Aldmin《数学分析》3第一章 实数集与函数---§2数集和确界原理

秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。

授课章节：第一章 实数集与函数---§２数集和确界原理

教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。

教学要求：（１）掌握邻域的概念；（２）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加

以运用。

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。

教学难点：确界的定义及其应用。

教学方法：讲授为主。

教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。

引言

上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！

１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.

３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.

４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.

[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。

本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。

一 区间与邻域

１．区间（用来表示变量的变化范围）

设,a b R ∈且a b <。

{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

２．邻域

联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？

（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻

域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即

{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.

（２） 点a 的空心δ邻域

{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .

（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域

{}{}00(;)[,)();

(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+

（４） 点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域

{}{}00(;)(,]();

(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<

（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域

{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-

二 有界集与无界集

什么是“界”？

定义１（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集。若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称Ｓ为有上（下）界的数集。数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集。

若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。

注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：

例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性。

分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明。

解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界。证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.

综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集。

例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集。

[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)。

三 确界与确界原理

１、定义

定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;

(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=

定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.

上确界与下确界统称为确界。

［作业］：Ｐ９ １（１），（２）； ２； ４ （２）、（４）；７