平面几何中的三角形不等式
初中平面几何定理全套
直线、角、平行、垂直（直线公理）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
注：简称“两点确定一条直线”。
（距离公理）在所有联结两点的线中，线段最短。
注：简称“两点之间线段最短”。
两条直线相交，只有一个交点。
同角（或等角）的余角相等。
同角（或等角）的补角相等。
对顶角相等。
经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。
直线外一点与直线上各点联结的所有线段中，垂线段最短。
平行公理经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（平行线判定）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
注：简称“同位角相等，两直线平行”。
课本作为公理。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
注：简称“内错角相等，两直线平行”。
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
注：简称“同旁内角互补，两直线平行”。
（平行线性质）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
注：简称“两直线平行，同位角相等”。
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
注：简称“两直线平行，内错角相等”。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
注：简称“两直线平行，同旁内角互补”。
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则那么这两个角相等或互补。
定理如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。
定理如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。
三角形定理（三角形不等式）三角形任何两边的和大于第三边。
推论三角形任何两边的差小于第三边。
三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。
推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
注：有书上称之“外角定理”。
推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
推论三角形的三个外角的和等于360°。
（三角形全等判定法则）边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
三角不等式向量形式
三角不等式向量形式摘要：一、三角不等式的基本概念1.三角不等式的定义2.三角不等式的几何意义二、向量形式的三角不等式1.向量形式的定义2.向量形式的几何意义三、三角不等式在向量中的应用1.向量加法2.向量数乘3.向量模长的比较四、结论1.三角不等式向量形式的重要性2.三角不等式向量形式在实际问题中的应用正文：一、三角不等式的基本概念三角不等式，又称为三角形不等式，是指对于任意实数a、b，都有a + b > |a - b|。
这个不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在几何和向量分析中。
从几何角度理解，三角不等式表示的是在平面上任取两点，连接这两点的线段长度总是大于或等于这两点间的距离。
这个不等式揭示了距离与角度之间的关系，是理解向量概念的重要工具。
二、向量形式的三角不等式向量形式的三角不等式是指对于任意两个向量a 和b，都有|a + b| <= |a| + |b|。
这里，|a|和|b|分别表示向量a 和向量b 的模长。
从几何角度理解，向量形式的三角不等式表示的是在平面上任取两个向量，这两个向量首尾相接所构成的三角形的周长总是小于或等于这两个向量的模长之和。
三、三角不等式在向量中的应用三角不等式在向量分析中有广泛的应用，以下是一些具体的例子：1.向量加法：在向量加法中，三角不等式可以用来证明向量的三角形法则，即对于任意两个向量a 和b，都有|a + b| <= |a| + |b|。
2.向量数乘：在向量数乘中，三角不等式可以用来证明向量的数乘公式，即对于任意向量a 和标量c，都有|c * a| = |c| * |a|。
3.向量模长的比较：在比较两个向量的模长时，三角不等式可以用来证明对于任意两个向量a 和b，都有|a| <= |a + b| <= |a| + |b|。
四、结论总的来说，三角不等式向量形式是理解向量和几何关系的重要工具。
它在向量加法、向量数乘、向量模长的比较等问题中都有重要的应用。
三角不等式绝对值公式
三角不等式绝对值公式在数学中，三角不等式绝对值公式是一条非常重要的定理，它在几何、代数和实际问题中都有广泛的应用。
这个公式告诉我们，对于任意的实数 a 和b，绝对值的和不大于绝对值的和。
具体地说，对于任意的 a 和 b，有：|a + b| ≤ |a| + |b|这个公式的证明比较简单，我们可以通过几何直观地来理解它。
假设 a 和 b 是实数轴上的两个点，那么|a| 表示点 a 到原点的距离，|b| 表示点 b 到原点的距离。
而 |a + b| 则表示点 a + b 到原点的距离。
根据三角不等式的直观解释，我们可以得出结论：无论a 和b 是正数、负数还是零，点 a + b 到原点的距离都不会大于点 a 到原点的距离与点 b 到原点的距离之和。
三角不等式绝对值公式在几何中有着广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
根据三角不等式绝对值公式，我们可以通过计算两个点在横坐标和纵坐标上的距离之和来得到这个距离。
这个应用在计算几何、图形学等领域中非常常见。
在代数中，三角不等式绝对值公式也有着重要的应用。
例如，在求解方程时，我们经常需要对方程两边取绝对值。
根据三角不等式绝对值公式，我们可以将绝对值运算转化为不等式运算，从而简化方程的求解过程。
三角不等式绝对值公式还在实际问题中发挥着重要的作用。
例如，在经济学中，我们经常需要计算两个变量的差的绝对值。
根据三角不等式绝对值公式，我们可以将差的绝对值表示为两个变量的绝对值之和，从而简化计算过程。
三角不等式绝对值公式是数学中一条非常重要的定理，它在几何、代数和实际问题中都有广泛的应用。
通过这个公式，我们可以更加直观地理解绝对值的性质，并简化各种计算和推导过程。
在学习和应用数学时，我们应该充分理解并灵活运用三角不等式绝对值公式，以便更好地解决各种数学问题。
1.4绝对值的三角不等式
）b a b a +³+ （2）b a b a +£-（3）b a b a ×=× （4）)0(¹=b ba b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质b a b a ×=×和a 哪个大？显然a a ³，当且仅当0³a 时等号成立（即在0³a 时，等号成立。
在0<a 时，等号不成立）。
同样，.a a -³当且仅当0£a 时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +³、a a -³及绝对值的和的性质。
二、典型例题：例1、证明 （1）b a b a +³+， （2）b a b a -³+。
证明（1）如果,0³+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+³+如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以学校：临清二中 学科：数学 编写人： 路云明 审稿人:马英济1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其的两种证明思路及其几何意义几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.会用会用绝对值不等式绝对值不等式解决一些简单问题。
☆教学重点：定理1的证明及几何意义。
☆教学难点：换元思想的渗透。
☆教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1和)0(¹=b ba b a 可以从正负数和零的乘法、可以从正负数和零的乘法、除法除法法则直接推出；法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
平面与立体几何中的三角函数
平面与立体几何中的三角函数数学中的三角函数是一类非常重要的函数，它们与三角形、圆等几何对象密切相关。
经过几百年的发展，三角函数已经成为计算机科学、物理学、工程学、建筑学等许多领域的基础工具。
本文将介绍平面与立体几何中三角函数的应用。
一、平面几何中的三角函数平面几何中的三角函数最早形成于希腊古代，它们的定义是基于直角三角形的。
对于一个直角三角形，其两条边的长度分别为a 和b，斜边的长度为c，我们定义以下三种比值：（1）正弦(sin)：sin(A) = a/c（2）余弦(cos)：cos(A) = b/c（3）正切(tan)：tan(A) = a/b这些比值被称为三角函数，其中的A表示三角形的一个角度。
这三种函数的值可以在任意单位制下计算，例如弧度制或角度制。
在平面几何中，三角函数具有许多重要的性质，例如它们满足不等式0 ≤ sin(A), cos(A) ≤ 1和-∞ < tan(A) < ∞。
在平面几何中，三角函数的应用非常广泛。
例如，我们可以利用正弦定理和余弦定理来计算三角形的形状和面积。
正弦定理和余弦定理分别对应以下两个公式：（1）a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)（2）c² = a² + b² - 2abcos(C)通过这些公式，我们可以求出三角形的任意一个角度、任意两条边、面积等等。
此外，三角函数还广泛应用于周期性现象、波动、信号处理等问题中。
在这些问题中，三角函数的周期性特点非常重要。
二、立体几何中的三角函数立体几何中的三角函数则是基于一个更加复杂的几何对象——球。
我们定义以下三种比值：（1）正弦(sin)：sin(A) = a/c（2）余弦(cos)：cos(A) = b/c（3）正切(tan)：tan(A) = a/b在这里，a、b、c表示球上的三个角坐标，A表示两个点之间的“弧度角”。
这些三角函数的定义比平面几何中要复杂，但它们的性质依然非常重要。
设置字符格式设教案详案
设置字符格式设教案详案一、教学内容教材章节：《数学》第八章第二节——平面几何详细内容：本节课主要学习平面几何中三角形的不等式性质，包括三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，以及三角形的面积计算公式。
二、教学目标1. 学生能够理解并掌握三角形的不等式性质，能够运用这些性质解决实际问题。
2. 学生能够熟练运用三角形的面积计算公式，计算各种三角形的面积。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决几何问题的能力。
三、教学难点与重点重点：三角形的不等式性质，三角形的面积计算公式。
难点：如何运用三角形的不等式性质解决实际问题，以及如何运用三角形的面积计算公式计算不同类型的三角形的面积。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、直尺、圆规。
学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过展示一个实际问题，例如：“在直线上有一点A，距离点A两旁分别有点B和点C，且AB=BC，求证：AC是直线BC上的点。
”引导学生思考，引出本节课的主题——三角形的不等式性质。
2. 讲解与演示：教师在黑板上画出三角形ABC，并通过圆规和直尺演示三角形的不等式性质，解释为什么三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
同时，引导学生通过实际操作，验证这一性质。
3. 例题讲解：教师通过讲解几个典型的例题，让学生学会如何运用三角形的不等式性质解决实际问题。
例如：“已知三角形ABC，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm，求证：三角形ABC是一个直角三角形。
”4. 随堂练习：教师布置一些随堂练习题，让学生独立完成，检验学生对三角形的不等式性质的掌握情况。
5. 三角形面积计算公式的讲解：教师通过讲解三角形面积计算公式，并利用教具演示如何通过底和高计算三角形的面积。
6. 例题讲解：教师通过讲解几个典型的例题，让学生学会如何运用三角形的面积计算公式计算不同类型的三角形的面积。
例如：“已知三角形ABC 的底为6cm，高为4cm，求三角形ABC的面积。
绝对值型不等式和三角不等式类型
绝对值型不等式和三角不等式定理1 如果a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab ≥0时，等号成立）。
绝对值三角不等式.a b a b a b a b -≤-≤±≤+(a,b 为实数)定理2 如果a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。
证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。
绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。
题型一 解绝对值不等式【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】(1)所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1).【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二 绝对值三角不等式的应用[例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．(2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎨⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)|x |≤1，|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x | ＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1 ＝－(|x |－12)2＋54≤54. ∴|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54.规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________．解析：|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴1＝3－2≤|a ＋b |≤3＋2＝5.答案：5 14．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．解：∵|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号．∴当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1| 取得最小值2.5．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．解：a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，∴a <[|x ＋1|－|x －2|]min.∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3.∴a <－3.即a 的取值范围为(－∞，－3)．题型三 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ). 又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ). 解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52. 【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型四 利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞). (2)综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2， 解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}， 因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时， B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}， 因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1. 综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.类型一：含一个绝对值符号的不等式的解法含一个绝对值符号的不等式的一般形式为()()f x g x > 或 ()()f x g x <，解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法，有时也可用分类讨论法．例1.解不等式2|55|1x x -+<．［分析］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组.解：原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩ 由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >， 所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［注］本题也可用数形结合法来求解.在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集.例2. 解不等式4321x x ->+.［分析］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或用分类讨论法解之.方法一：原不等式转化为4321x x ->+或43(21)x x -<-+，解之得原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.方法二：原不等式等价于4304321x x x -≥⎧⎨->+⎩或430(43)21x x x -<⎧⎨-->+⎩.解之得342x x ⎧≥⎪⎨⎪>⎩ 或3413x x ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即2x >或13x <.所以原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或. ［注］⑴.通过例2可以发现：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，用同解变形法则更为简洁．⑵.分类讨论法也可讨论()0()0g x g x ≤f 或而解之，这实际上是同解变形法的推导依据.类型二：含两个绝对值符号的不等式的解法 含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为：1122a x b a x b c +±+> 或 1122a x b a x b c +±+<()0c ≥，我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数的方法，有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法．例3.解不等式||||x x +<+123［分析］两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0解：原不等式0)1()32()32()1(|32||1|222222>+-+⇔+<+⇔+<+⇔x x x x x x 解得x x <->-243或，故原不等式的解集为{|}x x x <->-243或 例4.解不等式127x x ++-≥．［分析］解法一 利用绝对值的几何意义（体现了数形结合的思想）． 不等式127x x ++-≥的几何意义是表示数轴上与()1A -、()2B 两点距离之和大于等于7的点，而A 、B 的距离之和为3，因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离之和都等于3，A 左侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到A 点距离的2倍加3，B 右侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到B 点距离的2倍加3．图1由图1可知：原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法二 利用1020x x +=-=，的零点，把数轴分为三段，然后分段考虑．把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）．（1）当1x <-时，原不等式同解于13127x x x x <-⎧⇒≤-⎨---+≥⎩，，； （2）当12x -≤≤时，原不等式同解于12127x x x -≤≤⎧⇒⎨+-+≥⎩，， 无解； （3）当2x >时，原不等式同解于24127x x x x >⎧⇒≥⎨++-≥⎩，，． 综上知，原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法三 通过构造函数，利用函数图像（体现了函数与方程的思想）． 原不等式可化为1270x x ++--≥．令()127f x x x =++--，则(1)(2)7(1)()(1)(2)7(12)(1)(2)7(2)x x x f x x x x x x x -+---<-⎧⎪=+----≤≤⎨⎪++-->⎩⇔26(1)()4(12)28(2)x x f x x x x --<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，，， 可解得原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．例5 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+［分析］原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ，一般会分类讨论去绝对值号解题，即：通常分log log a a x x <--≤<12120，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错根据此题特点，不妨改变一下操作程序，即原不等式两边平方，再由定义去绝对值号，则分析将十分清晰，过程也简洁得多.解：原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ，将两边平方可得：4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++，则有：（1）log ,(log )log a a a x x x ≥<⎧⎨⎩⇒≤<01012； （2）log ,log log log a a a a x x x x <+-<⎧⎨⎩⇒-<<03830302. 综上知-<<31log a x ，故当a >1时，解为a x a -<<3；当01<<a 时，解为a x a <<-3 ［注］形如()120ax b ax b c c +-+>>和()120ax b ax b c c +++<>的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦，可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式，所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解． 例6解不等式 2331x x --≤［分析］解含有双层绝对值符号的不等式的基本思想就是一层一层的去掉绝对值，使不等式化为不含绝对值的一般不等式．常用的方法有等价转化法、零点分段法和平方法，当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比较简单的方法，但这种方法比较抽象，一般不容易想到．但本题不可以采用零点分段法，也不能采用平方法，因为平方后既含有x 的项，又含有x 的项，所以我们先把不等式进行等价转化，然后把它看成有关x 的一元二次不等式组进行求解．解： 2331x x --≤ ⇔ 21331x x -≤--≤ ⇔ 22320340x x x x ⎧--≥⎪⎨--≤⎪⎩，，⇔ 22320340x x x x ⎧--≥⎪⎨--≤⎪⎩，，⇔324x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩， ⇔332244x x x ⎧+≤-≥⎪⎨⎪-≤≤⎩或， ∴原不等式的解集为44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，． 类型三：含参数的绝对值不等式的解法解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进行分情况讨论，然后分别在各种情况下对不等式进行求解，最后把各种结果综合在一起就可以得到原不等式的解．另外，有一些题也可通过转化，不进行讨论就可以轻松的解答出来．例7 解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［分析］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大.若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论.解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时，)3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6当03<+m 即3-<m 时， x ∈R［注］形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式，简捷解法是等价命题法，即：例8 （2004年海南卷）解关于x 的不等式a x x a x x +-->+--1111 ［分析］利用)()(x f x f <，无解或0)()()(<⇔>x f x f x f ，即利用绝对值的定义法求解.解：0111111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔11011 （1） 当0=a 时，原不等式等价于：1011<⇔<-x x （2） 当0>a 时，原不等式等价于：111011<<-⇔<-<-x ax a （3） 当0<a 时，原不等式等价于：01<-x 或ax 11->-1<⇔x 或a x 11-> 综上所述:（1） 当0=a 时，原不等式的解集为：{}1<x x（2） 当0>a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x （3） 当0<a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 111或 类型四：含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 例9 （2010高考安徽卷）不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)+∞-∞-,41,Y B.(][)+∞-∞-,52,YC.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,Y［分析］要使a a x x 3132-≤--+对任意实数x 恒成立，只要|x +3|－|x －1|的最大值小于或等于23a a -.方法一：形如使,x m x n c x m x n c ---≤-+-≤恒成立型不等式.可利用绝对值三角不等式：b a b a b a +≤±≤-，结合极端性原理即可解得，即：()()()max c x m x n c x m x n x m x n n m ≥---⇔≥---=---=-；()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤min ； 解：设函数()()41313)(=--+≤--+=x x x x x f ，所以4)(max =x f 而不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数x 恒成立.故41432≥-≤⇒≥-a a a a 或，故选择A方法二：因|x +3|的几何意义为数轴上点x 到－3的距离，|x －1|的几何意义为数轴上点x 到1的距离，|x +3|－|x －1|的几何意义为数轴上点x 到－3与1的距离的差，其最大值可求.解：根据绝对值的几何意义，设数x ，－3,1在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式即求|PA|－|PB|≤23a a -成立∵|AB|=4，即|x +3|－|x －1|≤4故当23a a -≥4时，即41432≥-≤⇒≥-a a a a 或原不等式恒成立［注］⑴. 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k 的取值范围，但过程较繁.⑵. 转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R 、有解或解集为空等问题都可转化为求最大、最小值问题.[变式] （2012陕西文理）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.[解析]:1|||1|3a x a x -≤-+-≤,解得:24a -≤≤例10（2012课标文理）已知函数()f x =|||2|x a x ++-.(Ⅰ)当3a =-时,求不等式 ()f x ≥3的解集;(Ⅱ) 若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2],求a 的取值范围.［分析］本题(Ⅱ)有些同学可能会去解()f x ≤|4|x -这个不等式，再分析该不等式的解集与[1,2]的集合关系，结果将问题复杂化.这个问题实际上可转化为不等式()f x ≤|4|x -在[1,2]恒成立的问题而解之.解：(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥(2)原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立 24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立 30a ⇔-≤≤ 例11（2010全国卷）设函数)(x f =24x - + 1. （Ⅰ）画出函数y=)(x f 的图像：（Ⅱ）若不等式)(x f ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围解：（Ⅰ）由于25,2()23,2x x f x x x -+⎧=⎨-≥⎩p 则函数()y f x =的图像如图所示.（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12a ≥或2a -p 时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点.故不等式)(x f ≤a 的解集非空时，a 的取值范围为()1,2,2⎡⎫-∞-⋃∞⎪⎢⎣⎭［注］㈠.此题巧用构造函数法利用数形结合法解第二问，比参变分离法转化为最值问题求解更为简洁，避免了分类讨论的麻烦.㈡.含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题的等价转换（函数法）： ⑴.()f x a ≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补.()f x a ≤恒成立()max a f x ⇒≥.⑵.()f x a <有解()min a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤；这两者互补.()f x a <恒成立()max a f x ⇒>.⑶.()f x a ≥有解()max a f x ⇒≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ⇒>；这两者互补.()f x a ≥恒成立()min a f x ⇒≤.⑷.()f x a >有解()max a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤；这两者互补.()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤.类型五 绝对值三角不等式问题例12 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f［分析］本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换． 证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ．∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x 1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ，即)1(2)()(+<-a a f x f ．［注］这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．例13 已知函数f(x)=21x +，a,b ∈R ，且b a ≠，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|.［分析］要证|||11|22b a b a -<+-+，考察左边，是否能产生|a-b|. 证明：|f(a)-f(b)|=||||||||11|||11|222222b a b a b a b a b a b a +-⋅+<+++-=+-+||||||||||||b a b a b a b a -=-⋅++≤（其中||122a a a =>+，同理|,|12b b >+∴||||111122b a b a +<+++）［注］⑴.证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步.此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键.如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等.⑵.本题的背景知识与解析几何有关.函数21x y +=是双曲线，122=-x y 的上支，而||2121x x y y --（即|)()(|ba b f a f --），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值，很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间.类型六 含有绝对值的不等式的应用含绝对值的不等式常用来解决一些有关集合、函数、数列、平面向量、解析几何的问题，也用来解决一些实际问题，通常解决这些问题就是根据题意列出含有绝对值符号的不等式，然后解出这个不等式就可以得到问题的答案，解这些不等式的常用的方法就是我们上面所总结的方法．例14 （2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件a x p >-|15:|和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.［分析］本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ，也能先猜后证，所找到的实数a 只需满足2151≤-a ，且≥+51a1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解：已知条件p 即a x -<-15，或a x >-15，∴51a x -<，或51ax +>， 已知条件q 即01322>+-x x ，∴21<x ，或1>x ；令4=a ，则p 即53-<x ，或1>x ，此时必有q p ⇒成立，反之不然. 故可以选取的一个实数是4=a ，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ， 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题. 例15 已知数列通项公式n n naa a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++=Λ对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：n n m a a 21<-．［分析］已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ΛΛ2121，问题便可解决．证明：∵n m > ∴mn n n m maa n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++Λ mn n ma a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++Λ211)211(21212121121--=+++≤-+++n m n m n n Λ )12110(21)211(21<-<<-=--nm n n m n ． ［注］⑴.以121+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误．⑵.弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．⑶.把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．[高考试题精选] 2011年试题： 一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为 （A ）[-5.7] （B ）[-4,6]（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】由不等式的几何意义知，式子|3||5|++-x x 表示数轴的点)(x 与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确 二、填空题1. (2011年高考天津卷理科13)已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.【答案】{}52|≤≤-∈x R x【解析】∵{}{}54|9|4||3||≤≤-∈=≤-++∈=x R x x x R x A ，()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-⨯≥∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-+=∈=,0,6142|,0,614|t t t x R x t t t x R x B {}2|-≥∈=x R x ，∴{}{}{}52|2|54|≤≤-∈=-≥∈≤≤-∈=x R x x R x x R x B A I I .对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 .【答案】53. (2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______. 【解析】}1|{≥x x 。
世界数学史上十个著名不等式
数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。
三角不等式公式大全
三角不等式公式大全三角不等式是初中数学中的一个重要概念，它是指任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角不等式在几何图形的研究中有着广泛的应用，也是解决数学问题的重要工具。
下面我们来看一下三角不等式的相关公式。
1. 第一种形式的三角不等式公式：对于任意三角形ABC，有AB+BC>AC，AC+BC>AB，AB+AC>BC。
2. 第二种形式的三角不等式公式：对于任意三角形ABC，有|AB-BC|<AC，|AC-BC|<AB，|AB-AC|<BC。
3. 三角不等式的应用：三角不等式不仅在几何图形中有着重要的应用，同时也可以用来解决一些数学问题。
比如，在解决一些不等式问题时，可以利用三角不等式来进行推导和证明。
4. 三角不等式的证明：三角不等式的证明是初中数学中的一个重要内容，它可以通过几何推导和数学推理来进行证明。
在证明三角不等式时，可以利用三角形的性质和角度关系，通过推导和逻辑推理来得出结论。
5. 三角不等式的拓展：除了在平面几何中的应用外，三角不等式还可以拓展到其他数学领域中，比如在不等式的证明和推导中，三角不等式可以作为一个重要的工具来进行应用。
同时，三角不等式也可以拓展到高中数学中的三角函数和三角恒等式的研究中。
6. 三角不等式的实际应用：除了在数学理论中的应用外，三角不等式在现实生活中也有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，可以利用三角不等式来进行结构稳定性的分析；在物理学中，可以利用三角不等式来进行力学问题的研究。
总结：三角不等式作为初中数学中的重要概念，具有着广泛的应用价值。
通过对三角不等式的学习和掌握，不仅可以提高数学解题的能力，同时也可以拓展数学知识的应用范围。
希望本文所介绍的三角不等式公式大全对大家有所帮助，也希望大家能够在学习数学的过程中多加练习，提高自己的数学水平。
几何模型之二图形中的最短距离定值及不等式问题
学生： 科目： 数 学 教师： 谭 前 富知识框架在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质：① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。
【例题精讲】一. 最短路径和几何不等式问题： 考查知识点----：“两点之间线段最短”，“两边之和大于第三边”，“斜边大于直角边”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
最短路径和几何不等式问题的两种基本模型----：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，较难的会出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
二．最短距离中的数形结合：例：求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.课 题几何模型之二：图形中的最短距离、定值及不等式问题教学内容三．立体几何中的最短路径问题：（1）台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？（2）圆柱问题 有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？变式2： 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。
例说三角形不等式在解题中的应用
例说三角形不等式在解题中的应用例说三角形不等式在解题中的应用一、引言三角形是平面几何中的基本图形之一，而三角形不等式则是三角形理论中的重要内容。
在解题的过程中，我们经常会用到三角形不等式，因此了解和掌握三角形不等式在解题中的应用是非常重要的。
本文将从深度和广度两个方面，探讨三角形不等式在解题中的应用，希望能帮助读者全面理解和掌握这一重要的数学知识。
二、基本概念在讨论三角形不等式在解题中的应用之前，我们首先需要了解和掌握三角形不等式的基本概念。
三角形不等式是指三角形中三条边的关系，它规定了任意三角形中任意两边之和大于第三边。
具体来说，对于三角形ABC，有以下三角形不等式成立：1. AB + BC > AC2. AB + AC > BC3. BC + AC > AB三角形不等式是三角形理论的基础，它描述了三角形边长之间的基本关系，对于解决与三角形有关的问题具有重要的指导作用。
三、实际案例分析接下来，我们将通过实际案例来分析三角形不等式在解题中的应用。
假设有一个题目如下：【案例一】已知三角形ABC中，AB=5，BC=7，AC=9，求证：三角形ABC是一个锐角三角形。
在这个题目中，我们需要利用三角形不等式来证明三角形ABC是一个锐角三角形。
根据三角形不等式可知，对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AB + AC > BC，BC + AC > AB。
现在我们来检验一下这些不等式：1. AB + BC = 5 + 7 = 12 > 9 = AC2. AB + AC = 5 + 9 = 14 > 7 = BC3. BC + AC = 7 + 9 = 16 > 5 = AB由上面的计算可知，三个两两边长之和均大于第三边，因此满足了三角形不等式的要求。
根据三角形不等式的性质，我们可以得出结论：三角形ABC是一个锐角三角形。
通过这个案例，我们可以看到三角形不等式在解题中的应用是非常直观和重要的。
三角不等式n维
三角不等式n维引言三角不等式是初中数学中常见的基本不等式，它有着广泛的应用。
在高中数学中，我们通常被教导和应用二维平面上的三角不等式，即在平面上的三角形中，任意两边之和大于第三边。
然而，在实际问题中，我们经常需要处理高维空间中的三角形，这就引出了三角不等式的n维推广。
本文将对n维三角不等式进行全面、详细、完整和深入探讨。
二维三角不等式二维三角不等式是我们熟悉的不等式形式。
对于一个平面上的三角形ABC，它的三边分别为a, b, c，那么根据三角不等式，有下面的关系：1. a + b > c2. a + c > b3. b + c > a这些关系告诉我们，任意两边之和大于第三边，是构成一个有效的三角形的必要条件。
三维三角不等式在三维空间中，我们可以将三角形的概念推广到三棱锥的四个面上。
假设我们有一个三棱锥ABCD，其中AB, AC, AD是三棱锥的三条棱，而BC, CD, BD则是三棱锥的三个面。
那么根据三维三角不等式，我们得到以下关系：1.AB + AC > BC2.AB + AD > BD3.AC + AD > CD4.BC + BD > CD这些关系告诉我们，任意两条边之和大于第三条边，是构成一个有效的三棱锥的必要条件。
n维三角不等式对于高于三维的空间，我们可以推广二维和三维的三角不等式。
具体来说，对于n 维空间中的一个n-1维单形，我们可以用n个边的和判断其是否构成一个有效的单形。
假设我们有一个n-1维单形A1A2…An-1，其中A1A2, A1A3, …, A1An-1是单形的n-1条边。
那么根据n维三角不等式，我们得到以下关系：1.A1A2 + A1A3 + … + A1An-1 > A2A3 + A2A4 + … + A2An-12.A1A2 + A1A3 + … + A1An-1 > A3A4 + A3A5 + … + A3An-1 … n-1. A2A3+ A2A4 + … + A2An-1 > A3A4 + A3A5 + … + A3An-1这些关系告诉我们，任意n条边的和大于其余n(n-1)/2条边的和，是构成一个有效的n维单形的必要条件。
两个三角形边长的不等式的推广
两个三角形边长的不等式的推广
三角形不等式：任意两边之和大于第三边
三角形不等式是数学中重要的基本定理，表明在平面上构成三角形的任意两条边的边长之和必须大于第三条边。
利用这个定理，我们可以简单有效地验证以下几组边长是否能构成三角形。
三角形不等式的推广可以用于更大的几何图形，比如四边形。
针对四边形，有这样一个不等式：任意两条边的边长之和必须大于另外两条边的辸长之和。
根据这个定理，可以验证一组边长是否可以构成四边形。
推而广之，这种不等式的推广可以用于任意几何图形，如五边形、六边形等。
一般来说，若n条边组成一个几何图形，则一个不等式可用于验证这组边长是否可以构成这个几何图形，即该不等式将任意n-2条边的边长之和比较，必须大于另外n-2条边的边长之和。
不等式有助于许多几何图形的初步验证和推广，而不必缩小到每个单独图形中进行验证，这样做可以提高计算效率，一定程度上提升了几何计算的可用性。
总的来说，三角形不等式的推广把不等式应用到了更广泛的几何图形，可以方便快捷地验证一组边长是否可以构成几何图形，增强了计算效率，提高了几何计算的可用性。
三角不等式的数学知识点
三角不等式的数学知识点
关于三角不等式的数学知识点
数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是店铺收集整理的关于三角不等式的数学知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。
三角不等式要领：在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等式。
三角不等式
三角不等式还有以下推论：两条相交线段AB、CD，必有AC+BD 小于AB+CD。
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| (定理)，也称为三角不等式。
加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的'三角不等式(其中a，b分别为向量a和向量b)
将三角函数的性质融入不等式.
如:当X在(0,90*)时,有sinx
等式成立的条件：
|a|-|b| = |a+b| = |a|+|b|
左边等式成立的条件：ab≤0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≥0
|a|-|b| = |a-b| = |a|+|b|
左边等式成立的条件：ab≥0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≤0
和差化积
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
知识总结：三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论，包括广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会
用这一不等式导出不等关系。
数学论文【关于平面几何不等式】(汉)
关于平面几何不等式的证明方法麦盖提县库尔玛乡中学教师买合木提·买买提2012年12月30日1关于平面几何不等式的证明方法我们在实际生活中，常常遇到关于利用几何不等式来解决的一些问题。
几何不等式涉及的内容丰富，处理问题的方法与技巧灵活多变。
本文中主要介绍应用基本几何不等式，代数和三角法来解决常遇到的一些几何不等式。
关键词：基本几何不等式，代数法，三角法。
一.几何不等式的概念和基本几何不等式含有几何元素（线段，角，面积）的不等式称为几何不等式。
几何中的最大值和最小值与几何不等式有密切联系，凡是属于几何不等式，就抓住几何图形的特征，挖掘其中所蕴含的基本几何不等式，是解决几何不等式的重要方法。
常用的基本几何不等式1）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2）三角形中，大边的对角较大，大角的对边较大； 3）垂线小于斜线；4）两个三角形中，若有两组边对应相等而夹角不等，则夹角大的第三边也大；反之，第三边大的夹角边也大；5）三角形中，大边上的中线较小； 6）三角形中，大边上的高较大；7）同圆或等圆中大弦到圆心的距离小于小弦到圆心的距离； 8）直角三角形中，斜边与其上的高之和大于两条直角边之和； 例1：已知ABC 中，AB AC =，P 是ABC 内一点，且PB PC <， 求证：APB APC ∠>∠；证明：在APB 和APC 中AB AC =，AP AP =， PB PC <故有12∠<∠ （1）；又在BPC 中，由PB PC <， 得PBC PCB ∠>∠，而ABC ACB ∠=∠，p4123CA B图（1）2故有34∠<∠ （2）；将（1），（2）相加，即得1324∠+∠<∠+∠()18013APB ∠=︒-∠+∠，()18024APC ∠=︒-∠+∠APB APC ∴∠>；例2：在锐角ABC 中，已知最长的高线AH 等于中线BM （图（2））， 求证：60B ∠≤︒证明：作MN BC ⊥于N ，则1122MN AH BM ==，故30MBC ∠=︒作B 关于M 的对称点D ，则AD BC =，30D MBC ∠=∠=︒，因为AH 是最长的高线。
关于三角形外心线的几个不等式
关于三角形外心线的几个不等式三角形外心线是三角形平面几何学中一个重要的概念，它是三条交叉的外接线的外心圆的连线，它可以帮助我们更好地理解三角形的形状和大小特征。
下面给出三角形外心线的几个不等式，它们都可以用来描述三角形的外心线相关特征。
首先，有一个定理可以帮助我们推导三角形外心线的不等式，它叫做“Cosine定理”：cos(C)=a^2+b^2-2ab*cos(C)其中，a、b、C分别是三角形的边长和夹角，可以从上式中看出，cos(C)越大，a^2+b^2-2ab*cos(C)就越小。
根据这个原理，有三角形外心线的不等式：（1）中心距线：a-2b+c>0（2）外心圆半径：R=ab/4(a+b+c)（3）内六边形外心圆半径：R1=abc/(4abc-a^2b-a^2c-b^2c)（4）内八边形外心圆半径：R2=2abc/(2abc-a^2b-a^2c-b^2c) （5）内十二边形外心圆半径：R3=3abc/(3abc-a^2b-a^2c-b^2c) （6）外心圆与三角形外接圆相切距离：D=ab*cosC/4根据这些不等式可以得出，三角形外心线的性质在于它所形成的外心圆半径、中心距线的长度以及外心圆与三角形外接圆的相切距离都是可以根据三角形的三边长度和内角大小来确定的。
通过三角形外心线的几个不等式，我们可以绘制出一个由三角形外心线形成的圆心距线。
它们共同构成一个新的图形，令复杂的几何形状更加容易理解。
三角形外心线图可以帮助我们快速准确地计算出三角形外接圆和外心圆的半径，从而更好地理解三角形的形状变化和大小变化。
三角形外心线的不等式可以用在日常生活中，比如可以用来计算室内装修的最优布局，也可以用来设计室外园林的美化布置，从而提高园林的审美效果。
总之，三角形外心线的几个不等式是三角形几何学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解三角形的形状和大小特征，它可以更好地应用到人们的生活中去。
厄多斯-莫德尔不等式定理
厄多斯-莫德尔不等式定理
厄多斯-莫德尔不等式定理（Erdős-Mordell inequality）是一个关于平面几何中三角形和点的不等式定理。
它最初由匈牙利数学家Paul Erdős和美国数学家Lester Mordell在1935年发现和证明。
该定理的表述如下：对于任意三角形ABC和其中的一点P，设PA、PB、PC分别交三角形的边BC、CA、AB于点D、E、F，则有：
PA + PB + PC ≥2(PD + PE + PF)
其中等号成立当且仅当P是三角形ABC的重心。
这个定理的证明比较复杂，需要运用到一些几何和代数的知识。
其中一个比较重要的思路是将三角形ABC和点P的位置转化为复平面上的向量，然后运用向量的运算和不等式来推导出上述不等式。
这个定理在平面几何中有广泛的应用，例如可以用来证明某些三角形的面积不小于其他三角形，或者用来优化某些几何问题的解法。
同时，它也是一个经典的不等式定理，对于数学爱好者来说，学习和理解它的证明过程也是一种很好的挑战和锻炼。
n维三角不等式
n维三角不等式n维三角不等式被广泛应用于各种数学问题和实际问题中，例如几何学、概率论、优化问题等。
该不等式基本上是一个关于绝对值的不等式，它涉及到多个变量和它们的绝对值，因此被称为n维三角不等式。
一般地，n维三角不等式的形式是这样的：$$|\vec{a}_1+\vec{a}_2+\cdots+\vec{a}_n| \leq|\vec{a}_1|+|\vec{a}_2|+\cdots+|\vec{a}_n|$$在这个不等式中，$\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n$ 表示n个向量，$\vec{a}_1+\vec{a}_2+\cdots+\vec{a}_n$ 则表示这些向量的和。
不等式的左侧是这些向量的和的绝对值，右侧是这些向量绝对值的和。
该不等式表明，n个向量绝对值的和大于等于它们的和的绝对值，这个不等式也叫做"三角不等式"。
在二维空间中，$n=2$ 时，该不等式变为标准的三角不等式：$$|a_1+b_1| \leq |a_1|+|b_1|$$其中 $a_1$ 和 $b_1$ 表示二维向量的两个分量。
这个不等式很容易理解，它的几何意义是，两个向量的和的长度一定小于等于这两个向量长度的和。
例如，如果 $a_1$ 和 $b_1$ 都是正数，则不等式变为 $a_1+b_1 \leq a_1+b_1$，显然成立。
如果$a_1$ 和 $b_1$ 都是负数，则不等式变为 $-a_1-b_1 \leq -a_1-b_1$，也成立。
如果 $a_1$ 和 $b_1$ 一正一负，则不等式变为$|a_1-b_1| \leq |a_1|+|b_1|$，也成立。
在三维空间中，$n=3$ 时，该不等式变为：$$|a_1+b_1+c_1| \leq |a_1|+|b_1|+|c_1|$$这个不等式的几何意义是，三个向量的和的长度一定小于等于这三个向量长度的和。
例如，如果 $a_1,b_1$ 和 $c_1$ 都是正数，则不等式变为 $a_1+b_1+c_1 \leq a_1+b_1+c_1$，显然成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面几何中的三角形不等式
222221 江苏省灌云县杨集中学 尹广金
1.三角形不等式简介：
我们已经知道：三角形的任意两边之差小于第三边，三角形的任意两边之和大于第三边（换言之：三角形的任意一边在其它两边的差与和之间）.
让我们的思维向前走两步，可以得到一个十分重要的不等式.
在同一平面内画线段A B 与点C ，只有4种情形：①点C 在线段A B 所在直线外（如图1所示）；②点C 在线段A B 上（如图2所示）；③点C 在线段A B 的延长线上（如图3所示）；④点C 在线段A B 的反向延长线（即线段B A 的延长线）上（如图4所示）.
图2、图3、图4中的ABC 称为退化的三角形（退化A B C ∆）.
由图1可知，AC BC AB AC BC -<<+；由图2可知，AC BC AB -<=
A C
B C
+；由图3可知，AC BC AB AC BC -=<+；由图4可知，AC BC AB -= AC BC
<+.
综合上述4种情况，可立即得到三角形不等式：
AC BC AB AC BC -≤≤+，
其中，A B 左边的等号当且仅当点C 在线段A B 的延长线上或点C 在线段B A 的延长线上时取得；A B 右边的等号当且仅当点C 在线段A B 上时取得.
评注：三角形不等式可以解决平面几面中的某些最大值或最小值问题： （1）考虑AB AC BC ≥-，若AC BC -是定值，当且仅当点C 在线段A B 的延长线上或点C 在线段B A 的延长线上时，A B 可取得最小值，且
AB AC BC =-最小值；
图1
图2
C 图3
图4
C
（2）考虑A B A C B C ≤+，若A C B C +是定值，当且仅当点C 在线段A B 上时，
A B
可取得最大值，且
AB AC BC
=+最大值.
2.三角形不等式应用：
例 已知：如图5，90MON ∠= ，四边 形
A B C D
是矩形，且2A B =，1C D =，当
顶点A 在射线O M 上运动时，顶点B 在射线
O N
上运动. 那么顶点D 到点O 的距离的最
大值为 .
(新海实验中学9年级期中数学试题) 解 取A B 中点P ，连结P O 、P D ，则
112
P O A B =
=
，PD =
=
=
D O P O P D ≤+
，即1DO ≤+（其中等号，当且仅当点P 在D O 上时取得）， 于是顶点D 到点O
的距离的最大值为1+
参见图6，此时67.5ABC ∠= .
图5
M
O
A
图6
M O
A。