第1课时圆的标准方程题型总结

[类题通法] 确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C(a，b)及半径 r， 其求解的方法：一是待定系数法，如解法一，建立关于 a，b， r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直 接求得圆心坐标和半径，如解法二、三．一般地，在解决有 关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
[对点训练] 1．求下列圆的标准方程：
B．(－1， 3)
C．(1，－ 3)
D．(－1，－ 3)
答案：C
2．点 P(m,5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是( )
A．在圆外
B．在圆内
C．在圆上
D．不确定
解析：∵m2＋25＞24，
∴点P在圆外．
答案： A
3．若点P(－1， 3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝ ________.
又由两点间的距离公式得 r＝|CP1|＝ 4－52＋9－62＝ 10， 故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离： |CM|＝ 6－52＋9－62＝ 10； |CN|＝ 3－52＋3－62＝ 13＞ 10； |CQ|＝ 5－52＋3－62＝3＜ 10. 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
圆的标准方程
【知识梳理】
1.圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到 定点的距离等于定长 的点的 集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的要素是 圆心 和 半径 ，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆 的标准方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以 原点 为圆 心、半径为r的圆．
－1－1－a2a＋2＋－11－－bb22＝＝rr22，， a＋b－2＝0，
解此方程组，得
a＝1， b＝1， r2＝4.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴ a－12＋2－a＋12 ＝ a＋12＋2－a－12， 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
[类题通法] 1．判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可； (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号， 并作出判断． 2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出 不等式或方程，求解参数范围．
[对点训练]
2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则 a 的取值范
【常考题型】
求圆的标准方程
[例1] 过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝ 0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
[解析] 法一：设所求圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知
点与圆的位置关系 [例2] 如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)． (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3) 是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[解] (1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中 点，得a＝4＋2 6＝5，b＝9＋2 3＝6.
围是( )Baidu Nhomakorabea
A．－1＜a＜1
B．0＜a＜1
C．a＞1 或 a＞－1
D．a＝±1
解析：由于点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所
以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.
答案： A
【练习反馈】
1．圆(x－1)2＋(y＋ 3)2＝1 的圆心坐标是( )
A．(1， 3)
2.点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心 A(a，b)，半
径为 r.设所给点为 M(x0，y0)，则
位置
判断方法
关系 几何法
代数法
点在 │MA│＝r⇔ 点 M(x0，y0)在圆上⇔(x0 圆上 点 M 在圆 A 上 －a)2＋(y0－b)2＝r2 点在 │MA│<r⇔点 点 M(x0，y0)在圆内⇔(x0 圆内 M 在圆 A 内 －a)2＋(y0－b)2＜r2 点在 │MA│>r⇔点 点 M(x0，y0)在圆外⇔(x0 圆外 M 在圆 A 外 －a)2＋(y0－b)2＞r2
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 解得b＝0或b＝－8，则圆心为(0,0)或(0，－8)． 又∵半径r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)直线CD的斜率kCD＝13＋－11＝1， 线段CD中点E的坐标为(0,2)， 故线段CD的垂直平分线的方程为 y－2＝－x，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2， 即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式， 得r＝ 2－12＋0－32＝ 10. 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)； (2)圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，－4)； (3)求过两点 C(－1,1)和 D(1,3)，圆心在 x 轴上的圆的标准 方程．
解：(1)圆的半径长r＝ 5－42＋2＋12＝ 10， 故圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝
1－－1 －1－1
＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以
AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是
直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由yx＝＋xy，－2＝0， 得xy＝＝11，，
即圆心为(1,1)，圆的半径为 1－12＋[1－－1]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. [答案] C