高中数学 2.4平行与垂直综合问题课件 新人教A版必修2

面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是正三角形，且AD
＝DE＝2，AB＝1，F是CD的中点．
栏
(1)求证：AF∥平面BCE;
目 链
(2)求多面体ABCDE的体积．
接
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9
(1)证明：如图，取 CE 的中点 M，连接 FM，BM，则有 FM 21DE
AB，所以四边形 AFMB 是平行四边形，故 AF∥MB，又 BM⊂
则MN∥EC，且MN＝EC.
栏
∵EC∥BD，∴MN∥BD，∴点N在平面BDM 内．
目 链 接
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN，
∴BN⊥平面ECA.
∵BN在平面MNBD内，
∴平面MNBD⊥平面ECA，
即平面BDM⊥平面ECA.
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(3)∵DM∥BN，BN⊥平面CAE，
∴DM⊥平面ECA，又DM⊂平面DEA，
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
栏 目
(3)平面DEA⊥平面ECA.
链 接
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分析：由题目可获取以下主要信息：
(1)EC⊥平面ABC，正三角形ABC；
(2)BD∥CE且CE＝CA＝2BD.
解答本题可先由线∥线，线⊥面的性质，再由M
是EA的中点得线⊥线，线⊥面，进而证得面⊥
同时AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD.
栏
目
(3)由(1)知PD⊥BC，
链
接
又BC⊥DC.∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角PBCD的平面角．
在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.
∴二面角PBCD是45°的二面角．
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►跟踪训练
1．如右下图所示，在棱长均为2的斜三棱柱 ABCDEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE＝O， AB＝AE，连接AO，求证：AO⊥平面FEBC.
面．
栏
目
证明：(1)如右图所示，取EC的中点F，连接DF，
链
∵EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
接
∴EC⊥BC，易知DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
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∵EF＝EC，EC＝2BD，
FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，
证明：∵BCFE是菱形，∴BF⊥EC，
又∵BF⊥AE，且AE∩EC＝E，
栏
目
∴BF⊥平面AEC，而AO⊂平面SEC，
链
接
∴BF⊥AO，
∵AE＝AB，AB＝AC，∴AE＝AC.
∴AO⊥EC，且BF∩CE＝O，
∴AO⊥平面BCFE.
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题型二 线面平行与垂直的综合应用
例2 如右图所示，已知多面体ABCDE中，AB⊥平
(1)PD⊥平面ABCD；
栏
(2)平面PAC⊥平面PBD；
目 链
(3)二面角PBCD是45°的二面角．
接
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5
分析：由题目可获取以下主要信息：
①ABCD 是正方形，边长为 a；
②PD＝a，PA＝PC＝ 2a.
解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定 栏
定理进行判定．第(3)问可先找出二面的平面角，再证明平面角等于
平面 BCE，
AF⊄平面 BCE，所以 AF∥平面 BCE.
栏 目
(2)解析：易得 DE⊥AF，AF⊥CD，
链 接
所以 AF⊥平面 CDE，又 AF∥MB
故 BM⊥平面 CDE，
所以 VABCDE＝VB－ACD＋VB－CDE
＝ 33＋23× 23×2＝ 3.
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►跟踪训练
2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的 中点，求证：
2．4 平行与垂直综合问题
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1
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栏 目 链 接
2
能运用公理、定理和已获得的结论证 明一些空间位置关系的简单命题．
完整版pБайду номын сангаасt
3
栏
典例
精
析
目 链
接
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4
题型一 线面垂直、面面垂直的综合问 题 例1 如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长 为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：
目 链
45°.
接
证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝ 2a， ∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD，又 AD∩DC＝D， ∴PD⊥平面 ABCD.
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(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.
∴平面DEA⊥平面ECA.
栏 目
点评：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定， 链
其中证明BN⊥平面ECA是关键．
接
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