1概率论基础
概率论基础：定义与原理
概率论基础：定义与原理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性和统计规律性。
在现代科学和工程技术中有着广泛的应用。
概率论的基础是概率的定义和概率的基本原理。
本文将介绍概率论的基础知识，包括概率的定义、概率的性质、概率的基本原理等内容。
一、概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
在数学上，概率可以用数值来表示，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的定义有多种形式，其中最常见的是古典概率和统计概率。
1. 古典概率古典概率是指在随机试验中，样本空间有限且每个基本事件发生的可能性相同的情况下，事件A发生的概率可以用如下公式表示：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A发生的基本事件数，n(S)表示样本空间中基本事件的总数。
2. 统计概率统计概率是指在实际观察中，通过频率来估计事件发生的概率。
当试验次数足够多时，事件A发生的频率将逼近其概率值。
统计概率是概率论中最基本的概念之一，也是实际应用中最常用的概率计算方法。
二、概率的性质概率具有一些基本性质，这些性质是概率论研究的基础，也是概率计算的重要依据。
1. 非负性对于任意事件A，其概率值满足P(A) ≥ 0。
2. 规范性对于样本空间S，其概率值为1，即P(S) = 1。
3. 可列可加性对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 对立事件的性质对立事件是指事件A和其补事件A'，即A与A'互为对立事件。
对立事件的概率满足P(A) + P(A') = 1。
5. 事件的包含关系若事件A包含事件B，则P(A) ≥ P(B)。
三、概率的基本原理概率的基本原理包括加法法则和乘法法则，是概率计算的基础。
1. 加法法则加法法则是指对于任意两个事件A和B，它们的并事件的概率可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
1概率ACH1-习题课
C
(1)最小号码为5,即从6、7、8、9、10里选两个, 所求概率为:
C C
2 5 3 10
1 12
(2)最大号码为5，即从1，2，3，4里选两个，
2 所求概率为： 4 3 10
1 C = 20 C
8、从一批由1100件正品，400件次品组成的产品中
任取200件.求： (1)恰有90件次品的概率;(2)至少有2件次品的概率。
解： P( AB) P( A) P( AB ) =0.7-0.5=0.2
P ( AB) P( AB) P( B A B ) P ( A B ) P( A) P ( B ) P( AB )
0.2 0.25. 0.7 0.6 0.5
16、根据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率
贝叶斯公式
P ( Bi A) P ( Bi | A) P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi )
P( A | B )P( B )
j 1 j j
n
i 1,2,, n
事件的独立性
P ( A1 An ) P ( A1 ) P ( An ) P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 ) P ( An )
配成一双”（事件A）的概率是多少？
4 解： 样本空间总数:C10 210
1
3
5
7
9
事件A:4只恰成1双或恰成2双.
2 4只恰成2双的取法: C5 10
2 4 2 61 8 10 1 1 2 1 1 ） 4只恰成1双的取法:C5 C4 C2C2 120 或C（C8 - C4 120 5
概率论基础知识
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
概率论的基础
概率论的基础1 预备知识在开始介绍概率论之前，我们需要先了解一些预备知识。
1.1 集合运算概率论中经常会涉及到集合运算，因此我们需要先了解集合运算的基本概念。
集合是由一些确定的对象组成的整体。
我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
常见的集合运算有：- 并集：将两个集合的元素合起来，得到包含这两个集合所有元素的新集合。
记作A∪B。
- 交集：只将两个集合中都有的元素取出来，得到一个新的集合。
记作A∩B。
- 补集：集合A的补集是指集合U中所有不在A中的元素的集合。
记作A'或者A^c。
- 差集：从集合A中减去集合B中的元素，得到一个新的集合。
记作A-B。
1.2 条件概率在概率论中，条件概率是指在已知一种事件发生的前提下，另一种事件发生的概率。
记作P(B|A)，表示在事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为：$$P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
1.3 独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生不会互相影响。
也就是说，当事件A发生与否对事件B发生的概率没有任何影响时，我们称事件A和事件B是独立的。
如果事件A和事件B是独立的，那么有以下公式成立：$$P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$$反之，如果有以上公式成立，那么我们可以认为事件A和事件B是独立的。
2 概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率论中，我们用P(E)表示事件E发生的概率。
2.1 古典概型如果所有的结果都是等可能的，那么我们可以使用古典概型来计算概率。
例如，掷硬币和掷骰子都是古典概型，因为每一个结果都是等可能的。
在古典概型中，如果一个事件E可以由n个元素构成，且所有的元素等可能，那么事件E发生的概率就是：$$P(E) = \frac{\text{符合事件E的结果个数}}{\text{总结果个数}} = \frac{n_E}{n}$$2.2 条件概率法则如果我们已知事件B发生，在B的基础上怎么计算事件A发生的概率呢？根据条件概率公式，我们有：$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$这个公式被称为条件概率法则。
1概率基础知识1
全概率公式
若 事 件 A1 A 2 , ..., A n 满 足 ： （1） A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n = Ω ( 2 ) Ai ∪ A j = ∅ ( i ≠ j , i , j = 1, 2, ..., n ) 则 称 A1 A 2 , ..., A n 为 完 备 事 件 组 。
Ａ、B是随机试验 的两个随机事件， 是随机试验E的两个随机事件 定义 设Ａ、 是随机试验 的两个随机事件， 且P(A)>0,则称 则称
P( AB) P( B | A) = P( A)
为已知事件A发生条件下，事件B发生的条件 为已知事件 发生条件下，事件 发生的条件 发生条件下 概率。 概率。
B ABA
概率的公理化定义
设随机试验E的样本空间为 设随机试验 的样本空间为 ，所有事件构 成事件集合L，对于L上的任一事件 上的任一事件A赋予一 成事件集合 ，对于 上的任一事件 赋予一 个实数P(A),满足： 满足： 个实数 满足 1. 0≤P(A)≤1 2.P( )=1 3.对于 的两两不相 P ( 对于E的两两不相 对于 容的事件A 容的事件 1,A2,…,有 有
C C
k D
n−k N −D
种,
k D n−k N −D
于是所求的概率为
p =C C
/C
n N
几何概率
向该正方形随机投针， 向该正方形随机投针，求针落在 红色区域A的概率 红色区域 的概率 A
Ω
几何概型实验
1.样本空间是直线、 1.样本空间是直线、平面或空间上的某个 样本空间是直线 区域，含有无限多个样本点； 区域，含有无限多个样本点；
∑
∞
i =1
Ai ) =
∑
∞
第1章 概率论基础知识
1.1.2 条件概率与概率乘法公式
1 条件概率
例 1.1.1 一个包装箱里有6件产品。假设其中有4件是一级品， 2件为二级品。若随机实验E是“从包装箱中随机抽取1件产 品”，则明显地，抽到二级品的概率是1/3。 若事件A是“第一次抽取并抽到二级品”，事件B是“第二 次抽取并抽到二级品”，那么在事件A发生的条件下，再从 剩下的5件产品中抽取1件，事件B发生即“第二次抽到二级 品”的概率就是1/5。 我们称这样的概率为“事件A发生的条件下，事件B发生的 概率”，简称为“事件B的条件概率”，记为P{B|A}. 本例中P{B|A}=1/5。
2 基本事件
一次随机实验的可能结果，称为基本事件或基本随机事件。
3 样本空间
所有基本事件组成的集合，称为样本空间或基本空间。
4 随机事件
随机事件简称事件，是指基本事件的集合。
5 相容事件与不相容事件
在一次随机实验中不可能同时发生的事件，称为不相容事件， 反之称为相容事件。
6.概率（Probability）
为对比条件概率与非条件概率的区别，现在来看上例中P(B) 等于多少？ 由于B指的是“第二次抽到二级品” 的事件，而这时A可能发 生，也可能不发生（即A的对立事件Ac发生）。这样事件B就 可以表示成：B=AB+AcB。注意到AB与AcB是互不相容的。 因此 2 1 4 2 1 c P( B) P( AB ) P( A B) 6 5 6 5 3 注意到事件A的概率也是P(A)=1/3. 于是有如下的表达式：
P{B | A} P( AB) P{ A | B}P( B) P( A) P( B) P( B) P( A) P( A) P( A)
2. 相互独立事件的概率乘法公式
1 概率论(基础)
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统
计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。 它在经济、科技、教育、管理和军事等方面已 得到广泛应用。
2014-2-26
教育统计与质量评价
微信：wxkzzaw 8
随机实验例子
E1 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出
A
B
C
2014-2-26
教育统计与质量评价
微信：wxkzzaw 10
1.2 频率的定义与性质
1.2.1 定义 在相同的条件下，进行了n次试验， 在这n次
试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生 的次数或频数。 比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成 fn(A) 。
2014-2-26
教育统计与质量评价
概率论起源于16世纪；17世纪中期，惠更斯
（Huyghens）发表的《论赌博中的计算》标 志着概率论的诞生；19世纪，拉普拉斯 （Laplace）所著的《概率的分析理论》实现 了从组合技巧向分析技巧的过渡，开辟了概率 论发展的新时期；1933年，柯尔莫哥洛夫 （Kolmogorov）提出了概率的公理化定义， 概率论成为一门严密的演绎科学；现代概率论 应用于几乎所有的科学领域。
微信：wxkzzaw 13
教育统计与质量评价
历史上一些著名的掷硬币实验
实验者 德•摩根 n 2048 nH 1061 fn(H) 0.5181
蒲 丰
K •皮尔逊 K •皮尔逊
2014-2-26
4040
12000 24000
2048
6019 12012
0.50Hale Waihona Puke 90.5016 0.5005
第一章_概率论基础
注2
随机变量概念的理解
1） 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, 随机变量 X可理解为 从样本空间 Ω到实数集 Rx的一个映 射.
A
B
易知 A+= A+=A
n个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生 是一个事件, 称为事件的和, 记作： A1+A2+…+An 或 A1A2…An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生, 记作
A
i 1
i
或
A
i 1
i
事件的交(积)
两个事件A与B同时发生, 即"A且B", 是一 个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A 又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB
事件间的关系及其运算
为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件 或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示 一具体的事件.
A
事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 即属 于A的每一个样本点都属于B，则称事件B包含事 件A或称事件A含于事件B，记作： BA或AB
A
B
易知 A=A A=
对立事件
事件"非A"称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成 的集合. 记作 A
显然
AA , A A , AA
A
A
事件的差
事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B 的那些样本点构成的集合. 记作 AB
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
概率论基础知识
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 两事件互斥
AB
二者之间没 有必然联系
定义2: 设A,B,C是三个事件,若满足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C为相互独立的事件. 定义3：对n个事件A1,A2,…,An,如果对所有可 能的组合1≤i<j<k<…≤n成立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An), 则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但 也有不足，即无法根据此定义计算某事件 的概率。
2.2、古典概型
若随机试验满足以下特征：
(1)试验的可能结果只有有限个；
(2)各个结果的出现是等可能的. 则称此试验为古典概型.
古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
Ai — 第i次试验中A发生, 则
k P( X k ) Cn p k q nk , k 0,1,2,, n
称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为
P( A n A1A 2 A n1 )
2.4 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分 定义 : 若B1, B2 , , Bn一组事件满足:
(i) Bi B j , i j, i, j 1, 2, ...,n,
概率论基础
概率论基础1、概率基础知识1.1 引言先做两个简单的试验：试验1：一个盒子中有十个完全相同的白球，从中任意摸出一个；试验2：盒子中有十个完全相同的球，其中五个白球，五个红球。
对于试验1，在球没有取出之前，我们就能确定取出的必定是白球。
这种试验，根据试验开始的条件应可以确定实验的结果。
而对于试验2，在球没有取出之前，我们从试验开始时的条件不能确定试验的结果(即取出的是白球还是黑球)，也就是说一次试验的结果在试验之前是无法确定的。
对于后一种试验，似乎没有什么规律可言，但是，实践告诉我们，若从盒子中反复多次取球(每次取出一球，记录其颜色后放回)，那么可以观察到这样的事实：试验次数n相当大时，出现白球的次数n白和出现黑球的次数n红是很接近的，其比值n白/n红会逐渐稳定于?，这个事实是可以理解的，因为盒子里的白球数等于红球数，从中任意摸出一个，取得白球或红球的"机会"应该是平等的。
于是，我们面对着两种类型的试验。
试验1代表的类型在试验之前就能断定它的结果，这种试验所对应的现象叫确定现象。
比如："早晨，太阳从东方升起""边长为a,b的矩形，其面积为ab"…过去我们所学的各门课程基本上都是用来处理和研究这类确定现象的。
试验2所代表的类型，它有多于一种可能的结果，但在一次试验之前会出现那种结果，应一次试验而言，没有规律可言，但是?quot;大数次"的重复这个试验，试验结果又遵循某些规律(这些规律我们称之为"统计规律")，这类试验叫做随机试验。
其代表的现象叫随机现象。
比如："某地区的年降雨量""打靶时弹着点离靶心的距离""电话交换台单位时间内收到的用户的呼唤次数"…概率论和数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学分科。
1.2 随机事件与样本空间我们在前面已经介绍了随机试验，现在再进一步明确其含义。
第一章概率论基础知识
P{x1Xx2}P{x1Xx2}P{Xx1} F(x2)F(x1)P{Xx1}
2020/12/26
■分布函数的性质
⑴ 单调不减性：若x1 x2，则 F(x1) F(x2)
⑵ 归一 性：对任意实数x, 0Fx1，且
F ( )lim F (x)0,F( )lim F(x)1 ;
解 由题意可知 RX{0,1,2,3}，则 X 的分布律为
X0
1
2
3
p k p 3 C31(1p)p2 C32(1p)2p (1 p )3
2020/12/26
将 p 1/2带入可得 X 的分布律为
X0
1
2
3
pk 1
3
3
1
8
8
8
8
2020/12/26
2.常用的离散型随机变量
（1） (0—1)分布 定义1 如果随机变量X的分布律为
x
x
⑶ 右连续性：对任意实数 X F (x 0 ) lim F (t) F (x ).
t x
具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分 布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。
2020/12/26
例1 已知 F xA arcx tB a，n求 A，B。
解
FAB0
2
FAB1
A1
F'xfx
2020/12/26
例1 设X 的分布函数为 Fx1e2x, x0
0, x0
求 P X 2 ,P X 3 ,fx .
解 PX2F2 1e4
P X31PX31F3 e 6
fxFx
2e
2
x
概率论基础知识
则 P(A)=95/100, P(B|A)=5/100, P(B)=5/100。
注：由计算结果可见，本例中事件A与B是相互独立的。下面 我们来检验一下是否 P(AB)=P(A) P(B)。
事实上，由于A与B相互独立，事件AB可看成一个事件分
两个阶段发生：“第一次抽到正品，第二次抽到次品”，第 一阶段事件发生的可能性为 1 为
C100
1 C95
，第二阶段事件发生的可能性 1 .
C100
1 C5
1 1 C95 C5 95 5 故按乘法原理， P( AB) 1 1 P( A) P( B) C100 C100 100 100
§6 随机变量的概念
设试验 E 的样本空间为，X(e)是与样本 e 有关的一个量。 若对每个可能发生的结果(样本)e，都有唯一的实数X(e)与之 对应，则称变量X(e)为随机变量，简记为 X。 注: (1) 若一个随机变量 X 的所有取值能够一一列举出来，则称
§5 事件的独立性
若一个事件发生的概率不受另一事件发生的影响，
则称这两个事件是相互独立的。或者说，若 P(B|A)=P(B)， 则称 A 与 B 相互独立。 注：事件A与 B 相互独立当且仅当 P(AB)=P(A) P(B).
例9 某厂生产的100个零件中有5个次品，采用有放回抽样，求 抽出的第 1 件为正品且第 2 件是次品的概率，及第二次抽到次 品的概率。 解：设 A为第一次抽到的是正品；B为第二次抽到的是次品。
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 令：A=“出现不大于4的点”，B=“出现小于3的点”。
则A、B是上的两个事件：A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2}。
当投掷结果出现4时，A发生； 当投掷结果出现2时，A、B都发生；
概率论基础
均匀分布
对任意实数 x [a, b] ，若 a x x x b ，那么随机变量 X 位于区 间 [ x, x x] 内的概率为
P ( x X x x ) x x 1 x ． dx x ba ba
例 盒中有 2 个白球 3 个黑球，从中随机取 3 个球， 求取得白球数的概 率分布．
二点分布
定义 若随机变量 X 的分布为
P( X 1) p ， P( X 0) 1 p ，
则称 X 服从以 p 为参数的二点分布，或 0-1 分布．
二项分布
定义 若随机变量 X 的概率分布为
全概率公式
定义 对于集合 S ， 集合 S 的一列非空子集 A1 , A2 ,, An 称为
S 的划分，如果这一列子集满足
（1） Ai Aj ， i j ， i, j 1, 2,, n ； （2） A 1 A2 An S ．
定理（全概率公式） 设样本空间为 ， A1 , A2 ,, An 是 的 一个划分，且 P( Ai ) 0 ， i 1, 2,, n ，则事件 B 发生的概 率为
概率密度
定义 概率为 若存在非负函数 f ( x ) ，随机变量 X 在任意区间上的 ( a, b)
P(a X b) f ( x)dx ，
a
b
则称随机变量 X 为连续型随机变量， f ( x ) 称为 X 的概率密度函 数，简称密度函数或概率密度．
概率密度
例 设连续型随机变量 X 的概率密度为
2. 相互对立的事件概率之和为 1．即对任意的事件 A ，
P( A) P( A) 1 ．
概率论基础知识梳理
概率论基础知识梳理概率论基础知识梳理引言：概率论是一门重要的数学分支，它用于理解和预测随机事件的发生概率。
在日常生活中，我们经常面临各种各样的不确定性，例如天气变化、股市涨跌和彩票中奖等。
了解概率论的基础知识将帮助我们更好地分析和决策，从而在面对不确定性时做出明智的选择。
一、概率的基本概念和性质1.概率的定义：概率是描述一个事件发生的可能性大小的数值。
用P(A)表示事件A 发生的概率，0 ≤ P(A) ≤ 1。
2.概率的性质：- 事件的概率不会小于0，也不会大于1。
- 必然事件的概率为1，即P(S) = 1，其中S表示样本空间。
- 不可能事件的概率为0，即P(∅) = 0，其中∅表示空集。
- 对于任意两个互斥事件A和B，它们的联合概率为P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
二、条件概率和独立性1.条件概率：条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
用P(A|B)表示事件A在给定事件B的条件下发生的概率。
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：乘法定理用于计算两个事件的联合概率，它表达为P(A∩B) = P(A|B) * P(B)。
3.独立事件：如果两个事件A和B满足P(A|B) = P(A)，或者等价地，P(B|A) =P(B)，则称事件A和事件B相互独立。
三、随机变量和概率分布1.随机变量：随机变量是对随机现象结果的数值化描述。
可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量只能取有限个或可数个值，例如抛硬币的结果（正面或反面）。
连续随机变量可以取任意实数值，例如测量某物体的长度。
2.概率分布：概率分布用于描述随机变量各个取值的概率。
离散随机变量用概率质量函数（PMF）表示，连续随机变量用概率密度函数（PDF）表示。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布；常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布等。
四、期望和方差1.期望：期望是对随机变量取值的加权平均值，用E(X)表示，其中X为随机变量。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结1. 概率论基础- 随机事件：一个事件是随机的，如果它可能发生也可能不发生。
- 样本空间：所有可能事件发生的集合。
- 事件的概率：事件发生的可能性的度量，满足0≤P(A)≤1。
- 条件概率：在另一个事件发生的条件下，一个事件发生的概率。
- 贝叶斯定理：描述了随机事件A和B的条件概率和边缘概率之间的关系。
- 独立事件：两个事件A和B是独立的，如果P(A∩B) = P(A)P(B)。
- 互斥事件：两个事件A和B是互斥的，如果它们不能同时发生，即P(A∩B) = 0。
2. 随机变量及其分布- 随机变量：将随机事件映射到实数的函数。
- 离散随机变量：取值为有限或可数无限的随机变量。
- 连续随机变量：可以在某个区间内取任意值的随机变量。
- 概率分布函数：描述随机变量取值的概率。
- 概率密度函数：连续随机变量的概率分布函数的导数。
- 累积分布函数：随机变量取小于或等于某个值的概率。
- 期望值：随机变量的长期平均值。
- 方差：衡量随机变量取值的离散程度。
3. 多维随机变量及其分布- 联合分布：描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。
- 边缘分布：通过联合分布求得的单个随机变量的分布。
- 条件分布：给定一个随机变量的值时，另一个随机变量的分布。
- 协方差：衡量两个随机变量之间的线性关系。
- 相关系数：协方差标准化后的值，表示变量间的线性相关程度。
4. 大数定律和中心极限定理- 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值以概率1收敛于总体均值。
- 中心极限定理：独立同分布的随机变量之和，在适当的标准化后，其分布趋近于正态分布。
5. 数理统计基础- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 总体：研究对象的全体。
- 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
- 点估计：给出总体参数的一个具体估计值。
- 区间估计：给出一个包含总体参数可能值的区间。
- 假设检验：对总体分布的某些假设进行检验。
- 显著性水平：拒绝正确假设的最大概率。
第一章 概率论基础(1)
频率 fi
m1 m2 n1 n2
ms
ns
稳定在某个值 附近
概率的统计定义
在相同条件下对试验E重复进行n次，其中事 件A出现m次。当试验次数n充分大时，事件
A出现的频率fn(A)=m/n的稳定值,称为事件
A的概率，记为P(A).
P=P (A) ≈fn(A)=m/n
频率和概率 有什么关系？
1.频率取决于试验，而概率是先于试验而客观 存在的。
第一章 概率论基础
§1.1
随机试验
为了研究随机现象内部的规律性，就 要对研究对象进行观察试验，即随机试验， 简称试验。常用字母E表示。
试 1. 试验可以在相同条件下重复进行
验 的 特 点
2. 每次试验的可能结果不只一个，且 试验之前不能肯定会出现哪一个结果 3. 试验可能出现的结果可以预知
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
n
n
P( i 1
Ai
)
i 1
P( Ai )
P( Ai Aj )
1i jn
P( Ai Aj Ak ) ... （1）n1P( A1A2...An )
1i jk n
条件概率
定义: 设Ａ、B是随机试验E的两个随机事件， 且P(A)>0,则称
P(B | A) P( AB) P( A)
为已知事件A发生条件下，事件B发生的条件 概率。
统计一天中进入某商店的顾客 人数.
随机事件
在随机试验中可能发生也可能不发生的事 情称为随机事件，简称事件.
事 基本事件 （试验中不可再分解的事件）
件
分
（两个或多个基本事件就 构
类 复合事件 成一个复合事件）
概率论基础知识
则 A 与 B 便是互不相容的。
7、对立：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，记为 显然
，A∩ =φ
例如，从有 3 个次品，7 个正品的 10 个产品中任取 3 个，若令 A={取得的 3 个产品中至少有一个次品}，则 ={取得的 3 个产品均为正品}。
第 4 页 共 73 页
而 P（B）=3P（A）=
概率论基础知识
定义 1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为 NΩ而事件 A 所 含的样本数，即有利于事件 A 发生的基本事件数为 NA，则事件 A 的概率便定义为：
例 1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。 解：用 H 表示正面，T 表示反面，则该试验的样本空间
若 A B，则 A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A
等等。
第 3 页 共 73 页
概率论基础知识
例 3，从一批产品中每次取一件进行检验，令 Ai={第 i 次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示 下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合 格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝
2048 4040 12000 24000 30000
概率论基础知识
1061 2148 6019 12012 14994
0．5180 0．5069 0．5016 0．5005 0．4998
定义 2：在相同条件下，将试验重复 n 次，如果随着重复试验次数 n 的增大，事件 A 的频率 fn(A)越来越 稳定地在某一常数 p 附近摆动，则称常数 p 为事件 A 的概率，即 P（A）=p 不难证明频率有以下基本性质：
2024年余丙森概率论辅导讲义
2024年余丙森概率论辅导讲义第一节：概率论基础1.1 概率论的起源和发展概率论是研究随机现象的数学分支，起源于古代赌博和游戏。
随着时间的推移，概率论逐渐发展成为一门独立的学科，并在各个领域中得到广泛应用。
1.2 概率的定义和性质概率是描述某个事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的一个实数表示。
概率具有可加性、非负性、规范性等基本性质。
1.3 随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它是对随机现象的数学建模。
概率分布描述了随机变量的取值及其对应的概率。
1.4 条件概率与独立性条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
独立性是指两个事件的发生与否互不影响。
1.5 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量。
第二节：概率分布2.1 离散型随机变量与概率分布离散型随机变量只能取有限或可数个数值，其概率分布由概率质量函数表示，例如伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2.2 连续型随机变量与概率密度函数连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布由概率密度函数表示，例如均匀分布、正态分布、指数分布等。
2.3 两个重要的分布：正态分布和泊松分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，具有对称性和稳定性，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数。
第三节：随机变量的特征函数和大数定律3.1 随机变量的特征函数特征函数是随机变量的一个重要特征，通过特征函数可以唯一确定随机变量的分布。
3.2 大数定律大数定律是概率论中的重要定理，描述了随机事件重复进行时，频率逐渐趋近于概率的现象。
第四节：中心极限定理与统计推断4.1 中心极限定理中心极限定理是概率论中的核心定理之一，描述了大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布的现象。
4.2 统计推断统计推断是利用样本信息对总体进行推断和决策的方法，包括参数估计和假设检验两个方面。
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概率论研究的对象——随机现象 例1.1：生活中的随机现象举例
抛掷一颗骰子，出现的点数 一天内进入某超市的顾客数 某一生产线生产出的灯泡的寿命 某批产品的不合格率
随机试验：满足以下三个特点的试验
试验可以在相同的条件下重复进行 试验有多种可能的结果，并且事先可以明确所有可能出现的结果 试验完成之前不能预知会出现哪一个的结果
1.2 概率的基本性质
根据概率的公理化定义，有：
性质1（非负性）：对于任意事件A，有P(A)≥0 性质2（规范性）：必然事件Ω 的概率为1，即P(Ω )=1 性质3（可列可加性）：对于可列个两两互不相容事件A1，A2，„，有 P(A1∪A2∪„)=P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An)
公理导出性质：
事件运算遵循的法则
交换率： A B B A AB BA 结合率： (A B) C A (B C) (AB)C A(BC) 分配率： (A B) C (A C) (B C) (A B) C AC BC 对偶率（德莫根公式）： A B A B A B A B
P(A) P(A1 ) P(A 2 ) P(A 3 )
1 2 1 3 C4 C7 C42C7 C4 28 14 4 26 3 3 3 C11 C11 C11 55 55 165 33
解法2：将“3个代表中至少有一个女工”记为事件 A，则 A =“3个代表全部为男 3 C7 7 工”，而 P(A) 3 ，根据性质6可求得 P(A) 1 P(A) 1 7 26
(n 2)! 1 n! n(n 1)
P(A i A j A k )
(n 3)! 1 n! n(n 1)(n 2)
P(A 1 A 2 A n )
1 n!
P(A1 A 2 A n ) 1 1 1 C2 C3 n n n n(n - 1) n(n - 1)(n - 2) 1 (1) n 1 n! 1 1 1 1 (1) n 1 2! 3! n! C1 n
性质4：不可能事件Ø的概率为0，即P(Ø)=0 性质5（有限可加性）：对于任意n个事件A1,A2,„An，若AiAj= Ø （i,j=1,2,„,n；i≠j），则P(A1∪A2∪„∪An)= P(A1)+ P(A2)+„+P(An) 性质6：对于任意事件A，有P( A )=1-P(A) 性质7：对于任意事件A和B，若A包含B，则P(A-B)=P(A)-P(B) 性质8（减法公式）：对于任意事件A和B，有P(A-B)=P(A)-P(AB) 性质9（加法公式） 对于任意事件A和B，有P(A∪B)=P(A)＋P(B)-P(AB) 性质10（一般加法公式） 对任意n个事件A1，A2，„，An，有
P( Ai )
i 1 n
P(A A ) P(A A A P(A ) i j n i j k n
i i j i 1 1 1
n
i j k
) (1)n 1 P(A 1A 2 A n )
12
例1.6 职工代表
已知某班组有男工7人、女工4人，现要选出3个代表，求3个代表中至少有一个女 工的概率。 3 解法1：样本空间包含的全部样本点数为 C11 ，以A记“3个代表中至少有一个女 工”，Ai记“3个代表中有i个女工”(i=1,2,3)，则A=A1＋A2＋A3，故所求概率为
Ω A
事件的包含
A包含于B /A
B / B A 事件A发生必然导致事件B发生
Ω B A
6
事件的相等
A与B相等/ A=B 事件A发生必然导致事件B发生，同时事件Ｂ发生必然导致事件A发生
Ω A(B)
事件的互不相容
A与B互不相容 事件A与事件B不可能同时发生
Ω A
B
事件的并
A与B的并/A∪B 属于事件A或B的所有样本点构成的集合
1 1 C5 C3 15 P(A) 2 28 C8
摸球模型在实际问题中的应用
将“白球”、“黑球”替换为“正品”、“次品”，就可以用来求解产品质量抽样检查问题。 向口袋中加入其他颜色的球，可以描述具有更多等级的产品抽样问题，如将产品分为一等品、二等 品、三等品、等外品的产品抽样检查问题。Βιβλιοθήκη 10概率的几何定义
几何概型：设在空间上有一区域Ω ，随机地向Ω 内投掷一点M，满足
M落在区域Ω 内的任意位置的概率都是相等的。 M落在区域Ω 的任何部分区域g内的概率只与g的测度（长度、面积、体积等）成正比，并且与g的位 置和形状无关。
几何概型中随机事件Ag的概率
P(A g ) g的测度 的测度
例1.5 会面问题 已知甲、乙两人约定在6到7时间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟， 过时即可离去。求两人能会面的概率。 解：以甲到达的时刻为x轴，以乙到达的时刻为y轴，建立平面直角坐标系，坐标 平面（x，y）的所有可能结果为图中所示边长为60的正方形，由此得到样本空间 Ω 的测度为SΩ =602，如果两人能够会面，需要满足条件|x-y|≤20，即图中的阴 影部分，其面积为Sg=602-402，故两人能会面的概率为 y
P(A g ) 60 40 5 2 9 60
2 2
60
20 O 20 60 x
11
主观概率
对于一些不能重复的或不能大量重复的现象，根据个人的经验对随机事件发生的 可能性进行估计得出的概率。
例如气象预报“今天夜间多云有阵雨，降水概率60%” ，外科医生认为某患者“手术成功的可能性 为90%”
样本空间(Ω )：一个随机试验的所有可能结果的集合 样本点(ω )：试验的每一个可能结果
4
例：试列出例1.1中随机现象的样本空间
掷一颗骰子的样本空间： ——Ω 1={ω 1,ω 2,…,ω 6}，其中ω i表示出现i点，i=1,2,…,6。也即掷一颗骰子的样本空间为： Ω 1={1,2,…,6} 一天内进入某超市顾客数的样本空间： ——Ω 2={0,1,2,…}，其中0表示一天内无人光顾 某生产线生产出灯泡的寿命的样本空间： ——Ω 3={t|t≥0} 产品的不合格率： ——介于0与1之间的一个实数，因此其样本空间：Ω 4={y|0≤y≤1}
统计学课程简介
授课计划
1
1概率论基础
2
学时：4 授课内容：概率论基础 目的要求：综合复习事件与概率、概率的基本性质、条件概 率与事件独立性、随机变量及其分布，为后面课程的展开打 下基础。 旧知复习：“概率论与数理统计”课程相关知识
1.你周围的随机现象有哪些？ 2.贝叶斯公式形式如何？ 3.概率为0是不是等于不会发生？
频率稳定性
在相同条件下进行的多次重复试验，随着试验重复次数N的增加，随机事件A的频率FN(A)会在某一 固定的常数a附近摆动，这个固定的常数a就是我们所说的概率。
试验者 德摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 10000 12000 24000 出现正面次数 1061 2048 4979 6019 12012 出现正面频率 0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 9
8
1.1.3 事件的概率
概率：
随机事件发生的可能性的量度，常用P(A)表示随机事件A发生的可能性大小。
概率的统计定义 概率的古典定义 概率的四种定义 概率的几何定义 主观概率
概率的统计定义
频率
FN(A)=n/N，其中n为事件A发生的次数 ，N为试验总次数
频率的性质
非负性：FN(A)≥0 规范性：FN(Ω )=1 可加性：若A、B互不相容，则FN(A∪B)= FN(A)＋FN(B)
3
1.1 事件与概率
1.1.1随机试验与随机事件
（1）随机试验与样本空间
自然界和人类社会生产实践中的两类现象
a.确定性现象：具有确定结果的现象，如水的沸点、单摆运动等。 b.不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，并且 在每次试验或观察之前不能预知会出现哪种结果，这类现象称为随机现象。
（2）随机事件
随机事件/事件(A,B,C„)：样本空间Ω 的某个子集
事件A发生：当且仅当事件A所包含的某一样本点出现
随机事件的几个概念
基本事件：仅包含一个样本点的随机事件。例如，掷一颗均匀的骰子，事件B“掷出2点”。 复合事件：包含多个样本点的随机事件。例如，掷一颗均匀的骰子，事件C“出现偶数点”。 必然事件(Ω )：包含全部样本点的随机事件。例如，掷一颗均匀的骰子，事件D“点数小于7”。 不可能事件(Ø)：不包含任何样本点的随机事件。例如，掷一颗均匀的骰子，事件E“点数大于6”。
Ω A B
事件的交
A与B的交/A∩B/AB 同时属于事件A和B的所有样本点构成的集合
Ω A B
7
事件的差
A与B的差/A-B 属于事件A、不属于事件B的所有样本点构成的集合
事件的对立（逆）
A的对立（逆）/
A 样本空间中不属于事件A的所有样本点构成的集合
Ω
Ω
A
B
A
例1.3 产品抽样检查
已知一批外形无差别的产品中有3件次品，现随机地从这批产品中依次抽取3件，分别以A、B、C代 表第一次、第二次、第三次抽到次品。试表示： ①三次都抽到次品 ABC ②只有第一次抽到次品 A BC ③三次都没有抽到次品 A BC ABC ④至少抽到一件次品 ⑤最多抽到一件次品 A BC ABC A BC A BC ⑥最多抽到两件次品 ABC
5
1.1.2事件的关系及运算
（1）事件之间的关系
文氏图：
Venn Diagram，也称韦恩图或维恩图。1880年，维恩（Venn）在《论命题和推理的图表化和机械 化表现》一文中首次采用固定位置的交叉环形式用封闭曲线（内部区域）表示集合及其关系的图形。 展示在不同事物群组（集合）之间的数学或逻辑联系。 用一个长方形表示样本空间Ω ，用其中的一个圆或其他图形表示随机事件A。