数理统计作业和答案

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数理统计学考试题及答案

数理统计学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，若原假设为H0：μ=μ0，备择假设为H1：μ≠μ0，则该检验属于：A. 单尾检验B. 双尾检验C. 左尾检验D. 右尾检验答案：B3. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. t分布C. F分布D. 泊松分布答案：A4. 以下哪个选项是描述数据离散程度的统计量？A. 众数B. 中位数C. 极差D. 均值答案：C5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 方差C. 标准差D. 均值答案：A6. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 众数D. 标准差答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 标准差D. 均值答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 众数答案：C9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 均值B. 众数C. 方差D. 偏度答案：C二、多项选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪些统计量可以用来描述数据的集中趋势？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：ABC2. 以下哪些统计量可以用来描述数据的离散程度？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 均值答案：ABC3. 以下哪些统计量可以用来描述数据的分布形态？A. 偏度B. 峰度C. 均值D. 方差答案：AB4. 以下哪些分布是描述连续型随机变量的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 二项分布D. t分布答案：AD5. 以下哪些检验是用于检验总体均值的？A. t检验B. 方差分析C. 卡方检验D. F检验答案：A三、计算题（每题10分，共50分）1. 给定一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求其平均数和标准差。

应用数理统计作业题及参考答案（第一章）

应⽤数理统计作业题及参考答案（第⼀章）第⼀章数理统计的基本概念P261.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的⼦样，求最⼤顺序统计量()n X 与最⼩顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。

解：(){}{}()12nn i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤= ，，，.()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=??=.(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤()11nF x =-?-()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-.1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，，今抽取容量为5的⼦样1X ，2X ，…，5X ，试问：（i ）⼦样的平均值X ⼤于13的概率为多少？（ii ）⼦样的极⼩值（最⼩顺序统计量）⼩于10的概率为多少？（iii ）⼦样的极⼤值（最⼤顺序统计量）⼤于15的概率为多少？解：()~124X N ，，5n =，4~125X N ??∴ ??，. （i ）{}{}()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，，{}{}{}5551111011101110i i i i P X P X P X ===->=-?-()12~012X Y N -=，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---∴<=<=<-=<-{}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=.{}[]5min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.（iii ）{}{}{}{}{}55max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-? {}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.1.4 试证：（i ）()()()22211nni i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成⽴。

数理统计习题及答案

数理统计习题及答案数理统计习题及答案数理统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科，是现代社会中不可或缺的一部分。

在学习数理统计的过程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解答习题，我们可以更好地理解和掌握数理统计的概念和方法。

本文将介绍一些常见的数理统计习题，并给出详细的解答。

1. 某班级有40名学生，他们的身高数据如下：160、165、170、165、168、172、178、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168。

请计算这组数据的平均身高、中位数和众数。

解答：首先，将这组数据按照从小到大的顺序排列：160、160、160、160、160、160、160、160、163、163、163、163、165、165、165、165、165、165、165、165、168、168、168、168、168、168、170、170、170、170、170、170、172、172、172、172、172、175、175、175、175、175、178。

平均身高 =(160+160+160+160+160+160+160+160+163+163+163+163+165+165+165+1 65+165+165+165+168+168+168+168+168+168+170+170+170+170+170+170+172+172+172+172+172+175+175+175+175+175+178)/40 = 166.7中位数 = 排列后的第20个数据 = 165众数 = 出现次数最多的数据 = 1602. 某汽车厂家生产了1000辆汽车，其中200辆为红色，300辆为蓝色，400辆为黑色。

数理统计全套标准答案

习题一、基本概念1．解：设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏ 555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ2.解：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x nx x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293 =--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯=7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.248．解：由已知条件得：(1,),1()i X Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().ni X i Y B n p p F μ==-∑9.解:1) )1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2) λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3) ()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4) 1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ 10.解：1) ()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)ni i n S n S D X X D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)ni i D X X n σ=∴-=-∑11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1) ()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)222211,2u u X u E u e du u du +∞+∞---∞-===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,162u n n⎛⎫⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解：设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-()()12()2()12P T P T p P T p pP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF ==17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X XX N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=- 又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E X X D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N n nσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x af x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P X P X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mi i X N m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，21~(0,)m nii m XN n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故 222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解：由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解：1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a X P 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P cT P cS X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,)1()()1cov(,)()1(,)1i j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=--=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1．解：矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= ()()11111ln ln(1)ln nnni ii i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln ni i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X X X x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln nii X n X X αα=⎛⎫ ⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解：1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤=2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3．1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑ 2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x x λλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+== 3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+== 联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni naX b X ≤≤≤≤== 4) 解：矩估计：ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解：矩法：()/0()(1)(2)x txEX e dx t edt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰X αβ=+=22220()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ==-==极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx n i n L e nx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n n L L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解：矩法：22223222(2)x x t x EX dx dte dt X θθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏∏222ln ln43ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；1,ln ln i nx n nx i L e e L n nx λλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。

数理统计参考答案

习题一1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .解设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，其中：5115i i x x ==∑2）对总体~()X P λ其中：5115i i x x ==∑3）对总体~(,)X U a b 4）对总体~(,1) X N μ2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x kF x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩L ，据此得出样本分布函数：图经验分布函数3解图数据直方图它近似服从均值为172，方差为的正态分布，即(172,5.64)N .4 设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.解()- 5P X k P k μ⎫⎪<=<⎪⎭因k 较大，由中心极限定理(0,1)X N ：所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=.5 从总体2~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在到之间的概率.解 ()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于的概率.解设两个独立的样本分别为：110,,X X K 与115,,Y Y K ，其对应的样本均值为：X 和Y . 由题意知：X 和Y 相互独立，且：3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N7 设110,,X X K 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得1021()0.05i i P X C =>=∑.解因~(0,4)i X N ，则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有：所以：10102211()()144iii i CP X C P X ==>=>∑∑查卡方分位数表：c/4=，则c=.8 设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X K 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量：试确定统计量∑=ni i Y 1的分布.解由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有1~(,)nii YB n p =∑，1()X p F μ=-.9 设1,,n X X K 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。

数理统计习题带答案

数理统计习题带答案数理统计习题带答案数理统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科。

它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、医学、社会科学等等。

通过数理统计，我们可以对数据进行整理和总结，从而得出一些有关数据的结论和推断。

下面是一些数理统计的习题及其答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 某班级有60名学生，他们的数学成绩如下：70，75，80，85，90，95，100。

请计算这些学生的平均数、中位数和众数。

答案：平均数 = (70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 95 + 100) / 7 = 85中位数 = 85众数 = 无2. 某公司的员工年龄如下：25，30，35，25，35，40，45。

请计算这些员工的平均数、中位数和众数。

答案：平均数 = (25 + 30 + 35 + 25 + 35 + 40 + 45) / 7 = 33.57中位数 = 35众数 = 25和353. 某学校的学生身高如下：160cm，165cm，170cm，175cm，180cm，185cm，190cm。

请计算这些学生的平均数、中位数和众数。

答案：平均数 = (160 + 165 + 170 + 175 + 180 + 185 + 190) / 7 = 175中位数 = 175众数 = 无4. 某地区的气温如下：10℃，15℃，20℃，25℃，30℃，35℃，40℃。

请计算这些气温的平均数、中位数和众数。

答案：平均数 = (10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40) / 7 = 25中位数 = 25众数 = 无5. 某班级的学生考试成绩如下：60，70，80，90，100。

请计算这些学生的平均数、中位数和众数。

答案：平均数 = (60 + 70 + 80 + 90 + 100) / 5 = 80中位数 = 80众数 = 无通过以上习题，我们可以看到不同数据集的平均数、中位数和众数可能会有不同的结果。

数理统计习题及答案

1一批出厂半年的人参营养丸的潮解率为8%，从中抽取20丸，求恰有一丸潮解的概率。

32816.0)1()1(,20,08.0=-====-k n kk n p p C k P n p2．设X ～N （μ，σ2），试求P{ |X-μ| ≤1.96σ}=?95.0025.0975.0)96.1()96.1()96.1()96.1()96.1()96.1()96.196.1(}96.1{=-=-Φ-Φ=--Φ--+Φ=--+=+≤≤-=≤-σμσμσμσμσμσμσμσμσμF F X P X P3．已知某药品中某成份的含量在正常情况下服从正态分布，标准差σ=0.108，现测定9个样本，其含量的均数X=4.484，试估计药品中某种成份含量的总体均数μ的置信区间（α=0.05）。

3、解：置信区间为)55456.4,41344.4(9108.096.1484.42_=⨯±=±nu x σα4．某合成车间的产品在正常情况下其收率X ～N （μ，σ2），通常收率的标准差σ=5%以内就可以认为生产是稳定的，现生产9批，得收率（%）为：73.2，78.6，75.4，75.7，74.1，76.3，72.8，74.5，76.6。

问此药的生产是否稳定？(α=0.01) 4、解：H 0：σ≤5 H 1：σ>5n=9，s=1.81873，选择统计量058489.125484.26)1(222==-=σχs n令α=0.01，查临界值表得6465.1)8(201.0=χ，0902.20)8(299.0=χ比较统计量的数值和临界值，1.<1.6465，从而不能否定原假设H 0，即总体的标准差在5%以内，生产是稳定的。

5 中药研究所，用中药青兰试验其在改变兔脑血流图所起的作用，测得数据如下：用药前 2.0 5.0 4.0 5.0 6.0 用药后3.06.04.55.58.0试用配对比较的t 检验说明青兰对兔脑血流图的作用(α=0.05)。

（完整版）数理统计考试题及答案

（完整版）数理统计考试题及答案1、离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y 相互独⽴的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ?=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1µσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1µσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n⼆、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=612)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。

解：因为),(~2σµN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则≤-= ≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01) 0a x x α?+<，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极⼤似然估计量。

《数理统计》考试题及参考答案

1 《数理统计》考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则192219X X U Y Y++=++ 服从的分布是服从的分布是_______ ._______ .解：(9)t ．2，设1ˆq 与2ˆq 都是总体未知参数q 的估计，且1ˆq 比2ˆq 有效，则1ˆq 与2ˆq 的期望与方差满足的期望与方差满足_______ . _______ .解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D q q q q =<．3，“两个总体相等性检验”的方法有“两个总体相等性检验”的方法有_______ _______ _______ 与与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ .解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型=+Y βX e 中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ .解：1ˆ-¢¢X Y β=()X X ．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设12(,,,)(2)nX X X n ³ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则____D___ .（A ）(0,1)nX N ；（B ）22()nS n c；（C ）(1)()n X t n S- ；（D ）2122(1)(1,1)ni i n X F n X =--å .2，若总体2(,)X N m s ，其中2s 已知，当置信度1a -保持不变时，如果样本容量n 增大，则m 的置信区间信区间____B___ . ____B___ .（A ）长度变大；（B ）长度变小；（C ）长度不变；（D ）前述都有可能）前述都有可能. .3，在假设检验中，分别用a ，b 表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是下列说法中正确的是____C___ . ____C___ .（A ）a 减小时b 也减小；（B ）a 增大时b 也增大；（C ）,a b 其中一个减小，另一个会增大；（D ）（A ）和（）和（B B ）同时成立）同时成立. .4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有和，则总有___A___ . ___A___ .（A ）T e A S S S =+；（B ）22(1)A S r c s- ；（C ）/(1)(1,)/()AeS r F r n r S n r ---- ；（（D ）A S 与e S 相互独立相互独立. . 5，在一元回归分析中，判定系数定义为2T S R S=回，则，则___B____ . ___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著；时回归效果显著；（（B ）2R 接近1时回归效果显著；时回归效果显著；（C ）2R 接近¥时回归效果显著；时回归效果显著；（（D ）前述都不对）前述都不对. .三、（本题10分）设总体21(,)X N m s 、22(,)Y N m s ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22XYS S 、分别是它们的样本均值和样本方差，分别是它们的样本均值和样本方差，证明证明证明12121211()()(2)n n X Y t n n S w m m ---+-+ ，其中2221212(1)(1)2X Y n S n S S n n w -+-=+-. 证明：易知易知221212(,)X Y N n n s s m m --+ ， 1212()()(0,1)11X Y U N n nm m s ---=+ ．由定理可知由定理可知22112(1)(1)Xn S n c s-- ，22222(1)(1)Yn S n c s-- ．由独立性和2c 分布的可加性可得分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn Sn SV n n c ss--=++- ．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得分布的定义可得1212121112()()(2)/(2)n n X Y Ut n n V n n Swm m ---=+-+-+．四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1, 0(),0, xe xf x qq -ì>ï=íïî其它其中未知参数0q >, 12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求q 的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1）()11()xv E Xxf x dxxe dx q q q-¥¥-¥-¥====òò，用111ni i vX X n ===å 代替，所以代替，所以å===ni i X X n11ˆq ．（2）11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n q q =====å，所以该估计量是无偏估计．，所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x q q q =+<<，其中未知参数1q >-，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数q 的极大似然估计．的极大似然估计．解：1 (1)() , 01() 0 , nniii x x L qq q =ì+P <<ï=íïî其它当01i x <<时，1ln ()ln(1)ln n i i L n x q q q ==++å，令1ln ()ln 01ni i d L n x d q q q ==+=+å，得，得 1ˆ1ln nii n x q==--å．六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e,>0;(;)0,0,xx f x x l l l -ì=í£î未知参数0l >，12(,,)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是1l的一个UMVUE UMVUE．．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln (;)I E f x E l l l l l éù¶-æö=-=-=ç÷êú¶èøëû， 1l的的无偏估计方差的C-R 下界为下界为2221221[()]11()nI n n l l l l l-éùêú¢ëû==．另一方面另一方面()1E X l =， 21V a r ()X n l=，即X 得方差达到C-R 下界，故X 是1l的UMVUE UMVUE．．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=a 下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求（2）如果调整显著性水平0.025a =，结果会怎样？，结果会怎样？参考数据参考数据: : 02319)9(2025.0=c , 91916)9(205.0=c, 53517)8(2025.0=c, 50715)8(205.0=c ．解：（1）()()2222021:0.005,~8n SH s c c s-£=，则应有：，则应有：()()2220.050.0580.005,(8)15.507P c cc >=Þ=，具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005c ´==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．求．（2）新设）新设 20:0.005,H s £ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005cc ´=Þ==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X m s ，222~(,)Y m s ，221212, , , m m s s未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122s s的置信度为1a -的置信区间的置信区间.. 解：设22, XY S S分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知的样本方差，由抽样分布定理可知221121(1)(1)Xn S n c s -- ， 222222(1)(1)Yn S n c s-- ，由F 分布的定义可得分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX Y Yn Sn S F F nn n SS n ss s s--==---- ．对于置信度1a -，查F 分布表找/212(1,1)F n n a --和1/212(1,1)F n n a ---使得使得[]/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F Fn n a a a---<<--=-，即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n a a s a s-æö<<=-ç÷----èø，所求2221s s 的置信度为a -1的置信区间为的置信区间为 22221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y XY S S S S F n n F n n a a -æöç÷----èø．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．。

数理统计试题及答案[5篇范文]

数理统计试题及答案[5篇范文]第一篇：数理统计试题及答案数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知,则=________；3、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________；4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为2≤，则相应的备择假设为________；5、设总体，已知，在显著性水平0.05下，检验假设,，拒绝域是________。

1、；2、0.01；3、；4、；5、。

二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

（A）（B）（C）（D）2、设为取自总体的样本，为样本均值，则服从自由度为的分布的统计量为（）。

（A）（B）（C）（D）3、设是来自总体的样本，存在，, 则（）。

（A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。

（A）（B）（C）（D）5、设总体，已知，未知，是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平时，检验假设的结果是（）。

（A）不能确定（B）接受（C）拒绝（D）条件不足无法检验 1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。

解：(1)，令，得为参数的矩估计量。

(2)似然函数为：，而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。

四、（本题14分）设总体，且是样本观察值，样本方差，（1）求的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知，求的置信水平为0.95的置信区间；（，）。

数理统计考试题及答案

数理统计考试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是中心极限定理的主要内容？A. 样本均值的分布趋近于正态分布B. 样本方差的分布趋近于正态分布C. 样本中位数的分布趋近于正态分布D. 样本最大值的分布趋近于正态分布答案：A2. 假设检验中的两类错误是什么？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 测量误差和估计误差D. 抽样误差和非抽样误差答案：A二、填空题1. 总体均值的估计量是_________。

答案：样本均值2. 在进行假设检验时，如果原假设被拒绝，则我们犯的是_________错误。

答案：第一类三、简答题1. 简述什么是置信区间，并说明其在统计分析中的作用。

答案：置信区间是指在一定置信水平下，用于估计总体参数的一个区间范围。

它的作用是在统计分析中提供对总体参数估计的不确定性度量，帮助我们了解估计值的可信度。

2. 解释什么是点估计和区间估计，并给出它们的区别。

答案：点估计是用样本统计量来估计总体参数的单个值。

区间估计是在一定置信水平下，给出总体参数可能落在的区间范围。

它们的区别在于点估计提供了一个具体的数值，而区间估计提供了一个包含该数值的区间，反映了估计的不确定性。

四、计算题1. 某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本均值为50mm，样本标准差为1mm，样本容量为100。

求95%置信水平下的总体均值的置信区间。

答案：首先计算标准误差：\( SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1 \)。

然后根据正态分布的性质，95%置信水平下的置信区间为：\( \bar{x} \pm 1.96 \times SE \)。

计算得到：\( 50 \pm 1.96 \times 0.1 = (49.84, 50.16) \)。

2. 假设某公司员工的日均工作时长服从正态分布，样本均值为8小时，样本标准差为0.5小时，样本容量为36。

数理统计作业答案(杨虎,刘琼荪,钟波编著)

第一章2.解：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x n x x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24 14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N +++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n ∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X X X X χχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X X X N n nn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=- 又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E XX D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N n nσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P X P X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mi i X N m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)m i i X N m σ=∑，21~(0,)m ni i m X N n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故 222221111~(2)mm ni i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑第二章3． 1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑2)解：~()X P λ矩估计：最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x xλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+==联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni na Xb X ≤≤≤≤== 11.解：222221111115ˆˆ()(),()()6336918E D ααααααασσσσσ=+++==+++= 2ˆ(234)/52E ααααααα=+++=≠ 22331141ˆˆˆ(),4164E D D ααααααασσα=+++===< 12ˆˆ,αα无偏，3ˆα方差最小 X X EX ===1ˆ,λλ所以：231ˆˆˆD D D ααα<< 12、1）解：()2122222221111ˆ[12(1)2][2(1)()2(1)]n i i i i i E E k n x x x x n n k kσσμμσσ-++==--+=-+--==∑2(1)k n ∴=-2）1,2110,nkk k i i i i x n n y x x x N n nn σ=≠--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑令222(1)x n ni E y dx k σσ--∴===∴=⎰15．1）解：()22222211111()(())()111n ni i i i i ES E X X E X nX EX nEX n n n ===-=-=----∑∑ 222221[()]1n n n n σσμμσ⎛⎫=+-+= ⎪-⎝⎭2S ∴是的2σ无偏估计2）解：()2224222421222(1),,11n D S n DS E S DS n n σσσσ-⎛⎫=-=-== ⎪--⎝⎭()()()()()()222222224111222222222422221()2()1n E S D S E S nE S D S E S n σσσσσσσσ--=-+-=-=-+-=+可以看出()2222E S σ-最小。

西南大学《数理统计》作业及答案

F 列正确的是( )(A) X ~ N(4®2) (B) ∏X ~ N(* )(C)W(X i 」)2 〜2(n)(D)竺 )〜t(n)σ2GS7、设总体X 服从两点分布B (i, P),其中P 是未知参数，X i ,…,X 5是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为()(A ) . X i X 2( B ) maχfχi ,仁i 岂51数理统计第一次1设总体X 服从正态分布N(J,；「2),其中J已知，；「2未知, X 1,X 2,…,X n 为其样本, n _ 2,则下列说法中正确的是( )。

(A ) ∙ (X j -■•二)2 是统计量 n i 1 (B)=J Xj2是统计量 n i =I2、设两独立随机变量 X ~ N(O,i), Y~ 2(9),则 3X服从( JY)0(A) N(0,i) (B)t(3) (C)t(9) (D) F(i,9) 3、设两独立随机变量 X 〜N(O,i),24X Y~ 2(i6),则-服从( )0 (A)N(O,i) (B)t ⑷(C)t(i6)(D) F(i,4)(C)=J (X i 一)2是统计量n —1 y (D ) X i 2是统计量 n i =I4、设X i ,…，X n 是来自总体X 的样本，且EX 二，则下列是」的无偏估计的是()I n-Ii ni n(A) X i (B) 一 X i (C)-^ X in — 1 i =I n —1iτn^(D)-XX in5、设X i ,X 2,X 3,X 4是总体N(0M 2)的样本,2-未知，则下列随机变量是统计量的是( ). (A) X 3/二；(B )4(Di Xi 2 / ~2i T26、设总体X ~ Ne I ^ ) , X i ,L ,X n 为样本,X,S 分别为样本均值和标准差，则1、( D )；2、(C) ； 3、(C) ; 4、(A) ；5、( B )；6、(C) ； 7、( C )；第二次1、设总体X~N(*二2)，X 1, ,X n 为样本，X,S 分别为样本均值和标准差)分布•3、在假设检验中，下列说法正确的是(如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误；如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误; 第一类错误和第二类错误同时都要犯；如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。

数理统计参考答案-(1)(1)

习题一1设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .解设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，1122334455511155(1)(,,,,)()(1)(1)i inx x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏其中：5115i i x x ==∑2）对总体~()X P λ11223344555115551(,,,,)()!!ixni i i i i xi i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λλλλ-==-==========∏∏∏其中：5115i i x x ==∑3）对总体~(,)X U a b5511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩∏∏ ，其他4）对总体~(,1)X Nμ()()()25555/222151111(,,)()=2exp2ixi iii if x x f x xμπμ---===⎛⎫==--⎪⎝⎭∑∏2为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解设(=0,1,2,3,4)i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：经验分布函数的定义式为：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k kkx xkF x x x x k nnx x+<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩，据此得出样本分布函数：200,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩图1.1 经验分布函数3某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.x()n F x解图1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N .4设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.解()- 5P X k P k μ⎫⎪<=<⎪⎭()()555 P k X k μ=-<-< 因k 较大，由中心极限定理(0,1)X N ： ()()()-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-(5)(1(5))k k =Φ--Φ()2510.9k =Φ-=所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=. 5从总体2~(52,6.3)XN 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭(0,1)X U N =()()50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）6从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解设两个独立的样本分别为：110,,X X 与115,,Y Y ，其对应的样本均值为：X 和Y .由题意知：X 和Y 相互独立，且：3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N (0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤1P =-~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744X Y N X YN P X Y -->=-Φ=7设110,,X X 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得1021()0.05i i P XC =>=∑.解因~(0,4)i X N ，则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有： 10122~(10)2i i X χ=⎛⎫⎪⎝⎭∑所以：10102211()()144iii i CP X C P X ==>=>∑∑1021110.0544i i c P X =⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭∑102110.9544i i c P X =⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.8设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量：1,,1,2,,0,i i i X Y i n X μμ>==≤⎧⎨⎩试确定统计量∑=ni i Y 1的分布.解由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有1~(,)ni i Y B n p =∑，1()Xp Fμ=-.9设1,,nX X 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。

数理统计_习题集(含答案)

《数理统计》课程习题集一、计算题1. 总体X 服从泊松分布()λP ，0>λ ，样本为n X ,,X 1 ；证明 ()111-∑=i n i i X X n 是2λ的无偏估计2. 某厂生产的40瓦灯管的使用寿命)100,(2μN X ～（单位：小时），现从这批灯管中任抽取9只，测得使用寿命如下：1450 1500 1370 1610 1430 1550 1580 1460 1550 试求这批灯管平均使用寿命的置信度为0.95的置信区间3. 设n X ,,X 1是来自总体为二项分布()p ,n B 的一个样本；证明 :X 是p 的无偏估计量，4. 设n X X ,,1 为简单样本，总体)(E X θ～分布，求参数θ的极大似然估计量θˆ； 5. 设总体()θE X ～ ()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他01x ex f xθθ 样本为n X ,,X 1，求参数θ的矩法估计量。

6. 设n X ,,X 1是来自总体X 的样本，X 的数学期望为μ，样本值为 n x ,,x 1 是任意常数，验证∑∑∑===≠⎪⎭⎫⎝⎛n i ni ii n i i i )a(a X a 1110是μ的无偏估计量。

7. 设n X X ,,1 为来自总体X ～1),(-=θθθx x f )10(<<x 的一个简单样本，其中0>θ 为未知参数，n x x ,,1 是X 的一组观察值。

求：θ 的矩估计。

8. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.57.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布()2,σμN ，求:μ的置信水平为95.0的置信区间。

9. 设总体 {} ,,,x !x e x X P X x 210===-λλ～，样本为n X ,,X 1 ，样本值为 n x ,,x 1 ； 1、求参数λ的矩法估计量； 2、求参数λ的极大似然估计量10. 设某厂生产的细纱的强力X ～），（2σμN 分布，任取九个样品测得强力如下：（单位：公斤）19.0 、 18.7 、 18.8 、 19.5 、 20.0 、 19.3 、 18.6 、 19.1 、 18.0 。

西南大学《数理统计》作业及答案

数理统计第一次1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（）。

（A ）∑=-ni i X n122)(μσ是统计量（B ）∑=ni i X n122σ是统计量（C ）∑=--ni iX n 122)(1μσ是统计量（D ）∑=ni iX n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（）。

)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ）。

)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（）.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（）.（A ）3/X σ；（B ）414ii X=∑；（C ）σ-1X ；（D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（）.2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑)()~()X D t n Sμ-7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（）( A ) . 12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C ) 52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。

(完整版)数理统计试卷及答案1

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－说明：本试卷总分100分，全试卷共页，完成答卷时间2小时。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－一、填空题（本大题共 9 题，每题 3 分，共 27 分）.1．已知3.0)(=A P ， 6.0)(=+B A P ，那么①、若A 与B 互不相容，则=)(B P ，②、若A 与B 相互独立，则=)(B P （），③、若B A ⊂，则=)(B P 。

2．设随机变量X ~),,(n p k B k n k k n q p C --=)1(。

则X 最可能发生的次数是，当p很小、n 很大时，有近似公式),,(n p k B λλ-≈e k k!，其中≈λ 。

3.设)(x F 是随机变量X 的分布函数,若)()()(a F b F b X a p -=ππ，则==)(b X p 。

4．已知随机变量X 的概率分布是Nak X p ==)(，N k 2,,2,1Λ=。

则a = 。

5．设随机变量X 是参数为λ的泊松分布，且)2()1(===X p X p ，则EX= ，DX= 。

6．总体X 的一个样本为7,3,5,2,8。

则X = ，=2S ，SX= 。

7．设n X X X ,,,21Λ是正态总体X~),(2σμN 的样本，2,S X 分别是其样本均数和样本方差，其中2σ未知。

则μ的置信度为α-1的置信区间的长度为。

8.单因素试验方差分析中,总离差平方和A e SS SS SS +=,其中e SS 称为，A SS 称为 9．总体X 与Y 的样本相关系数为yyxx xy l l l r =，则xy l 的计算公式xy l = 。

xx l 的计算公式xx l = 。

yy l 的计算公式yy l = 。

二、单项选择题（本大题共 11 题，每题 3 分，共 33分）每一小题有4个答案，其中只有一个答案是对的，请选出正确的答案填入下列表中。

数理统计试题及答案

数理统计试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在概率论中，随机变量X的数学期望E(X)表示的是（）。

A. X的众数B. X的中位数C. X的均值D. X的方差答案：C2. 以下哪项是描述性统计中常用的数据集中趋势的度量方法？（）。

A. 极差B. 方差C. 标准差D. 偏度答案：A3. 假设检验中，原假设H0通常表示的是（）。

A. 研究者想要证明的假设B. 研究者想要否定的假设C. 研究者认为正确的假设D. 研究者认为错误的假设答案：C4. 在回归分析中，如果自变量X与因变量Y之间存在线性关系，则回归系数β1表示的是（）。

A. X每增加一个单位，Y平均增加β1个单位B. X每增加一个单位，Y平均减少β1个单位C. X每减少一个单位，Y平均增加β1个单位D. X每减少一个单位，Y平均减少β1个单位答案：A5. 以下哪项是统计学中用于衡量数据离散程度的指标？（）。

A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：D6. 抽样分布是指（）。

A. 总体数据的分布B. 样本数据的分布C. 样本统计量的分布D. 总体统计量的分布答案：C7. 在统计学中，置信区间是用来估计（）。

A. 总体均值B. 总体方差C. 总体标准差D. 以上都是答案：D8. 以下哪项是统计学中用于衡量数据分布形态的指标？（）。

A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C9. 假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则（）。

A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A10. 在方差分析中，如果F统计量大于临界值，则（）。

A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A二、多项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪些是统计学中常用的数据收集方法？（）。

A. 观察法B. 实验法C. 调查法D. 抽样法答案：ABCD2. 描述性统计中，以下哪些是数据的集中趋势的度量方法？（）。

数理统计习题及答案

数理统计习题及答案数理统计是应用数学的一个分支，它利用概率论的基本原理来分析和解释数据。

在数理统计中，我们经常需要解决各种习题来巩固和深化对统计概念和方法的理解。

以下是一些数理统计的习题以及相应的答案。

习题1：假设有一个正态分布的总体，其均值为μ=100，标准差为σ=15。

如果从中随机抽取一个样本大小为n=36，求样本均值的期望值和方差。

答案：样本均值的期望值等于总体均值，即E(\(\bar{X}\)) = μ = 100。

样本均值的方差由以下公式给出：Var(\(\bar{X}\)) = σ²/n = 15²/36 = 6.25。

习题2：一个工厂生产的灯泡寿命服从指数分布，其平均寿命为1000小时。

如果工厂每天生产1000个灯泡，求在接下来的30天内，工厂生产的灯泡中至少有一个灯泡寿命少于700小时的概率。

答案：灯泡寿命的指数分布参数λ=1/1000。

我们首先计算单个灯泡寿命超过700小时的概率，即P(X > 700) = e^(-λ*700)。

然后，我们计算1000个灯泡中所有灯泡寿命都超过700小时的概率，即(P(X > 700))^1000。

所以，至少有一个灯泡寿命少于700小时的概率为1 - (P(X > 700))^1000。

习题3：假设有一批产品，其中有5%的产品是次品。

如果从这批产品中随机抽取100个进行检验，求恰好有5个是次品的概率。

答案：这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.05。

使用二项分布概率公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，我们可以计算出恰好有5个次品的概率。

这里C(n, k)是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的组合数。

习题4：如果一个随机变量X服从正态分布N(0,1)，求P(-1 < X < 1)。

答案：由于X服从标准正态分布，我们可以使用标准正态分布表来查找P(-1 < X < 1)的值。

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1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（）。

（A ）∑=-ni iXn122)(μσ是统计量（B ）∑=ni iXn122σ是统计量（C ）∑=--ni i X n 122)(1μσ是统计量（D ）∑=ni i X n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（）。

)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ）。

)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（）.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（）.（A ）3/X σ；（B ）414ii X=∑；（C ）σ-1X ；（D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（）.2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑(~()D t n7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（）( A ) . 12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C ) 52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。

则2σ的最大似然估计量为（）。

（A ）∑=-n i i X n 12)(1μ （B ）()211∑=-n i i X X n （C ）∑=--n i i X n 12)(11μ（D ）()∑=--n i iX X n 1211 9、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X ⋅⋅⋅为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则服从（）分布.2() (,)A N μσ 2() (,)B N nσμ () ()C t n () (1)D t n -10、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。

则2σ的置信度为1α-的区间估计的枢轴量为（）。

(A)()212ni i X μσ=-∑ (B)()212ni i X μσ=-∑ (C)()∑=-ni iX X1221σ(D)()2120ni i X X σ=-∑11、在假设检验中，下列说法正确的是（）。

(A) 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； (B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误； (C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯；(D) 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。

12、对总体2~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间（）。

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 13、设ˆθ是未知参数θ的一个估计量，若ˆE θθ≠，则ˆθ是θ的（）。

(A)极大似然估计 (B) 有偏估计 (C)相合估计 (D) 矩法估计 14、设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是( ).（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 15、设总体2~(,)X N μσ，2σ未知，12,,,n X X X 为样本，2S 为修正样本方差，则检验问题：00:H μμ=，10:H μμ≠（0μ已知）的检验统计量为（）. （A）)0X Sμ-（B）)0X μσ- （C）)0X μσ-（D）)0X Sμ-.16、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则=X D ．17、设321,,X X X 为来自正态总体),(~2σμN X 的样本，若321cX bX aX ++为μ的一个无偏估计，则=++c b a _____。

18、设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为。

19、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，μ未知。

n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则对假设2020σσ=：H ；2021σσ≠：H 进行假设检验时，通常采用的统计量是____________，它服从____________分布，自由度为____________。

20、设总体)4,1(~N X ,1210, ,, X X X 为来自该总体的样本，101110i i X X ==∑,则()D X =______.21、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是． 22、已知0.9(8,20)2F =，则0.1(20,8)F = ．23、设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为． 24、检验问题：()()00:H F x F x =，()()00:H F x F x ≠（()0F x 含有l 个未知参数）的皮尔逊2χ检验拒绝域为．25、设621,,,X X X 为来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，设26542321)()(X X X X X X Y +++++=若使随机变量CY 服从2χ分布，则常数=C ．26、设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是（0.975 1.96μ=）.27、若线性模型为()20,,n Y X E Cov I βεεεεσ=+⎧⎨==⎩，则最小二乘估计量为． 28、若样本观察值1,,m x x 的频数分别为1,,m n n ，则样本平均值为．29、若样本观察值1,,m x x 的频数分别为1,,m n n ，则样本方差为．30、设f （t ）为总体X 的特征函数，()1,,n X X 为总体X 的样本，则样本均值X 的特征函数为．31、设X 服从自由度为n 的2χ-分布，则其数学期望和方差分别是． 32、设()2ii X n χ，i=1，…，k ，且相互独立。

则1ki i X =∑服从分布．33、设总体X 服从均匀分布[0,]U θ，从中获得容量为n 的样本1,,n X X ，其观测值为1,,n x x ，则θ的最大似然估计量为．34、根据样本量的大小可把假设检验分为． 35、设样本1,,n X X 来自正态总体()2,N μσ，μ未知，样本的无偏方差为2S ，则检验问题22220010:,:H H σσσσ≤>的检验统计量为．36、对试验（或观察）结果的数据作分析的一种常用的统计方法称为． 37、设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（20.99(16)32.0χ=）38、设总体X 的密度函数为 ()36(),0;0,.xx x p x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本，则θ的矩估计量为___________.39、设总体X 的概率密度为(),01,1,12,0,.x p x x θθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为___________. 40、设总体X 的分布函数为F （x ,β）=11,1,0,1.x xx β⎧->⎪⎨⎪≤⎩ 其中未知参数β>1，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本，则β的最大似然估计量___________. 41、设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得1618ii X==∑，162134i i X ==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区间为___________.0.950.975((15) 1.7531,(15) 2.1315)t t ==42、设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是（0.975 1.96μ=）. 43、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X 是来自总体的简单随机样本。

指出{}()212551,max ,15,2,i X X X i X p X X +≤≤+-之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？44、设总体X 服从参数为（N ，p ）的二项分布，其中（N ，p ）为未知参数，12,,,nX X X 为来自总体X 的一个样本，求（N ，p ）的矩法估计。

45、设12,,,n X X X 是取自正态总体()2,N μσ的一个样本，试问()22111nii S X X n ==--∑是2σ的相合估计吗？46、设连续型总体X 的概率密度为()()22,0,00, 0xx e x p x x θθθθ-⎧⎪>=>⎨⎪≤⎩, 12,,,n X X X 来自总体X 的一个样本，求未知参数θ的极大似然估计量ˆθ，并讨论ˆθ的无偏性。

47、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.132.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。

若已知σ=0.01（厘米），试求总体均值μ的0.9的置信区间。

（0.95 1.65u =） 48、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布()211,Nμσ与()222,N μσ，为比较两台机床的加工精度有无显著差异。