上海市三校生高考数学试题及解答
三校生数学试题及答案
三校生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. πC. 0.33333…D. i答案：D2. 一个数的相反数是-5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A3. 函数y=2x+3的图象不经过哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：C4. 以下哪个不等式是正确的？A. 3 > 2B. 4 < 3C. 5 ≥ 5D. 6 ≤ 7答案：C5. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么它的第五项是：A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是________厘米。
答案：31.47. 如果一个三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的取值范围是________。
答案：1 < 第三边 < 78. 一个数的平方是25，那么这个数是________。
答案：±59. 函数y=x^2-4x+3的最小值是________。
答案：010. 一个等比数列的首项是2，公比是2，那么它的第四项是________。
答案：16三、解答题（每题10分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求函数的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(3, -1)。
12. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式。
答案：通项公式为an = 3n - 1。
结束语：本试题涵盖了实数、相反数、函数图象、不等式、等差数列等基础数学知识点，旨在考察学生的基础知识掌握情况和计算能力。
希望同学们通过本次练习能够查漏补缺，提高数学解题技巧。
上海三校生自主招生考试试卷
上海三校生自主招生考试试卷一、语文部分（30分）1. 基础知识（10分）给下列加点字注音（2分）：“莘莘学子”的“莘莘”（shēn shēn）。
这是个比较容易出错的词哦，很多人会读错呢。
下列词语书写完全正确的一项是（3分）：A. 按步就班（应为“按部就班”）；B. 变本加利（应为“变本加厉”）；C. 迫不及待。
答案是C啦，A和B都是常见的错别字组合呢。
请写出一句描写春天的诗句（5分）：“好雨知时节，当春乃发生。
”这是杜甫写的哦，杜甫的诗总是很能描绘出那种细腻的感觉呢。
2. 阅读理解（10分）阅读下面这篇短文，回答问题。
短文：秋天的怀念（节选）双腿瘫痪后，我的脾气变得暴怒无常。
望着望着天上北归的雁阵，我会突然把面前的玻璃砸碎；听着听着李谷一甜美的歌声，我会猛地把手边的东西摔向四周的墙壁。
母亲就悄悄地躲出去，在我看不见的地方偷偷地听着我的动静。
当一切恢复沉寂，她又悄悄地进来，眼边红红的，看着我。
“听说北海的花儿都开了，我推着你去走走。
”她总是这么说。
母亲喜欢花，可自从我的腿瘫痪后，她侍弄的那些花都死了。
“不，我不去！”我狠命地捶打这两条可恨的腿，喊着：“我可活什么劲！”母亲扑过来抓住我的手，忍住哭声说：“咱娘儿俩在一块儿，好好儿活，好好儿活……”问题：文中“我”的脾气为什么会变得暴怒无常？（3分）答案：因为“我”双腿瘫痪了，失去了行动能力，对生活感到绝望，所以脾气变得暴怒无常。
这时候的“我”觉得自己的生活变得毫无希望，就像天塌下来一样呢。
问题：母亲为什么要“悄悄地躲出去”又“悄悄地进来”？（3分）答案：母亲“悄悄地躲出去”是因为她理解“我”在这种绝望情绪下需要发泄，不想让“我”觉得被监视而更难受；“悄悄地进来”是因为她又担心“我”伤害自己，她很矛盾也很无奈，这种母爱真的很细腻又深沉呢。
问题：如何理解母亲说的“咱娘儿俩在一块儿，好好儿活，好好儿活……”？（4分）答案：母亲这句话一方面是在安慰“我”，让“我”不要放弃希望，即使身体残疾了也能好好生活；另一方面也表现出母亲对未来生活的一种坚定信念，她想陪着“我”一起面对困难，充满了母爱的力量。
2024年上海市高考数学真题试卷及解析
2024年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分).1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{2,4}A =,则A =____________.2.已知0(),(3)1,0x f x f x >==⎪⎩ _____________.3.已知2,230x R x x ∈--<的解集为____________.4.已知3(),f x x a x R =+∈,若()f x 是奇函数,则a =_____________.5.已知,(2,5),(6,),//k R a b k a b ∈==,则k 的值为_____________.6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为______.7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么P 到x 轴的距离为_______.8.某校举办科学竞技比赛,有A B C 、、三种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题,正确率是________.9.已知虚数z ,其实部为1,Im 0,z ≠且2()z m m R z+=∈,则实数m 为________.10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值是____________.11.海面上有两个灯塔O T 、和两艘货船A B 、,其中货船A 在O 正东方向,B 在O 的正北方向,观测知O 到A B 、距离相等,16.5o BTO ∠=,37ATO ︒∠=,则BOT ∠=__________.(精确到0.1度)12.无穷等比数列{}n a 首项10,1a q >>,记集合121{|,[,][,]}n n n I x y x y a a a a +=-∈ ,若对任意正整数,n n I 都是闭区间,则q 的取值范围是__________.二、选择题(本大题共4题,满分18分,13-14题每题4分,第15-16题每题5分).13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据,研究发现两者息息相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()A.气候温度高,海水表层温度就高B.气候温度高,海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是()A.()sin cos f x x x =+ B.()sin cos f x x x =C.22()sin cos f x x x=+ D.22()sin cos f x x x=-15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,P P P ∈Ω,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1231230.OP OP OP λλλ++=已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.(0,0,0)∈ΩB.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0∈Ω)D.(0,0,-1)∈Ω16.定义集合000{|(,),()()}M x x x f x f x =∀∈-∞<,若[1,1]M =-的所有()f x 中,下列成立的是()A.存在()y f x =是偶函数B.存在()y f x =在2x =处取最大值C.存在()y f x =是严格增函数D.存在()y f x =在1x =-处取到极小值三、解答题(本大题共5题,第17-19题每题14分,第20-21题每题18分,共78分)17.如图:正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==求POA ∆绕PO 旋转一周形成几何体的体积.(2)若,AP AD E =为棱PD 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.18.若()log (0,1).a f x x a a =>≠(1)()y f x =过(4,2)求(22)()f x f x -<的解集;(2)存在x 使得(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,求实数a 的取值范围.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5合计优秀544423195不优秀1341471374027485合计1391911794328580(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？[)1,2其它合计优秀a b a b+不优秀c d c d+合计a c+b d+a b c d+++附22():()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++其中n a b c d=+++2,( 3.841)0.05Pχ≥≈20.双曲线22122:1,(0),,y x b A A bΓ-=>为左右顶点,过点(2,0)M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若2e =时,求b 的值(2)若点P 在第一象限,226,3b MA P =∆为等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)过点Q 作OQ 延长线交Γ于点R ,若121A R A R ⋅=,求b 取值范围.21.已知D 是R 的非空子集,()y f x =是定义在R 的函数.对于点(,)M a b ,令22()()(())s x x a f x b =-+-,若对于00(,())P x f x ,满足()s x 在0x x =处取得最小值,则称P 是M 的f 最近点.(1)对于1(),(0,)f x D x==+∞,求证:对于点(0,0)M ,存在点M 的f 最近点;(2)对于(),x f x e D R ==,(1,0)M ,若()y f x =上一点P 满足MP 垂直于()y f x =在点P 处的切线,则P 是否是M 的f 最近点？(3),D R =()y f x =是可导的,()y g x =在定义域R 上函数值恒正,已知,t R ∈12(1,()()),(1,()())M t f t g t M t f t g t --++.若对任意的t R ∈,都存在点P ,满足P 是1M 的f 最近点,也是2M 的f 最近点,试求()y f x =的单调性.2024年上海市高考数学试卷解析一、填空题.1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{2,4}A =,则A =____________.【答案】{1,3,5}A =2.已知0(),(3)1,0x f x f x >==⎪⎩ _____________.3.已知2,230x R x x ∈--<的解集为____________.【答案】(-1,3)【解析】223(1)(3)0(1,3)x x x x x --=+-<⇒∈-4.已知3(),f x x a x R =+∈,若()f x 是奇函数,则a =_____________.【答案】0a =【解析】(0)00f a =⇒=5.已知,(2,5),(6,),//k R a b k a b ∈==,则k 的值为_____________.【答案】15【解析】//25615a b k k ⇒=⨯⇒=6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为______.【答案】10【解析】2325n n =⇒=3510C ∴=7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么P 到x 轴的距离为_______.【答案】【解析】198P P x x +=⇒=244832P P P y x y ==⨯=⇒=±所以P 到x 轴的距离为8.某校举办科学竞技比赛,有A B C 、、三种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题,正确率是________.【答案】0.85【解析】5430.920.860.830.85121212⨯+⨯+⨯=9.已知虚数z ,其实部为1,Im 0,z ≠且2()z m m R z+=∈,则实数m 为________.【答案】2【解析】设z a bi=+222(1)111(1)(1)bi z bi bi z bi bi bi -+=++=++++-222222211111bi b bi b i b b b-⎛⎫⎛⎫=++=++-⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭所以22011bb b b-=⇒=±+ 所以2m =10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值是____________.【答案】329【解析】A 中的奇数至多1个A 中的偶数,对于三个数码若个位为0,则有9872⨯=个若个位为2,4,6,8,则有488256⨯⨯=,故A 中最多有329个元素.11.海面上有两个灯塔O T 、和两艘货船A B 、,其中货船A 在O 正东方向,B 在O 的正北方向,观测知O 到A B 、距离相等,16.5o BTO ∠=,37ATO ︒∠=,则BOT ∠=__________.(精确到0.1度)【答案】7.8o【解析】设BOT α∠=,则90AOT α︒∠=-,53A α︒∠=+OT OT OA OB = sin sin sin(53)sin(16.5)sin sin sin 37sin16.5A B ATO BTO αα︒︒︒︒++∴=⇒=∠∠sin cos53cos sin 53sin cos16.5cos sin16.5cos53sin16.5o o o o o o αααα++⇒=sin cos tan 53sin cot16.5cos o o a a a a ⇒+=+7.8oa ⇒≈12.无穷等比数列{}n a 首项10,1a q >>,记集合121{|,[,][,]}n n n I x y x y a a a a +=-∈ ,若对任意正整数,n n I 都是闭区间,则q 的取值范围是__________.【答案】[2,)+∞【解析】由题意,不妨设x y >,若,x y 均在[]12,a a ,则有x y -[]210,a a ∈-,者,x y 均在[]1,n n a a +,则有x y -[]10,n n a a +∈-若,x y 分别在两个区间则211[,]n n x y a a a a +-∈--,又因为1q >,总有ln 是闭区间,则21n n n a a a a +-≤-恒成立即可,化简得1(2)0n q q q --+≥,所以有2q ≥恒成立二、选择题.13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据,研究发现两者息息相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()A.气候温度高,海水表层温度就高B.气候温度高,海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势,相关系数为正数所以选C14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是()A.()sin cos f x x x =+ B.()sin cos f x x x =C.22()sin cos f x x x =+ D.22()sin cos f x x x=-【答案】A【解析】A.()cos sin ,24f x x x x T ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,正确B.(f )sin x =cos x 1sin 2x =2,x T π=错误C.2()sin x f x =2cos x +1=,错误;D.22()sin cos cos 2,,f x x x T π=-=-=错误;所以选A15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,P P P ∈Ω,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1231230.OP OP OP λλλ++=已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.(0,0,0)∈Ω B.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0∈Ω)D.(0,0,-1)∈Ω【答案】C【解析】若(0,1,0)-∈Ω,假设(0,0,1)∈Ω取()()()1231,0,0,0, 1,0,0,0,1,P P P -则1122330OP OP OP λλλ++=1230λλλ∴===矛盾！(∴0,0,1)∉Ω所以选C.16.定义集合000{|(,),()()}M x x x f x f x =∀∈-∞<,若[1,1]M =-的所有()f x 中,下列成立的是()A.存在()y f x =是偶函数B.存在()y f x =在2x =处取最大值C.存在()y f x =是严格增函数D.存在()y f x =在1x =-处取到极小值【答案】B 【解析】1M-∈ 1x ∴<-时,()(1)f x f <-1x ∴=-不是极小值点,排除D假设()f x 严格递增,则M R =,矛盾！排除C 任取12,x x ,使得1211x x -≤<≤2x M ∈ 12()()f x f x ∴<() f x ∴在[]1,1-严格递增,排除A所以选B.三、解答题17.如图:正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==求POA ∆绕PO 旋转一周形成几何体的体积.(2)若,AP AD E =为棱PD 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.【答案】(1)12;π(2)4π【解析】(1)因为P ABCD -是正四棱锥,所以底面ABCD 是正方形,且OP ⊥底面ABCD ,因为32AD =,所以3AO OD OB OC ====因为5AP =,所以224PO AP AO =-=所以POA ∆绕OP 旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥所以211341233V Sh ππ==⨯⨯=.(2)如图建立空间直角坐标系因为AP AD =,由题知P ABCD -是正四棱锥,所以该四梭锥各核长相等,设2AB a=则AO OD OB OC a ====,PO a==则可得(0,0,0),(0,0,),(0,,0),(,0,0),(0,,0),(,0,0),,0,22aa O P a A a B a C a D a E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故(2,0,0),(0,2,0),,22a a BD a AC a AE a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 设111(,,)n x y z =为平面AEC 的法向量,则11112000022a y n AC a ax a y z n AE ⋅=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅+⋅+⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩ ,令11x =,则110,1y z ==-,所以(1,01)n =-则cos ,2n BD n BD n BD ⋅===-⋅设直线BD 与面AEC 所成角为θ,因为sin 2cos ,0,22n BD πθθ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦,所以.4πθ=18.若()log (0,1).a f x x a a =>≠(1)()y f x =过(4,2)求(22)()f x f x -<的解集;(2)存在x 使得(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,求实数a 的取值范围【答案】(1)(1,2);(2)1a >(1)由()y f x =过(4,2)可得log 42a =,得:242a a =⇒=±, 0a > , 2a ∴=因为2()log f x x =在()0,+∞上是严格增函数()()2202212f x f x x x x -<⇒<-<⇒<<,所以解集为()1,2(2)因为(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,所以(1)(2)2()f x f x f ax +++=即log (1)log (2)2log ()a a a x x ax +++=有解,化简可得2log (1)(2)log ()a a x x ax ++=得2(1)(2)()x x ax ++=且1020000,1x x x ax a a +>⎧⎪+>⎪⇒>⎨>⎪⎪>≠⎩,则22(1)(2)x x a x++=在(0,)+∞上有解,又222(1)(2)231311248x x x x x x ++⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭,故在(0,)+∞上22(1)(2)31,20148x x x ++⎛⎫>+-= ⎪⎝⎭即211a a >⇒<-或1,0a a >> ,所以 1.a >19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5合计优秀544423195不优秀1341471374027485合计1391911794328580(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？[)1,2其它合计优秀a b a b +不优秀c d c d +合计a c+b d+a b c d+++附22():()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++其中n a b c d =+++2,( 3.841)0.05P χ≥≈【答案】(1)12500人;(2)0.9h;(3)学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关【解析】(1)580人中体育银炼时长不小于1小时人数占比423113740272558058P +++++==该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为29000×251250058=人(2)该地区初中学生锻炼平均时长约为:10.50.511 1.5 1.52513444147421373405802222[()()()()+++⨯++⨯++++⨯++2 2.5271270.91229()]+⨯+=≈(3)①提出原假设0:H 成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关.②确定显著性水平20.05,( 3.841)0.05P αχ=≥≈③()()()()()225804530817750 3.976 3.84145501773084517750308χ⨯⨯-⨯=≈>+⨯+⨯+⨯+④否定原假设,即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.20.双曲线22122:1,(0),,y x b A A bΓ-=>为左右顶点,过点(2,0)M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若2e =时,求b 的值(2)若点P 在第一象限,226,3b MA P =∆为等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)过点Q 作OQ 延长线交Γ于点R ,若121A R A R ⋅=,求b 取值范围.【答案】(1)b =(2,P ;(3)10(0,3)3,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 【解析】(1)因为22222,2, 4.1,4c c e a c a a=∴∴=∴=== 因为222a b c +=,所以23b =,所以b =负含).(2)因为2MA P ∆为等腰三角形①若2MA 为底,则点P 在直线12x =-时,与P 在第一象限矛盾,故合去②若2A P 为底,则2MP MA =,与2MP MA >矛盾,故舍去.③若MP 为底,则22,MA PA =设00(,),P x y 000,0.x y >>3=,即2200(1)9x y -+=,又因为220182y x -=得22008(1)(1)93x x -+-⨯=,得200116320x x --=,得002,x y ==,即(2,P(3)由1(1,0)A -,设1122(,),(,)P x y Q x y ,则22(,)R x y --,设直线1:2()l x my m b =->联立212222222222212222142()1(1)430,311b m x my m y y b b m b m y b my b y b x y y b b m ⎧⎧=->+=⎪⎪-⎪⎪⎪⎪∴--+=⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=⋅=⎪⎪-⎩∴⎩122211(1,),(1,)A R x y A P x y =-+-=- ,又由121A R A P ⋅=,得2112(1)(1)1x x y y -+--=即2112(1)(1)1x x y y --+=-,即2112(3)(3)1my my y y --+=-化简后可得到21212(1)3()100m y y m y y +-++=再由韦达定理得2222223(1)1210(1)0b m m b b m +-+-=,化简:2223100b m b +-=所以221010033,b m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦222210103311b b b b ≠+=+得23,b ≠,10(0,3)3,3b ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦21.已知D 是R 的非空子集,()y f x =是定义在R 的函数.对于点(,)M a b ,令22()()(())s x x a f x b =-+-,若对于00(,())P x f x ,满足()s x 在0x x =处取得最小值,则称P 是M 的f 最近点.(1)对于1(),(0,)f x D x==+∞,求证:对于点(0,0)M ,存在点M 的f 最近点;(2)对于(),x f x e D R ==,(1,0)M ,若()y f x =上一点P 满足MP 垂直于()y f x =在点P 处的切线,则P 是否是M 的f 最近点？(3),D R =()y f x =是可导的,()y g x =在定义域R 上函数值恒正,已知,t R ∈12(1,()()),(1,()())M t f t g t M t f t g t --++.若对任意的t R ∈,都存在点P ,满足P 是1M 的f 最近点,也是2M 的f 最近点,试求()y f x =的单调性.【解析】(l)证明:222211()(0)(0)2s x x x w w =-+-=+≥,当且仅当221x w=即1x =时取到最小值,所以对于点(0,0)M 存在点(1,1)P 使得P 是M 在()f x 的最近点(2)设(P 00,xx e ),显然01x ≠00002200000()(),()11011x x x x xMP MP e e f x e f x e k f x k e x x x '''=⇒==∴⋅==-∴+-=-- 设22()1()210x x h x e x h x e '=+-⇒=+>,则显然()h x 在R 严格增,且0(0)00h x =⇒=(0,1)P ∴()S x =22(1)()2x x e S x '-+⇒=(1)x -222x e +=2(1)x e x +-()2S x '=(21)00x e x x +->⇒>2()2(1)00x S x e x x '=⋅+-<⇒<()S x ∴在(,0]-∞递减,[0,)+∞递增0x ∴=是()S x 的最小值点P ∴是M 关于f 的最近点(3)设21()(1)(S x x t =-++()f x -2()()),f tg t +2()(S x =21)(x t --+(f )(x f -)(t g -2))t 设(,())t t P x f x 由题知,t x 是12(),()S x S x 的最小值点,故()()()()()()()()()2221111t t t S t S x g t x t f x f t g t≥⇒+≥-++-+()()()()()()2222211()()()t t t S t S x g t x t f x f t g t ≥⇒+≥-++--两式相加得()()22222(1(()))21(()())()t t g t x t f x f t g t ⎦+-++-⎡⎤⎣≥()()()()220t t x t f x f t ∴-+-≤⇒t x t =()()1()212()()()()S x x t f x f t g t f x ''=-++-+ 2()2(1)2(S x x t '=--+()f x -()())f t g t -()f x 't x 是12(),()S x S x 的最小值点12,(),()S x S x 的定义域为R t x∴ 是12(),()S x S x 的极小值点121()()01()()0()0()S x S x g t f t f t g t ''''∴==∴+=∴=-<()f x ∴在R 上严格递减.。
2024年上海市春季高考数学试题及答案
2024年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2log x 的定义域．2．直线10x y -+=的倾斜角大小为．3．已知i 1iz=+，则z ．4．6(1)x -展开式中4x 的系数为．5．三角形ABC 中，2,,34BC A B ππ===，则AB =．6．已知1ab =，2249a b +的最小值为．7．数列{}n a ，n a n c =+，70S <，c 的取值范围为．8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．9．已知2(),0(),()(),0f x x f x x g x f x x ⎧==⎨--<⎩，求()2g x x - 的x 的取值范围．10．已知四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为平行四边形，13AA =，4BD =且115AB BC AD DC ⋅-⋅=，求异面直线1AA 与BD 的夹角．11．正方形草地ABCD 边长1.2，E 到AB ，AD 距离为0.2，F 到BC ，CD 距离为0.4，有个圆形通道经过E ，F ，且与AD 只有一个交点，求圆形通道的周长．（精确到0.01)12．12a =，24a =，38a =，416a =，任意1b ，2b ，3b ，4b R ∈，满足{|14}{|14}i j i j a a i j b b i j +<=+< ，求有序数列1{b ，2b ，3b ，4}b 有对．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．a ，b ，c R ∈，b c >，下列不等式恒成立的是()A ．22a b a c +>+B ．22a b a c+>+C ．22ab ac >D ．22a b a c>14．空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m ，n ，则下列说法中正确的是（）A ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥B ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则n β⊥C ．若//αβ，//m α，//n β，则//m nD ．若//αβ，//m α，//m n ，则//n β15．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A ：所选盒中有中国结，事件B ：所选盒中有记事本，事件C ：所选盒中有笔袋，则（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 相互独立C ．事件A 与事件B C 互斥D ．事件A 与事件B C 相互独立16．现定义如下：当(,1)x n n ∈+时()n N ∈，若(1)()f x f x +='，则称()f x 为延展函数．现有，当(0,1)x ∈时，()x g x e =与10()h x x =均为延展函数，则以下结论（）（1）存在(y kx b k =+，b R ∈；k ，0)b ≠与()y g x =有无穷个交点（2）存在(y kx b k =+，b R ∈；k ，0)b ≠与()y h x =有无穷个交点A ．（1）（2）都成立B ．（1）（2）都不成立C ．（1）成立（2）不成立D ．（1）不成立（2）成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．已知()sin()3f x x πω=+，0ω>．（1）设1ω=，求解：()y f x =，[0x ∈，]π的值域；（2）()a a R π>∈，()f x 的最小正周期为π，若在[x π∈，]a 上恰有3个零点，求a 的取值范围．18．如图，PA 、PB 、PC 为圆锥三条母线，AB AC =．（1）证明：PA BC ⊥；（2,BC 为底面直径，2BC =，求二面角B PA C --的大小．19．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆22:162x y Γ+=上一点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点A 的横坐标为2，求1||AF 的长；（2）设Γ的上、下顶点分别为1M 、2M ，记△12AF F 的面积为1S ，△12AM M 的面积为2S ，若12S S ，求||OA 的取值范围．（3）若点A 在x 轴上方，设直线2AF 与Γ交于点B ，与y 轴交于点K ，1KF 延长线与Γ交于点C ，是否存在x 轴上方的点C ，使得111222()()F A F B F C F A F B F C R λλ++=++∈成立？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．21．记M （a ）{|()t t f x f ==-（a ），}x a ，L （a ）{|()t t f x f ==-（a ），}x a ．（1）若2()1f x x =+，求M （1）和L （1）；（2）若32()3f x x x =-，求证：对于任意a R ∈，都有M （a ）[4⊆-，)+∞，且存在a ，使得4M -∈（a ）．（3）已知定义在R 上()f x 有最小值，求证“()f x 是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c ，均有()M c L -=（c ）”．参考答案及逐题解析：一、填空题：1、解：2log x 的定义域为(0,)+∞．2、解：由直线10x y -+=变形得：1y x =+所以该直线的斜率1k =，设直线的倾斜角为α，即tan 1α=，[0α∈ ，180)︒，45α∴=︒．3、解：由题意可得(1)1z i i i =+=-+，所以1z i =--．4、解：根据二项式展开426(1)15C ⨯-=．5、解：三角形ABC 中，5,12A B C C ππ++==，sin sin()sin cos cos sin 464646C ππππππ=+=+=，由正弦定理sin sin BC AB A C =，2BC =，3A π=，故2sin sin 32BC CAB A===．6、解：由1ab =，224922312a b a b +⋅⋅= ，当且仅当23a b =，即a b ==或a b ==时取最小值12，所以2249a b +的最小值为12．7、解：等差数列由n a n c =+，知数列{}n a 为等差数列17747()702a a S a +==<，即7(4)0c +<，解得4c <-．故c 的取值范围为(,4)-∞-．8、解：由双曲线的定义，26c =，22a =，解得3c =，1a =，3ce a∴==．9、解：根据题意知22,0(),0x x g x x x ⎧=⎨-<⎩，所以当0x 时，2()220g x x x x -⇒+- ，解得[0x ∈，1]；同理当0x <时，2()220g x x x x -⇒-+- ，解得(,0)x ∈-∞；综上所述：(x ∈-∞，1]．10、解：如图，因为1111,AB AB AA AD AD AA =+=+，又115AB BC AD DC ⋅-⋅=，∴11()()5AB AA AD AD AA DC +⋅-+⋅=，化简得15AA BD ⋅=，∴134cos 5AA BD θ⋅=⨯⨯=，∴5cos 12θ=．异面直线1AA 与BD 的夹角为5arccos12．11、解：以A 为原点，线段AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，易知(0.2,0.2)E ，(0.8,0.8)F ．不妨设EF 中点为(0.5,0.5)M 直线EF 中垂线所在直线方程为0.5(0.5)y x -=--，化简得1y x =-+．所以可设圆心为(,1)a a -+，半径为a ，且经过E ，F 点，即222(0.2)(10.2)a a a -+-+-=，化简得220.680a a -+=，求得211210a ==±±．结合题意可得，10.434a =-=．故有圆的周长2 2.725 2.73C a π==≈．12、解：由题意得{|6i j a a +，10，12，18，20，24}，满足11{|14}{|14}j j a a i j b b i j +<=+<，不妨设1234b b b b <<<，由单调性有126b b +=，1310b b +=，2420b b +=，3424b b +=，分两种情况讨论：①2312b b +=，1418b b +=，解得12b =，24b =，38b =，416b =，②2318b b +=，1412b b +=，解得11b =-，27b =，311b =，413b =，所以有2种，综上共有44248A =对．二、选择题：13、解：对于A ，若||||b c <，则22b c <，选项不成立，故A 错误；对于B ，22a a =，b c >，由不等式的可加性可知，22a b a c +>+，故B 正确．对于C 、D ，若0a =，则选项不成立，故C 、D 错误．故选：B ．14、解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，由m n ⊥，则n 与β斜交、垂直、平行均有可能，故B 错误；对于C ，若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，由//n β，则m 与n 相交、平行、异面均有可能，故C 错误；对于D ，若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，又//m n ，则//n β或n β⊂，故D 错误．故选：A ．15、解：选项A ，事件A 和事件B 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件A 与事件B 不互斥，A 错误；选项B ，P （A ）12=，P （B ）12=，1()4P AB =，P ∴（A ）P （B ）()P AB =，B 正确；选项C ，事件A 与事件B C 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C 错误；选项D ，P （A ）12=，1()4P B C = ，1(())4P A B C =⋂ ，P ∴（A ）()(())P B C P A B C ≠⋂ ，A ∴与B C 不独立，故D 错误．故选：B ．16、解：根据题意，当(0,1)x ∈时，()x g x e =与10()h x x =均为延展函数，对于①，对于()x g x e =，(1)()x g x g x e +='=，则()g x 是周期为1的周期函数，其值域为(1,)e ，因为0k ≠，y kx b =+与()y g x =不会有无穷个交点，所以（1）错；对于②，当10!k =时，存在b 使得直线y kx b =+可以与()h x 在区间(9,10)的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．故选：D ．三、解答题：17、解：（1）当1ω=时，()sin(sin()33f x x x ππω=+=+．因为[0x ∈，]π，所以令4,[,333t x t πππ=+∈，根据()sin y f t t ==在[,]32ππ上单调递增，在4[,23ππ上单调递减，所以函数的最大值为sin 12π=，最小值为4sinsin 33ππ=-=．因此函数的值域为3[2-，1]．（2）由题知2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)3f x x π=+．当()0f x =时，2,3x k k Z ππ+=∈，即,62k x k Z ππ=-+∈．当3k =时，43x ππ=>，所以443332T a T ππ+<+ ，即71736a ππ<．18、解：（1）证明：取BC 中点O ，连接AO ，PO ，因为AB AC =，PB PC =，所以AO BC ⊥，PO BC ⊥，又因为PO ，AO ⊂面PAO ，PO AO O = ，所以BC ⊥面PAO ，又PA ⊂面PAO ，所以PA BC⊥；（2）解：法()i由（1）可知，BC OA⊥，又PO⊥底面ABC，作PM AB⊥，BD PA⊥交于D，连接CD，由题意PBA PCA∆≅∆，可得CD PA⊥，所以CDB∠为所求的二面角的平面角，连接OD，则2CDB BDO∠=∠，,BC为底面直径，2BC=，所以底面半径为1PO==，PA==AB=PB==PM===，1122PBAS AB PM PA BD∆=⨯⨯=⨯⨯，BD=，解得BD=，所以15sin5OBBDOBD∠==，所以21cos12sin125CDB BDO∠=-∠=-⨯=-，所以二面角B PA C--的平面角为钝角，所以二面角B PA C--的大小为1arccos5π-．法()ii由（1）可知，BC OA⊥，又PO⊥底面ABC，,BC为底面直径，2BC=，所以底面半径为1PO==，建立以OB为x轴，OA为y轴，以OP为z轴的坐标系，则可得(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0)P A B C-，故(0,1,(1,0,(1,0,PA PB PC===-，设1111(,,)n x y z=为平面PAB的一个法向量，由1n PA⊥，1n PB⊥，可得1111110000n PA y n PB x ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩，令1x =，则111y z ==，可得1n =，设2222(,,)n x y z =为平面PAC 的一个法向量，由2n PA ⊥ ，2n PC ⊥ ，可得2222220000n PA y n PC x ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩，令2x =221y z ==，可得2(n =，则1212121cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==-，设二面角B PA C --的平面角为θ，由图可知θ为钝角，所以二面角B PA C --的大小为1arccos 5π-．19、解：（1）古典概型：设A 事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数213613613591802n C ⨯===，A 事件的样本点的公式11102343468m C C =⋅=，所以P （A ）346817918045m n ===；（2）因为一级果箱数：二级果箱数3:1=，所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；（3）设一级果平均质量为x ，方差为2xS ，二级果质量为?y ，方差为2y S ，总体样本平均质量为z 平均值，方差为2S ，因为303.45x =，240.41y =，2603.46x S =，2648.21y S =，所以12048303.45240.41285.441204812048z =⨯+⨯=++克，22212048[603.46(303.45285.44)][648.21(240.41285.44)]1427.271204812048S =⨯+-+⨯+-=++克2．预估：平均质量为10234287.69136136x y ⋅+⋅=克．20、解：（1）因为点A 的横坐标为2，不妨设(2,)A y ，因为点A 在椭圆Γ上，所以222162y +=，解得223y =，易知1(2,0)F -，所以1||AF ==；（2）不妨设(,)A x y ，0xy ≠，此时11221211||||2||,||||||22S F F y y S M M x x ====，因为12S S ，所以2|||y x ，即222y x ，又22162x y +=，所以22263y y - ，解得2625y < ，则||OA =故||OA 的范围为；（3）不妨设1(A x ，1)y ，10y >，2(B x ，2)y ，由对称性可得A 、C 关于y 轴对称，所以1(C x -，1)y ，又1(2,0)F -，2(2,0)F ，此时111122111(2,),(2,),(2,)F A x y F B x y F C x y =+=+=-+ ，所以111221(6,2)F A F B F C x y y ++=++ ，同理得222221(6,2)F A F B F C x y y ++=-+ ，因为111222()()F A F B F C F A F B F C R λλ++=++∈ ，所以111222//F A F B F C F A F B F C ++++ ，解得2120y y +=或21222066y y x x +≠⎧⎨+=-⎩（无解），不妨设直线2:2AF x my =+，联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(3)420m y my ++-=，由韦达定理得21212121222343y y y m m y y y m -⎧=-=⎪⎪+⎨⎪+=-=-⎪+⎩，解得55m =，此时154y =，又112x my =+，解得194x =，此时95()44C -．故存在x轴上方的点9(44C -，使得111222()()F A F B F C F A F B F C R λλ++=++∈ 成立．21、解：（1）由题意，得M （1）2{|12t t x ==+-，1}[0x = ，)+∞；{}2(1)12,1[1,)L t t x x ==+-=-+∞∣ ．（2）证明：由题意知，M （a ）3232{|33t t x x a a ==--+，}x a ，记3232()33g x x x a a =--+，则2()3600g x x x x '=-=⇒=或2．x (,0)-∞0(0,2)2(2,)+∞()g x '正0负0正()g x 极大值 极小值现对a 分类讨论，当2a ，有323233t x x a a =--+，x a 为严格增函数，因为g （a ）0=，所以此时M （a ）[0=，)[4+∞⊆-，)+∞符合条件；当02a < 时，323233t x x a a =--+，x a 先增后减，32(2)34min t g a a ==-+-，因为3223(3)0(0a a a a a -+=-= 取等号），所以32(2)344min t g a a ==-+-- ，则此时M （a ）32[34a a =-+-，)[4+∞⊆-，)+∞也符合条件；当0a <时，323233t x x a a =--+，x a ，在[a ，0)严格增，在[0，2]严格减，在[2，)+∞严格增，{}32{(),(2)}0,34min t min g a g min a a ==-+-，因为h （a ）3234a a =-+-，当0a <时，h '（a ）2360a a =-+>，则h （a ）(0)4h >=-，则此时M （a ）[min t =，)[4+∞⊆-，)+∞成立；综上可知，对于任意a R ∈，都有M （a ）[4⊆-，]+∞，且存在0a =，使得4M -∈（a ）．（3）证明：必要性：若()f x 为偶函数，则(){|()()M c t t f x f c -==--，}x c - ，L （c ）{|()t t f x f ==-（c ），}x c ，当x c - ，()()()t f x f c f x f =--=--（c ），因为x c - ，故()M c L -=（c ）；充分性：若对于任意正实数c ，均有()M c L -=（c ），其中(){|()()M c t t f x f c -==--，}x c - ，L （c ）{|()t t f x f ==-（c ），}x c ，因为()f x 有最小值，不妨设f （a ）min f m ==，由于c 任意，令||c a ，则[a c ∈-，]c ，所以()M c -最小元素为f （a ）()()f c m f c --=--．L （c ）中最小元素为m f -（c ），又()M c L -=（c ）f ⇒（c ）()f c =-对任意||c a 成立，所以f （a ）()f a m =-=，若0a =，则f （c ）()f c =-对任意0c 成立()f x ⇒是偶函数；若0a ≠，此后取(||,||)c a a ∈-，()()()()()()()()M c f a f c f c f c L c f a f c ⎫---⎪⇒-=⎬---⎪⎭最小元素是最小元素是，综上，任意0c ，f （c ）()f c =-，即()f x 是偶函数．。
2024年上海高考真题数学(含解析)
2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。
2022-2023学年上海市三校(上理工附中、北虹中学、北蔡中学)高三下学期3月联考数学试卷含详解
2023届高三年级阶段测试数学试卷（三校联考试题）2023.03一、填空愿（本大题共有12题，淘分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.不等式|1|2x -<的解集是___________.2.函数lg()y x =-+______．3.已知复数z 满足(2i)34i z +=+（i 为虚数单位），则z =______．4.对于正实数x ，代数式91x x ++的最小值为______．5.已知角x 在第二象限，且π4cos ,25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则tan 2x =______．6.已知随机变量X 服从正态分布2(1.5,)N σ，且(1.53)0.38P X <≤=，则(0)P X <=______．7.记n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，若244,16,S S ==则6S =______．8.在ABC 中，2,AB D =为AB的中点，若BC DC ==，则AC 的长为______．9.已知F 是双曲线2212:1x C y a -=与抛物线22:8C y x =的一个共同焦点，则1C 的两条渐近线夹角的大小为______．10.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________11.已知O 是ABC 的外心，且3450OA OB OC ++=，则cos BAC ∠=______．12.已知关于x 的方程210e ax x -=有唯一实数根，则实数a 的取值范围为______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-18题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所途答案的代号涂黑．13.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（）A.1y x=B.y x x =-C.e e x xy -=- D.ln y x=-14.设复数z 满足i 2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A.22(1)4x y -+= B.22(1)4x y ++= C.22(1)4x y +-= D.22(1)4x y ++=15.设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A. B. C. D.16.设())f x x =ω+ϕ（其中π0,2ωϕ><），若点1(,0)3A 为函数()y f x =图像的对称中心，B ，C 是图像上相邻的最高点与最低点，且4BC =，则下列结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象对称轴方程为44,Z 3x k k =+∈；B.函数π()3y f x =-的图像关于坐标原点对称；C.函数()y f x =在区间(0,2)上是严格增函数；D.若函数()y f x =在区间(0,)m 内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，且22PA AD AB ===，设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图．（1）求证：//FH 平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值．18.记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知212nn a S n =++，*n ∈N ．（1）求12a a +，并证明{}1n n a a ++是等差数列；（2）求n S ．19.社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会．某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格：大学A 大学B 大学C 大学D 大学2023年毕业生人数x （千人）76542023年毕业生中参加过社会实践人数y 千人）0.50.40.30.2（1）已知y 与x 具有较强的线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程 y axb =+ ；（2）假设该省对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放0.5万元的补贴．①若该省大学2023年毕业生人数为12万人，估计该省要发放补贴的总金额；②若2023年毕业生中的小李、小王参加过暑期社会实践活动的概率分别为,31p p -，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p 的取值范围．参考公式： 1122211()(,()nni ii ii i n ni i i i x x yy x ynx yaby ax x x x nx====---⋅===---∑∑∑∑20.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且点(-在椭圆1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点(0,1)Q 的直线l 与椭圆1C 交于,D E 两点，已知2DQ QE =，求直线l 的方程；（3）点P 为椭圆1C 上任意一点，过点P 作1C 的切线与圆222:12C x y +=交于,A B 两点，设直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ．证明：12k k ⋅为定值，并求该定值．21.已知函数()()e sin 1xf x a x a =+-∈R ．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =处取得极小值，求a 的值；（3）若存在正实数m ，使得对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围．2023届高三年级阶段测试数学试卷（三校联考试题）2023.03一、填空愿（本大题共有12题，淘分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.不等式|1|2x -<的解集是___________.【答案】(1,3)-【分析】根据绝对值的意义直接求解即可.【详解】|1|2x -<,212x ∴-<-<解得13x -<<所以不等式的解集为(1,3)-.故答案为：(1,3)-2.函数lg()y x =-+______．【答案】(,1)-∞-【分析】直接根据题意列出不等式即可.【详解】由题意得2110x x x ->⎧⇒<-⎨->⎩，则定义域为(,1)-∞-故答案为：(,1)-∞-.3.已知复数z 满足(2i)34i z +=+（i 为虚数单位），则z =______．【答案】【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.【详解】由(2i)34i z +=+得()()()()34i 2i 34i 105i2i 2i 2i 2i 5z +-++====+++-所以z ==故答案为:4.对于正实数x ，代数式91x x ++的最小值为______．【答案】5【分析】通过变形得991111x x x x +=++-++，利用基本不等式即可求出最值.【详解】0x >，11x ∴+>99111511x x x x +=++-≥=++当且仅当911x x +=+，即2x =（负舍）时等号成立故答案为：5.5.已知角x 在第二象限，且π4cos ,25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则tan 2x =______．【答案】247##337【分析】根据诱导公式得4sin 5x =，根据x 所在象限和同角三角函数关系则可得到4tan 3x =-，再利用二倍角正切公式即可得到答案.【详解】π4cos 25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即4sin 5x -=-，则4sin 5x =角x 在第二象限，则3cos 5x ==-，则4tan 3x =-22tan 24tan 21tan 7x x x ∴==-.故答案为：247.6.已知随机变量X 服从正态分布2(1.5,)N σ，且(1.53)0.38P X <≤=，则(0)P X <=______．【答案】0.12【分析】根据正态分布的特点即可得到答案.【详解】根据正态分布的对称性得(0)P X <=(3)0.50.380.12P X >=-=故答案为：0.12.7.记n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，若244,16,S S ==则6S =______．【答案】52【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义及等比数列通项的性质计算作答.【详解】等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，设其公比为q由244,16S S ==得：12234424,12a a S a a S S +==+=-=，因此234123a a q a a +==+于是25634()36a a a a q +=+=所以61234564123652S a a a a a a =+++++=++=.故答案为：528.在ABC 中，2,AB D =为AB 的中点，若BC DC ==，则AC 的长为______．【答案】2【分析】根据给定条件，在,BCD ABC 中利用余弦定理求解作答.【详解】在BCD △中，BC DC ==，112BD AB ==，由余弦定理得：2222cos24BC BD CD B BC BD +-===⋅在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 4+22244AC AB BC AB BC B =+-⋅=-⨯⨯=，解得2AC =所以AC 的长为2.故答案为：29.已知F 是双曲线2212:1x C y a-=与抛物线22:8C y x =的一个共同焦点，则1C 的两条渐近线夹角的大小为______．【答案】60【分析】根据给定条件，求出点F 的坐标，进而求出双曲线1C 及渐近线的方程，再求出渐近线夹角作答.【详解】抛物线22:8C y x =的焦点(2,0)F ，依题意，22213a =-=，双曲线221:13xC y -=的渐近线为33y x =±显然直线3y x =的倾斜角为30 ，所以1C 的两条渐近线夹角的大小为60 .故答案为：6010.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________【答案】45【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：()()()21304242336642235C C C C p X p X p X C C ≥==+==+=.点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．11.已知O 是ABC 的外心，且3450OA OB OC ++=，则cos BAC ∠=______．【答案】1010【分析】设外接圆半径为1，通过移项平方解得45OB OC ⋅=- ，35OA OC ⋅=- ，0OA OB ⋅=，再求出45AB AC ⋅= ，2||2AB = ，216||5AC = ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】3450OA OB OC ++=，即3(45)OA OB OC =-+ ，设1r OA OB OC ==== ，两边同平方得9162540OB OC =++⋅ ，解得45OB OC ⋅=-同理可得35OA OC ⋅=- ，0OA OB ⋅=24()()5AB AC OB OA OC OA OB OC OA OC OA OB OA ∴⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=222222||()2112AB OB OA OB OB OA OA =-=-⋅+=+=，则||AB = 22316||()2255AC OC OA ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，||AC =45cos 10||||AB AC BAC AB AC ⋅∴∠==⋅.故答案为：10.12.已知关于x 的方程210eax x -=有唯一实数根，则实数a 的取值范围为______．【答案】2e a >或2ea <-【分析】本题采用分离参数法得2ln x a x -=，利用导数研究函数2ln ()x f x x=在其定义域上的图象，通过直线y a =-与函数图象交点个数解决方程根的问题.【详解】当0x =时，显然不是方程的根，2210e e ax ax x x --=⇒=，即2ln ax x -=，即2ln x a x-=设2ln ()x f x x =，()()()2ln ln x x f x f x x x--==-=--，且定义域为()(),00,∞-+∞U 关于原点对称，故()f x 为奇函数，则研究2ln 0,()x x f x x >=的图象2ln (),0x f x x x => ，则2222212ln 2ln ()x x x x x f x x x ⋅⋅--'==令()0f x '<，解得e x >，则此时()f x 单调递减令()0f x '>，解得0<<x e ，则此时()f x 单调递增故max 2()(e)ef x f ==且当0x >并趋近于0时，()f x 趋近于-∞当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0再结合()f x为奇函数，作出如下图象则2e a ->，2ea <-同理图像左侧，2e a -<-，解得2ea >.则关于x 的方程210e ax x -=有唯一实数根，则实数a 的取值范围为2e a >或2ea <-.故答案为：2e a >或2ea <-.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-18题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所途答案的代号涂黑．13.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（）A.1y x=B.y x x =-C.e e x x y -=-D.ln y x=-【答案】B【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，函数1y x=为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；对于B 选项，函数y x x =-为奇函数，当0x >时，2y x x x =-=-为减函数，故函数y x x =-在定义域内为减函数，故B 正确；对于C ，由于函数e ,e x x y y -==-均为增函数，故e e x x y -=-在定义域内为单调递增函数，故C 错误；对于D 选项，函数ln y x =-为非奇非偶函数，故错误.故选：B14.设复数z 满足i 2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A.22(1)4x y -+= B.22(1)4x y ++= C.22(1)4x y +-= D.22(1)4x y ++=【答案】C【分析】依据复数模的定义即可求得x y ，之间的关系.【详解】z 在复平面内对应的点为()x y ，，则复数+i z x y =则|1||(1)i |2z x y -=+-=，由复数的模长公式可得22(1)4x y +-=故选：C ．15.设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A. B. C. D.【答案】B【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===234ABC S AB == AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心2BM3BE ∴==Rt OMB ∴中，有OM 2==DM OD OM 426∴=+=+=()max 163D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 3BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型．16.设())f x x =ω+ϕ（其中π0,2ωϕ><），若点1(,0)3A 为函数()y f x =图像的对称中心，B ，C 是图像上相邻的最高点与最低点，且4BC =，则下列结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象对称轴方程为44,Z 3x k k =+∈；B.函数π()3y f x =-的图像关于坐标原点对称；C.函数()y f x =在区间(0,2)上是严格增函数；D.若函数()y f x =在区间(0,)m 内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点．【答案】D【分析】根据给定条件，求出点B ，C 的坐标，进而求出函数()f x 的解析式，再逐项判断作答.【详解】在())f x x =ω+ϕ中，令π2π,Z 2n n x ωϕ++∈=得2ππ,Z 2x n n ϕωωω-=+∈依题意，点2ππ(Z 2B n n ϕωωω+-∈，同理得点2ππ,(Z 2C n n ϕωωω--∈由4BC =得：222π(4ω+=，解得π2=ω，又1()03f =，则11π1,Z 23n n ϕπ⨯+=∈，而π2ϕ<，因此1π0,6n ϕ==-，ππ()3sin()26f x x =-由ππππ,Z 262x k k -=+∈得42,Z 3x k k =+∈，即函数()y f x =的图象对称轴方程为42,Z 3x k k =+∈，A 错误；因为2ππππ())326x f x +-=-，所以函数π()3y f x =-的图像关于坐标原点不对称，B 错误；当(0,2)x ∈时，πππ5π(,)2666x -∈-，而正弦函数sin y x =在π5π(,66-上不单调，所以函数()y f x =在区间(0,2)上不单调，C 错误；当(0,)x m ∈时，πππππ(,)26626x m -∈--，依题意，ππ4π5π26m <-≤，又正弦函数sin y x =在π(,2π],(2π,4π]6-内各有1个极小值点，在(4π,5π)内无极小值点，所以函数()y f x =在区间(0,)m 内有且有2个极小值点，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，且22PA AD AB ===，设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图．（1）求证：//FH 平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）（2）1515【分析】（1）证明出平面//EFG 平面PBD ，利用面面平行的性质定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，//EF PB ∴，//FG BDEF ⊄ 平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，//EF ∴平面PBD ，同理可证//FG 平面PBD EF FG F = ，EF 、FG ⊂平面EFG ，∴平面//EFG 平面PBD FH ⊂ 平面EFG ，//FH ∴平面PBD .【小问2详解】解：PA ⊥ 平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()1,2,0C 、()002P ,,、()1,1,0F 、1,1,12E ⎛⎫⎪⎝⎭、1,2,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭、131,,222H ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,2,0BC =uu u r，()1,0,2BP =- ，111,,222FH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则2020n BC y n BP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取2x =，可得()2,0,1n = ，1152cos ,15352FH nFH n FH n-⋅∴<>==-⋅⨯ 所以，直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值为1515.18.记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知212nn a S n =++，*n ∈N ．（1）求12a a +，并证明{}1n n a a ++是等差数列；（2）求n S ．【答案】（1）126a a +=（2）22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时【分析】（1）利用n a 与前n 项和n S 的关系，由212nn a S n =++可得12,a a 的值，即可求得12a a +的值；根据相减法求得()()121n n n n a a a a ++++-+为常数，证明其为等差数列；（2）由（1）中数列{}1n n a a ++为等差数列，对n 进行奇偶讨论，即可求得n S .【小问1详解】解：已知212nn a S n =++，*n ∈N 当1n =时，1122a a =+，14a =；当2n =时，21252aa a +=+，22a =，所以126a a +=．因为212n n a S n =++①，所以()211112n n a S n ++=+++②．②－①得，()2211122n n n a a a n n ++=-++-，整理得142n n a a n ++=+，*n ∈N 所以()()()()121412424n n n n a a a a n n ++++-+=++-+=⎡⎤⎣⎦（常数），*n ∈N 所以{}1n n a a ++是首项为6，公差为4的等差数列．【小问2详解】解：由（1）知，()141242n n a a n n -+=-+=-，*n ∈N ，2n ≥．当n 为偶数时，()()()()1234164222n n n nn S a a a a a a -+-=++++++=2n n =+；当n 为奇数时，()()()()12345111042242n n n n n S a a a a a a a --+-=+++++++=+22n n =++．综上所述，22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时.19.社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会．某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格：大学A 大学B 大学C 大学D 大学2023年毕业生人数x （千人）76542023年毕业生中参加过社会实践人数y 千人）0.50.40.30.2（1）已知y 与x 具有较强的线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程 y axb =+ ；（2）假设该省对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放0.5万元的补贴．①若该省大学2023年毕业生人数为12万人，估计该省要发放补贴的总金额；②若2023年毕业生中的小李、小王参加过暑期社会实践活动的概率分别为,31p p -，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p 的取值范围．参考公式： 1122211()(,()nni ii ii i n ni i i i x x yy x ynx yaby ax x x x nx====---⋅===---∑∑∑∑ 【答案】（1）0.10.2y x =-；（2）①5900万元；②15[,38p ∈.【分析】（1）根据给定数表，结合最小二乘法公式计算 ,ab 即可作答.（2）①利用（1）的结论估计补贴的总金额；②求出两个人参加实践活动的概率分布并求出期望，再利用期望的性质及已知列不等式，即可求解作答.【小问1详解】由数表知，76540.50.40.30.25.5,0.3544x y ++++++====4170.560.450.340.28.2i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4148.24 5.50.350.5i i i x y x y =-=-⨯⨯=∑，4422222222117654126,41264 5.55i i i i x x x ===+++=-=-⨯=∑∑ 0.50.1,5a== 0.350.15.50.2b y ax =-=-⨯=- ，因此0.10.2y x =-所以y 关于x 的线性回归方程是0.10.2y x =-.【小问2详解】①由（1）知，当120x =千人时，0.11200.211.8y =⨯-=（千人）所以该省要发放补贴的总金额约为：11.810000.55900⨯⨯=万元；②小李、小王参加过暑期社会实践活动的人数为,0,1,2X X =2(0)(1)[1(31)]352P X p p p p ==---=-+2(1)[1(31)](1)(31)661P X p p p p p p ==--+--=-+-2(2)(31)3p X p p p p==-=-()0E X =⨯222(352)1(661)2(3)41p p p p p p p -++⨯-+-+⨯-=-因此(0.5)0.5(41)0.75E X p =-≤，解得58p ≤，而0311p ≤-≤，即1233p ≤≤，于是1538p ≤≤所以p 的取值范围是15[,]38.20.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且点(2,2)-在椭圆1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点(0,1)Q 的直线l 与椭圆1C 交于,D E 两点，已知2DQ QE =，求直线l 的方程；（3）点P 为椭圆1C 上任意一点，过点P 作1C 的切线与圆222:12C x y +=交于,A B 两点，设直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ．证明：12k k ⋅为定值，并求该定值．【答案】（1）221:184x y C +=；（2）30:110l y x =±+（3）12-【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点坐标得到关于22,a b 的方程组，解出即可；（2）设直线:1l y tx =+，1122(,),(,),(0,1),D x y E x y Q 根据向量共线关系得到12,x x =-联立直线与椭圆方程得到韦达定理式，结合12x x =-即可解出k 值，则得到直线方程；（3）首先考虑直线AB 的斜率不存在时的情况，设直线:AB y kx m =+,联立椭圆得到()222124280k xkmx m +++-=，根据相切关系得Δ0=，化简得2248m k =+，再将直线与圆联立得到韦达定理式，代入两直线斜率乘积表达式化简即可得到其为定值.【小问1详解】由题意得2222212c a b a a -==，22421a b +=；联立解得228,4a b ==，则221:184x y C +=【小问2详解】直线l 与斜率不存在不合题意，设直线:1l y tx =+设1122(,),(,),(0,1),D x y E x y Q 则1122(,1),(,1)DQ x y QE x y =--=-2DQ QE =1122(,1)2(,1)x y x y ∴--=-，则122,x x =-()2222112460280y tx t x tx x y =+⎧⇒++-=⎨+-=⎩则122122124126122t x x t x x t x x -⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得10t =±则直线l 的方程30:110l y x =±+【小问3详解】当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为x =x =-若x =则易得2),2)A B -则1212221,,222k k k k ==-⋅=-若x =-,则(2)A -,(2)B --,则122222k k =-=1212k k ⋅=-.当直线AB 斜率存在时,设直线:AB y kx m=+设()()3344,,,A x y B x y ，直线与椭圆联立2228y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得()222124280k xkmx m +++-=由直线与椭圆相切,则()()222216412280k m k m∆=-+-=化简得:2248m k =+直线与圆联立:2212y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得:()22212120k x kmx m +++-=()2343422212,*11km m x x x x k k--+==++而,OA OB 的斜率分别为341234,y yk k x x ==则()()()223434343412343434kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++⋅===将(*)代入得()()2222222212221221121212--++-+⋅==--k m k m m k k m k k m m 将2248m k =+代入得2122441882k k k k -+⋅==--综上:12k k ⋅为定值,该定值为12-.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数()()e sin 1xf x a x a =+-∈R ．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =处取得极小值，求a 的值；（3）若存在正实数m ，使得对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(1)y a x =+；（2）1a =-．（3）(,1)-∞-．【分析】（1）由导数的几何意义求解；（2）由(0)0f '=求得a 值，并验证此时0x =是极小值点；（3）求出导函数()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，然后根据(0)f '的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出()f x '在(0,)m （存在正实数m ）上()f x '与(0)f '同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．【小问1详解】()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，又(0)0f =∴切线方程为(1)y a x =+；【小问2详解】由（1）()e cos x f x a x '=+，函数()f x 在0x =处取得极小值，则(0)0f '=，即10a +=，1a =-设()()e cos x g x f x x '==-，则()e sin x g x x '=+，(0)1g '=，由()g x '的图象的连续性知()g x '在0x=附近是正值因此()f x '在0x =附近是递增的，又(0)0f '=所以()f x '在0x =附近从左到右，由负变正，()f x 在0x =左侧递减，在0x =右侧递增，(0)f 是极小值，符合题意；所以1a =-．【小问3详解】()e cos x f x a x '=+，(0)0f =当(0)10f a '=+>，即1a >-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '>，对应()f x 递增，因此()(0)0f x f >=，不合题意当(0)10f a '=+<，即1a <-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '<，对应()f x 递减，因此()(0)0f x f <=，满足题意1a =-时，()e cos x f x x '=-，0x >时，e 1x >，cos 1≤x ，()e cos 0x f x x '=->恒成立，()e sin 1x f x x =--在(0,)+∞上递增，()(0)0f x f >=，不合题意综上，a 的取值范围是(,1)-∞-．【点睛】易错点点睛：本题考查导数的几何意义，导数与极值，不等式恒成立问题．在已知极值点求参数值时，0x 是极小值点，在由0()0f x '=求得参数后，一般需验证此时0x 是极小值点，否则容易会出现错误．原因0()0f x '=时，0x 不一定是极值点，当值也可能不是极小值点．。
2021年五月上海三校生高考数学试卷真题与解析
2021年五月上海三校生高考数学试卷真题与解析一、填空题1.行列式的值为。
【答案】 18【考点】二阶行列式的定义【解析】【解答】=4 5-2 1=18【分析】=ad-bc交叉相乘再相减。
2.双曲线的渐近线方程为。
【答案】【考点】双曲线的应用【解析】【解答】，a=2，b=1。
故渐近线方程为【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在x轴上，渐近线直线方程为时，。
3.在（1+x）7的二项展开式中，x²项的系数为。
（结果用数值表示）【答案】 21【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】（1+x）7中有Tr+1= ，故当r=2时，= =21【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式第r+1项为Tr+1= 。
4.设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则a= 。
【答案】 7【考点】反函数【解析】【解答】的反函数的图像经过点，故过点，则，=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数与反函数图像关于y=x对称，如：原函数上任意点，则反函数上点为 5.已知复数z满足（i是虚数单位），则∣z∣= 。
【答案】 5【考点】复数求模【解析】【解答】∵ ∴故根据复数模长公式=5【分析】复数转化关系公式，共轭复数去点模长公式6.记等差数列的前n项和为Sn ，若，则S7= 。
【答案】 14【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】a3=a1+2d=0a6+a7=a1+5d+a1+6d=14故，故故S7=72-5×7=14。
【分析】等差数列的通项公式，等差数列前n 项和公式Sn= ，求出a1 ， d。
7.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则α=【答案】 -1【考点】幂函数的实际应用【解析】【解答】a=-2时，=x-2为偶函数，错误a=-1时，=x-1为奇函数，在上递减，正确a=- 时，= 非奇非偶函数，错误a= 时，= 非奇非偶函数，错误a=1时，=x在上递增，错误a=2时，=x2在上递增，错误a=3时，=x3在上递增，错误【分析】关于幂函数性质的考查，在第一项限a>0时，，a<0时，，若a>0为偶数，则为偶，若a为奇数，为奇。
三校生高考数学试卷答案
一、选择题1. 选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）（1）若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[1, 3]上单调递增，则f(x)在区间[0, 1]上的单调性为：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增答案：A解析：f'(x) = 2x - 2，令f'(x) = 0，解得x = 1。
当x < 1时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x > 1时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。
因此，f(x)在区间[1, 3]上单调递增，在区间[0, 1]上单调递增。
（2）已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的值域为：A. [-3, 3]B. [0, 3]C. [1, 3]D. [0, +∞)答案：B解析：当x < -1时，f(x) = -(x - 2) - (x + 1) = -2x + 1；当-1 ≤ x < 2时，f(x) = (x - 2) - (x + 1) = -3；当x ≥ 2时，f(x) = (x - 2) + (x + 1) =2x - 1。
因此，f(x)的值域为[0, 3]。
（3）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 55，S15 = 120，则公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：由等差数列前n项和公式得，S10 = 5(a1 + a10) = 55，S15 = 15(a1 +a15) = 120。
解得a1 = 1，a10 = 11，a15 = 9。
因此，公差d = (a15 - a10) / (15 - 10) = 2。
（4）若直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，则直线l的斜率为：A. -1/2B. 1/2C. -2D. 2答案：A解析：直线l的斜率k = -A/B = -1/2。
（5）已知复数z = 2 + 3i，则|z| + arg(z)的值为：A. 5B. 5 + π/2C. 5 + πD. 5 - π/2答案：C解析：|z| = √(2^2 + 3^2) = √13，arg(z) = arctan(3/2)。
2023上海三校生高考数学试题
2023上海三校生高考数学试题2023年上海市三校生高考数学试题2023年上海市三校生高考数学试题是上海市三所著名高中（复旦附中、上海中学、交大附中）联合出题的高考数学试题。
这套试题涵盖了高中数学各个领域的知识点，旨在考查学生对数学知识的掌握和运用能力。
以下是试卷中的部分题目及解析：一、选择题部分：1. 已知函数$f(x)=3x^2-5x+2$，求$f(-1)$的值。
解析：将$x=-1$代入$f(x)$，得到$f(-1)=3(-1)^2-5(-1)+2=10$。
2. 若$\log_a b=2$，$\log_b c=3$，求$\log_a c$的值。
解析：根据对数的性质，$\log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a} = \frac{3}{2}$。
二、填空题部分：1. 若$a+b=3$，$a-b=1$，则$a^2-b^2$的值为$\underline{\hspace{2cm}}$。
解析：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=3\times1=3$。
2. 解方程组$\begin{cases} 2x+y=5 \\ x+3y=10 \end{cases}$，得到$x=\underline{\hspace{2cm}}$，$y=\underline{\hspace{2cm}}$。
解析：解方程组可使用消元法或代入法，最终得到$x=2$，$y=1$。
三、解答题部分：1. 已知等差数列的前$n$项和$S_n=3n^2$，且$a_1=1$，$a_n=4$，求该等差数列的公差$d$。
解析：根据等差数列的性质，$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入已知条件，得到$3n^2=\frac{n}{2}(1+4n)$，解方程得到$n=2$，$d=2$。
2. 计算不定积分$\int (2x^2+3x+1)dx$。
解析：根据不定积分的性质，$\int (2x^2+3x+1)dx =\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x$。
2015上海三校生数学真题(含详解)
2015年上海市普通高等学校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试数学试卷考生注意：1.本试卷满分100分，考试时间100分钟.2.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求；所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，作图可以使用铅笔，在草稿纸和试卷上答题一律无效.3.答题前，考试务必用签字笔、钢笔或圆珠笔在答题纸上清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.4.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1.已知指数函数()10x f x =，若()(4)f a f >，则（）A.4a < B.4a > C.4a D.4a 【考查内容】指数函数的单调性【答案】B【解析】()10x f x =在定义域内单调递增，()(4)f a f >，则4a >.2.图①、②、③是图1所示几何体的三个视图，则与主视图、俯视图、左视图对应的序号依次为（）①②③图115SH115SH215SH315SH4A.①③②B.①②③C.③①②D.③②①【考查内容】简单几何体的三视图【答案】D【解析】该几何体的主视图为③，俯视图为②，左视图为①.3.不等式213x + 的解集为（）A.(,2][1,)--+ ∞∞ B.(,1][2,)--+ ∞∞ C.(,2)--∞ D.(2,1)-【考查内容】绝对值不等式【答案】A【解析】213213213x x x +⇒++-或 12x x ⇒-或 .4.某中职校在职业体验开放日活动中，要从4名男生和5名女生中任选两名担任讲解员，假设每名学生被选中的可能性相同，则正好选出一名男生和一名女生的概率为（）A.29B.518C.59D.14【考查内容】等可能事件的概率【答案】C【解析】所求概率114529C C 59C P ==.5.“1,1a b ==-”是“方程221ax by +=表示的曲线为双曲线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考查内容】双曲线的标准方程，充分、必要条件【答案】A【解析】1,1a b ==-⇒方程221ax by +=表示的曲线是双曲线；方程221ax by +=表示的曲线是双曲线⇒0ab </⇒1,1a b ==-.是充分非必要条件.6.如图2所示，在三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则矩形的面积y （平方米）与其一条边长x （米）之间的函数关系是（）图215SH5A.240(040)y x x x =-<<B.220(040)y x x x =-<<C.240(040)y x x x =-<< D.220(040)y x x x =-<<【考查内容】二次函数的实际应用【答案】C【解析】如图，∵BC DE ,∴ABC △∽ADE △，∴BC AFDE AG=，∴BC AF x ==，∴40FG x =-，2(40)40(040)y x x x x x =-=-<<.15SH6二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上.】7.已知全集为{}1,2,3,4,5，则集合{}2,4在全集中的补集为.【考查内容】集合的补集【答案】{}1,3,58.函数12()f x x=的定义域为.【考查内容】函数的定义域【答案】[0,)+∞【解析】12()f x x x==，其中0x .9.下表为甲、乙两个家庭两个月的消费情况，则甲、乙两个家庭这两个月各自消费金额的月平均值用列矩阵表示为.三月消费金额（元）四月消费金额（元）甲30882940乙42104300【考查内容】矩阵【答案】3014 4255⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】甲家庭这两个月的消费金额的月平均值是3088294030142+=，乙家庭这两个月的消费金额的月平均值是4210430042552+=，用列矩阵表示为30144255⎛⎫⎪⎝⎭.10.某市出租车运价y（元）与行驶里程x（千米）的关系如图3所示，若输入的x为8，则输出的y为.图315SH7【考查内容】程序框图【答案】26【解析】该程序框图表示的函数为14,032.4 6.8,3<103.6 5.2,10x y x x x x <<⎧⎪=+⎨⎪-⎩，8x =时， 2.48 6.826y =⨯+=.11.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(1,2)P -,则sin θ=.【考查内容】任意角的三角函数【答案】255【解析】由任意角的三角函数的定义得22225sin 5(1)2θ==-+.12.若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且(2015)(2015)4f f +-=，则(2015)f =.【考查内容】偶函数的性质【答案】2【解析】由偶函数的性质得(2015)(2015)f f -=，∴(2015)(2015)2(2015)4f f f +-==，得(2015)2f =.13.若复数2(2)(2)i z a a =-++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =.【考查内容】纯虚数的概念【答案】2【解析】由纯虚数的概念可得22020a a ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得2a =.14.已知抛物线C :24y x =，若C 上的点M 到y 轴的距离为3，则点M 到C 的焦点F 的距离为.【考查内容】抛物线的定义【答案】4【解析】抛物线的准线方程是12px =-=-，∴点M 到准线的距离为4，由抛物线的定义可知点M 到C 的焦点F 的距离为4.15.如图4所示，以沪D ·Z 打头后面加四个阿拉伯数字是上海新能源车牌专段号码之一，车牌号码中的阿拉伯数字是0到9这十个自然数中的任意一个，则以沪D ·Z 打头的新能源车牌号码最多可有个.(结果用数值表示)图415SH8【考查内容】分步计数原理【答案】10000【解析】由分步计数原理可知号码最多有10101010⨯⨯⨯=10000个.16.已知3cos 5α=-，(0,)α∈π，则sin()3απ+=.【考查内容】同角三角比的关系，加法定理【答案】43310-【解析】∵(0,)α∈π，∴24sin 1cos 5αα=-=，4133433sin()sin cos cos sin ()333525210αααπππ-+=+=⨯+-⨯=.17.已知实数x 、y 满足约束条件1,1,2 2.x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩若目标函数z ax y =+仅在点（1,0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是.【考查内容】线性规划【答案】(2,1)-【解析】如图所示：(1)当0a =时，显然成立；(2)当0a >时，需满足1a ->-，此时01a <<；(3)当0a <时，需满足2a -<，此时20a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(2,1)-.15SH918.设数列{}(*)n a n ∈N 是等比数列，公比q 为整数，若数列{}n a 的连续四项是集合{24,6,3,6,12}--中的四个元素，则q =.【考查内容】等比数列【答案】2-【解析】观察该集合中的五个元素，有两个负数三个正数，等比数列的连续四项中第1项和第3项、第2项和第4项符号相同，∴24-和6-是该等比数列连续四项中的两项，由等比中项的性质可知12为24-和6-的等比中项，另一项为3.由于公比q 为整数，故为2-.三、解答题(本大题共6题，满分52分)【解答下列各题必须在答题纸的相应位置上写出必要的步骤.】19.(本题满分7分)第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为4分.图5的正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，高为1，O 为下底面的中心.求：（1）异面直线AB 与1CD 所成角的大小；（2）正四棱锥O ABCD -的体积.图515SH10【考查内容】异面直线所成的角，棱锥的体积【解】(1)∵AB CD ，∴1DCD ∠为异面直线AB 和1CD 所成的角，在△1DCD 中，1113tan 33DD DCD DC ∠===,130DCD ∠= ,即异面直线AB 和1CD 所成的角为30 .(2)111331133ABCD V S AA =⋅=⨯⨯⨯=.20.(本题满分7分)第（1）小题满分为2分，第（2）小题满分为5分.如图6，在直角坐标平面内，等腰梯形ABCD 的下底BC 在x 轴上，BC 的中点是坐标原点O ,已知1,2AD AB DC BC ====.（1）写出与向量OD相等的一个向量，其起点与终点是A 、B 、C 、D 、O 五个点中的两个点；（2）设向量a OC OD =+ ，求出向量a 的坐标，并在答题纸上的图6中画出向量a的负向量，要求所画向量的起点与终点是A 、B 、C 、D 、O 五个点中的两个点.图615SH11【考查内容】平面向量的线性运算【解】(1)易知AB BO 且AB BO =，∴四边形ABOD 为平行四边形.∴AB OD 且AB OD =.∴OD BA = .(2)如图所示，作平行四边形OCED ,则OD CE ,∴a OC OD OC CE OE =+=+=,易知OE BD 且OE BD =，∴a DB -=.15SH1221.(本题满分8分)每小题满分各为4分.已知函数()2sin()()4f x x x π=+∈R .（1）写出函数()f x 的最小正周期T 和最大值M ,并求出当函数()f x 取最大值时与之对应的x的一个值；（2）△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，已知()34f A π-=,7BC =,21sin 7B =,求AC 的长.【考查内容】正弦型函数的图像和性质【解】(1)221T π==π,max ()2f x =，取最大值时242x k ππ+=+π，k ∈Z .即24x k π=+π，k ∈Z .（符合24x k π=+π，k ∈Z 的任意的一个x 的值均得分）（2）()2sin 34f A A π-==,∴3sin 2A =,在△ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC BCB A=,得2AC =.22.(本题满分10分)每小题满分各为5分.某地政府支持当地老公房加装电梯，补贴其建设总费用的50%，另外50%由住户分摊.住户按如下步骤分摊费用：（一）先按楼层分摊，底层住户不出钱，从第二层起，每层都比下面一层增加费用k ；（二）每层分摊到的费用再按户平均分摊.现计划为某小区1号六层老公房加装电梯，建设总费用为48万元.(本题涉及的费用均以万元为单位)（1）设第n 层住户分摊到的费用为(*,6)n a n n ∈N ，10a =，求k ；（2）该号每层有8户，设第n 层的每一户分摊到的费用为(*,6)n b n n ∈N ，求4b 以及数列{}n b 的通项公式.【考查内容】等差数列的实际应用【解】(1)由题意可得每一层建设费用成等差数列，第一层费用为0，···，第六层费用为5k ，则056482k +⨯=，165k =.(2)由题意可得第n 层住户分摊的的费用n a 是以首项10a =，公差为825k =的等差数列.则188(1)(1)55n a a n n =+-⨯=-.则1(1)85n n a b n ==-，435b =.23.(本题满分10分)每小题满分各为5分.已知函数2()log f x x =.（1）在答题纸相应位置的坐标系中画出函数()y f x =的大致图像，并写出实数m 的取值范围，使得[,3]x m ∈时，()0f x ；（2）设0a b <<，如果()()f a f b =，问a 与b 的乘积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【考查内容】对数函数的图像和性质【解】(1)()y f x =的大致图像如图所示：15SH13由图可知，m 的取值范围是[1,3).(2)由函数2()log f x x =在定义域内单调递增，可知01a b <<<.由()()f a f b =可得22log log a b -=，222log log log 0a b ab +==，得1ab =.∴a 与b 的乘积为定值1.24.(本题满分10分)第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为7分.圆锥曲线C 的方程为2221x y a+=（0a >）.（1）若曲线C 是圆，且直线2(0)y kx k =->与该圆相切，求实数k ；（2）设1a >，曲线C 的一个焦点为(,0)(0)F c c >，它与y 轴正半轴的交点为B ,过点B 且垂直于BF 的直线l 与x 轴相交于点3(,0)3D -,与曲线C 的另一个交点为E ,求a 以及线段BE 的长.【考查内容】直线与圆的位置关系，直线与椭圆相交的综合问题【解】(1)曲线C 是圆时，1a =.圆C 的方程为221x y +=.由直线与圆相切可得圆心（0,0）到该直线的距离为半径的长1.即2221(1)k -=+-，又∵0k >，∴3k =.(2)当1a >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆.∴21c a =-.即23(1,0),(0,1),(,0)3F a B D --.2(1,1)BF a =-- ，3(,1)3DB = .由BF ED ⊥可得0BF DB ⋅= ,即231103a ⋅--=（1a >），可得2a =.椭圆方程为2214x y +=,易知BE 所在直线的斜率为3,方程为31y x =+，方法一：联立直线与椭圆方程可得1101x y =⎧⎨=⎩，2283131113x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得221212163()()13BE x x y y =-+-=.方法二：联立直线与椭圆方程，消去y 得213830x x +=，128313x x +=-，120x x =.∴2212121()4BE k x x x x =+⋅+-=16313.。
三校生考试题及答案
三校生考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 三校生考试中，下列哪一项不是考试科目？A. 数学B. 英语C. 物理D. 历史答案：C2. 在数学考试中，以下哪个选项是正确的？A. 圆的面积公式为πr²B. 直线的斜率不存在C. 正弦函数的值域为[0, 1]D. 复数的模长为实部和虚部的平方和答案：A3. 英语考试中，以下哪个单词的拼写是错误的？A. opportunityB. embarrassC. accomodateD. necessary答案：C4. 在历史考试中，下列哪个事件不是发生在20世纪？A. 第一次世界大战B. 第二次世界大战C. 法国大革命D. 冷战答案：C5. 以下哪个选项是化学中正确的反应方程式？A. 2H₂ + O₂ → 2H₂OB. 2H₂O → 2H₂ + O₂C. 2HCl + Na₂CO₃ → 2NaCl + H₂O + CO₂D. 2Na + 2H₂O → 2NaOH + H₂答案：A6. 在生物考试中，以下哪个选项是正确的？A. 细胞壁是植物细胞特有的结构B. 线粒体是细胞的能量工厂C. DNA是细胞核中的主要遗传物质D. 光合作用只在叶绿体中进行答案：B7. 以下哪个选项是地理中正确的？A. 地球的自转周期为24小时B. 地球的公转周期为365天C. 赤道是地球最长的纬线D. 所有经线的长度相等答案：C8. 在政治考试中，以下哪个选项是正确的？A. 社会主义核心价值观包括富强、民主、文明、和谐B. 我国的根本政治制度是人民代表大会制度C. 我国的基本经济制度是公有制为主体，多种所有制经济共同发展D. 我国的基本政治制度是中国共产党领导的多党合作和政治协商制度答案：B9. 在计算机考试中，以下哪个选项是正确的？A. 二进制数1010转换为十进制数是10B. 计算机病毒是一种恶意软件C. 计算机的存储单位只有字节D. 计算机的CPU是中央处理器答案：B10. 在语文考试中，以下哪个成语的意思是“比喻做事不彻底，留下后患”？A. 画蛇添足B. 杯水车薪C. 虎头蛇尾D. 画龙点睛答案：C二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 在数学考试中，以下哪些选项是正确的？A. 正弦函数的周期为2πB. 余弦函数的周期为πC. 正切函数的周期为πD. 正弦函数和余弦函数的周期相同答案：AC12. 在英语考试中，以下哪些单词的拼写是正确的？A. opportunityB. embarrassC. accommodateD. necessary答案：ABCD13. 在历史考试中，以下哪些事件是发生在20世纪的？A. 第一次世界大战B. 第二次世界大战C. 法国大革命D. 冷战答案：ABD14. 在化学考试中，以下哪些反应方程式是正确的？A. 2H₂ + O₂ → 2H₂OB. 2H₂O → 2H₂ + O₂C. 2HCl + Na₂CO₃ → 2NaCl + H₂O + CO₂D. 2Na + 2H₂O → 2NaOH + H₂答案：ACD15. 在生物考试中，以下哪些选项是正确的？A. 细胞壁是植物细胞特有的结构B. 线粒体是细胞的能量工厂C. DNA是细胞核中的主要遗传物质D. 光合作用只在叶绿体中进行答案：BC三、填空题（每题3分，共30分）16. 在数学考试中，圆的面积公式为_______。
2024年上海高考数学试题+答案详解
2024年上海高考数学试题+答案详解（试题部分）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=−∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是 ． 二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x +D ．22sin cos x x −15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（ ）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0−∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1−∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈−<R ，在使得[]1,1M =−的所有()f x 中，下列成立的是（ ）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x −处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O −为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积； (2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x −<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d −=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =−+−，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． (1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； (2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t −−，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2024年上海高考数学试题+答案详解（答案详解）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ． 【答案】{}1,3,5【解析】由题设有{}1,3,5A =， 答案：{}1,3,52．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【解析】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ． 【答案】{}|13x x −<<【解析】方程2230x x −−=的解为=1x −或3x =， 故不等式2230x x −−<的解集为{}|13x x −<<， 答案：{}|13x x −<<.4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x −+=即()330x a x a ++−+=，故0a =， 答案：0.5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ． 【答案】15【解析】//a b ，256k ∴=⨯，解得15k =． 答案：15．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ． 【答案】10【分析】令1x =，解出5n =，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【解析】令1x =，(11)32n ∴+=，即232n =，解得5n =， 所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x−+=⋅，令52r -=，则3r =，32245C 10T x x ==∴．答案：10．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．【答案】【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =，代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±，则点P 到x轴的距离为答案：8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85【解析】根据题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3， 各占比分别为543,,121212， 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=． 答案：0.85．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+−+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨−⎪=⎪+⎩，解得2m =，答案：2.10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有29P 72=个；②当个位不为0时，则个位有14C 个数字可选，百位有18C 256=个数字可选，十位有18C 个数字可选，由分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个． 答案：329．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)【答案】7.8︒【分析】设BCA θ∠=，在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CD D CAD =∠，()sin16.5sin 16.5CA CB θ=+。
上海数学三校生高考模拟卷-5
三校生高考模拟考试卷（5）一、选择题1、已知集合A=,−1,2),B=Z，则A∩B=（）A.*−1,0,1+B.*0,1,2+C.*0,1+D.*1+2、若角α=5π4，则 α 是（）A. 第一象限角B.第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3、幂函数y=x k,k∈{−1,12,1,2,3},在这5个幂函数中，奇函数有（）个A.1B.2C.3D. 44、函数y=sinπx3的最小正周期为（）A. 4B. 6C.4πD. 6π5、在平面直角坐标系中，角 α 的顶点是坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，若角 α 的终边经过点P(−3,4)，则sinα=（）A. 35B.45C. −35D.−456、为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项，共8项项目中抽取四项进行检测，则每一类都被抽到的概率为（）A. 17B.27C.37D.47二、填空题7、函数f(x)=√x+2x−1的定义域是．8、若向量a⃗=(3,−2)，b⃗⃗=(1,−1)，则a⃗+2b⃗⃗=．9、若直线 l 与直线y=3x−1垂直，则直线 l 的斜率为．10、不等式(x+2)(x−7)>0的解集．11、若实数 a满足：log2a=4，则a=．12、底面边长为8，侧棱长为5的正四棱锥侧面积为．13、在∆ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=45°，AC=√3，则BC=．14、某水果店部分商品价格如下表：则该水果店水果的售价用列矩阵表示是．15、流程框图计算，则S=．16、设数列*a n+是等差数列.若a2和a2022是方程4x2−8x+1=0的两根，则数列*a n+中的a1012=．17、学校在“职业体验日”中开设了智能制造和信息技术两大专业类的体验活动，其中智能制造类包含5个项目，信息技术类包含4个项目，若参加活动的同学想在两大专业中各选2个项目进行体验，则不同的选法共有种。
18、单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入，员工老魏自2005年一月以来在该单位供职，历年考核都为合格，且同一年内月工资收入相同，2005年的月工资收入为5000.00元，则2022年一月该员工的月工资收入为元。
【精编精校卷】2022届上海市松江二中、奉贤中学、金山中学三校高三下学期3月联考数学试题(解析版)
2022届上海市松江二中、奉贤中学、金山中学三校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知集合(){},|10A x y x y =++=，(){}2,|4B x y x y ==，则A B =( )A ．{2,2}-B ．{2}-C ．(2,1)-D ．{(2,1)}-【答案】D【分析】集合A 和B 表示点集，则它们的交集为两个方程联立后的解.【详解】210241x y x x y y ⎧++==-⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，∴A B ={(－2，1)}. 故选：D.2．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则“0q >”是数列{lg }n a 为等差数列的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由充分条件和必要条件的定义结合数列的知识判断即可.【详解】当0q >时，若10a <，则0n a <，于是lg n a 无意义，充分性不成立；当数列{lg }n a 为等差数列时，11lg lg lg lg n n n na a a q a ++-==，则0q >，即“0q >”是数列{lg }n a 为等差数列的必要不充分条件. 故选：B3．已知定义域为[5,5]-的函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x ．若(]12,0,5,x x ∀∈当12x x <时，总有2112()()f x f x x x >，则满足(21)(21)(4)(4)m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]1,5-C ．[]2,3-D ．[]2,1-【答案】A【分析】令()()g x xf x =，根据条件可得函数()g x 在(]0,5上递增，再根据()()0f x f x -+=，得到()g x 在[5,5]-上是偶函数，从而将()()()()212144m f m m f m --≤++，转化为()()214g m g m -≤+求解.【详解】令()()g x xf x =，[5,5]x ∈- 因为(]12,0,5x x ∀∈，当12x x <时，总有2112()()f x f x x x >，即()()2211x f x x f x >， 即(]12,0,5x x ∀∈，当12x x <时，总有()()21g x g x >， 所以()g x 在(]0,5上递增，又因为()()0f x f x -+=， 所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，[5,5]x ∈-， 所以()g x 在[5,5]-上是偶函数，又因为()()()()212144m f m m f m --≤++， 所以()()214g m g m -≤+，即()()214g m g m -≤+， 所以5215545214m m m m ⎧-≤-≤⎪-≤+≤⎨⎪-≤+⎩，即239115m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，解得11m -≤≤，所以实数m 的取值范围为[]1,1-. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题令()()g x xf x =是关键，利用()g x 在(]0,5上递增，结合()g x 在[]5,5-上是偶函数，将问题转化为()()214g m g m -≤+求解. 二、多选题4．设锐角ABC 内部的一点O 满足OA OB OC ==，且1cos cos 02cos sin sin B COA AB AC A C B⋅+⋅+⋅=，则角A 的大小可能为（ ） A ．12πB ．6πC ．3π D ．512π 【答案】AD 【分析】由题意，()()1cos cos 02cos sin sin B COA OB OA OC OA A C B⋅+⋅+⋅=--，两边同乘OA ，结合圆的性质即可求解.【详解】解：锐角ABC 内部的一点O 满足OA OB OC ==，则O 为ABC 的外接圆的圆心，设半径为R ，因为1cos cos 02cos sin sin B COA AB AC A C B⋅+⋅+⋅=， 所以()()1cos cos 02cos sin sin B COA OB OA OC OA A C B⋅+⋅+⋅=--， 所以()()2221cos cos 02cos sin sin B COA OB OA OA OC OA OA A C B⋅+⋅⋅+⋅⋅--=， 即()()222221cos cos cos cos 02cos sin sin B CR R AOB R R AOC R A C B⋅+⋅∠--⋅∠+=， 所以()()1cos cos cos 2cos 202cos sin sin 11B CC B A C B -+⋅-⋅+=， 所以()()221cos cos 2sin 2sin 02cos sin sin B CC B A C B+⋅-+⋅-=， 所以()12sin cos 2sin cos 2sin 2sin 2cos C B B C B C A A =+=+=，即12sin cos 2A A =， 所以1sin 22A =， 因为02A π<<，所以26A π=或56π， 所以12A π=或512π， 故选：AD. 三、填空题5．已知角α的终边经过点(3,4)P ，则tan α=____________ 【答案】43113【分析】由任意角三角函数定义，代入运算即得解 【详解】由任意角三角函数定义，4tan 3α=故答案为：436．关于x 、y 的线性方程组2313580x y x y +=⎧⎨--=⎩的增广矩阵是____________【答案】231358⎛⎫⎪-⎝⎭【分析】由增广矩阵的定义可得解．【详解】∵方程组231358x y x y +=⎧⎨-=⎩，∴它的增广矩阵为231358⎛⎫⎪-⎝⎭， 故答案为：231358⎛⎫ ⎪-⎝⎭．7．二项式()412x +展开式的各项系数的和为____________ 【答案】81【分析】由二项式各项系数和的性质，令1x =即得解【详解】由题意，令1x =，可得二项式()412x +展开式的各项系数的和为()4412381+== 故答案为：818．某班有42位同学，学号依次为01、02、…、42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是____________ 【答案】38【分析】利用系统抽样直接求得.【详解】从42位同学中采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，抽样距为7， 第一个学号为03，所以抽取的6个样本的学号依次为03，10，17，24，31，38. 故答案为：38.9．已知双曲线221x my +=的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的焦距为____________【答案】【分析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得214b m=-=，从而即可求得双曲线的焦距2c .【详解】解：因为221x my +=为双曲线，所以2211,a b m==-， 又双曲线221x my +=的一条渐近线方程为2y x =，所以222124b m a=-==，即24b =，所以2225c a b =+=，c =所以该双曲线的焦距2c =故答案为：10．若直线l 的参数方程为123x ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数），则直线l 的倾斜角的大小为____________【答案】【分析】消去参数t 得到直线的普通方程，得到直线的斜率k =的关系，即得解【详解】由题意，直线l 的参数方程为1232x ty t=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 消去参数t ，可得21320x y -++=故直线的斜率1222k ==故直线l 的倾斜角的大小为2arctan 2故答案为：2arctan211．已知实数x 、y 满足条件2423x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =-的最大值为____________【答案】2【分析】画出不等式组表示的平面区域，目标函数化为y x z =-，结合图象求出最优解．【详解】解：画出不等式组2423x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图阴影所示：目标函数z x y =-可化为y x z =-，结合图象可知目标函数过点()2,0B 时，截距z -取得最小值，即z 取得最大值()max 202z =-=， 所以z x y =-的最大值为2． 故答案为：2．12．在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手.若从中任选2人，则选出火炬手编号相连的概率为______. 【答案】250.4 【分析】先求出基本事件总数，再求出选出的火炬手的编号相连包含的基本事件个数，由此能求出选出的火炬手的编号相连的概率．【详解】有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手，从中任选2人，基本事件有()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,53,4,3,5,4,5，，共10个；选出的火炬手的编号相连包含的基本事件有()()()()1,2,2,33,4,4,5，共4个； 所以选出的火炬手的编号相连的概率42105=． 故答案为：25．13．已知函数()x kf x a +=（0a >且1a ≠，常数k ∈R ）的图像过点(1,1)-，其反函数()1y f x -=的图像过点(8,2)，若将()1y f x -=的图像向左平移3个单位，向上平移2个单位，就得到函数()y g x =的图像，则()5g 的值为____________ 【答案】4【分析】根据已知条件，()11f -=、(2)8f =可以求解出a k ，，先求解出()f x 的解析式，然后在求解出其反函数()1y f x -=的解析式，然后根据题意进行向左、向上平移变换，得到()y g x =的解析式，然后求解出()5g 即可.【详解】因为函数()x k f x a +=过点(1,1)-，其反函数()1y f x -=的图像过点(8,2)，0a >且1a ≠，所以(1)1(2)8f f -=⎧⎨=⎩，解得12k a =⎧⎨=⎩，所以()12x f x +=，则()121log y f x x -==-+，函数图像向左平移3个单位，即21log (3)y x =-++， 向上平移2个单位，即21log (3)y x =++， 所以()21log (3)x y g x +=+=， 所以()251log (53)134g ++=+==. 故答案为：4.14．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为____________【分析】在x 轴上取()3,0S -，由MOPPOS 可得PS ，可得3PM PN SN +≥，利用两点间距离公式可求得结果.【详解】如图，在x 轴上取点()3,0S -，33OM OP OPOS==，MOP POS ∠=∠，MOP POS ∴，3PS PM ∴=，3PM PN PS PN SN ∴+=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号）， ()()()22min3320126PM PNSN ∴+==--+-=.故答案为：26.15．如图，在三棱锥P ABC -中，点O 为AB 的中点，点P 在平面ABC 的射影恰为OB 的中点E ，已知22AB PO ==，点C 到OP 的距离为3，则当ACB ∠最大时，直线PC 与平面PAB 所成角的大小为____________【答案】3π【分析】根据点C 到OP 3C 是以OP 为旋转面的轴的圆柱与平面ABC 的公共点，即点C 的轨迹是以AB 为焦距，以3. 【详解】解：因为点C 到OP 3所以点C 是以OP 为旋转面的轴的圆柱与平面ABC 的公共点， 即点C 的轨迹是以AB 为焦距，以23又由椭圆的对称性可知：当ACB ∠最大时，有2AC BC ==，CO AB ⊥，因为点P 在平面ABC 的射影恰为OB 的中点E ， 所以PE ⊥平面ABC ，因为PE ⊂ 平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB 平面ABC =AB ， 所以CO ⊥平面ABC ，所以CPO ∠是直线PC 与平面PAB 所成的角，因为1CO OP ==，所以tan COCPO OP∠= 所以3CPO π∠=，故答案为：3π 16．已知正整数数列{}n a 满足：11,1,,n n n nn a n a na a a n a n +->⎧==⎨+≤⎩，则2022a =____________ 【答案】630【分析】根据已知条件，易得到数列的初值，根据初值，可以进行归纳，得到1k n a =中项数满足的递推关系，然后使用数列归纳法进行推导论证，得到1213(21)k k n n ++=+的递推公式，然后通过构造等比数列求解出k n 的表达式，结合2022所满足的关系代入合适的关系式求解即可.【详解】由11,1,,n n n nn a n a na a a n a n +->⎧==⎨+≤⎩可得：我们可以看到1k n a =的下标：1231,4,13,,n n n ===它们满足的递推关系：131,1,2,3k k n n k +=+=①，对k 归纳：1,2k =时已经成立，设已有1k n a =，则由条件，11k n k a n +=+，222k n k a n +=+，3k n k a n +=，423k n k a n +=+，归纳易得：212,1,2,3,,1k n m k k a n m m n +-=+-=+，221,1,2,3,,k n m k k a n m m n +=++=，②于是，当1k m n =+时，312(1)1k n k k a n n +=+-+=， 因此，131,(1,2,3,)k k n n k +=+=即①式成立， 根据①式，1213(21)k k n n ++=+，令21k k n x +=，所以13k k x x +=，13x =，所以3kk x =，因此312k k n -=，1,2,3,k =，而773110932n -==，883132802n -==，则782022n n ＜＜，7202224651n =+-，故由②式可得，20227246510932465630a n =+-=+-=故答案为：630. 四、解答题17．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱1OO 的侧面积为83π，2OA =，120AOP ∠=.(1)求三棱锥1A APB -的体积； (2)求二面角1A PB A --的大小． 【答案】(1)4(2)π4【分析】（1）现根据底面圆的半径，结合圆柱的侧面积，求解出圆柱的高，然后根据已知条件，求解底面APBS，再计算体积即可；（2）根据已知1AA ⊥平面APB 且AP PB ⊥，不难判断1APA ∠为1A PB A --所成的二面角，根据第（1）问求解出相应的边长关系，求解1APA ∠即可完成求解.【详解】(1)由已知可得，2OA =，所以2π24πS ==底，114π83πS S OO OO ===侧底，所以11OO AA ==因为AB 为圆O 的直径，P 在底面圆O 上，120AOP ∠=，OA OP =，所以30OAP OPA ∠=∠=，所以122PB AB ==,AP =所以11222APBSPB PA ==⨯⨯=所以1111433A APB APBV AA S -==⨯, 故三棱锥1A APB -的体积为4. (2)平面1A PB平面APB PB =，因为1AA ⊥平面APB ，PB ⊂平面APB ，所以1AA PB ⊥， 因为AB 为圆O 的直径，P 在底面圆O 上，所以AP PB ⊥， 故1APA ∠为1A PB A --所成的二面角，1AA =AP =1AA ⊥平面APB ，所以1AA AP ⊥，所以1π4APA ∠=. 故二面角1A PB A --为π4. 18．设复数11i z =-，2cos isin z θθ=+，其中[]0,θπ∈. (1)若复数12z z z =⋅为实数，求θ的值； (2)求12z z +的取值范围． 【答案】(1)34π(2)【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算可得(cos sin )(cos sin )i z θθθθ=-++，再列出等量关系cos sin 0θθ+=，求解即可；（2）先计算12z z +[]0,θπ∈和余弦函数的性质，分析即得解【详解】(1)由题意，12cos isin )(cos sin )(cos sin )i (1i)(z z z θθθθθθ=+++⋅=⋅+=- 若复数12z z z =⋅为实数，则cos sin 0θθ+=故tan 1θ=-，[]0,θπ∈ 解得：34πθ= (2)由题意，11i z =-，2cos isin z θθ=+12|(1)cos sin |||(1cos )(1i s )i i in z z θθθθ=-++=+-+++=由于[]0,θπ∈，故5,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故1cos()4πθ-≤+≤121z z +≤故12z z +的取值范围是19．治理垃圾是S 市改善环境的重要举措．去年S 市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出S 市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数()*n n N ∈的表达式； (2)设n A 为从今年开始n 年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【答案】(1)520020,153100,64n n n n a n --≤<⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)有效，理由见详解【分析】（1）分别求出当5n ≤时和6n ≥时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；（2）先根据n n S A n=，利用作差法，可证明数列{}n A 为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势【详解】(1)设治理n 年后，S 市的年垃圾排放量构成数列{}n a .当5n ≤时，{}n a 是首项为120020180a =-=，公差为20-的等差数列，所以()()1118020120020n a a n d n n =+-=--=-；当5n ≥时，数列{}n a 是以5a 为首项，公比为34的等比数列， 所以55531004n n n a a q --⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，所以，治理n 年后，S 市的年垃圾排放量的表达式为520020,153100,64n n n n a n --≤<⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则n n S A n=． 由于()()111111n n n n n n nS n S S S A A n n n n +++-+-=-=++ ()()()111n n nn S a n S n n ++-+=+()11n n na S n n +-=+ ()()()()111211n n n n a a a a a a n n +++-+-+⋅⋅⋅+-=+ 由（1）知，15n ≤≤时，20020n a n =-，所以{}n a 为递减数列，6n ≥时，531004n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以{}n a 为递减数列，且65a a <，所以{}n a 为递减数列，于是111210,0,...,0n n n n a a a a a a +++-<-<-<因此10n n A A +-<，所以数列{}n A 为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的20．我们把椭圆221:14x E y +=和222:4x E y λ+=称为“相似椭圆”“相似椭圆”具有很多美妙的性质．过椭圆2E 上任意一点P 作椭圆1E 的两条切线，切点分别为A 、B ，切线PA 、PB 与椭圆2E 另一个交点分别为Q 、R ．(1)设()11,A x y ，证明:直线1114x x y y +=是过A 的椭圆1E 的切线； (2)求证：点A 是线段PQ 的中点；(3)是否存在常数λ，使得对于椭圆2E 上的任意一点P ，线段QR 的中点M 都在椭圆1E 上，若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，4λ=【分析】（1）把直线与椭圆1E 联立得到=0∆，即可得直线是椭圆1E 的切线，又由于()11,A x y 满足直线方程1114x x y y +=，即可得证. （2）把直线PQ 与椭圆2E 进行联立得12P Q x x x +=，即可得证. （3）假设存在常数λ满足题意，可得到直线AB 的方程为0014xx yy += 把直线AB 与椭圆1E 联立，消去y 得()201241y x x λ-=，消去x ，得201244x y y λ-=，再把QR 的中点M 代入221:14x E y +=得2540λλ-+=，即可得到答案. 【详解】(1)联立11221414x x y y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得22221111101642x y x x x y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 即221111042x x x y -+-=，从而2222111114(1)10444x x y y ∆=-⨯⨯-=+-=. 又点()11,A x y 满足直线方程1114x x y y +=， 故直线1114x x y y +=是过A 的椭圆1E 的切线. (2)由（1）得直线PQ 的方程为1114x x y y += 联立1122144x x y y x y λ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得2222111101642x y x x x y λ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭ 即22111042x x x y λ-+-=，从而12P Q x x x +=，即点A 是是线段PQ 的中点. (3)假设存在常数λ满足题意，设0022(,),(,)P x y B x y ，将点00(,)P x y 分别代入1212:1,:144x x x x PA y y PB y y +=+= 得101020201414x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故直线AB 的方程为0014xx yy += 联立00221414xx yy x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得22220000101642x y x x x y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 即22001042x x x y λ-+-=，()201241y x x λ-= 同理，消去x ，得201244x y y λ-= 由（2）得10102020(2,2),(2,2)Q x x y y R x x y y ----，从而中点120120(,)M x x x y y y +-+- 代入221:14x E y +=，得()()22120120+=14x x x y y y +-+- 即2222220102012121201210202221444444x x x x x x x x x y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即220014211222121214y x λλλλλ⎛⎫--⎛⎫++++--=⇒+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得2540λλ-+=，解得4λ=或1λ=（舍去）.综上，存在常数4λ=满足题意.21．已知集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅（120n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，*n ∈N ，3n ≥）具有性质P ：对任意,i j （1i j m ≤≤≤），i j a a +与j i a a -至少一个属于A .(1)分别判断集合{}0,2,4M =，与{}1,2,3N =是否具有性质P ，并说明理由；(2){}123,,A a a a =具有性质P ，当24a =时，求集合A ；(3)①求证：0A ∈；②求证：1232n n n a a a a a +++⋅⋅⋅+=. 【答案】(1)集合M 具有，集合N 不具有，理由见详解(2)A {0,4,8}=(3)证明见详解【分析】（1）利用性质P 的定义判断即可；（2）利用33a a A +∉，330a A a -=∈可得10a =，又23a a A +∉，32a a A -∈，分析可得322a a a -=，即得解；（3）① 由 n n a a A +∉，0n n a A a -=∈，可证明； ② 由110n n n n n a a a a a a -≤<<⋅⋅⋅<---，以及n n i a a A -+∉，n n i a a A --∈可得121321,,,...,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --=-=-=-=-，将等式左右两边相加可证明.【详解】(1)集合{}0,2,4M =具有性质P ，集合{}1,2,3N =不具有性质P 理由如下：对集合{}0,2,4M =，由于202,422,404,000,220,440M -=-=-=-=-=-=∈ 所以集合M 具有性质P ；对集合{}1,2,3N =，由于224N +=∉，故集合N 不具有性质P .(2)由于33333A a a a a a +>∴+∉，故330a A a -=∈10a ∴= 又23323,a a a A a a +>∴+∉，故32a a A -∈又3230<a a a -<，故322a a a -=322=8a a =∴因此集合A {0,4,8}=(3)①由于n n n n n A a a a a a +>∴+∉，故0n n a A a -=∈10a ∴= 0A ∴∈，故得证②由于120n a a a ≤<<⋅⋅⋅<故110n n n n n a a a a a a -≤<<⋅⋅⋅<---又(1,2,...,1)n n i n n n i a a a i n a a A --+>=-∴+∉n n i a a A -∴-∈121321,,,...,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --∴=-=-=-=- 将各个式子左右两边相加可得：1232n n n a a a a a +++⋅⋅⋅+= 故得证。
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2010年上海市三校生高考数学试题及解答
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集，集合，则.
2．若复数满足（是虚数单位），则.
3．已知直线的倾斜角大小是，则.
4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是.
5．已知函数和函数的图像关于直线对称，
则函数的解析式为. 到渐近线的距离为.
7．函数的最小正周期.
8．若，则目标函数的最小值为.
9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是.
10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的
母线长为．
11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的
甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是 . 13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值
范围是.
14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．
①函数一定是偶函数；
②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；
③函数可以是奇函数；
④函数如果是偶函数，则值域是或；
⑤函数值域是，则一定是奇函数．
其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．已知，，则的值等于………………………（）
（A）. （B）. （C）. （D）.
16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是
直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）
（A）. （B）. （C）. （D）.
17．若直线通过点，则………………………………（）
（A）. （B）.
（C）. （D）.
18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个
边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．
那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．
（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；
（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2)
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，
过点作平行于的直线交弧于点．
（1）若是的中点，求；
（2）设，求△周长的最大值及此时的值．
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆.
（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，
求△的面积；
（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴
负半轴的交点，求实数的值．
22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知函数．
（1）若函数的图像过原点，求的解析式；
（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，
在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项
, 组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，
其中．
（1）求的值；
（2）当取最小时，求的通项公式；
（3）求的值．
四区联考2012学年度第二学期高三数学
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．；2．；3．；4．；5．；6．；
7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．D ；16．B；17．B ；18．C
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米
所以这个四棱锥冷水塔的容积是．
(2)如图，取底面边长的中点，连接，
答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解:（1）在△中，，
由
得，解得．
（2）∵∥，∴，
在△中，由正弦定理得，即
∴,又．
记△的周长为，则
=
∴时，取得最大值为.
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解：(1)依题意，，，由，得，
设，∴；
(2)如图，由得，
依题意，，设，线段的中点，
则，，，
由，得，∴
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
解:（1）过原点，
得或
（2）是偶函数，即，
又恒成立即
当时
当时，，
当时，，
综上：
（3）
是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，
即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．
令，当时；时，由于时，
是增函数记，故与在区间上
有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上
是减函数，其对称轴方程为．
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
解：（1）令得，即；又
（2）由和，
所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．
解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）
解法二: 数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即
因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．
，
所以。