二次函数的图像和性质总结
二次函数图象和性质总结表格
二次函数图象和性质总结表格二次函数知识点总结一、二次函数的图像和性质二次函数的图像开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值与函数的参数有关。
当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。
参数a越大，开口越小。
当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。
参数a越小，开口越小。
当二次函数带有平移时，对称轴的位置会发生变化，顶点坐标变为(h,k)。
当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。
当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0.当二次函数带有平移时，解析式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为实数且a≠0.三、二次函数的应用二次函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
例如，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、建筑物的结构、金融市场的波动等等。
在应用中，我们需要根据实际情况确定二次函数的参数，并利用二次函数的性质进行分析和计算。
总之，二次函数是数学中非常重要的一个概念，掌握二次函数的图像、解析式和应用是我们研究数学的基础。
当x＞h时，随着x的增大，y会减小。
函数a的符号决定了开口的方向，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
当a的绝对值越大时，开口越小；b的符号决定了对称轴在y轴的位置，当b＞0时，对称轴在y轴左侧，当b＜0时，对称轴在y轴右侧；c的符号决定了抛物线与y轴的交点在哪个象限，当c＞0时，抛物线与y轴正半轴相交，当c＜0时，抛物线与y轴负半轴相交。
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二次函数的图象和性质知识点总结 一、知识点回顾 1. 二次函数解析式的几种形式： 2 y ax bx c （a 、b 、c 为常数，a ≠0） ①一般式： 2 y a( x h) k （ a 、 h 、 k 为常数，a ≠0），其中（ h ，k ）为顶点 ②顶点式： 坐标。
x 1 ，x 2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标， y a( x ax 2 x 1 )( x bx x 2 ) ，其中 ③交点式： 即一元二次方程 c 0 的两个根，且 a ≠ 0，（也叫两根式）。
2 y ax bx c 的图象 2. 二次函数 2 y ax bx c 的图象是对称轴平行于（包括重合） ①二次函数 y 轴的抛物线， 几个不同的二次函数，如果 a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形 状）完全相同，只是位置不同。
2 2 y a( x h) k 可以由抛物线 y ax ②任意抛物线 经过适当的平移得到，移 动规律可简记为： [ 左加右减，上加下减 ] ，具体平移方法如下表所示。
2 2 y ax bx c 的图象时，可以先配方成 y a(x h) k 的形式，然后 ③在画 2 y ax 将 的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点 2 2 y ax bx c 配成 y a(x h) k 的形式，这样可以确定开口方 法：也是将 向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与 y 轴的交点（ 0，c ），及此点关于对称轴 对称的点（ 2h ， c ）；如果图象与 x 轴有两个交点，就直接取这两个点（ x 1，0）， （ x 2，0）就行了；如果图象与 x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与 y 轴交点及其对称点），一般画图象找 5 个点。
3. 函 数 二次函数的性质 2 2 y ax bx c y a( x h) k （a 、h 、k 二次函数 a 、b 、c 为常数，a ≠0 为常数，a ≠0） a ＞ 0 a ＜ 0 a ＞0 a ＜0 图 象 (1) 抛物线开口向上， 并向上无限延伸 (1) 抛物线开口向下， 并向下无限延伸 (1) 抛物线开口 向上，并向上 无限延伸 (2) 对称轴是 x ＝h ，顶点是 （h ， k ） (1) 抛物线开 口向下，并向 下无限延伸 (2) 对称轴是 x ＝h ，顶点是 （ h ， k ） 性 (2) 对称轴是 (2) 对称轴是 b 2a ，顶点是（ b 2a x ＝ x ＝ ，顶点是（ 2 2 b 2a 4ac 4a b b 2a 4ac 4a b ， ， ） ） 质 (3) 当 x h 时，(3) 当 x ＜h 时， b 2a 时， y b 2 a 时， y y 随 x 的增大 而减小；当 x ＞h 时， y 随 x 的增大而增 大。
第5讲 二次函数图象和性质知识点总结
第5讲 二次函数的图象和性质一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0）②顶点式：y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c 20++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数y ax bx c =++2的图象 ①二次函数y ax bx c =++2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线y a x h k =-+()2可以由抛物线y ax =2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画y ax bx c =++2的图象时，可以先配方成y a x h k =-+()2的形式，然后将y ax =2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
3. 二次函数的性质 函数二次函数y ax bx c =++2 a 、b 、c 为常数，a ≠0 y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0）a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0 图 象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性 (2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝h ，顶点是（h ，k ） (2)对称轴是x＝h ，顶点是（h ，k ） 质(3)当x b a <-2时，y 随x 的增大而减小；当x b a >-2时，y 随x 的增大而增大 (3)当x b a <-2时，y随x 的增大而增大；当x b a >-2时，y 随x 的增大而减小(3)当x h <时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大。
初中二次函数知识点总结
初中二次函数知识点总结初中二次函数知识点总结：二次函数（Quadratic Function）属于初中代数的重要内容，它是由形如y=ax²+bx+c（a≠0）的代数式所确定的函数。
以下是二次函数的相关知识点的总结。
一、二次函数的图像特征1. 平移：二次函数的图像可以平移，平移的方向与平移的量有关。
2. 对称轴：二次函数的图像关于一个虚轴（称作对称轴）对称。
3. 顶点：对于二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为-x=Δ/b/2a，纵坐标为y⏊-Δ/4a。
4. 开口方向：二次函数的开口方向由a的符号所决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
5. 最值：若二次函数的开口方向向上，则该二次函数存在最小值；若二次函数的开口方向向下，则该二次函数存在最大值。
二、二次函数的性质1. 零点：二次函数y=ax²+bx+c的零点，即方程ax²+bx+c=0的解。
2. 应用：二次函数的图像特征常用于解决实际问题，如计算机、物理、化学等领域。
三、二次函数与一次函数的关系1. 一次函数即二次函数的特例：当a=0时，二次函数就变成了一次函数。
2. 交点：二次函数与一次函数可能有1个、2个或无交点。
若两个函数有交点，则这些交点即为方程组的解。
四、解二次方程1. 根的个数：一元二次方程ax²+bx+c=0的根的个数与二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点个数一样（考虑重根）。
2. 用公式解方程：一元二次方程的根可以用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解。
五、平方完成与配方法1. 平方完成：将一元二次方程变形为一个平方前项和一个常数的和可以极大地简化求解过程。
2. 配方法：适用于解决一元二次方程中某些特殊情况下的解法。
六、二次函数的应用1. 最优化问题：通过对二次函数的相关知识的应用，可以解决最优化问题，求得最值点，并求出最优解。
二次函数的性质总结
二次函数的性质总结二次函数是一种特殊的函数形式，由方程 $y = ax^2 + bx +c$ 表示，其中 $a$，$b$，$c$ 是实数且 $a \neq 0$。
以下是二次函数的一些重要性质总结：1. 函数图像形状二次函数的图像形状是一个抛物线。
当 $a > 0$ 时，图像开口向上；当 $a < 0$ 时，图像开口向下。
2. 零点或根二次函数的零点或根是使得函数值为零的 $x$ 值。
通过求解方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以找到二次函数的零点。
3. 完备平方对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，如果它的系数满足 $b^2 - 4ac = 0$，则可以将其写成一个完全平方形式。
完全平方形式为$(mx + n)^2$，其中 $m$ 和 $n$ 是实数。
4. 焦点和直线对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，如果 $a > 0$，则它的图像会有一个最低点（最小值），该点被称为焦点。
焦点的坐标为$\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
与该焦点对应的直线称为准线。
5. 对称轴对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其图像关于一条垂直于$x$ 轴的直线对称。
这条直线被称为对称轴，其方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。
6. 单调性和极值当 $a > 0$ 时，二次函数开口向上，函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
它在对称轴处有一个最小值。
当 $a <0$ 时，二次函数开口向下，函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
它在对称轴处有一个最大值。
以上是二次函数的一些重要性质总结。
二次函数在数学和实际应用中有广泛的应用，对于理解和解决问题都具有重要意义。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点y = ax2当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。
当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小。
（0，0）x=0（0，0）y = ax2+ k（0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2）y=a(x+h)2+k（- h，k）x = - h(0，ah2+ k)y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , )2a4a b x=-2a（0，c）2.抛物线的平移法则：（1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。
当k 0时向上平移；当k0时向下平移。
（2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。
当h0时向左平移；当h0时向右平移。
（3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。
当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。
3.二次函数的最值公式：形如y =ax + bx + c的二次函数。
当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac-b2y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a；4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。
6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。
高考数学中的二次函数图像与性质总结
高考数学中的二次函数图像与性质总结二次函数是高中数学中最重要的一章之一，也是高考数学中出现频率最高的知识点之一。
二次函数是关于自变量的二次多项式，其一般式为：$ y=ax^2+bx+c $。
本文将从二次函数的图像以及性质两个方面进行总结。
一、二次函数图像二次函数的图像是一个通常被称为“开口”的抛物线。
其开口的方向、顶点、轴线等均与函数中的系数有关。
1、开口方向：当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。
在解决应用问题时，我们需要根据问题中的实际含义来确定开口方向。
2、顶点：二次函数的图像上有一个最高点或最低点，被称为顶点。
顶点坐标为 $ ( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} ) $ ，其中 $ \Delta =b^2-4ac $ 称作判别式。
当 $ \Delta > 0 $ 时，二次函数有两个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有两个交点，顶点处为最低点或最高点；当 $ \Delta = 0 $ 时，二次函数有一个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有一个交点，顶点处在此时的交点处；当 $ \Delta < 0 $ 时，二次函数无实数根，此时抛物线与 $ x $ 轴没有交点，顶点处为反比例函数的最高点或最低点。
在实际问题中，顶点常常代表着最优解，需要我们加以研究。
3、对称轴：在二次函数的图像中，顶点是对称轴的中心点。
对称轴的方程为 $ x = -\frac{b}{2a} $。
在实际问题中，通过对称轴我们可以更好的分析函数的性质，例如计算函数的最值、判断函数的增减性等。
二、二次函数性质二次函数的性质多种多样，常常被用于实际问题中的优化模型以及图像的分析。
本文将从函数的零点、单调性、极值、函数值域四个方面进行总结。
1、零点：二次函数的零点是指函数图像与 $ x $ 轴相交的点。
我们可以通过化二次函数的标准式、配方法和公式法等多种方法求得函数的零点。
二次函数的性质知识点总结
二次函数的性质知识点总结二次函数是高中数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
了解二次函数的性质是理解和解决相关问题的关键。
本文将对二次函数的性质进行详细总结，包括定义、图像特征、导数、极值点、零点和符号规律等方面的知识点。
一、二次函数的定义二次函数是指以自变量的平方作为最高次幂的一类函数。
通常的形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的图像是一个拱形，其开口方向取决于二次系数a的正负性。
如果a > 0，则图像开口向上；如果a < 0，则图像开口向下。
2. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。
对称轴的方程为x = -b / (2a)。
3. 零点：二次函数的零点是函数对应的方程f(x) = 0的解。
二次函数的零点可能有0个、1个或2个。
4. 极值点：如果二次函数的开口向上，那么它的最低点为最小值点；如果二次函数的开口向下，那么它的最高点为最大值点。
5. 单调性：二次函数在对称轴两侧有不同的单调性。
三、二次函数的导数对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其导数函数为f'(x) = 2ax + b。
导数函数的图像表示了原二次函数的斜率变化情况。
四、二次函数的极值点1. 极值点的存在性：二次函数存在极值点，当且仅当a ≠ 0。
当a > 0时，函数的最小值位于极值点上；当a < 0时，函数的最大值位于极值点上。
2. 极值点的横坐标：极值点的横坐标可以通过对称轴的方程得到，即x = -b / (2a)。
3. 极值点的纵坐标：将极值点的横坐标带入原函数得到对应的纵坐标。
五、二次函数的零点1. 零点的判定：二次函数的零点即为使函数值为零的自变量取值。
可以通过解二次方程ax² + bx + c = 0来求得零点。
2. 零点的个数：二次函数的零点个数可能为0个、1个或2个，取决于二次方程的判别式Δ = b² - 4ac的正负性。
二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．。
九年级数学下册 二次函数的图象与性质知识点总结
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
1a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
32a+b的符号，需判断对称
轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7.
开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标
增减性
当x> 时，y随x的增大而增大；当x＜ 时，y随x的增大而减小.
当x> 时，y随x的增大而减小；当x＜ 时，y随x的增大而增大.
最值
x= ，y最小＝ .
x= ，y最大＝ .
3.系数a、b、c
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二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
一般式二次函数的图像和性质
二次函数与三角函数结合，可以用来解决周期性运动 等问题。
与微积分结合
在微积分中，二次函数是最简单的一类函数，可以用 来理解和学习其他更复杂的函数。
与线性代数结合
二次函数常常出现在线性代数中，如矩阵的特征值、 行列式等。
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二次函数的根的性质
总结词
二次函数的根的乘积等于常数项除以系数a， 根的和等于系数b除以系数a。
详细描述
根据Vieta定理，二次函数$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根$x_{1}$和$x_{2}$满足$x_{1}
cdot x_{2} = frac{c}{a}$，$x_{1} + x_{2} = frac{b}{a}$。
一般式二次函数的图像和性质
目录
• 二次函数的一般形式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的增减性 • 二次函数的根的性质 • 二次函数的应用
01
二次函数的一般形式
二次函数的一般定义
总结词
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
对称轴与系数关系
对称轴的x坐标可以通 过系数a、b、c计算得 出，对称轴的位置与二 次项系数a的正负有关。
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向
由二次项系数a决定。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下 。
总结词
二次函数的开口方向由系数a的正负决定，影响函数的增减性 。
二次函数的开口大小
详细描述
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数， 且$a neq 0$。$a$、$b$和$c$被称为 二次函数的系数。
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
二次函数与指数函数的性质对比知识点总结
二次函数与指数函数的性质对比知识点总结在数学学科中，二次函数与指数函数是两个常见的函数类型。
它们在数学应用和其他学科中有着广泛的应用。
本文将对二次函数与指数函数的性质进行对比和总结，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、二次函数的性质1. 图像形状：二次函数的图像通常呈现为一个开口向上或者开口向下的抛物线。
开口向上表现为顶点在下方，开口向下则顶点在上方。
2. 零点与轴对称：二次函数的零点是函数与x轴交点的横坐标值，也是方程的根。
通过求解二次方程可以得到零点。
二次函数的图像是关于x轴对称的，即以位于顶点处的对称轴为对称线。
3. 极值与顶点：二次函数的顶点就是它的极值点，当函数开口向上时，顶点为最小值点；当函数开口向下时，顶点为最大值点。
顶点坐标确定了二次函数的对称轴。
4. 导数与凹凸性：二次函数的导数是一次函数，可以用于判断函数的凹凸性。
当导数大于零时，函数是上凸的；当导数小于零时，函数是下凸的；当导数等于零时，函数存在极值点。
5. 定点和变化趋势：二次函数的图像通常经过一个定点（顶点），然后呈现出由上向下或由下向上的增长或衰减趋势。
二、指数函数的性质1. 图像形状：指数函数的图像通常表现为一条逐渐上升或逐渐下降的曲线。
在指数函数中，底数通常是大于1的正数。
2. 单调性与零点：指数函数也有单调性，当底数大于1时，指数函数是递增的；当底数小于1时，指数函数是递减的。
指数函数不存在零点，因为指数函数的取值范围是正实数。
3. 导数与增长率：指数函数的导数与函数自身成正比例关系。
导数越大，指数函数的增长速度越快；导数越小，指数函数的增长速度越慢。
4. 渐进线：指数函数通常有一条水平渐进线。
当指数函数的底数大于1时，渐近线位于x轴的下方；当底数小于1时，渐进线位于x轴的上方。
5. 指数函数与对数函数：指数函数和对数函数是互为反函数的函数组合。
指数函数将正实数映射到正实数，而对数函数将正实数映射到正实数。
三、应用领域1. 二次函数的应用领域包括物理学、经济学和工程学等。
二次函数知识点总结笔记
二次函数知识点总结笔记二次函数是一种在数学中非常重要的函数，它可以描述许多自然界和社会现象。
本文将对二次函数的定义、图像、性质、解析式和应用做一些简单的总结和介绍。
一、二次函数的定义二次函数是指一个以$x$为自变量，$y=ax^2+bx+c$为因变量的函数，其中$a$、$b$和$c$都是实数且$a\ne 0$。
其中，$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，形状与二次项系数$a$的正负有关。
当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
三、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像具有关于直线$x=-\frac{b}{2a}$的对称性。
也就是说，当$x=-\frac{b}{2a}+t$时，$y$的取值和$x=-\frac{b}{2a}-t$时的取值相等。
2. 零点：二次函数的零点是指方程$ax^2+bx+c=0$的解。
若$ax^2+bx+c=0$有两个不同的实数根$x_1$和$x_2$，则二次函数的图像在$x=x_1$和$x=x_2$处与$x$轴相交；若方程$ax^2+bx+c=0$只有一个实数根$x_0$，则二次函数的图像在$x=x_0$处与$x$轴相切；若方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，则二次函数的图像不与$x$轴相交。
四、二次函数的解析式二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的解析式常常使用最简式$y=a(x-\alpha)^2+\beta$来表示，其中$\alpha=-\frac{b}{2a}$为抛物线的对称轴上的点横坐标，$\beta$为抛物线与$y$轴的交点纵坐标。
五、二次函数的应用二次函数在几何学、物理学、经济学等各个领域都有广泛的应用。
其中，一些具有代表性的应用如下：1. 飞行物体的轨迹：在物理学中，二次函数可以用来描述飞行物体的轨迹。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。
下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。
一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。
3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。
4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。
5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。
二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。
2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
(完整版)二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
初三下册数学《二次函数的图象和性质》知识点总结
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
初三下册数学《二次函数的图象和性质》知识点总结
及时对知识点进行总结，整理，有效应对考试不发愁，下文由初中频道为大家带来了二次函数的图象和性质知识点总结，欢迎大家参考阅读。
二次函数图像的性质：1.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点是原点(0,0)。
(1)二次函数图像怎幺画?作法：①列表：一般取5 个或7 个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y 轴的两侧各取2 个或3 个点，注意对称取点;
②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。
(2)二次函数与的图像和性质：
2.二次函数(a，k 是常数，a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，k)，它与的图像形状相同，只是位置不同。
函数的图像是由抛物线向上(或下)平移|k|个单位得到的。
当a 大于0 时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(x 小于0 时)，曲线自左向右下降，函数y 随x 的增大而减小;在对称轴的右边(x 大于0 时)，曲线
自左向右上升，函数y 随x 的增大而增大。
顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y 取得最小值，即当x=0 时，y 最小值=k。
当a 小于0 时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(x 小于0 时)，曲线自左向右上升，函数y 随x 的增大而增大;在对称轴的右边(x 大于0 时)，曲线
自左向右下降，函数y 随x 的增大而减小。
顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y 取得最大值，即当x=0 时，y 最大值=k。
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二次函数的图像和性质
1.二次函数的图像与性质：
2.抛物线的平移法则：
（1）抛物线k ax +=2
y 的图像是由抛物线2
y ax =的图像平移k 个单位而得到
的。
当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移。
（2）抛物线2
)(h x a y +=的图像是由抛物线2
y ax =的图像平移h 个单位而得到
的。
当0>h 时向左平移；当0<h 时向右平移。
（3）抛物线的k h x a y ++=2
)(图像是由抛物线2
y ax =的图像上下平移k 个单位，
左右平移h 个单位而得到的。
当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移；当0>h 时向左平移；当0<h 时向右平移。
3.二次函数的最值公式：
形如
c bx ax y ++=2
的二次函数。
时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值
a b ac y 442-=
最小值
；时当0<a
，图像有最高点，函数有最大值，a b ac y 442-=
最大值
；
4.抛物线
c bx ax y ++=2
与y 轴的交点坐标是（0，c ）
5.抛物线的开口大小是由a 决定的，a 越大开口越小。
6.二次函数
c bx ax y ++=2
的最值问题：
（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：
自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴a
b
x 2-
=,把他与取值范围相
比较，再进行求最值。
6.二次函数与一元二次方程的关系：
(1)抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标的横坐标方程02=++c bx ax 的两根。
(2)抛物线与x 轴的交点个数是由ac b 42-=∆决定的：
当0>∆时抛物线与x 轴有两个交点；当0=∆抛物线与x 轴有一个交点；当
0<∆时抛物线与x 轴没有点。
0≥∆时抛物线与x 轴有交点。
（此定理的逆定理也成
立。
）
7.二次函数的三种常用形式：
（1）一般式：k h x a y ++=2
)( （2）顶点式：
c bx ax y ++=2
（3）两根式：
))((21x x x x a y --=
8.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。