基本不等式求最值

（4）若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
作业：
3、（1）若x>3,求函数 y x 1 的最小值 x3
（2）已知 x≥52，求 f(x)＝x2－x－4x2＋5的最小值．
（3）求函数 f (x) x2 3x 1 (x 1) 的最小值. x 1
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
3. 利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出 定值，再利用基本不等式求解。
作业：
1、 (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
（2）已知 x≥52，求 f(x)＝x2－x－4x2＋5的最小值．
解：∵x≥52，∴x－2>0，∴f(x)＝x2－x－4x2＋5＝ x－x－222＋1＝(x－2)＋x－1 2≥2.当且仅当x－2＝x－1 2，即x＝3 时，等号成立．故当x＝3时，ymin＝2.
(3)若x 3,函数y x 1 ,当x为何值时，函数 x3
有最值，并求其最值。
解 : x 3
y x 1 (x - 3) 1 3
x3
x -3
2 (x 3) 1 3 5 x3
当且仅当x 3 1 ,即x 4时，函数有最大值， x3
xz
xz
x2 4xz 4z2 xz
x 4z 4 zx
消元
2 448
当且仅当 x 4z 时 zx
即x 2z时等号成立
所以
y2 xz
min
8
类型四：分子化为常数型，分母应用基本不等式
1.求函数
y
6 x2 1 x2 4
的最大值
解：y

6 x2 1 x2 4
当且仅当 x＝16时，函数 y＝x(1－3x)取得最大值112.
(2)∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，
∴1x＋1y＝(2x＋y)1x＋1y
＝3＋xy＋2yx≥3＋2 yx·2yx＝3＋2 2(当且仅当xy＝2yx，即 x＝
2－ 2
2，y＝
2－1 时取等号)．
∴1＋1的最小值为 xy
3＋2
2.
13 2 2(1 2x) 18x 25 . x 1 2x
类型三 ：含两个变量的最值问题
[例 3] 若正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围为____．
[解] 由 ab＝a＋b＋3 求出 b，将 ab 转化为关于 a 的函数，再求 范围．
由已知，得 b(a－1)＝a＋3，即 b＝aa＋ －31由于 a>0，b>0,所以 a>1， 于是 ab＝a·aa＋ －31＝[(a－1)＋1]·aa＋ －31＝a＋3＋aa＋ －31＝a－1＋a－4 1＋ 5≥2 a－1·a－4 1＋5＝9.
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
作业：
2、(1)已知 0＜x＜13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值；
(2)设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值；
(3)已知 x、y 为正数，且满足 2x＋y＝1，求1x＋1y的最 小值．
2 C. 2
D．1
解析：∵f(x)＝
1
x＋
1≤ x2
1
1
x·
1 ＝2， x
当且仅当 x＝ 1 即 x＝1 时等号成立． x
答案：B
1. 两个不等式
（1） a, b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取""号)
（2） ab a b (a当>0且,b仅>当0)a=b时，等号成立 2

4
4
当且仅当a=b=2时等号成立
2 2
所以ab的最大值为4
变形1：a,b是正数且 2a b 4，求ab的最值
解：ab

1 2
2a

b

1 2

2ab 2
2


1 2

4 2
2


2
当且仅当2a=b
时等号成立，即a=1,b=2时ab的最大值为2
2
xy

1 2
(3

2y x

x) y

3 2

2
类型三 ：含两个变量的最值问题
（2）已知x 0, y 0, x 2 y 1，求 1 1 的最小值
解： x 2 y 1
xy
1 1 x 2y x 2y 1 2y x 2
xy x
y
xy
x 0, y 0, 2 y x 2 2 y x 2 2
4
3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题： (1)要求各数均为正数； (2)要求“和”或“积”为定值； (3)要注意是否具备等号成立的条件．简称 “ 一正、二定、三相等 ”．
讲授新课：一、配凑法求最值
讲授新课：一、配凑法求最值
例例11：a,b是正数且a b 4，求ab的最值
2
2
解：ab ab
最大值为5。
题型二：拆项法求函数的最值 二 y ax2 bx c 类型函数求最值
mx n
题型探究
例3
(1)已知 x≥52，则 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5有(
)
A．最大值54
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
【解析】 (1)由已知 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5＝x2－x2－22＋ 1＝12[(x－ 2)＋x－1 2]， ∵x≥52，x－2>0，
∴12[(x－2)＋x－1 2]≥12·2 x－2·x－1 2＝1， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时取等号． 故 f(x)的最小值为 1，选 D.
（2）已知 x>－1，试求函数 y＝x2＋x7＋x＋1 10的最小值．
解：y＝x＋12＋x＋5x1＋1＋4＝(x＋1)＋x＋4 1＋5， ∵x>－1，∴x＋1>0. ∴y≥2 x＋1·x＋4 1＋5＝9，当且仅当 x＋1＝x＋4 1， 即 x＝1 时，函数取得最小值 9，故函数的最小值为 9.
利用 基本
2 3x 33y 1 2 3x3y 1
不等
231 7
式，
当且仅当3x =33y即x 3y时取得等号 整体
此时x 1, y 1 最小值为7 3
解决
3．设a，b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为
() A．6
wenku.baidu.com
B．4 2
C．2 2
D．8
解析：2a＋2b≥2 2a＋b＝2 23＝4 2. 答案：B
变形2：a,b是正数且a b 4，求ab的最值
2
2
解:
a b ab 2 a b 2 2
2 2

2
4 2 8
2

b
当且仅当a= 2 时等号成立，即a=2,b=4时，
ab的最大值为8.
变式3：
已知a>0,b>0,且
a2

b2
2
1,求a
类型三 ：含两个变量的最值问题
当且仅当a－1＝
4 a－1
(a>1)，即a＝3时，等号成立，此
时b＝3.所以ab的取值范围为[9，＋∞)．
变式训练
当点(x, y)在直线x 3y 2 0上移动时，求 y 3x 27y 1的最小值.
解：y 3x 27 y 1 3x 33y 1
类型三 ：含两个变量的最值问题
类型三 ：含两个变量的最值问题
例 4、（1）已知 x，y∈(0，＋∞)，且1x＋4y＝1，求 x＋y 的最 小值．
解： x＋y＝(x＋y)(1x＋4y)＝1＋yx＋4yx＋4
＝yx＋4yx＋5≥2· yx·4yx＋5＝9，
当且仅当1yxx＝＋44yyx＝，1，
xy
xy
1 1 32 2 xy
当且仅当2 y x 即x 2 1且y 1 2 时等号成立。
xy
2
1 1 的最小值为3 2 2. xy
例5、当0<x<1时，求
y4 9 x 1 x
的最小值
解：因为x+(1-x)=1
所以 y x 1 x 4 9 4 9 9x 41 x
看谁更聪明！
已知(x 1)(y 1) 4,其中x 1, y 1, 求x y的最小值。
3.已知x, y, z为正实数,满足x y 2z 0,求 y2 的最小值. xz
解：因为x, y, z为正实数
x y 2z 0
x 2z y
y2 x 2z2
(4)已知2a b 2,求f (x) 4a 2b的最值及 此时的a和b.
作业：
4、若x, y R且2x y xy 0, 求x y的最小值。
解：(1)∵0＜x＜13，∴1－3x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)
≤133x＋21－3x2＝112，
1 b2
的最大值。
典例导悟
[例 2]（1） 已知 x>2，求 y=x＋x－4 2的最小值；
(2)已知
x

5 4
,
求函数
y

4
x

2

1 4x
5
,
的最大值。
(3)已知 x<3，则 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值是________．
(1)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2 ≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
y 4 9 的最小值为25. x 1 x
3.已知:x∈(0, 1 ),则 2 9 的最小值为__2_5_.
2
x 1 2x
解析 x∈(0, 1 ),1-2x＞0,又2x+(1-2x)=1，
2
原式可化为: ( 4 9 )[2x (1 2x)]
2x 1 2x
13 2(1 2x) 18x x 1 2x
x 1 x
1 x x
0 x 11 x 0
9x 41 x 2 9x 41 x 12
1 x x
1 x x
当且仅当 9x 41 x即x 2 时等号成立
1 x x
5
y 4 9 1312 25 x 1 x
2
复习
1．运用不等式求一些最值问题．
用 a＋b≥2 ab求最小值；用 ab≤(a＋2 b)2≤a2＋2 b2求最大值．
2、已知 x, y 都是正数，
（1）如果积 xy 是定值P，那么当 x y 时，
和 x y有最小值 2 P （2）如果和 x y是定值S，那么当 x y 时，
积 xy 有最大值 1 S 2
即 x＝3，y＝6 时，等号成立，
故 x＋y 的最小值为 9.
例5 （1)已知 x, y 0且
x y 1，求
21 xy
的最小值.
（2）已知正数 最小值.
x, y 满足
1 1 2，求
xy
x 2y
的
(1)原式=(
2 x

1 y
)( x

y)

3
x

2y
3 2
yx
2
（2）x 2y 1 (x 2y)( 1 1 )

6 (x2
x2 1 1) 3

∵ x2 1 3 2 3 x2 1
6 x2 1
3 x2 1
y 6 3 23
当且仅当 x 2 1 3 即x 2 2, x 2 时取得最大值 x2 1
2．函数 f(x)＝x＋x1的最大值为(
)
2
1
A.5
B.2
§3.4基本不等式
基 本 不 等 式 求 最 值
一.一1知.重、识要知梳的识理不梳等理式
重要不 应用 “＝”何时 等式 条件 取得
a b ab 2
a,b R
ab
作用
和积
变形
ab a b 2 2
a2 b2 2ab a,b R
ab
平方和 积
a2 b2 ab