概率论练习题第二章补充题3

第二章补充题三

1．随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为

+∞<<∞-=-x e x x 21

)(ϕ

（1） 求ξ的分布函数；（2）求随机变量2ξη=的分布。（3）求随机变量2ξη=的

数学期望及方差。

2. 随机变量ξ的密度函数为

⎩⎨⎧<<=其他

，010,2)(x x x f 对ξ进行n 次独立重复观测，以η表示观测值不大于1.0的次数，试求η的概率分布。

3. 某商店每月销售某种商品的数量X 服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时要

库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

4. 设每次试验中事件A 发生的概率为0.6，请用切比雪夫不等式估计，在1000次独

立试验中，事件A 发生的次数在500—700次之间的概率。

5. 今有一停船码头,它最多只能停靠10条船,多来的船将不得不在码头外等待, 设有

160条船,每条船要在此码头停靠的概率均为0.05, 且它们是否停靠是彼此独立的。

(1)求有船在此码头外等待的概率;

(2)若要以0.99的概率保证码头外无船等待,问应扩建码头, 使码头最少能停靠几条

船;

(3)求要求停靠的平均船数。

6. 设有同类型仪器300台，各仪器的工作相互独立，且发生故障的概率均为0.01，

通常一台仪器的故障可以由一个人来排除。

（1）现有6名工人负责管理这些仪器，求仪器发生故障时因工人不够而不能及时排

出的概率。

（2）问至少配备多少维修工人，才能保证当仪器发生故障但不能及时排除的概率小

于0.01。

（3）求同时发生故障的仪器的平均台数。

7.假定国际市场上，每年对我国某种商品的需求量是随机变量 X （单位：吨），已知

X 服从 [ 2000，4000 ] 上的均匀分布，设每出售这种商品1吨，国家可挣外汇3万

元，但假设销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货

源，才能使国家的平均收益最大？

（ 3500吨 ）

（以下为考研试题）

1. 设随机变量X 的密度函数为

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=00639

21

031)(其他

，，，x x x f

若k 使得3

2)(=≥k X P ，则k 的取值范围是（ ）。 解 由3

2)(=≥k X P 得 3

1)(=

-=k dx x f )( 而当31≤≤k 时，

)(k X P <⎰∞-=k dx x f )(=3

1 2. 设随机变量X 在区间]21[，-上服从均匀分布；随机变量

⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=，，，，，，010001X X X Y

则方差=DY （ ）。

解 随机变量X 有分布密度函数

⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他

，，02131)(x x f

于是

)1(=Y P =)0(>X P =⎰2

031dx =32 )0(=Y P =)0(=X P =0

)1(-=Y P =)0(

131dx =31

3=EY ， 12=EY 所以 =DY 9

8)(22=-EY EY 3. 假设测量误差)10,0(~2N X ，试求100次独立重复测量中，至少有三次测量误

差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。

解 05.0)10

6.1910()6.19(=>=>X P X P 设Y 是100次独立测量中事件{}6.19>X 出现的次数，则)05.0,100(~b Y ，而且Y 近似服从参数5==np λ的泊松分布。

)3(1)3(<-=≥Y P Y P =2989910005.095.02

9910005.095.010095.01⨯⨯⨯-⨯⨯-- 87.05.18007.01)2

1(1≈⨯-=++-≈-λ

λλe 4. 设随机变量一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望和方差。

解 设i A =“第i 台设备要调整”，);3,2,1(=i

考虑随机变量

⎩

⎨⎧=不发生发生，i i i A A X ,01 );3,2,1(=i 则 )(i i A P EX =，

)](1)[(i i i A P A P DX -=

321X X X X ++=

由于321X X X ，，独立，有

)()()(321321A P A P A P EX EX EX EX ++=++=

=0.1+0.2+0.3=0.6

7.03.08.02.09.01.0321⨯+⨯+⨯=++=DX DX DX DX

=0.46

5. 某地抽样调查结果表明，考生外语成绩（百分制）服从正态分布，品均成绩为72分，96分以上的占考生人数的2.3%，试求考生外语成绩在60分至84分之间的概率。

解 设X 是考生外语成绩，则),(~2σμN X ，由题意72=μ，下面求2σ

023.0)96(=≥X P

所以 023.0)729672

(=-≥-σσ

X P 023.0)24(1=Φ-σ，

977.0)24

(=Φσ

查标准正态分布表，得

224=σ，12=σ.

因此 )12,72(~2N X )12

72841272127260()8460(-≤-≤-=≤≤X P X P =1)1(2)1()1(-Φ=-Φ-Φ

=0.682

6. 假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数)(t N 服从参数为t λ的泊

松分布。

（1） 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布。

（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q 。 解 （1） 当0

当0≥t 时，

)(t T P ≤=)(1t T P >-=)0)((1=-t N P

=()t e t λλ--！

010

=t e λ--1 因此，T 有分布函数

⎩⎨⎧<≥-=-0

00,1)(t t e t F t ，λ，

所以 T 服从参数为λ的指数分布。

（2）Q =)816(≥≥T T P =λλλ

8816)8()16(---==≥≥e e

e T P T P