二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质

1.二次函数的图像与性质：

2.抛物线的平移法则：

（1）抛物线k ax +=2

y 的图像是由抛物线2

y ax =的图像平移k 个单位而得到

的。当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移。

（2）抛物线2

)(h x a y +=的图像是由抛物线2

y ax =的图像平移h 个单位而得到

的。当0>h 时向左平移；当0

（3）抛物线的k h x a y ++=2

)(图像是由抛物线2

y ax =的图像上下平移k 个单位，

左右平移h 个单位而得到的。当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移；当0>h 时向左平移；当0

3.二次函数的最值公式：

形如

c bx ax y ++=2

的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值

a b ac y 442-=

最小值

；时当0

，图像有最高点，函数有最大值，a b ac y 442-=

最大值

；

4.抛物线

c bx ax y ++=2

与y 轴的交点坐标是（0，c ）

5.抛物线的开口大小是由a 决定的，a 越大开口越小。

6.二次函数

c bx ax y ++=2

的最值问题：

（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。 （2）自变量的取值范围不是一切实数：

自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴a

b

x 2-

=,把他与取值范围相

比较，再进行求最值。

6.二次函数与一元二次方程的关系：

(1)抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标的横坐标方程02=++c bx ax 的两根。

(2)抛物线与x 轴的交点个数是由ac b 42-=∆决定的：

当0>∆时抛物线与x 轴有两个交点；当0=∆抛物线与x 轴有一个交点；当

0<∆时抛物线与x 轴没有点。0≥∆时抛物线与x 轴有交点。（此定理的逆定理也成

立。）

7.二次函数的三种常用形式：

（1）一般式：k h x a y ++=2

)( （2）顶点式：

c bx ax y ++=2

（3）两根式：

))((21x x x x a y --=

8.一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。