平面向量测试题及答案

平面向量测试题及答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
平面向量测试题
一.选择题
1．以下说法错误的是（ ）
A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同
D.平行向量一定是共线向量
2．下列四式不能化简为的是（ ）
A ．；）＋＋（BC CD A
B B ．）；＋）＋（＋（CM B
C M B AD
C ．M
D ．
3．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ）
A ．6563
B ．65
C ．513
D ．13
4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−A
E ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）
（A ） )(21
→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→
→+b a 6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→
−CD ＝
－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）
（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC
7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）
（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数
8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→
−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）
（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→
−PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）
（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±
11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）
A. 2-或0；
B.
C. 2或
D. 2或10.
12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
二. 填空题
13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．
14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．
15、已知向量)2,1(,3==b a ，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。

16、ΔABC 中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C 点坐标为________________。

17．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sin θ，如果| |=4, |b|=3, ·b=-2，则| ×b|=____________。

18、（14分)设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．
（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角；
（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．
19．（12分）已知向量 = , 求向量b ，使|b|=2| |，并且 与b 的夹角为 。

20. （13分)已知平面向量).2
3,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 （1）试求函数关系式k =f （t ）
（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.
21．（13分)如图， =(6,1), ，且 。

(1)求x 与y 间的关系； (2)若 ，求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积。

22．（13分)已知向量a 、b 是两个非零向量，当a+tb(t ∈R)的模取最小值时，
（1）求t 的值
（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a+tb 垂直
参考答案
一、 选择题
1C 、2C 、3A 、4C 、5D 、6B 、7C 、8B 、9D 、10A 、11C 、12C 、
二. 填空题
13 （1，3） ．14 28 15 （ ， ）或（ ， ）
16 （5，3） 17 235
三. 解答题（65分):
18、 （1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2＋|＝227)1(+-＝50． 556-55355655
3-
（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26， AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ ＝||||AC AB AC
AB ⋅＝2624⋅＝13132． （3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x2＋y2＝1． ①
又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．
19．由题设
, 设 b= , 则由 ,得 . ∴ ,
解得 sin α=1或 。

当sin α=1时，cos α=0；当 时， 。

故所求的向量 或 。

20．解：（1）
.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 （2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即
21．解：(1)∵ ，
∴ 由 ，得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
(2) 由 =(6+x, 1+y), 。

∵ , ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又x+2y=0, ∴ 或 ∴当 时， ，
当 时， 。

故 同向，
22．解：（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos |||||
|222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值 （2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时|
|||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b
∴b ⊥(a+tb)。