平行四边形解题规律技巧

A 7 A 180 2
∴∠A＝40°
代入∠A＋∠B＝180°得
∵平行四边形对角相等，∴∠C＝40°． 点评：在平行四边形中，只要知道一个角的度数或两个角之间的和、差、倍、分关
系，就可以利用平行四边形邻角互补、对角相等这一性质来求出其他所有角的度数．
4．利用平行四边形的对角线互相平分求线段的方法 先根据平行四边形的对角线互相平分找到线段之间的关系，再结合已知条件可求线 段的长．
例4 如图4，在□ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15， AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少?
分析：由已知可以得OA与OB的和，根据平行四边形对角线互相平分解题． 解：已知△AOB的周长为15，而AB＝6，∴AO＋BO＝15－6＝9． ∵平行四边形对角线互相平分，∴AC＋BD＝2AO＋2BO＝2×9＝18． 点评：求AC与BD的和并不是非要分别求出AC和BD的长不可，整体计算是常用的方法
证明：∵AB＝BF，∴∠BAF＝∠F．∵∠EAD＝∠BAF， ∴∠EAD＝∠F，∴AD∥BC． ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． ∴∠BAD＝∠C(平行四边形的对角相等)． 点评：平行四边形的对角相等是继三角形全等和等边对等角之后又一种证明两角相 等的方法．
6．综合利用平行四边形的性质和全等三角形判定与 性质证明线段或角相等的方法
首先利用平行四边形的性质得到直线平行、线段相等或角的相等关系， 再把所得结论作为判定三角形全等的条件，再根据全等三角形的性质得线 段或角相等．
例6 已知：如图6，□ABCD中，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延 长线交于F．求证：BF＝CD．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO． ∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8， ∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8．∴AB＝CD＝19 cm，BC＝AD＝11 cm． 答：这个平行四边形各边长分别为19 cm、11 cm、19 cm、11 cm． 点评：(1)平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半． (2)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于 邻边之差．
5．利用平行四边形的判定识别平行四边形的方法
平行四边形的判定方法较多，在使用时关键是根据已知条件 灵活选择适当的方法．如果题目中边的条件交待较多，就考虑 使用边的判定方法判定平行四边形；如果已知条件主要是关于对 角线的，可利用对角线互相平分进行判断；而如果条件是针对角的， 应想到利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行证明． 例5 如图5所示，□ABCD中，E、F分别是对角线AC的三等分点，求证：四边 形BFDE是平行四边形．
1．利用平行四边形的定义判断平行四边形的方法 利用定义识别平行四边形首先要看所给图形是否是四边形，其次是四边形的两 组对边是否分别平行．
例1 你能从图1所示的图形中找出平行四边形吗?
分析：首先找出其中的四边形，然后再利用定义进一步判断． 解：(2)(5)是平行四边形，其余都不是．因为图(1)虽然是四边形， 但它只有一组对边平行；图(3)是一个三角形；图(4)是一个五边形； 图(6)虽然是四边形，但两组对边都不平行；图(7)是一个六边形． 点评：平行四边形的定义既是平行四边形的一种判定方法．又 是平行四边形四边形的角的性质求角的度数的方法 可先利用平行四边形的对角相等找到等角，再利用邻角互补进一步求角的度数． 例3 如图3，在□ABCD中，∠A∶∠B＝2∶7，求∠C的度数． 分析：两角的比已知，实质是求解一个方程．
解：∵平行四边形对边平行，可得AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°．
又∵∠A∶∠B＝2∶7，∴B 7 A 2
分析：欲证BF＝CD，需证明△BEF≌△CED，由平行四边形的 性质知AB∥CD，因此∠2＝∠F，∠1＝∠C，△BEF≌△CED可证明．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠1＝∠C，∠F＝∠2． 又∵BE＝CE，∴△BEF≌△CED(AAS)， ∴BF＝CD． 点评：本题在考查平行四边形的性质的同时，也考查了三角形 全等的判定与性质．
7． 综合 利用 平行 四边 形的 判定 和性 质证 明线 段或 角的 相等 关系
在证明时首先选择适当的方法证明平行四边形，再根 据性质得线段或角相等．
例7 如图7，△ABF中，AB＝BF，∠EAD＝∠BAF，
AD＝BC，求证：∠BAD＝∠C．
分析：∠BAD和∠C是四边形ABCD的对角，因此只需证明四边形ABCD是 平行四边形就可以证明∠BAD＝∠C，由已知条件知AD＝BC，因此可再证明 AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形可证．
分析：E、F是AC的三等分点，得AE＝EF＝FC．结合四边形ABCD为平行四边 形以及E、F是对角线AC上三等分点，可考虑用对角线的识别方法，由此联想到 需添加辅助线，使问题获解．
证明：连接BD交AC于O点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． 又∵E、F分别为AC的三等分点， ∴AF＝EF＝CF， ∴OA－AC＝OC－CF，即OE＝OF． ∴四边形BFDE是平行四边形(两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)． 点评：选择正确的判定方法是解题的关键．
2．利用平行四边形的边的性质求线段长的方法
一般先根据平行四边形的对边相等找到周长与邻边长的 关系，再结合已知线段求解．
例2 如图2，已知□ABCD的周长为60 cm，对角线AC、 BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm， 求这个平行四边形各边长．
分析：由平行四边形对边相等知AB＋BC＝平行四边形周长的一半＝30 cm， 又由△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm知AB－BC＝8 cm，由此两式，可得 各边长．