(抽样检验)抽样与参数估计

第四章抽样与参数估计

推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。

从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statistical inference)。这个调查例子是估计总体参数（某种意见的比例）的一个过程。

估计(estimation) 是统计推断的重要内容之一。统计推断的另一个主要内容是本章第二节要介绍的假设检验(hypothesis testing) 。

因此本节内容就是由样本数据对总体参数进行估计，即：

学习目标：了解抽样和抽样分布的基本概念

理解抽样分布与总体分布的关系

了解点估计的概念和估计量的优良标准

掌握总体均值、总体比例和总体方差的区间估计

第一节抽样与抽样分布

回顾相关概念：总体、个体和样本

抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取一部分元素(单位)进行调查,并根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。

总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数

个体(Item unit)：组成总体的每个元素

样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量

样本容量(Sample size)：样本中所含个体的数量

一般将样本单位数不少于三十个的样本称为大样本，样本单位数不到三十个的样本称为小样本。

一、抽样方法及抽样分布

1、抽样方法

（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本

①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每一个样本都有相同的机

会（概率）被抽中。

注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，又可分为重

复抽样与不重复抽样。而且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。

②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每一层内进行抽样

③、整群抽样：将一组被调查者（群）作为一个抽样单位

④、等距抽样：在样本框中每隔一定距离抽选一个被调查者

（2）非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本

①、非随机抽样：由调查人员自由选取被调查者

②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者

（3）、配额抽样：选择一群特定数目、满足特定条件的被调查者

2、抽样分布

一般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（sampling distribution）。

某个样本统计量（如均值、比例、方差等）的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本计算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布。

二、样本均值的抽样分布与中心极限定理

1、样本均值的抽样分布（一个例子）

【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4 个个体分别为X 1=1、X 2=2、X 3=3 、X 4=4 。总体的均值、方差及分布如下 均值和方差

5.21

=∑

=

=N

X N

i i

μ 25.1)

(1

2

=-=

∑=N

X

N

i i

μσ

现从总体中抽取n ＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表

计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布

所有样本均值的均值和方差：

=1n i i x

μ

μ==+++==∑

=5.2160.45.10.11ΛM x n i i x n

i x i x 2

22122=n

M x n i x i x 222122625.016)5.20.4()5.20.1()(σμσ=

=-++-=-=∑

=Λ

式中：M 为样本数目

比较及结论：1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值

2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n

2、中心极限定理

当总体服从正态分布N ~ (μ,σ2 )时，来自该总体的所有容量为n 的样本的均值

X

也服从正态分布，X 的数学期望为μ，方差为σ2/n 。即x ～N (μ,σ2/n ) 中心极限定理：设从均值为μ，方差为σ2的一个任意总体中抽取容量为n 的样本，当n 充分大时（一般，30≥n 就可以用中心极限定理了），样本均值X 的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n 的正态分布。即有： ()

μ=X E 和 n

x δ

δ=

也即有，n

X z δ

μ-= ~()1,0N

其实，样本均值抽样分布的数字特征一方面与总体分布的均值和方差有关，另一方面也与抽样的方法是重复抽样还是不重复抽样有关。无论是重复抽样或不重复抽样，样本均值的数学期望始终等于总体的均值。但在不重复抽样条件下，样本均值的方差需要用修正系

修正重复抽样时均值的方差。当N 很大，而

/5%n N ≤时，其修正系数11

N n

N -→-，可视不重复抽样与重复抽样一致。

图4.1.3 样本均值的抽样分布与总体分布的关系

三、样本比例的抽样分布(Sampling Distribution of p

样本比例的抽样分布是样本比例所有可能值的概率分布。（The sampling distribution of p is the probability distribution of all possible values of the sample proportion p .）

样本比例抽样分布的相关信息，即 p 的期望值、标准差、抽样分布形状等。 主要应用于分类变量：在经济与商务的许多场合，需要用样本比例p 对总体比例P 进行统计推断

根据中心极限定理有：当样本容量增大时（大样本：经验上，当下面两个条件(n·p >=5且n(1-p )>=5)满足时，与p 相关的样本为大样本），样本比例抽样分布趋向于以样本期望值为中心、以样本方差为方差的正态分布 1、期望值（Expected value of p ）：E (p )=P 2、标准差（Standard deviation of p ）：

重复抽样： 不重复抽样：

*四、样本方差的抽样分布

要用样本方差s 2去推断总体的方差σ2，必须知道样本方差的分布。 设总体服从正态分布X~N(μ, σ2 )， X 1，X 2，…，X n 为来自该正态总体的

样本，统计证明比值()

2

21δs n -的抽样分布为自由度是（n-1）的2χ分布，即：

()

()2

2

2

2

1δδs n x

x

i

i

-=

-∑~()12-n χ 2χ分布的性质：

（1）、2χ分布的变量始终为正；

（2）、2χ分布的期望为()()n n E =2χ，方差为()n n D 2)(2=χ。