平面几何中的三角形不等式

平面几何中的三角形不等式

222221 江苏省灌云县杨集中学 尹广金

1.三角形不等式简介：

我们已经知道：三角形的任意两边之差小于第三边，三角形的任意两边之和大于第三边（换言之：三角形的任意一边在其它两边的差与和之间）.

让我们的思维向前走两步，可以得到一个十分重要的不等式.

在同一平面内画线段A B 与点C ，只有4种情形：①点C 在线段A B 所在直线外（如图1所示）；②点C 在线段A B 上（如图2所示）；③点C 在线段A B 的延长线上（如图3所示）；④点C 在线段A B 的反向延长线（即线段B A 的延长线）上（如图4所示）.

图2、图3、图4中的ABC 称为退化的三角形（退化A B C ∆）.

由图1可知，AC BC AB AC BC -<<+；由图2可知，AC BC AB -<=

A C

B C

+；由图3可知，AC BC AB AC BC -=<+；由图4可知，AC BC AB -= AC BC

<+.

综合上述4种情况，可立即得到三角形不等式：

AC BC AB AC BC -≤≤+，

其中，A B 左边的等号当且仅当点C 在线段A B 的延长线上或点C 在线段B A 的延长线上时取得；A B 右边的等号当且仅当点C 在线段A B 上时取得.

评注：三角形不等式可以解决平面几面中的某些最大值或最小值问题： （1）考虑AB AC BC ≥-，若AC BC -是定值，当且仅当点C 在线段A B 的延长线上或点C 在线段B A 的延长线上时，A B 可取得最小值，且

AB AC BC =-最小值；

图1

图2

C 图3

图4

C

（2）考虑A B A C B C ≤+，若A C B C +是定值，当且仅当点C 在线段A B 上时，

A B

可取得最大值，且

AB AC BC

=+最大值.

2.三角形不等式应用：

例 已知：如图5，90MON ∠= ，四边 形

A B C D

是矩形，且2A B =，1C D =，当

顶点A 在射线O M 上运动时，顶点B 在射线

O N

上运动. 那么顶点D 到点O 的距离的最

大值为 .

(新海实验中学9年级期中数学试题) 解 取A B 中点P ，连结P O 、P D ，则

112

P O A B =

=

，PD =

=

=

D O P O P D ≤+

，即1DO ≤+（其中等号，当且仅当点P 在D O 上时取得）， 于是顶点D 到点O

的距离的最大值为1+

参见图6，此时67.5ABC ∠= .

图5

M

O

A

图6

M O

A