有限单元法与有限差分法在MT一维正演模拟中的对比分析

Ｆ（ Ｅｘ ）＝ ０ δ 采用有限单元法进行计算 ， 首先应将区域剖分
或电阻率） 必须是 为若干单元 。 在单元 内 电 导 率 （ 也就是说 ， 电导率的间断点不能在单元内 。 连续的 ， 对于高频 ， 电磁波 衰 减 非 常 迅 速 ， 如果采用线性插 值， 必须取很小的单元 ， 从而增加了计算工作量 。 （ ） ） 。 单元积分为式 （ １ ９ ∫ ｅ ｄ ｚ＝Ｅ ∫ ｄ ｚ Ｅ （ ｚ） ｚ） （ （ ｚ）
２ ｘ ２
（ ） ７
（ ）－ ∫［ ｉ Ｅ ）］ ｄ ｚ＋ａ Ｅ ω σ（ μ
ｚ １ ｘ
２
ｚ Ｎ
Ｅｘ ｚ
２
２ ｘ
ｚ Ｎ
（ ） ８
图 １ 地电模型离散化 Ｆ ｉ ． １ Ｇ ｅ ｏ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｇ
， 示谐变场的时间因子 （ 即以负谐时表示 ） 电场强度 ） ） 。 和磁场强度可表示为式 （ 与式 （ １ ２
） ； ） ； ） ； 基金项目 ：国家自然科学基金 （ 教育部博士点基金 （ 国家科技支撑计划项目 （ ４ １ １ ７ ４ １ ０ ３ ２ ０ １ １ ０ １ ６ ２ １ ３ ０ ０ ０ ８ ２ ０ １ １ Ｂ Ａ Ｂ ０ ４ Ｂ ０ ８ ］ ） ； ） 中国地质调查局科研项目（ 资［ 有色资源与地质灾害探查湖南省重点实验室项目（ ２ ０ １ １ ０ ３ － ０ １ － ６ ４ ２ ０ １ ０ Ｔ Ｐ ４ ０ １ ２ － ６ 收稿日期 ：２ ０ １ ２－１ ０－０ ９ 改回日期 ：２ ０ １ ３－０ ５－３ ０ ， ： 作者简介 ： 王涛 （ 男， 学士 ， 主要研究方向为大地电磁正演数值模拟 ， １ ９ ９ ０－ ） Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｗ ａ ｎ ． ｔ ． １ ９ ９ ０＠１ ６ ３． ｃ ｏ ｍ。 ｇ ， ： 童孝忠 （ 男， 博士 ， 讲师 ， 主要研究方向为电磁法正演模拟与反演成像 ， １ ９ ７ ９ －） Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｃ ｓ ｕ ｍ ａ ｓ ｎ ｏ ｗ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ。 ＊ 通讯作者 ： ｙ
１ ２ ｚ △ 烎
）如下 ： １ ４ 公式 （
烄△ｚ
－１
１ ｚ △
０ １ ２ ｚ △ ２ ｉ ω σ ３－ ２ μ ｚ △
０ ０ １ ２ ｚ △
… … … …
０ ０ ０
０ ０ ０
０ ０ ０
烌 烄
／ Ｅ１－１ ２
２ １ ω σ ２－ ２ ｉ ２ μ ｚ ｚ △ △ ０ ０ ０ ０ １ ２ ｚ △
Ｅｘ
２
Ｔ
ｘ ｅ
＝ （ ） ９
） 求解方程组式 （ 可得节点处电场值 ， 从而可 １ ４ 以进一步计算模型响应的视电阻率和相位 。
其中
Ｋ１ ∫ ｅ＝ ｅ
（） （）
１ ４ ８
ｄ ｚ＝ ｚ ｚ
Ｔ
２ 模型算例 燄
２． １ 均匀半空间模型 设计一个均匀 半 空 间 模 型 ， 分 ０ Ω· ｍ， ρ ＝１ 别用有限单元 法 和 有 限 差 分 法 进 行 正 演 模 拟 。 图 ２和 图 ３ 分 别 显 示 有 限 单 元 法 和 有 限 差 分 法 模 拟 的视电阻率的相对误差 。 由图 ２ 和图 ３ 可知 ， 两幅曲线图的变化趋势基 在低频段 ， 这两种方法的计算结果与实际 本一致 ， 值基本一致 ； 而在 高 频 段 ， 则出现随着频率升高视 电阻率的相对误差增大的现象 。 从整体上看 ， 这两 种方法的计算结果都基本符合正演的要求 ， 但是有
４］ 七 十 年 代 末， 朱 伯 芳［ 将有限单元法 正演模拟中 ；
引入国内 。 有限差 分 法 （ Ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ Ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ 或简称 Ｆ 是 一 种 经 典 的 数 值 模 拟 方 法。地 球 ＤＭ） 物理工作者从八十 年 代 开 始 研 究 有 限 差 分 法 正 演 为有限差分法的发展做了相当大的贡献 计算问题 ，
烄 ｚ △
０
１
２
ｉ ω σ ２－ μ
２ ２ ｚ △
１ ２ ｚ △ ２ ｉ ω σ ３－ ２ μ ｚ △
０ １ ２ ｚ △
… … …
０ ０
Байду номын сангаас
０ ０
０ ０
烌 烄
／ Ｅ１＋１ ２
１ ２ ｚ △

烌 烄烌
＝ ０ 烎 烎 烆
０
（ ） １ ３
Ｅ 烆
／ Ｎ －１＋１ ２
烆
０
０
０
０
…
１ ２ ω σＮ－１ － ２ ｉ ２ μ ｚ ｚ △ △
／ Ｅ１＋１ ２
烌 烄μ 烌
＝ ０ （ ） １ ４
ｉ ω
… … １ ２ ω σＮ－１ － ２ ｉ ２ μ ｚ ｚ △ △ ０ ０ １ ２ ｚ △ １
Ｅ 烆
／ Ｎ －１＋１ ２
烎 烆０烎
０ ０
０ ０
烆０
烎
） 有限差分法正演结果 。 有限差分法的网格 ３ （ 剖分如表 ２ 所示 ， 有限差分法计算结果与解析法计 算结果比较如图 ６ 所示 。 ２． ２． ２ 三层层状介质 （ ） 解析法正演结果 。 正演 计 算 的 曲 线 如 图 ７ １ 所示 。
限单元法和有限差 分 法 在 实 际 应 用 中 均 有 各 自 的 作者在本文中主要对有限单元法和有 优势和不足 ， 限差分法进行对比分析 。
１ 数值模拟
１． １ 大地电磁测深正演的基本理论 麦克斯韦方程组是电磁场必须遵从的微分方 利用傅里叶变换可将任意随时间变化的电磁 程组 ，
ｉ ｔ － ω 场分解为一系列谐变场的组合 ， 通常我们以ｅ 表
设计一个二层层状介质模型 ， ０ Ω· ｍ， １ ＝１ ρ ０ ０ Ω·ｍ， ｈ ０ ０ ０ｍ。 ２ ＝１ １ ＝１ ρ （ ） 解析法正演结果 。 正演 计 算 的 曲 线 如 图 ４ １ 所示 。 ） （ 有限单元法正演结果 。 有限单元法的网格 ２ 剖分如表 １ 所示 ， 有限单元法计算结果与解析法计 算结果比较如图 ５ 所示 。
·Ｈ ＝０ 式中 ·Ｅ＝０ 是因为导电介质内部体电荷密度
实际上为零 ， 公式中时间因子都隐含在电场 Ｅ 和 磁场 Ｈ 中 ， 方程组 （ 是大地电磁测 ３） ６） ～方程组（ 深理论研究的出发点 。 １． ２ 一维有限单元正演算法 ） 。 电场满足的微分方程为公式 （ ７
Ｅ Ｅｘ ＝ ０ ω σ ＋ｉ μ ｚ 根据边值问题所对应的变分问题为 Ｆ（ Ｅｘ ）＝
（ ） 文章编号 ：１ ０ ０ １—１ ７ ４ ９ ２ ０ １ ３ ０ ５—０ ５ ３ ８—０ ６
有限单元法与有限 差分法在 ＭＴ 一维正演模拟中的对比分析
２ ，柳建新２，童孝忠２＊ ，曹创华２，谭神湘２ 王 涛１，
（ 中国海洋大学 海洋地球科学学院 ， 青岛 ２ １． ６ ６ １ ０ ０； ） 中南大学 地球科学与信息物理学院 ， 湖南 长沙 ４ ２． １ ０ ０ ８ ３ 摘 要 ： 首先从电磁场所满足的麦克斯韦方程组出发 ， 介绍了大地电磁测深正演的基本理论 ， 并 针对一维大地电磁模型加以讨论 。 运用有限单元法及有限差分法分别推导了大地电磁测深一维 正演算法 ， 并运用 Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ ７． ０ 软 件 编 写 了 相 应 的 程 序。 为 了 检 验 这 两 种 一 维 正 演 算 法 的 准 确 性， 设计了均匀半空间模型和层状介质模型 ， 并给出了由 本 文 程 序 、 解析解得到的相应结果和图 件， 从而对正演结果进行对比分析 。 结果表明 ： 两种方法的正演结果均真实地反映了模型的地电 参数 。 关键词 ： 大地电磁测深 ；正演 ；数值模拟 ；有限单元法 ；有限差分法
５期
王涛等 ：有限单元法与有限差分法在 ＭＴ 一维正演模拟中的对比分析
ｔ ω Ｅ＝Ｅ０ ｅ－ｉ
－ ｉ ｔ ω
５ ３ ９
（ ） １
（ ） Ｈ ＝Ｈ０ ｅ ２ 大地电磁测深所讨论的电磁场频率是极低的 ， 故在大地介质中可忽略位移电流对场分布的影响 ， 即在大地电磁测深 正 演 中 研 究 的 是 似 稳 电 磁 场 问 题 。 于是 ， 导电介质低频谐变场的麦克斯韦方程组 ） ） 。 为式 （ ３ ６ ～ 式（ 其中
］ ５］ ６－７ （ ； 。 根据长 期 的 研 究 ， 周熙襄等 ［ 罗延钟等 ［ 有
提出 。 与其它地球物理勘探方法一样 ， 正演问题是 大地电磁测深法的理论基础 ， 同时也是我们认识各 其 种地电条件下大地电磁场响应特征的良好途径 ， 研究一直受到广泛关注 。 通过对不同地质模型的正 演研究 ， 我们总结出在不同地质条件下大地电磁场 同时通过正演 ， 也能准确了解在不同的 的分布规律 ； 大地电磁场的分布特点 。 地形起伏情况下 ， 大地电磁测深正演模拟的数值方法主要分为 三种 ： ① 有 限 差 分 法； ② 积 分 方 程 法； ③有限单元 法 。 作者主要针对 有 限 单 元 法 和 有 限 差 分 法 进 行 讨论 。 有 限 单 元 法 （ Ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ Ｅ ｌ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ或简 称Ｆ 是将要 分 析 的 连 续 场 分 割 为 很 多 较 小 的 ＥＭ）
＋ ：１ ／ 中图分类号 ：Ｐ ６ ３ １ ． ３ ２ ５ 文献标志码 ：Ａ Ｄ Ｏ Ｉ ０． ３ ９ ６ ９ ． ｉ ｓ ｓ ｎ． １ ０ ０ １－１ ７ ４ ９． ２ ０ １ ３． ０ ５． ０ ８ ｊ
［］ 区域 。Ｃ ｏ ｏ ｎ３ 首先将有 限 单 元 法 应 用 在 电 磁 法 ｇ ｇ
可得 Ｋ３ 。 再根据δ Ｆ（ Ｅｘ ） ＝０， ∑Ｋ２ ｅ＋ （ ） Ｋ Ｅｘ ＝０ １ １ 将电场所满足的上 边 界 条 件 和 下 边 界 条 件 代 入 上 面的方程组 ， 则有 （ ） Ｋ Ｅｘ ＝ｐ １ ２ 求解上述线性方 程 组 式 （ 即可得到节点处 １ ２） 的电场值 ， 从而也可以进一步计算模型响应的视电 阻率和相位 。 １． ３ 一维有限差分正演算法 根据电场所满足的微分方程 ， 将一维地电模型 如图 １ 所示 。 离散化 ，
Ｔ ｘ ｅ ｅ Ｔ Ｅｘ Ｋ１ Ｅｘ ｅ ｅ ｅ
然后对电场进行离散处理 ， 采用有限差分近似 ） 。 计算一阶 、 二阶偏导数 。 写成矩阵形式如式 （ １ ３ ” ， 根据下边界条件 ， 电场衰减为 “ 当上边界条 ０ 件 取 Ｈｙ ＝１， 则１（ 得到公 ／ ／ Ｅ１＋１ Ｅ１－１ ＝ｉ ω ２－ ２） μ， ｚ △ ） 。 式（ １ ４
Ｔ Ｅｘ Ｋ２ Ｅｘ ｅ ｅ ｅ
（ ） １ ０
其中
Ｔ Ｔ （ Ｋ２ ｉ ｄ ｚ＝ ∫ ω σ） ） ｅ＝ ｅ μ（
５ ４ ０
物探化探计算技术
３ ５卷
限差分法正演结果 的 相 对 误 差 比 有 限 单 元 法 正 演 说明有限差分法在均匀半空 结果的相对误差要小 ， 间模型的正演 效 果 比 有 限 单 元 法 略 好 。 通 过 以 上 模拟的计算结果对比 ， 证明了两种方法正演算法的 以及所编写程序的正确性 。 正确性 ， ２． ２ 层状介质模型 ２． ２． １ 二层层状介质 ） 如下 ： １ ３ 公式 （
熿
ｋ １ １ ｋ ２ １ ｋ ２ ２ ｋ ３ １ ｋ ３ ２ ｋ ３ ３
燄
ｋ ４ １ 燀
ｋ ４ ２ ｋ ４ ３ ｋ ４ ４ 燅
… … … ０ 燄 …
Ｋ３ ＝
（ ） ３ （ ） ４ （ ） ５ （ ） ６
熿 …
０ 燀
０
ｉ ×Ｅ＝ ωＨ μ Ｅ ×Ｈ ＝ σ · Ｅ＝０
ａ燅 然后将各 单 元 的 扩 展 矩 阵 相 加 ， 则 得 Ｋ ＝ ∑Ｋ１ ｅ－
８ ９ ３ ２ ４ １ －１ ４ ０ ｌ ５ ４ －２ ９ ７ ３ ２ ４ ３ 燀－１
熿
５ ４ －１ ８ ９ １ ４ ８ 燅 （ ） ） 。 单元积分为式 （ ２ １ ０ ２ Ｔ Ｔ Ｔ （ ｉ Ｅｘ ） ｄ ｚ ＝Ｅｘ ｉ Ｅｘ ∫ ω σ（ ∫ ω σ） ） ｅ ｅ ｅ ｅ＝ μ μ（
０ 前言
， 大地电 磁 测 深 法 （ 简 Ｍ ａ ｎ ｅ ｔ ｏ ｔ ｅ ｌ ｌ ｕ ｒ ｉ ｃ Ｓ ｏ ｕ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｇ 称 ＭＴ） 是一种重要的地球物理勘探方法 ， 由苏联学 者Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ 和Ｃ ａ ｎ ｉ ａ ｒ ｄ 于上世纪五十年代初期 ｇ
［ ］ １ ［ ］ ２