【学习课件】第1节随机变量的概念
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随机变量的概念
则样本点是？ 样本空间是？
可由此定义很多不同的随机变量．
例如：
X: 出现的点数
Y: 出现的点数的平方
问： X+Y是不是随机变量 ？
概率论与数理统计教程（第四版）
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随机变量的本质：
１首先是变量．取值是实数
２它的取值随着试验结果的变化而 变化
问：与映射或函数做个类比，
随机变量的定义域是什么 ？
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§2.1 随机变量的概念
[例1] 抛一枚硬币一次.
1 :出现正面(徽花向上), 2 :出现反面(字向上),
{1,2},
令
X
0,
1,
2; 1.
X 刻画了抛一枚硬币一次试验中出现正面(徽花向
上)的次数.
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例２：
扔一个色子，考察出现的点数．
§2.1 随机变量的概念
随机变量的定义
如果对于试验的样本空间中的每一个样本点,
变量 X 都有一个确定的实数值与之对应, 则变量 X 是
样本点 的实函数. 这样的变量称为随机变量. 记作: X X ().
随机变量通常用英文大写字母X ,Y , Z,表示.
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一般来说：（不太严格）
关于随机变量的等式或者不等式 都是随机事件 例如： ．．．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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海南大学《概率论与数理统计》课件 第四章 随机变量及其分布
例如：X 0 取出的n个产品中没有次品；
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
随机变量的定义定义
条件随机变量
01
定义
条件随机变量是指在给定某些变量的条件下，另一个变量 的概率分布。
02 03
描述
条件随机变量通常用于描述两个或多个随机事件之间的条 件关系，例如在概率图模型中，条件随机变量被用来表示 节点之间的条件依赖关系。
应用
条件随机变量在许多实际问题中都有应用，例如在自然语 言处理中，给定上下文的情况下，下一个词的概率分布可 以用条件随机变量来表示；在推荐系统中，给定用户历史 行为的情况下，用户的兴趣偏好可以用条件随机变量来表 示。
02
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各自方差的比值，用于衡量两个随机
变量的线性相关程度。
03
协方差与相关系数的性质
协方差和相关系数具有对称性、非负性、规范性等性质，这些性质使得
协方差和相关系数成为描述两个随机变量之间线性关系的重要指标。
03
CATALOGUE
随机变量的应用
在统计学中的应用
方差的定义
方差是随机变量取值与期望值之差的平方的平均值，用于衡量随机变量取值的离散程度 。
方差的性质
方差具有非负性、规范性、可加性等性质，这些性质使得方差成为描述随机变量离散程 度的重要指标。
协方差与相关系数
01
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，反映了两个随机变量
同时取值的波动情况。
概率分布
随机变量是概率论的基本概念之一，它可以表示某一随机现象的 结果，并具有特定的概率分布。
随机事件的概率
通过随机变量，我们可以计算随机事件的概率，了解事件发生的 可能性。
随机过程的描述
在随机过程中，随机变量用于描述随机现象的变化规律，帮助我 们理解随机现象的本质。
第二章随机变量PPTppt文档
{X 2} 表示掷出的点数大于2这一随机事件．
我们还可以定义其它的随机变量，例如定义：
Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1, 0,
x 2, x 2,
Z
1, 0,
x 6, x 6.
例3 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令X为该时间 间隔内通过的汽车数，则X就是一个随机变量．它的 取值为 0，1，…；{X1000}表示通过的汽车数小于 1000辆这一随机事件；{X 500}表示通过的汽车数大于 等于500辆这一随机事件．
定义函数：
X()10,,
1, 2,
定义1 设随机试验E的样本空间是Ω，如果对每一样 本点 都有唯一的一个实数 X ( ) 与之对应，
这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数 XX()
我们称之为定义在Ω上的一个随机变量．
随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点：
变异性、随机性
例2 掷一颗骰子，令X表示出现的点数，则X就是一 个随{X机变3}量表．示它掷的出所的有点可数能不取超值过为3这1，一2随，机3，事4件，；5，6；
则随机变量 X 服从 0-1 分布,分布律为
X
0
1
Pk
0.55 0.45
例: 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3
张为二级品,1 张为不合格品.顾客购买时任取其中一
张,求取得合格品的概率.
1, 取得合格品
解 令 X 0, 否则, 则 X 服从 0-1 分布,
其分布律为
• 例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯, 每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽 车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是 相互独立的),求X的分布律.
我们还可以定义其它的随机变量，例如定义：
Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1, 0,
x 2, x 2,
Z
1, 0,
x 6, x 6.
例3 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令X为该时间 间隔内通过的汽车数，则X就是一个随机变量．它的 取值为 0，1，…；{X1000}表示通过的汽车数小于 1000辆这一随机事件；{X 500}表示通过的汽车数大于 等于500辆这一随机事件．
定义函数：
X()10,,
1, 2,
定义1 设随机试验E的样本空间是Ω，如果对每一样 本点 都有唯一的一个实数 X ( ) 与之对应，
这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数 XX()
我们称之为定义在Ω上的一个随机变量．
随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点：
变异性、随机性
例2 掷一颗骰子，令X表示出现的点数，则X就是一 个随{X机变3}量表．示它掷的出所的有点可数能不取超值过为3这1，一2随，机3，事4件，；5，6；
则随机变量 X 服从 0-1 分布,分布律为
X
0
1
Pk
0.55 0.45
例: 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3
张为二级品,1 张为不合格品.顾客购买时任取其中一
张,求取得合格品的概率.
1, 取得合格品
解 令 X 0, 否则, 则 X 服从 0-1 分布,
其分布律为
• 例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯, 每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽 车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是 相互独立的),求X的分布律.
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解
2
Copyright © 2006 NJUFE
正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a
)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量
的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。
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正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a
)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量
的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。
1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望PPT优秀课件
意的n个实数 x1,x2, ,xn，均有 P X 1 x 1 , X 2 x 2 , , X n x n P X 1 x 1 P X 2 x 2 P X n x n
则称n个随机变量是相互独立的。
随机变量的独立性
设 X1,X2, ,Xn 的分布函数分别为 F 1 (x )F ,2 (x ) ,,F n (x )， 它们的联合分布函数为 F(x1,x2, ,xn)，则上式等 价于
F ( x 1 , x 2 , , x n ) F 1 ( x ) F 2 ( x ) F n ( x )矩函数一个来自机变量矩函数原点距
中心距
n
mk E X K xik PX xi 离散型 i1
x
k
fX
x dx
k E X EX k
连续型
n
xi EX k PX xi i1
设离散型随机变量X，一切可能值为x1,x2, ,xn，记
PnP(Xxn)
称 P1,P2, ,Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f( x )，
且 f(x)dx ，使X取值于任意区间的概率 b Pa Xbf(x)dx a
称X为连续型随机变量。
随机向量及其分布
定义：
设 是一样本空间， X 1 ()X ,2 () ,,X n ()
是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称
X () X 1 () ,X 2 () , ,X n () 为 上的一个n维
随机向量。
随机向量的联合分布函数
设 X (X 1 ,X 2 , ,X n)是样本空间 上的n维随机 向量。称n元函数
描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差
则称n个随机变量是相互独立的。
随机变量的独立性
设 X1,X2, ,Xn 的分布函数分别为 F 1 (x )F ,2 (x ) ,,F n (x )， 它们的联合分布函数为 F(x1,x2, ,xn)，则上式等 价于
F ( x 1 , x 2 , , x n ) F 1 ( x ) F 2 ( x ) F n ( x )矩函数一个来自机变量矩函数原点距
中心距
n
mk E X K xik PX xi 离散型 i1
x
k
fX
x dx
k E X EX k
连续型
n
xi EX k PX xi i1
设离散型随机变量X，一切可能值为x1,x2, ,xn，记
PnP(Xxn)
称 P1,P2, ,Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f( x )，
且 f(x)dx ，使X取值于任意区间的概率 b Pa Xbf(x)dx a
称X为连续型随机变量。
随机向量及其分布
定义：
设 是一样本空间， X 1 ()X ,2 () ,,X n ()
是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称
X () X 1 () ,X 2 () , ,X n () 为 上的一个n维
随机向量。
随机向量的联合分布函数
设 X (X 1 ,X 2 , ,X n)是样本空间 上的n维随机 向量。称n元函数
描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差
第十三单元随机变量及其分布-PPT精品
（2）X的可能取值有2,3,4,5,…,12.Y的可能取值为1,2,3,…,6.若以(i,j)表示 先后投掷的两枚骰子出现的点数，则 X=2表示（1，1）， X=3表示（1，2），（2，1）， X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）,
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
随机变量及其分布课件
多维随机变量的数学期望与方差
数学期望
多维随机变量的期望值是每个随机变量期望值的 线性组合。
方差
多维随机变量的方差是每个随机变量方差和协方 差的组合。
协方差
衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
Байду номын сангаас
PART 05
随机变量的变换
REPORTING
WENKU DESIGN
线性变换
1 2
线性变换公式
$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数，$X$是 随机变量，$Y$是变换后的随机变量。
超几何分布
当从一个有限总体中不放回地抽取样本时，所得到的离散型随机变量服从超几何分布。
离散型随机变量的数学期望与方差
数学期望
离散型随机变量的数学期望是所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。
方差
离散型随机变量的方差是所有可能取值的概率加权平方和的平均值，表示随机变量取值分散程度的度 量。
随机事件的概率计算
在概率论中，随机事件的概率可以通过随机变量的取值来 计算，随机变量为随机事件的概率计算提供了具体的方法 和手段。
在统计学中的应用
01
样本数据的统计分析
在统计学中，随机变量被广泛用于样本数据的统计分析，如均值、方差、
协方差等统计量都是基于随机变量的计算。
02 03
参数估计与假设检验
线性变换的性质
线性变换保持了均值、方差和线性关系等统计特 性。
3
线性变换的应用
在回归分析、时间序列分析和实验设计中广泛使 用。
非线性变换
非线性变换公式
$Y = f(X)$，其中$f$是一个非线性函数，$X$是随机变量，$Y$ 是变换后的随机变量。
随机变量及其分布复习课件.ppt
有
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
《随机变量及其分布》PPT课件
个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.
随机点 X
概率论与数理统计
x 实数点
x
F(x) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区 别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ,
η, ζ,….等表示. 概率论与数理统计
随机变量与普通函数的区别
普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数);
普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在概一率论次与数试理统验计 前无法确定它取何值.
概率论与数理统计
总之，随机变量X有如下特点:
X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定 义域为样本空间Ω,值域为实数集 ;
利用X可以描述随机事件; X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.
随机变量
离散型 非离散型
连续型
概率论与数理统计
其它
在实际问题中，有两类重要的随机变量：
实例11、观离察散掷型一随个机骰变子量出—现—的取点值数有。限随或机可变列量无X限的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶
概率论与数理统计
分布函数F(x)具有下列性质: 、 0≤F(x)≤1;
注意这些性 质在图形上
的表现
、F(-∞)=0,F(+∞)=1；[确定待定参数]
、F(x)至多有可列个间断点,且在间断点处是
【正式版】随机变量的概念pptPPT
在测量灯泡的寿命中,结果用大于零的实 随机变量的取值具备随机性。
※ 随机变量的两个特征: 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为：
数表示. 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
※ 请注意随机变量与普通函数的区别: 例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，但可将其 数量化,
随机变量的概念ppt
§1 随机变量
Random Variable and Distribution Function
R.V.
and
D.F.
一、随机变量的概念:
基本思想: 将样本空间数量化,即用数字来 表示试验的结果.在第一章中,有些随机试验的 从中任意抽取2个,观察抽球结果。
“两只红球”=“Y取到值2”,
②研究随机变量取这些值的概率各是多少。 (Random variable)
即可规定:用 1 表示 “正面”，
定义域是 1、直观定义：一个变量，若其取值随着试验的结果的变化而变化,即其取值具有随机性，且①能事先知道它的所有可能取值，②不能事
先确定它将要取哪一个值；
※ 随机变量的两个特征: {X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]}
在第一章中,也有些随机试验的结果不是 用数量来表示的
例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面” 和“反面”来表示的，但可将其 数量化, 即可规定:用 1 表示 “正面”，
用 0 表示“反面”。 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
讨论：取球结果为: 两个白球;两个红球;一红 一白.
{X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]} 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
※ 随机变量的两个特征: 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为：
数表示. 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
※ 请注意随机变量与普通函数的区别: 例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，但可将其 数量化,
随机变量的概念ppt
§1 随机变量
Random Variable and Distribution Function
R.V.
and
D.F.
一、随机变量的概念:
基本思想: 将样本空间数量化,即用数字来 表示试验的结果.在第一章中,有些随机试验的 从中任意抽取2个,观察抽球结果。
“两只红球”=“Y取到值2”,
②研究随机变量取这些值的概率各是多少。 (Random variable)
即可规定:用 1 表示 “正面”，
定义域是 1、直观定义：一个变量，若其取值随着试验的结果的变化而变化,即其取值具有随机性，且①能事先知道它的所有可能取值，②不能事
先确定它将要取哪一个值；
※ 随机变量的两个特征: {X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]}
在第一章中,也有些随机试验的结果不是 用数量来表示的
例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面” 和“反面”来表示的，但可将其 数量化, 即可规定:用 1 表示 “正面”，
用 0 表示“反面”。 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
讨论：取球结果为: 两个白球;两个红球;一红 一白.
{X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]} 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
第二章 概率统计之随机变量
例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮 投中次数X的概率分布.
解： X可取值为0,1,2 ;
P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18 P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81
概率论
常常表示为：
0 1 2 X ~ 0.01 0.18 0.81
概率论
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来 表示，由此就产生了随机变量的概念.
概率论
1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一 个数）.
例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天进入一号楼的人数；
昆虫的产卵数； 四月份哈尔滨的最高温度；
概率论
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化.
（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于 是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值 也有一定的概率.
称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X= X(e) 为
简记为 r.v.
概率论
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z,W,N 等表示
而表示随机变量所取的值时 , 一般采用小写字母 x, y, z, w, n 等.
p 其中
(kk=1,2, …) 满足：
（1） pk 0, k=1,2, …
（2） pk1
k
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
例2 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a k , k =0,1,2, …,
k! 试确定常数a .
概率论
0
解: 依据分布律的性质
P(X =k)≥0,
解： X可取值为0,1,2 ;
P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18 P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81
概率论
常常表示为：
0 1 2 X ~ 0.01 0.18 0.81
概率论
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来 表示，由此就产生了随机变量的概念.
概率论
1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一 个数）.
例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天进入一号楼的人数；
昆虫的产卵数； 四月份哈尔滨的最高温度；
概率论
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化.
（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于 是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值 也有一定的概率.
称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X= X(e) 为
简记为 r.v.
概率论
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z,W,N 等表示
而表示随机变量所取的值时 , 一般采用小写字母 x, y, z, w, n 等.
p 其中
(kk=1,2, …) 满足：
（1） pk 0, k=1,2, …
（2） pk1
k
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
例2 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a k , k =0,1,2, …,
k! 试确定常数a .
概率论
0
解: 依据分布律的性质
P(X =k)≥0,