通过研究杨辉三角，我们可以更好地理解数学中的一些基本概念和原理。
希望本文能够帮助大家更好地理解杨辉三角的知识，并对数学产生更浓厚的兴趣。
注：本文旨在介绍杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用，不涉及具体的数学证明和计算过程。
杨辉三角公式记忆口诀
杨辉三角公式记忆口诀杨辉三角可是数学里一个挺有意思的东西呢！说到杨辉三角的公式记忆口诀，那咱们可得好好唠唠。
先来讲讲杨辉三角是啥。
简单说，它就是一个三角形的数阵，每行数字都是通过特定规则生成的。
但别被这看似复杂的外表吓到，其实掌握了规律和口诀，就会发现它挺好玩的。
比如说，杨辉三角每行数字左右对称。
这就像咱们照镜子，左边和右边是一样的。
还有啊，每行数字的开头和结尾都是 1 ，就像每次跑步比赛的起点和终点，固定不变。
那记忆口诀到底是啥呢？“肩挑两数积之和，上下相加写下方”。
这口诀听起来有点玄乎，咱来细说说。
比如说，要得到杨辉三角某一行的数字，就看它上面一行。
除了开头和结尾的 1 ，中间的每个数字都是它肩膀上两个数字的和。
就像我有一次教学生的时候，有个小家伙怎么都不明白，我就拿糖果给他举例。
假设第一行有 1 颗糖，第二行是 1 、 1 ，就像 1 颗糖变成了 2 颗，那第三行是 1 、 2 、 1 ，这中间的 2 就是上面 1 + 1 得来的。
这孩子一听，眼睛一下子亮了，“哦！原来是这样！”再比如说，要快速写出好几行杨辉三角，那就用上“上下相加写下方”。
从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字相加的结果。
这就像是搭积木，一层一层往上加。
还有哦，杨辉三角和二项式定理也有关系。
二项式展开后的系数，就是杨辉三角里对应的那一行数字。
这个知识点刚开始学的时候可能会觉得有点绕，但多练习练习，就会发现其中的妙处。
我记得之前有个学生，刚开始学杨辉三角的时候总是记不住，做题也错得一塌糊涂。
我就专门给他开小灶，每天让他默写几行杨辉三角，然后给他讲解其中的规律。
慢慢地，他找到了感觉，后来在考试中遇到相关的题目，一下子就做对了，那高兴劲儿，就像中了大奖似的。
总之，杨辉三角的公式记忆口诀虽然简单，但要真正掌握，还得多练习、多琢磨。
只要用心，相信大家都能轻松搞定这个有趣的数学小玩意儿！。
“杨辉三角”简介
“杨辉三角”简介
上述三角形数表称为“杨辉三角”，它呈现了二项式展开式各项系数的规律．如表中第三行为二项式
的各项的系数：1，2，1．
又如表中第四行为二项式的各项
的系数：1，3，3，1．
“杨辉三角”中数的排列规律是：每一行两端都是1，其余各数都是上一行中与比数最相邻的两数之和，如
这个数表是南宋数学家杨辉收录在他的著作里才流传下来的．据他的著作里记载，这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现．因此，后人把“杨辉三角”又称为“贾宪三角”．
在西方，称这个数表为“帕斯卡三角形”．帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表,发表则在1665年．这就是说，就发现和应用这个三角形而言，贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年．。
杨辉三角的现实例子
杨辉三角的现实例子1. 你知道杨辉三角吗？它在组合数学里可是超级重要的存在呢！就像我们搭积木，每一层的积木数量都有着特定的规律，杨辉三角就是这样神奇。
比如说在计算彩票的组合可能性时，杨辉三角就像一个神奇的指南，帮助我们理解其中的奥秘。
2. 嘿，杨辉三角可不仅仅是书本上的东西哦！它就像一个隐藏在生活中的密码。
比如在排队买东西的时候，我们可以通过杨辉三角来计算不同排列方式的可能性，这难道不酷吗？3. 哇塞，杨辉三角啊！它就好像是一把解开很多难题的钥匙呢。
像是在分配任务的时候，根据杨辉三角的规律可以更合理地安排人员和任务，难道不是吗？4. 你想过杨辉三角在建筑设计中的作用吗？它好比是建筑师手里的魔法棒呀！当设计一个大楼的结构时，杨辉三角能帮助确定最佳的支撑点分布，多神奇啊！5. 杨辉三角啊，那简直就是数学世界里的一颗璀璨明珠！就像我们玩游戏要遵守规则一样，很多数学问题都要遵循杨辉三角的规律呢。
比如计算比赛的场次安排，用杨辉三角就能快速搞定，你说厉害不厉害？6. 哦哟，杨辉三角可牛了！它就如同一个智慧的小精灵藏在数学里。
想想看，在计算投资组合的风险时，杨辉三角就能发挥大作用，这可太妙了吧！7. 嘿呀，杨辉三角可不是吃素的！它好像是我们生活中隐藏的好帮手。
在安排聚会座次的时候，依据杨辉三角来安排，会更加有序和有趣呢，不是吗？8. 哇哦，杨辉三角啊！简直就像一个神秘的宝藏等待我们去挖掘。
在设计图案的时候，杨辉三角的规律能创造出独特又美丽的作品，超级神奇呀！9. 杨辉三角真的太有意思啦！它其实就在我们身边，默默发挥着巨大的作用，就像一个低调的大师。
我们真应该好好去探索和发现它更多的神奇之处呀！我的观点结论是：杨辉三角在众多领域都有着意想不到的应用，它真的非常神奇且重要！我们要重视和运用好它。
杨辉三角
r!(n-r)!r!(n-r)!
例如:第4列第1元素(n=4,r=1)是
4!
--------
1!(4-1)!
= 4= 4
5!=5×4×3×2×1=120. 8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320
第n 列元素合是2n.
20= 120=1
21= 1+1 = 221=1+1=2
1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数 与负数的情形，给出了的展开式。
应用
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶 等差数列求和，以及差分法中有广泛的应 用。
排列与组合
、Cn0+Cn1+Cn2……Cnk……Cnn=2^n
2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0
杨辉三角前12行
第 1 行：1
第 2 行：1 1
第 3 行：1 2 1
第 4 行： 1 3 3 1
第 5 行： 1 4 6 4 1
第 6 行：1 5 10 10 5 1
第 7 行： 1 6 15 20 15 6 1
第 8 行： 1 7 21 35 35 21 7 1
13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算
术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
杨辉三角形的名词解释
杨辉三角形的名词解释杨辉三角形是数学中一种有趣且常见的图形，它呈现出一种神奇的规律性。
它以中国古代数学家杨辉的名字命名，他首次在《详解九章算术》一书中提出并研究了这个特殊的三角形。
杨辉三角形不仅在中学数学教材中有所提及，也在组合数学、概率论等许多学科中发挥着重要的作用。
杨辉三角形的构造方法非常简单，首先从顶端开始，将数字1放置在第一行的中心位置。
接下来，每一行从左至右的数字都是上一行相邻两个数字之和。
例如，在第二行的两侧都是1，中间的数字是上一行第一个数字和第二个数字之和。
使用这个简单的规则，我们可以不断向下延伸构造出无限多行的杨辉三角形。
杨辉三角形呈现出一些非常有趣的性质和规律。
首先是每一行的数字之和都是2的幂次方。
例如，第三行的数字之和是1+2+1=4，而4正是2的平方。
这一规律可以通过数学归纳法来证明。
由于每个数字都是由上方相邻的两个数字相加而得到，因此每一行的数字之和都是上一行数字之和的两倍。
而第一行只有一个数字1，所以第n行的数字之和就是2的n-1次方。
其次，关于杨辉三角形每一行数字的排列，我们可以观察到一些有趣的规律。
首先，除了两侧的数字外，每一行的数字都是偶数。
这是因为每个数字都是由上方两个相邻数字之和得到的，而两个偶数之和必然是偶数。
其次，除了第一行、第二行以外，每一行的数字都是对称排列的。
例如，第三行的数字排列是1 2 1，第四行的数字排列是1 3 3 1，可以观察到它们都是对称的。
这一规律也可以通过数学归纳法来证明。
杨辉三角形还有一些其他特殊的性质，例如它提供了一种计算排列组合数的方法。
对于一个有n个元素的集合，我们可以使用杨辉三角形的第n行来计算这个集合的所有子集数量。
例如，第n行的数字个数就是这个集合的所有子集数量。
这是因为杨辉三角形的每一个数字表示了从集合中选择特定数量元素的不同情况。
杨辉三角形也被用于计算二项式的展开系数，以及概率论中的二项分布。
总而言之，杨辉三角形是数学中一种富有魅力和深度的图形。
杨辉三角与组合定理
杨辉三角与组合定理杨辉三角是一种中国古老而神奇的数学图形，以其独特的性质和美妙的规律而闻名于世。
组合定理是数学中一个重要的概念，与杨辉三角有着密切的关系。
本文将对杨辉三角与组合定理进行探讨，介绍其定义、性质以及应用。
一、杨辉三角的定义与性质杨辉三角是一个由数字排列成金字塔形状的三角形，其中每个数字是由它上方两个数字的和给出。
三角形的左侧和右侧都为1，其他位置上的数字是由上方两个数字相加得到。
例如，第三行的数字为1、2、1，第四行的数字为1、3、3、1，以此类推。
杨辉三角具有许多有趣的性质。
其中最为著名的性质是每一行的数字之和都等于2的n次方，其中n为行数。
例如，第三行数字之和为1+2+1=4，等于2的2次方。
这一性质被称为二项式定理。
另一个有趣的性质是杨辉三角中的数字与组合数相关。
组合数是组合学中的一个重要概念，用于表示从n个元素中取出k个元素的方法数。
杨辉三角中的每个数字都可以用来表示一种组合数。
例如，第三行的数字1、2、1分别对应着1个元素取1个、2个元素取1个、以及2个元素取2个的组合数。
二、组合定理的定义与性质组合定理是一个用于计算组合数的公式。
组合数计算的问题可以简化为利用组合定理求解。
组合定理有两种常见的形式，分别是阶乘形式和递推形式。
阶乘形式的组合定理表示为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，其中n!表示n的阶乘。
这个公式意味着从n个元素中取出k个元素的方法数等于n的阶乘除以k的阶乘乘以(n-k)的阶乘。
递推形式的组合定理利用了杨辉三角的性质来计算组合数。
根据杨辉三角的规律，第n行第k个数字等于第n-1行第k-1个数字与第n-1行第k个数字之和。
因此，可以使用递推公式C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)来计算组合数。
组合定理还有一些重要的性质。
其中最为著名的是组合恒等式，表示为C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
这个恒等式意味着从n个元素中取出k个元素的方法数等于从n-1个元素中取出k-1个元素的方法数与从n-1个元素中取出k个元素的方法数之和。
杨辉三角的规律以及推导公式杨辉三角规律
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杨辉三角的性质法则
杨辉三角的性质法则杨辉三角，又称帕斯卡三角，是由数学家杨辉于公元三世纪所创造的一种数学图形。
它以一种规律排列的数字构成，具有独特的性质和法则。
本文将详细介绍杨辉三角的性质和法则，以及它们在数学中的应用。
1. 杨辉三角的构造方式杨辉三角的构造方式非常简单，首先将数字1写在第一行，然后将第一行的数字复制到第二行的两边，并在两个相邻的数字之间写下它们的和。
如此继续下去，每一行的数字都是上一行两个相邻数字的和。
以下是杨辉三角的前几行：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 12. 杨辉三角的性质杨辉三角有许多有趣的性质，以下是其中几个重要的性质：2.1 任意一行的数字相加，结果等于2的n次方，其中n为行数。
例如，第四行的数字相加等于2^4=16。
2.2 杨辉三角对称。
三角形的左右两侧是对称的，每行的第一个数字和最后一个数字也是对称的。
这种对称性在数学推导和证明中起到了重要的作用。
2.3 杨辉三角中的每个数字，等于它上方两个数字之和。
例如，第三行的中间数字2，等于上方的1和1之和。
2.4 除了第一行的数字外，每个数字等于它上方一行两个相邻数字之和。
这个性质可以用组合数学的观点来解释，即每个数字表示了在组合中选择指定数量的元素的方法数。
3. 杨辉三角的应用杨辉三角在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：3.1 组合数学杨辉三角中的每个数字都可以表示为组合数，即从指定数量的元素中选择特定数量的元素的方法数。
这在排列组合问题、概率论和统计学等领域中具有重要意义。
3.2 二项式定理杨辉三角中的每一行都对应二项式展开的系数。
根据二项式定理，可以将任意幂次的多项式展开为二项式的和，其中杨辉三角的每一行都是这个和式中的系数。
3.3 概率分布通过杨辉三角，可以计算得出二项式分布、泊松分布等概率分布的概率值。
这对于研究随机事件的概率分布和概率密度函数等具有重要的参考价值。
4. 总结杨辉三角是一个有趣而且实用的数学工具，它具有丰富的性质和应用。
详解九章算法杨辉三角的规律
详解九章算法杨辉三角的规律
九章算法中的杨辉三角是一种非常有趣的数学工具，也是算法题目中经常会用到的一种数据结构。
它由一系列数字组成，其中第一行为1，每个数字是它上方两个数字之和。
杨辉三角的规律如下：
1. 杨辉三角的每一行都是对称的，中间的数字为1，两端的数字也为1；
2. 每一行的数字个数等于行数，第n行有n个数字；
3. 第n行的第k个数字等于第n-1行的第k-1个数字和第k个数字之和；
4. 第n行的所有数字相加等于2的n-1次方；
5. 第n行的所有数字的平方和等于第2n-1个斐波那契数的值。
这些规律可以帮助我们更好地理解杨辉三角的性质，也可以在算法题目中用来解决问题。
例如，在求解组合数时，我们可以通过杨辉三角中对应的数字进行计算。
同时，在仔细观察杨辉三角的规律时，也可以发现其中隐藏着一些其它的数学规律，这些规律同样有助于我们更好地理解数学知识。
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研究性课题：杨辉三角●教学目标 (一)教学知识点1.理解杨辉三角的性质2.掌握有关杨辉三角的基本性质111C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n rn. (二)能力训练要求会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦.2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学.●教学重点杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的.●教学难点杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。
●教学方法由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与.●教具准备实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。
今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质.Ⅱ.讲授新课一般的杨辉三角如下表.其中)!(!!12)1()1()2)(1(C r n r n r r r n n n n rn-=⋅-+---=. 在杨辉三角的第2行，第3行，第5行，第7行中，除去两端的数学1以外，这些数学与各自的行数(2，3，5，7)之间有什么联系？(学生在自己的座位上，分别写出第2、3、5、7行的数字，并比较它们与各自行数的关系，有的学生开始与其他同学讨论，有的同学试图想推广到一般情形.课堂内的气氛是很活跃的，学生的主动探索、积极合作正是我们教学改革所追求的最高目标之一)［生］第2行数字(除两端1外)是2；第3行数字(除两端1外)是3，3；第5行数字(除两端1外)是5，10，10，5；第7行数字(除两端1外)是7，21，35，35，21，7，第2行的数2能被2整除，第3行的两个3都能被3整除；第5行的四个数都能被5整除；第7行的6个数都能被7整除.用文字语言概括为：这些数字都能被各自的行数整除.［师］总结概括地很好！你们能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数p 是一个什么样的数？(学生开始在杨辉三角中接着往下写他们排出第9、10、11、12、13、14、15、16、17等各行的数字，然后他们再找这种类似的规律)［生］我经过计算第11、13、17行中，除去两端的数字1以外，行数11、13、17整除所在行的其余的所有数.一般地规律我没有找到.［师］同学们，这位同学找的对吧？ ［众生］(齐声回答)：对！［师］你们能否找到一般规律呢？［生甲］奇数行中的数字都具有这种规律.［生乙］不对，第2行中的数字具有这种性质，但2是偶数，所以你的规律是不对的.由于2，3，5，7，11，13，17这些数字都是素数，所以，我可以猜想；如果p 是素数，那么在杨辉三角的第p 行中，除去两端的数字1外，行数整除其余的所有的数.［师］你们能证明这个猜想吗？(稍等片刻，留给学生一定的思考时间和空间)［生丙］由rp C 的计算公式可知：12)1()1()2)(1(C ⋅-+---=r r r p p p p rp我们的目标是要证明p 能够整除rp C (r =1，2，3，4，…p －1)∵12)1()1()2)(1(C ⋅-+---⋅= r r r p p p p rp，将r =1，2，3，…，21-p 代入检验可知.12)1()1()2)(1(⋅-+--- r r r p p p 都是整数，所以p 能整除rp C .［生丁］你利用代入检验，必定是有限步骤，而不是一般的方法.我认为要用数论中的质因数分解定理，证明，11C 1--r p r是个整数. ［师］你的思路是正确的，请同学们课后去证明这一猜想：即杨辉三角的性质6：如果p 是素数，那么在杨辉三角的第p 行中，除去两端的数字1外，行数p 整除其余的所有的数，即p |rp C (r =1，2，…，p －1).［师］如图(打出幻灯片)(幻灯片显示)我们从杨辉三角中一个确定的数开始(例如10)，根据杨辉三角的基本性质，它是它左右肩上的两数之和(10=4+6)；然后把左肩固定而考虑右肩，它又是它左右肩上的两数的和(6=3+3).这样进行下去，总是把左肩固定而对右肩运用这一规则，我们便可以得出：杨辉三角中，从一个数的“左肩”出发，向右上方作一条和左斜边平等的直线，位于这条直线上的各数的和等于这个数.图中所表示的就是10=4+6=4+(3+3)=4+［3+(2+1)］，即1+2+3+4=10.你们能将这个规律推广吗？［生］将上面的规律推广，我们可以得到：在杨辉三角中，第m 条斜线(从右上到左下)上前n 个数字的和，等于第m +1条斜线上的第n 个数.［师］根据这一性质，请猜想下列数列的前n 项和： 1+1+1+…+1= ，1+2+3+…+11C -n = ， 1+3+6+…+21C -n = ， 1+4+10+…+31C -n = ，［生］第1个结果是n ， 第二个是1+2+3+…+(n －1)=2)1(-n n 第三个是：24342124233321242322C C C C C C C C C C +=++++=++++--n n 25C +6)2)(1(C C C C C C C 3213121253521--==+==+++=++----n n n n n n n n .第四个是++=++++=++++--35553135344431353433C C C C C C C C C C n n 4 24)3)(2)(1(C C C C C C C 4314131364631---==+==+++=+----n n n n n n n n n［师］上述四个和式是刚才我们推广结论的特例，你们能用和式写出上述等式吗？ ［生］一般地，我们有：)(C C C C C 1121m n m n m n m m m m mm>=+++++-++ . ［师］你们有哪些方法可以证明它呢？［生］我可以用数学归纳法证明它.［师］证明时，n 所取的第一个值n 0应该为多少？ ［生1］当n 0=1，这时m =0，于是有1C C ,1C 111===+m n .所以等式成立. ［生2］对于00C 没有定义，所以不能取n 0=1，而应该取n 0=2，m =1左边=1C C 11112==-， 右边=22112C C =+.所以等式成立. ［师］对！最好是取n 0=2才有意义，避免争议. ［生1］假设当n =k 时等式成立，即1121C C C C C +-++=++++m km k m m m m mm . 那么当n =k +1时，111121C C C C C C C C +++-++=+=+++++m k m k m k m k m k m m m m mm. ∴n =k +1时等式也成立.由(1)(2)可知，等式对于一切大于1的自然数n 都成立.［师］这样证明过程就完善了.这里主要是运用组合数性质或杨辉三角基本性质m n m n m n 11C C C +-=+来证明. ［生3］不用数学归纳法，就直接使用组合数的性质进行证明，对于任意的自然数n (n＞1)，m 是给定的且小于n 的正整数，只要经过有限步的变换就可以了.事实上，因为,C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 1111111131121321212111121+++--+--++++-++++-++++-++==+==+++=++++=++++=++++m n m n m n m n m n m m m m m n mm m m m m m n m m m m m m m n m m m m m m 故等式成立.由于n 是任意的大于1的自然数.所以猜想完全正确.［生4］我是构造二项式求和，比较系数可求证明它.事实上：(1+x )m +(1+x )m +1+(1+x )m +2+…+(1+x )n－1的展开式中x m 项的系数之和为mn m m m m m m 121C C C C -++++++ . 又因为：(1+x )m +(1+x )m +1+(1+x )m +2+…+(1+x )n －1=)1(1])1(1[)1(x x x mn m +-+-+-xx x m n )1()1(+-+=，展开式中x m 项的系数就是右式分子展开式中的x m +1项的系数1C +m n. 由比较法知：1121C C C C C +-++=++++m nm n m m m m mm. ［师］好！这个证明方法利用比较法和构造法，将二项式定理与杨辉三角再次联系在一起.这样，我们就探索了三种证明方法.［师］如图的斜线中，前几行数字的和已经在行末标出，请你在“?”处标出其余各行的和，仔细观察这些和，你能发现什么规律吗？［生］前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144.根据这些数的规律，任何一个数都等于它前面的两个数之和，即a n +2=a n +1+a n ，a 1=a 2=1，(n ∈N *).(幻灯片显示)［师］请大家回忆一下，这个数列是什么样数列？ ［生］这种数列是斐波那契数列. ［师］你能求出它的通项公式吗？［生］用特征方程根求出它的通项公式.事实上，因为a n +2=a n +1+a n 的特征方程是x 2－x －1=0，其根为x 1，2=251±. ∴{a n }的通项公式设为a n =c 1x 1n +c 2x 2n 即a n =c 1·(251+)n +c 2·(251-)n(c 1，c 2是待定系数) ∵a 1=1，a 2=1，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅++⋅=-⋅++⋅1)251()251(1251251222121c c c c ①×251-－②得：c 1［251+·251-－(251+)2］=251-－1∴2)15(2)15(51+-=+-c∴c 1=55. ∴52155125112512-=⋅+-=-⋅c ∴c 2=－51 ∴nn na )251(51)251(51-⋅-+⋅=(n ∈N *).∴斐波那契数列a 1=1，a 2=1，a n +2=a n +a n +1， 它的通项公式为)251(51)251(51--+⋅=n na (n ∈N *)［师］完全正确.斐波那契数列所具有的性质都是杨辉三角中有蕴含的性质，请同学们课后接着研究.事实上，许多重要的数学公式都跟组合数有关，因此，适当记住杨辉三角的一部分，对于发现某些数学法则是不无帮助的.对于杨辉三角的构成，还有一种有趣的看法：(打出幻灯片或多媒体，显示如图).如图2—8，在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块，在它们中间留下一些通道，从① ②上面的漏斗直通到下面的长方形框子，前面用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层(有几个竖直通道就算第几层)的六棱柱上面，以后，落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再以后，它又会落到下一层的三个通道之一里边去……依此类推，最终落到最下边的长方形框子里.假设我们总共在木板上做了n +1层通道，在顶上的漏斗里一共放了+++21C C 1n nr n C + +n n n21C 1=++-颗弹子，让它们自由落下，落到下边n +1个长方形框子里，那么落在每个长方形的框子中的弹子的数目(按照可能情形来计算)会是多少？你能用学过的排列、组合与概率的知识来解释这一现象吗？(以上都用幻灯片显示).(学生讨论，教师巡视并参与讨论，课堂气氛很活跃而高涨). ［生］把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六棱柱上面以后，落到第二层中间一个六棱柱的左边或右边两个竖直通道里去.再以后，它不会落到下一层的三个竖直通道之一里去.这时，如果要弹子落在最左边的通道里，那么它一定是从上一层左边的通道里落下来才行(1个可能情形)；同样，如果要它落在最右边的通道里，它也非要从上一层的右边通道里落下来不可(1个可能情形)；而要它落在中间的通道里，那么无论它从上一层的左边或右边落下来都行(2个可能情况).这样一来，弹子落在第三层的三个通道里就分别有1，2，1个可能情形，概率分别为41,42,41，不难看出，落到第四层的四个通道分别有1，3，3，1个可能情形，概率分别为333321,23,23,21，类推下去，很容易发现，弹子落到第n +1层各个框子里的概率分别为n n n nn n n n n 21,2C ,,2C ,2C ,21121- . 因此，如果在漏斗里放n n nn n21C C C 1121=+++++- 颗弹子，它们落在第n +1层中各个框子中弹子的数目(按可能情形来计算)正好是杨辉三角的第n 行.［师］该同学解释地非常好，请同学们要多向他学习，要能灵活运用所学知识解决有关问题.Ⅲ.课堂练习1.如图2—9，将圆珠堆成三角垛，底层每边为n 个，向上逐层每边减小1个，顶层是1个.容易看出，当n =1，2，3，4，…时，三角垛中的圆珠总数分别为1，4，10，20，….根据前面的结论，这样的一个n 层的三角垛中的圆珠总数是1+3+6+…+!31C C 3221==++n n n ·(n +1)(n +2).用数学归纳法证明这一结论.图2—9提示：(1)当n =1时，左边=1，右边=!31×1×(1+1)×(1+2)=61×1×2×3=1即1C C 33312==+ ∴等式成立；(2)假设当n =k (k ≥1)时等式成立，即1+3+6+…+3221C C ++=k k . 当n =k +1时，1+3+6+…+32)1(312223221121C C C C C C +++++++++==+=+k k k k k k∴当n =k +1时，等式也成立.由(1)(2)可知，等式对一切n ∈N*都成立. 另法：∵2121242322C C ,C 6,C 3,C 1++====n n . ∴左边=212524233321242322C C C )C C (C C C C +++++++=++++n n 32213121253521252434C C C C C C C C C C +++++=+==+++=++++=n n n n n . (注：这里运用了mn m n mn11C C C +-=+). 2.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数rnn C )1(1+，就得到一个只由单位分数(分子为1的分数)组成的三角形.这个三角形最早是由德国数学家莱布尼茨(Leibniz)作出，所以叫做莱布尼茨单位分数三角形，或简称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形有许多跟杨辉三角类似的性质.例如，杨辉三角中，除1以外的每一个数，都等于它肩上的两个数字相加.在莱布尼茨三角形中，有什么类似性质？你能证明你的猜测吗？提示：莱布尼茨三角形中每一个数，等于其“脚下”两数的和，例如：1214131+=，5120141,4217161,1051421301+=+=+=等等.一般情况是：111C )2(1C )2(1C )1(1++++++=+r n r n r n n n n . 证明：右边=11])!11()!1()!1([)2(1])!1(!)!1([21----+++⋅++-++⋅+r n r n n r n r n n 左边=⋅+=+-=+++-=++++-+-=+-+⋅+++-+⋅+=rn n n r n r n n n r n r n n r r n r n r n r n r n n r n r n C )1(1)!1()!(!)!1)(2()2()!(!)!1)(2()]1()1[()!(!)!1()!()!1()2(1)!1()!1(!21.∴111C )2(1C )2(1C )1(1++++++=+r n r n r n n n n Ⅳ.课时小结［师］本节课主要是研究了杨辉三角的有关性质，请同学们总结一下：［生］(6)如果p 是素数，那么在杨辉三角的第p 行中，除去两端的数字1之外，行数p 整除其余的所有的数，即若p 是素数，则p |rp C (r =1，2，…，p －1).(7)1121C C C C C +-++=++++m nm n m m m m mm(n ＞m ). (8)a 1=1，a 2=1，a n +2=a n +a n +1.斐波那契数列， 通项公式a n =nn )251(51)251(51-⋅-+.(9)如果在漏斗里放nn nn n21C C C 1121=+++++- 颗弹子，它们落在第n +1层中各个框子中弹子的数目(按可能情形来计算)正好是杨辉三角的第n 行的数字，即21C ,C ,C n n n ，nnn n n n n n n n C ,C ,C ,C ,,C ,C 12343--- . Ⅴ.课后作业1.性质(8)中，计算，a 5，a 10，a 15，a 20的值，你能总结一般规律吗？并证明你的结论. 提示：斐波那契数列的前20项是，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，600，977，1577，2554，4131，6685.a 5=5，a 10=55，a 15=600，a 20=6685.这四个数都能被5整除，猜想：a 5n 都是5的倍数.(n ∈N *).证明方法有两种：一是数学归纳法；二是递推法. 2.研究莱布尼茨三角形中的有关性质. ●板书设计。