怎么求函数的定义域(教师版)
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法方法一：直接根据函数的定义进行求解。
这是最基本的一种方法，即根据函数的定义来求解定义域。
例如，对于一个多项式函数f(x)，定义为f(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们可以直接根据定义域的限制条件来求解。
由于多项式函数的定义域是全体实数，因此该函数的定义域为(-\infty, +\infty)。
方法二：挑选一些特殊的数进行验证。
这是一种常用的方法，即通过挑选一些特殊的数进行验证，看它们是否在函数的定义域内。
例如，对于一个有理函数g(x)，定义为g(x) = \frac{1}{x}，我们可以挑选x的一些特殊值进行验证。
首先，x不能为0，否则分母为零，函数无定义。
另外，由于有理函数对应的分母不能为零，因此定义域为(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)。
方法三：求解不等式得到定义域的范围。
对于一些复杂的函数，可以通过求解不等式来得到定义域的范围。
例如，对于一个开方函数h(x)，定义为h(x) = \sqrt{x^2 - 4x}，我们可以通过求解不等式x^2 - 4x \geq 0来确定定义域的范围。
首先，将不等式化简为(x-2)(x-2) \geq 0，得到x \leq 2或x \geq 2，因此定义域为(-\infty, 2] \cup [2, +\infty)。
方法四：分段定义域的求解。
对于一些函数是在不同区间有不同定义域的情况，可以采用分段定义域的求解方法。
例如，对于一个分段函数j(x)，定义为j(x) = \begin{cases}2, & \text{if } x\leq 0\\\sqrt{x}, & \text{if } x > 0\end{cases}这个函数在x\leq 0时有定义，且在x > 0时也有定义。
因此定义域为(-\infty, 0] \cup (0, +\infty)。
方法五：利用基本函数的定义域性质进行推导。
定义域和值域的专题讲解常用方法教师版
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
求函数定义域（1）函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；（2）常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；（3) 如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；（4）对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；（5）分段函数的定义域是各个区间的并集；（6）含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；（7）求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数的定义域和值域是非常重要的概念。
定义域是指函数可以接受的输入值的集合，而值域则是函数能够取得的输出值的集合。
正确确定函数的定义域和值域是解决函数相关问题的关键，下面我们将详细介绍求函数定义域和值域的常用方法。
一、函数的定义域的常用方法：1. 显式定义法：对于一些常见的函数，我们可以直接根据其表达式来确定其定义域。
例如，对于一元多项式函数f(x)=ax^n+bx^m+...+c，其定义域可以是实数集或者区间。
2.隐式定义法：对于一些函数可能没有明确的表达式，或者函数的定义域和表达式没有直接的关系，我们可以根据函数的特性和性质来确定其定义域。
例如，对于分式函数f(x)=1/(x-1)，我们可以得知分母不能为0，所以其定义域是实数集减去1的那部分实数。
3.已知条件法：有时候我们可以根据函数在一些点的取值情况来确定其定义域。
例如，对于一个连续函数f(x)，如果我们知道在一些区间上f(x)恒大于0，那么可以确定该区间为函数的定义域。
4.集合运算法：当函数的定义域可以表示为多个区间或集合的并、交、差等运算时，我们可以利用这些运算来求解函数的定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x+1)-√(x-1)，我们可以先求出√(x+1)和√(x-1)的定义域，然后求出它们的交集。
二、函数的值域的常用方法：1.考察函数表达式法：对于一些常见的函数，我们可以观察其表达式，根据其中的字母、常数等特性来确定其值域的范围。
例如，对于平方函数f(x)=x^2，我们可以观察到平方函数的输出恒为非负数，所以其值域是[0,+∞)。
2.定义域与函数性质法：当我们已经确定了函数的定义域后，可以根据函数的性质来确定其值域。
例如，对于连续函数f(x)在一些区间上单调增加或者单调减少，我们可以确定函数在该区间上取值范围。
3.极限与极大极小值法：利用函数的极限性质、导数等衍生性质来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+2，我们可以求出其导数为f'(x)=3x^2-3，然后根据导数的符号确定函数的单调性和极值点，从而确定其值域。
函数的定义域及其求法(知识点)(教师版)
函数的定义域及其求法（知识点）一．定义域定义域、值域、对应法则合称为函数的三要素．本词条主要介绍函数定义域的概念及其求法.二．函数定义域的概念函数的定义域就是指自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分．定义域必须是非空数集，且必须写成区间或集合的形式．例如：一次函数()(0)f x kx b k =+≠的定义域为(或写成(,)-∞+∞)．三．函数定义域的求法在处理函数的相关问题时，首先应明确函数的定义域是什么，求函数定义域主要包括具体函数的定义域、抽象函数的定义域以及实际问题中函数的定义域三种．四．具体函数的定义域对于已知解析式的具体函数，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．常见情形如下：1. 若函数()f x 为整式，则其定义域为实数集． 例如，二次函数2()1f x x x =++的定义域为． 2. 若函数()f x 是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数的集合. 例如，函数1()1f x x =-的定义域为{1}x x ≠． 3. 若函数()f x 是偶次根式，则其定义域是使得根号内的式子大于或等于零的全体实数构成的集合.例如，函数()f x =[1,)-+∞.4. 若函数()f x 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使是使各部分都有意义的实数的集合， 即交集.例如，函数1()1f x x =-[1,1)(1,)-+∞. 5. 若函数0()f x x =，则其定义域是{0}x x ∈≠． 注：除了上述情形，还应注意指数函数和对数函数均需满足底数大于零且不等于1，对数函数的真数必须大于零，以及三角函数的定义域，如正切函数的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭例：求下列函数的定义域：①y =2310x y x x --；③()f x =. 解：①由80,30,x x +⎧⎨-⎩≥≥得83x -≤≤．所以原函数的定义域为[]8,3-． ②由220,3100,x x x +⎧⎪⎨--≠⎪⎩≥解得()() 2250x x x -⎧⎪⎨+-≠⎪⎩≥所以2,2,5,x x x -⎧⎨≠-≠⎩≥即25x -<<或5x >．所以原函数的定义域为()()2,55,-+∞．③由函数的解析式有意义，得240,210,x x x +>⎧⎪⎨-->⎪⎩即()()4,2110,x x x >-⎧⎪⎨+->⎪⎩∴4,11,2x x x >-⎧⎪⎨<->⎪⎩或∴142x -<<-或1x >．∴所求函数的定义域为()14,1,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭．五．抽象函数的定义域求抽象函数的定义域时，应充分理解定义域的含义，即：函数()f x 的定义域是指x 的取值范围，具体如下：1. 若已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，则其复合函数(())f g x 的定义域由()a g x b ≤≤求出．例如：已知函数()f x 的定义域为[1,2]，则函数(1)f x +的定义域为[0,1]．2. 若已知函数(())f g x 的定义域为[,]a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[,]x a b ∈上的值域.例如：已知函数(1)f x +的定义域为[1,2]，则函数()f x 的定义域为[2,3]．六．实际问题中函数的定义域在实际问题中求函数()f x 的定义域，除了考虑解析式本身有意义外，还应该考虑自变量x 所代表的具体量的实际取值范围．例如：圆的面积S 与圆的半径r 之间的函数关系式为2πS r =，其定义域为{0}r r >．。
高中数学函数定义域的求法
高中数学函数定义域的求法
求函数定义域的方法有以下几种：
1. 根据函数的解析式确定：
- 如果函数的解析式为有理式，那么函数的定义域就是使得
有理式的分母不为零的实数值。
- 如果函数的解析式为无理式，那么函数的定义域就是使得
无理式的被开方数不小于零的实数值。
- 如果函数的解析式为指数、对数函数，那么函数的定义域
就是使得指数的底不为零或负数，对数的底大于零且不等于1。
2. 根据函数的图象确定：
- 如果函数的图象是一个连续的曲线，那么函数的定义域就
是曲线所覆盖的所有实数值。
- 如果函数的图象是一个离散的点集，那么函数的定义域就
是这些点的横坐标所组成的集合。
3. 根据问题的实际意义确定：
- 如果函数表示一个实际问题，如时间、长度、面积等，那
么函数的定义域就是使得问题有意义的实数值范围。
需要注意的是，在某些情况下，函数的定义域可能是一个给定的特定集合，如正整数集、实数集等，这时需要根据题目要求进行判断和筛选。
同时，也要留意函数的特殊性质，如间断点、极值点等，可能会对函数的定义域有影响。
暑假初升高数学衔接讲义 第5讲 函数的概念及定义域(教师版)
第五讲 函数的概念及定义域一、【知识梳理】知识点一 函数的概念1、函数的概念：设,A B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：()y f x =，x A ∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，所有函数值y 的集合B 叫做函数的值域。
注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素。
两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可。
（2）对应法则f ，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量x 只能是数。
（3）()f x 与()f a 的关系：()f x 是自变量x 的函数，()f a 表示x a =时()f x 的函数值。
2、区间与“无穷大”：设,a b 是两个实数，而且a b <，则（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； （2）满足不等a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；（3）满足不等式a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b ；（4）实数集R 也可以用区间表示为(,)-∞+∞，其中“∞”读作“无穷大”。
（5）若x a ≤，可表示为],(a -∞,x a ≥ ,可表示为[),a +∞； （6）若a x <,可表示为(,)a -∞,a x > ,可表示为(,)a +∞。
知识点二 映射的概念1、映射的概念：设,A B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →2、若:f A B →，且,a Ab B ∈∈,如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a的象，元素a 叫做元素b 的原象。
函数定义域的几种求法
函数定义域的几种求法函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。
求函数定义域的几种方法有：1、根据函数的表达式或方程求解法这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，从而求出函数定义域。
例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。
2、根据函数的几何图形特征求解法这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。
例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这个函数的定义域为 x>0。
3、根据定义求解法例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。
4、根据解析学原理求解法对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但可以非常准确的求解函数定义域的方法。
例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。
根据等式 y - 1 =0 我们可以得到|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。
所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法定义域是指一个函数中所有可能输入的集合。
具体来说，定义域是指函数中的自变量可以取得的所有值。
在数学中，求定义域是解决一个函数的自变量的取值范围的问题。
下面是八种常见的方法来求定义域。
方法1：显式定义对于一些函数，定义域可以通过其显式定义来确定。
例如，对于函数f(x)=1/x，定义域可以通过注意到除数不能为零来确定，即x不能为0。
因此，定义域就是除去0之后的实数集合：R\{0}。
方法2：关系定义有些函数的定义域可以通过直接观察定义函数的关系来确定。
例如，对于函数f(x)=√(2x-1)，注意到根号内的表达式必须大于等于零，即2x-1≥0。
解这个不等式可以得到定义域为x≥1/2方法3：对数函数对于对数函数，定义域必须满足底数必须大于零且不等于1，并且实数必须大于零。
例如，对于函数f(x) = log₂(x + 3)，定义域为x + 3 > 0，即x > -3方法4：分式函数对于分式函数，定义域必须使分母不等于零。
例如，对于函数f(x)=1/(x-2)，定义域为x≠2方法5：根式函数对于根式函数，定义域必须使根号内的表达式大于等于零。
例如，对于函数f(x)=∛(x-4)，根号内的表达式必须大于等于零，即x-4≥0，解不等式可得x≥4、因此，定义域为x≥4方法6：三角函数对于三角函数，定义域是实数的所有值，因为三角函数在整个数轴上都有定义。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，定义域为所有实数：(-∞, ∞)。
方法7：反三角函数对于反三角函数，定义域必须使其定义范围内的表达式满足相应的条件。
例如，对于函数f(x) = arcsin(x)，由于反正弦函数的定义域是[-1, 1]，因此定义域必须满足-1 ≤ x ≤ 1方法8：参数化定义对于一些函数，可以通过将函数参数化来求取定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x²-1)，我们可以通过取x²-1≥0来求取定义域。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。
下面将介绍其中的八种方法。
方法一：根据函数公式求取定义域。
对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。
例如对于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。
方法二：分析函数的基本性质。
有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。
例如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此定义域为实数集。
方法三：考虑函数中的根。
对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的情况。
例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所以定义域为{x，x≥3}。
方法四：考虑函数的分段定义。
对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。
例如对于函数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实数集。
方法五：考虑函数的限制条件。
有时函数在定义域上有一些限制条件。
例如对于对数函数f(x) =ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。
方法六：考虑函数的参数限制。
对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。
例如对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定义域为实数集。
方法七：考虑函数的复合性质。
对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。
例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。
例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的定义域与f(x)的定义域保持一致。
方法八：考虑函数的图像。
对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。
例如对于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义域为实数集。
求函数定义域的方法
求函数定义域的方法
要确定一个函数的定义域，可以按照以下方法进行：
1. 题目给出的限制：有些函数题目可能会明确给出函数的定义域的范围，例如要求函数是定义在实数集上的，或是只考虑正数的情况等。
在这种情况下，定义域就直接取决于题目给出的限制条件。
2. 函数中有分式的情况：当函数中含有分式时，需要注意分母不能为零，因此可以通过求解分母不为零的条件来确定函数的定义域。
3. 函数中有根号或反函数的情况：当函数中含有根号时，需要保证根号内的表达式不小于零，即要求根号内的值大于等于零；当函数有反函数时，需要保证函数的自变量在反函数定义域所对应的函数值范围内。
4. 函数中有对数或指数的情况：当函数中含有对数或指数时，需要保证对数或指数中的底数、底数的指数以及参数都满足相应的条件。
例如，对于自然对数函数ln(x)，要求x 大于0；对于指数函数a^x，底数a 必须大于0 且不等于1。
5. 函数中有绝对值的情况：当函数中含有绝对值时，需要保证绝对值内的表达式大于等于零，即要求绝对值内的值不小于零。
6. 排除法：根据函数的性质和数学常识，可以排除一些明显不能作为函数定义
域的值，例如除数为零、负数的平方根等。
综上所述，确定一个函数的定义域需要综合考虑函数的各个部分及其性质，并根据数学常识进行分析和推理。
6函数的概念、定义域、值域求法-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。
3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。
分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。
求函数的定义域方法
求函数的定义域方法求函数的定义域是在数学中经常遇到的问题，定义域是指函数所能接受的输入值的范围。
确定函数的定义域需要根据函数的性质和条件进行分析和推导。
本文将介绍几种常见的方法来求函数的定义域。
一、有理函数的定义域求解方法：有理函数是指由多项式函数与多项式函数的商所构成的函数。
对于有理函数来说，定义域包括所有使得分母不等于零的实数，因为分母等于零会导致函数的值无定义。
因此，我们可以通过求解分母不等于零的条件来确定有理函数的定义域。
例如，对于函数f(x) = (x + 2)/(x - 1)，我们需要求解分母不等于零的条件：x - 1 ≠ 0。
解得x ≠ 1，所以函数的定义域为R - {1}，即除去1的所有实数。
二、根式函数的定义域求解方法：根式函数是指由开方运算构成的函数。
对于根式函数来说，由于不能对负数开方，所以要使函数的值有定义，被开方的数必须大于等于零。
例如，对于函数g(x) = √(x - 2)，我们需要求解x - 2 ≥ 0。
解得x ≥ 2，所以函数的定义域为[x ≥ 2]。
三、指数函数和对数函数的定义域求解方法：指数函数和对数函数是指以底数为常数的指数和对数所构成的函数。
对于指数函数来说，底数必须大于零且不能等于1，因为底数为1时函数的值无定义。
对于对数函数来说，底数必须大于零且不能等于1，且对数的真数必须大于零，因为对数的真数小于等于零时函数的值无定义。
例如，对于函数h(x) = 2^x，底数2大于零且不等于1，所以函数的定义域为R。
对于函数i(x) = log(x + 3)，底数为10大于零且不等于1，且x + 3大于零，所以函数的定义域为(-3, +∞)。
四、三角函数和反三角函数的定义域求解方法：三角函数和反三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。
对于三角函数来说，角度或弧度的取值范围是整个实数集。
对于反三角函数来说，其定义域要根据函数的性质和条件进行分析。
例如，对于函数j(x) = sin(x)，x可以取任意实数，所以函数的定义域为R。
第1讲 函数的定义域及值域(教师版)
第1讲 函数的定义域及值域【知识梳理】一．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 二．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 三．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 四．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．【题型归纳全解】题型一 函数的概念例1. 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.题型二 求函数的解析式例2. (1)如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.(3)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.题型三 求函数的定义域 例3. (1)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x 的定义域为( )A ．(－1,2)B ．(－1,0)∪(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，则函数g (x )＝f (2x )(x －1)0的定义域为________．答案 (1)C (2)[12，1)解析 (1)f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x －x 2>0，|x |－x ≠0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x <0，∴－1<x <0，∴f (x )的定义域为(－1,0)．(2)要使函数g (x )＝f (2x )(x －1)0有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤2x －1≠0，∴12≤x <1，故函数g (x )的定义域为[12，1)． 题型四 分段函数例4. (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为 ( )A ．2B ．1 C. 2 D ．－ 2 答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时， f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.【课堂训练】1. 函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0ln (x ＋1)≠04－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2. (2012·江西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4. 已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .5. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]答案 B解析 方法一 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ； 若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1，所以选B.6. 下表表示y答案 {2,3,4,5}解析 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}． 7. 已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.答案 11解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.8. 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.9. 已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10. 某人开汽车沿一条直线以60 km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象． 解x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤52150 52<t ≤72150－50(t －72) 72<t ≤132.图象如右图所示．【课下作业】1. 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4.2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3) 答案 A解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3， 解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－2x ，x <0，则关于x 的方程f (f (x ))＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析依题意，知函数f (x )>0， 又f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ee x ，x ≥0，e －2x ，x <0，依据y ＝f (f (x ))的大致图象(如右图所示)，知存在实数k ，使得方程f (f (x ))＋k ＝0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根．4. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫 作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．5. 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．。
函数的基本概念—函数定义、解析式(教师版)
函数（1）——函数的基本概念一、基础知识 (一)、函数的有关概念 （1）函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．（强调：①任意性；②唯一性）。
（2）函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量， A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域．（3）函数的三要素： 、 和 。
（4）．函数的表示方法表示函数的常用方法有： 、 和 （二）．相等函数如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数． 三、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．二、 例题分析 （一） 函数的概念：例题1、以下各组函数表示同一函数的是（ C ）A . f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)； B. f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2；C. f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1；D. f (n )＝2n －1(n ∈Z )，g (n )＝2n ＋1(n ∈Z )． 例题2、下各组函数表示同一函数的是（ D ）A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x >0)－x 2 (x <0) D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)例题3．下列说法中正确的为( A )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数例题4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有_(1)(3)___．例题5.下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( C )（二）求函数的解析式例题1．根据下列条件，求函数()f x 的解析式：⑴已知)12fx x x =+()f x ；⑵已知()f x 是一次函数，且()98f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x ；⑶已知()()3225f x f x x +-=+，求()f x ．解：⑴设1t x 1x t =-，∴()()()221211f t t t t =-+-=-， ∵11t x ,∴()()2 1 1f x x x=-．⑵设()() 0f x ax b a =+≠，则()()()2f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++⎡⎤⎣⎦，由 298a x ab b x ++=+ 得2339248a a a b b ab b ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或．∴()()3234f x x f x x =+=--或．⑶在()()3225f x f x x +-=+ ①中，以x -换x 得()()3225f x f x x -+=-+ ② 由①，②消去()f x -得()21f x x =+．例题2．已知函数 ()f x 满足2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）()f x 的解析式；⑵求()f x 的定义域、值域．解析（1）本题若采用换元法，令1t x x=+，则难以用t 来表示出x ，注意到2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()22f x x =-.（2）为确定函数的定义域，必须求出1t x x=+的值域，可考虑用判别式法：由1t x x=+，得：210x tx -+=．由240t ∆=-，得22t t -或， ∴()f x 的定义域是(][),22,-∞-+∞，又24x ，∴()222f x x =-，即值域为[)2,+∞．例题3．设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)， 求f(x)的表达式。
1高一函数初步定义域、解析式(教师版)
函数初步一、 教学目标1． 理解映射、函数的概念 2． 了解求函数解析式的几种方法 3． 会求具体函数、抽象函数定义域二、 教学重难点重点：求函数解析式、定义域的方法 难点：复合函数解析式、抽象函数定义域问题三、 基础知识必备（一）映射的定义：映射定义：设A,B 是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A 到．集合B 的映射，记作：B A f →:(注：A 中元素必须取完，B 中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B A f →:中，集合A 叫做映射的定义域，与A 中元素x 对应的B 中元素y 叫x 的象，记作：)(x f y =，x 叫做y 的原象。
补充：映射有“三性”：①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. （二）函数的概念： 1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2. 映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集上的一类特殊的映射：当A 、B 是两个非空数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，并记作y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C ⊆B ．3．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.（三）函数的表示法 1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 3．对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y四、 典型例题分析 考点一：映射与函数（一）映射例1. ①A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；②*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；③{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应_____是A 到B 的映射． 例2.已知映射B A f →:,其中A B R ==,对应法则x x y f 2:2+-=,对于实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 ( )A.1>kB.1≥kC. 1<kD. 1≤k练习: 1.已知}{,,A a b c =，}{0,1B =，映射:f A B →.满足：()()()f a f b f c =，则这样的映射有（ ）个A. 0B. 2C. 3D. 42、给定映射),(),(y x y x y x f -+→，则点（1,2）在f 下的象是 点（1,2）的原象是（二） 函数概念例3. 下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)(2)(3)(4)例4. 函数的图象与直线的公共点数目是( )A ．B ．C ．或D ．或（三）复合函数与分段函数例5. 设231,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩,22,1()2,1x x g x x ⎧-≤=⎨>⎩求1[(3)],[()]2f g g f -的值例6. 已知函数2,[1,1](),[1,1]x f x x x ∈-⎧=⎨∉-⎩，若[()]2f f x =，则x 的取值范围是( )A ．φB ．[－1,1]C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．{}2[1,1]-例7. 设函数()21|||4|f x x x ＝＋－－. 解不等式()2f x ＞ ；练习：1.已知21()(1)x f x f x +⎧=⎨+⎩11x x ≥<，求)2(-f2. 已知函数 221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =,则实数a 等于（ ）A.21 B. 54C. 2D. 9 考点二：函数的定义域求函数的定义域（x 的取值范围）的方法①如果)(x f 为分式，其定义域是使分母不为0的实数集；②如果)(x f 是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子不小于0的实数集合；③如果)(x f 是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；④0)(x x f =的定义域是}.0|{≠∈x R x ⑤实际问题中要考虑实际意义； (一)给出函数解析式，求其定义域 例8. ① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③xx x f -++=211)( ④14)(2--=x x f练习：求下列函数的定义域373132+++-=x x y例9. 求下列函数的定义域，并用区间法表示： （1）2143)(2-+--=x x x x f （2）=)(x f x11111++（3） x x x x f -+=0)1()(（二）抽象函数的定义域：例10. 已知函数()f x 的定义域是[]0,9，求函数()2f x 的定义域例11. 已知函数()32f x +的定义域是(],3-∞，求函数()f x 的定义域。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法定义域是数学中常用的一个概念，指函数能够接受的输入值的集合。
求函数的定义域，即要找出函数的全部合法输入。
以下是常见的求解函数定义域的8种方法：方法一：检查函数表达式中的分式，确定分母是否为零。
如果分母为零的取值在实数范围内，那么该取值不属于该函数的定义域。
例子1：对于函数f(x) = 1/(x-1)，x-1=0，得到x=1。
所以定义域是R- {1}。
方法二：检查函数表达式中的平方根、立方根等根式，确定根式内的值是否为负数。
如果根式内的值为负数，那么该取值不属于该函数的定义域。
例子2：对于函数g(x) = √(x+2)，根式内的x+2≥0，所以定义域是[-2，+∞)。
方法三：检查函数表达式中的对数。
对于以e为底的指数函数来说，取值只能是正数。
对于以其他底数a（a>0 且a≠1）的对数函数来说，取值只能是大于0且底数a不能等于1的数。
例子3：对于函数h(x) = log3(x)，x>0且x≠1。
所以定义域是(0, +∞)。
方法四：检查函数表达式中的三角函数。
注意到三角函数是周期性的，并且在某些点处不连续。
所以要考虑到函数在一个周期内的定义域，并将所有周期内的定义域取并集。
例子4：对于函数i(x) = sin(x)，它的定义域是R。
方法五：检查函数表达式中的指数。
有些指数函数定义在整个实数集合上，而有些定义域只在实数集合的部分区间上。
例子5：对于函数j(x) = e^x，定义域是R。
方法六：当函数表示为两个函数的复合时，可以分别求出两个函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。
例子6：对于函数k(x) = arcsin(x^2)，x^2≤1，即-1≤x≤1。
所以定义域是[-1, 1]。
方法七：设函数为二次函数，可以通过求解一元二次不等式的解集来确定函数的定义域。
例子7：对于函数l(x) = 2x^2 + 3x - 1，由2x^2 + 3x - 1≥0得到x≥(-3+√17)/4 或x≤(-3-√17)/4。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法求解函数的定义域是数学中一个常见的问题，定义域是指函数在实数范围内的所有可能取值。
下面介绍八种常见的方法来求解函数的定义域。
1.显式定义法：通过查看函数的表达式来确定定义域。
例如，对于函数f(某)=√(某+3)，由于根号下面是正数，所以可以推断出定义域为某≥-3。
2.有理函数定义法：对于有理函数，定义域由其分母确定。
分母中不能包含使分母为零的值，因为这会导致函数的定义出现问题。
例如，对于函数f(某)=1/(某-2)，分母不能为零，所以定义域为某≠2。
3. 指数函数与对数函数定义法：对于指数函数 f(某) = a^某和对数函数 f(某) = log_a 某，定义域取决于底数 a 的取值。
指数函数中，基数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。
对数函数中，底数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。
4. 三角函数定义法：对于三角函数 f(某) = sin(某), f(某) =cos(某), f(某) = tan(某)，定义域是所有实数。
5.意义域法：对于函数f(某)，通过确定其意义域和反向推导出定义域。
例如，若f(某)=√(1-某)，意义域为[0,+∞)，则可以推断出定义域为某≤1。
6.集合法：可以通过绘制函数对应的图像来确定定义域。
对于连续函数，定义域是所有图像上的点的集合。
对于离散函数，定义域是所有函数被定义的点的集合。
7.奇偶性法：对于偶函数f(某)=f(-某)，定义域可以取所有实数。
对于奇函数f(某)=-f(-某)，定义域可以取所有实数。
8.综合法：可以通过综合运用以上方法来求解复杂函数的定义域。
例如，对于函数f(某)=√(1/(某-1))，首先排除某=1的因数，然后通过意义域法可以确定某>1，综合得出定义域为某>1。
通过以上八种方法，可以求解函数的定义域。
根据函数的表达式、分母、底数、意义域、图像、奇偶性和综合分析等不同特点，选择合适的方法来确定函数的定义域。
函数定义域的求法
函数定义域的求法函数定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
在数学中，函数定义域是一个非常重要的概念，它的定义能帮助我们更好地理解和解决函数的问题。
本文将讨论函数定义域的求法以及定义域的特殊情况。
一、定义域的求法1、定义域的求法主要有三种：(1)式定义域。
即函数的变量可取的值集合是函数定义中定义明确的，在这种情况下，定义域就是函数定义中列出的取值范围。
例如：函数 f(x)=2x+3定义域为全体实数。
(2)式定义域。
此时函数的变量可取的值集合不能从函数定义中直接获取，它是由函数的不等式约束所决定的，即需要将函数的不等式解出取值范围，这就是函数的定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3>0定义域为x>3/2。
(3)合定义域。
当函数中既有显式定义域又有隐式定义域时，这种定义域叫做混合定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3，其定义域为x>3/2 且 x∈R，即混合定义域。
2、定义域特殊情况特殊情况一：当函数定义域为全体实数时，即f(x):R→R，其定义域为R。
特殊情况二：当函数定义域为实数正部分时，即f(x):R+→R+，其定义域为R+。
特殊情况三：当函数定义域为实数负部分时，即f(x):R-→R-，其定义域为R-。
二、定义域的示例下面给出三个定义域的示例：例1：f(x)=x+1，其定义域为R；例2：f(x)=2x+2，其定义域为R；例3：f(x)=√(x-1)，其定义域为x≥1。
三、结论从上面的内容可以看出，定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
定义域的求法主要有显式定义域、隐式定义域和混合定义域，它们对理解和解决函数的问题有重要意义。
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一.定义 ....................................................................................................................................................................... 1 二.函数定义域的求法 ............................................................................................................................................... 1 题型一：已知函数的解析式，求函数的定义域. ................................................................................................... 2 1.偶次根式函数 ................................................................................................................................................. 2 2.分式函数 ......................................................................................................................................................... 2 3.对数型函数 ..................................................................................................................................................... 2 4.复合函数 ......................................................................................................................................................... 3 题型二：恒成立问题 ................................................................................................................................................. 4 附录：练习题 ............................................................................................................................................................. 5
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【思维启迪】要注意 log 1 (2 x 1) 0 .
2
1 x 2 , 2 x 1 0, 1 1 【曹亚云·解析】由已知得 2 x 1 0, 所以 x , 解得 x . 2 2 log (2 x 1) 0, 1 2 x 1 1, 2
2.分式函数
【例 2】函数 f ( x)
x4 的定义域为 | x | 5
.
【答案】 [4,5) (5, )
x 4 5 0,
所以函数 f ( x)
x4 的定义域为 [4,5) (5, ) . | x | 5
函数的定义域
一.定义
自变量 x 的取值范围叫做函数 y f x 的定义域.
二.函数定义域的求法
（1）当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取 值的集合，具体可以归纳如下： 1 分式函数中分母不等于 0. ○ 2 偶次根式函数被开方式大于或大于 0. ○ 3 一次函数、二次函数的定义域都是 R. ○ 4 ya ○
【考点】1.偶次根式函数的定义域；2.分式函数的定义域.
“高中数学教师俱乐部”QQ 群号码：44359573，欢迎各位一线高中数学教师加入. 注：该群为教师群，拒绝学生申请.
3.对数型函数
【例 3】若 f ( x)
2x 1 ，则 f ( x) 的定义域是 log 1 (2 x 1)
2
.
1 【答案】 [ , ) 2
x
（a 0 且a 1 ） ， y sin x ， y cos x 的定义域都是 R.
a
5 y log ○
x （ a 0 且 a 1 ）的定义域为 (0, ) .
0
6 函数 f ( x) x ○ 7 y tan x ○
的定义域是 {x | x 0} .
中 x k
2
.
8 分段函数的定义域是各段自变量的取值集合的并集. ○ （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际 意义.
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题型一：已知函数的解析式，求函数的定义域. 1.偶次根式函数
【例 1】 （2013·陕西卷）设全集为 R，函数 f ( x) 1 x 2 的定义域为 M，则 R M （ A. [1,1] 【答案】D 【曹亚云·解析】因为 M {x |1 x 2 0} {x | 1 x 1} [1,1] ，所以 R M (,1) (1, ) . 【考点】偶次根式函数的定义域. 【练习 1】求函数 y 1 x x 的定义域. B. (1,1) C. (,1] [1, ) D. (,1) (1, ) ）