中国古代数学中的算法案例PPT参考

2021/3/10
授课：XXX
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如何使用
求98与63的最大公约数。 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并
辗转相减：
98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14
14-7=7
∴98和63的最大公约数等于7。
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a b r a b r
边形的面积之间的关系，以便递推。
设圆的半径为1，正n边形
的边长AB为xn，弦心距OG
为hn；面积为Sn，根据勾股
定理，得：
hn
1
xn 2
2
,
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x2n
xn 2
2
1
hn
2
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(n 6)
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容易知道x6=1,
正2n边形的面积等于正n
边形的面积加上n个等腰三
角形的面积，即
计算它的面积S6；
第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数， 分别计算圆内接正十二边形，正二十四 边形，正四十八边形，…的面积，到一
定的边数（设为2m）为止，得到一列递
增的数，
S6，S12，S24，S48，…，S2n.
第三，S2n近似等于圆面积。
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下面的关键是找出正n边形的面积与正2n
S2nSnn1 2xn(1hn) (n6)
于是由 S 6 6
3 4
求得S12=3；
S24≈3.105828；……
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按照这样的思路， 刘徽把圆内接正多 边形的面积一直算 到了正3072边形， 并由此而求得了圆 周率 为3.14和 3.1416 这两个近似数值。 这个结果是当时世 界上圆周率计算的 最精确的数据。
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割圆术
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早在我国先秦时期，《墨经》上就已 经给出了圆的定义。我国古代数学经 典《九章算术》在第一章“方田”章 中写到“半周半径相乘得积步”，也 就是我们现在所熟悉的公式。
为了证明这个公式，我国魏晋时期数 学家刘徽写了一篇1800余字的注记， 这篇注记就是数学史上著名的“割圆 术”。
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理论依据
a n b r r a nb 得 a , b 与 b , r 有相同的公约数
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第一步：输入两个 正整数a，b（a＞b）;
第二步：求出a÷b 的余数r；
第三步：令a=b， b=r，若r≠0，重复第二 步；
第四步：输出最大 公约数a.
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刘徽形容他的“割圆术”
说：割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆合体，而无所失矣。
简单来说所谓“割圆 术”，是用圆内接正多边 形的周长去无限逼近圆周 并以此求取圆周率的方法。
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计算方法
第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，
r赋予a，重新执行S2； S5：输出最大公约数b.
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开始 输入a,b
a≠b N
输出b
a=a－b
b=b－a
Y
a> N
Y
b
结束
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程序：
a=input(“a=”)； b=input(“b=”)；
while a<>b
if a>=b a=a－b;
理论依据
a b r a b r
a,b
得 a , b 与 b , r 有相同的公约数
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算法表示
S1：输入两个正数a,b(a>b) ； S2：如果a≠b，则执行S3，否则转到S5； S3：将a-b的值赋予r； S4：若b>r，则把b赋予a，把r赋予b，否则把
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求得最大公约数的方法
• 辗转相除法 （欧几里得算法）
• 更相减损术 （出自《九章算术》）
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更相减损术
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简介
更相减损ຫໍສະໝຸດ Baidu是出自 《九章算术》的一 种求最大公约数的 算法，它原本是为 约分而设计的。
但它适用于任何需 要求最大公约数的 场合。
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更相减损术和辗转相除法的主要区别在于:
前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法
思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过 程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况 ，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，
所以辗转相除法更好一些。
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中国古代数学中的算法案例
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最大公约数
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定义
如果有一个自然数a能被自然数b整除， 则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自 然数公有的约数，叫做这几个自然数的 公约数。公约数中最大的一个公约数， 称为这几个自然数的最大公约数。
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如何使用
以求288和123的最大公约数为例，操作如下：
S1：288÷123=2……42 S2：123÷42=2……39 S3：42÷39=1……3 S4：39÷3=13
这是一个辗转相 处的过程……
∴ 3就是288和123的最大公约数。
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else b=b－a；
end
end
p20r21/3i/1n0 t(%io(2), b, “两授数课：XX的X 最大公约数
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辗转相除法
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辗转相除法
辗转相除法最早出现 在欧几里得的几何原本 中（大约公元前300 年），所以它是现在仍 在使用的算法中最早出 现的。
欧几里得
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程序编写
n=6;
s=s+n*x*(1－h)/2;
x=1; s=6*sqrt(3)/4;
n=2*n; x=sqrt((x/2)^2+(1－
for i=1 : 1 : 5
h)^2);
h=sqrt(1－(x/2)^2); end
print(%io(2), n, s)
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秦九韶（1208年－1261年）
南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、
朱世杰并称宋元数学四大家。字道
古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜）
人，生于普州安岳（今属四川）。
精研星象、音律、算术、诗词、弓
剑、营造之学，历任琼州知府、司
农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著
作《数书九章》，其中的大衍求一