数字信号处理课后答案第6节

2 c
)(s2
1.6180 c s
2 c
)(s
c
)
如上结果中，Ωc的值未代入相乘， 这样使读者能清楚地 看到去归一化后，3 dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。
2． 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率 fp=3 kHz，通带最大衰减αp=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减αs=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实 际的Ha(s)。
（2） 求归一化系统函数G(p)。 由阶数N=5直接查教材 第157页表6.2.1, 得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函 数G(p)为
G( p)
p5
3.236 p4
1 5.2361p3 5.2361p2
3.2361p 1
或
G( p)
1
( p2 0.618 p 1)( p2 1.618 p 1)( p 1)
教材第6章习题与上机题解答
1． 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率
fp=6 kHz，通带最大衰减ap=3 dB， 阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减as=25 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)以
及实际滤波器的Ha(s)。 解: （1） 求阶数N。
N lg ksp
lg sp
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到
λp=1, ap=3 dB
s
p s
2,
as=15 dB
(3) 设计相应的归一化低通G(p)。 题目要求采用巴特沃斯 类型， 故
ksp
100.1ap 100.1as
1 1
0.18
sp
s p
2
N lg ksp lg 0.18 2.47
lg sp
lg 2
所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三阶巴特沃斯归一 化低通G(p)为
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
p ejπ
1 2
2k 1 2N
k
k 0,1, 2,3, 4
再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为
1 G( p) 4
( p pk )
k 0
最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果。
（3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一化系统 函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。
Re[s2
]s
|
s2
|2 )
(s2
1.6731104
s
7.2687 1016 4.7791108 )(s2 4.0394104
s
4.7790 108
)
也可得到分母多项式形式， 请读者自己计算。 3． 设计一个巴特沃斯高通滤波器， 要求其通带截止频率
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
k 1
k 1
其中， sk=Ωppk=6π×103pk, k=1, 2, 3, 4。 因为p4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s2*。 将两对共轭极点对应的因子相乘， 得 到分母为二阶因子的形式， 其系数全为实数。
Ha
(s)
(s2
2
7.2687 1016 Re[s1]s | s1 |2 )(s2 2
G( p)
1
p3 2 p2 2 p 1
(4) 频率变换。 将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)：
式中
s3
H (s)
G( p)
| p c s
s3
2c s 2
2c2s
c3
Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104 rad/s
4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下：
由于本题中ap=3 dB， 即Ωc=Ωp=2π×6×103 rad/s， 因此
Ha (s)
Ha ( p)
|
p
s
c
5 c
s5
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3.2361 c s 4
5.2361c2
s3
5.2361c3s2
3.2361
4 c
s
5 c
对分母因式形式， 则有
Ha (s)
Ha ( p)
|
p
s
c
5 c
(s2
0.6180 c s
pk
ch
sin
(2k 1)π 2N
jch
cos
(2k 1)π 2N
1 arsh 1 1 arsh 1 0.5580 N 4 0.2171
k 1, 2,3, 4
p1
ch0.5580 sin
π 8
j
ch0.5580 cos
π 8
0.4438
j1.0715
3π
3π
p2 ch0.5580sin 8 j ch0.5580 cos 8 1.0715 j0.4438
p3
ch0.5580 sin
5π 8
j
ch0.5580 cos
5π 8
1.0715
j0.4438
p4
ch0.5580 sin
7π 8
j
ch0.5580 cos
7π 8
0.4438
j1.0715
(4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)：
Ha
(s)
Q(
p)
|
p
s
p
4 p
4
p4
4
1.7368 (s p pk ) 1.7368 (s sk )
ksp
100.1as 100.1ap
p 1 s 1
102.5 100.3
1 1
17.794
sp
s p
2π 12103 2π 6103
2
将ksp和λsp值代入N的计算公式, 得
N lg17.794 4.15 lg 2
所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到 简化）。
N arch 1456.65 3.8659 arch 4
为了满足指标要求， 取N=4。
100.1ap 1 0.2171
(3) 求归一化系统函数G(p)
1
Q( p)
N
1
4
2N1 ( p pk ) 1.7368 ( p pk )
k 1
k 1
其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下：
解: （1） 确定滤波器技术指标。 αp=0.2 dB, Ωp=2πfp=6π×103 rad/s αs=50 dB, Ωs=2πfs=24π×103 rad/s
λp=1,
s
s p
4
(4) 求阶数N和ε。
N arch k 1
arch s
k 1
100.1as 1 100.1ap 1 1456.65