欧拉角

欧拉角

科技名词定义

中文名称：欧拉角

英文名称：Euler angles

定义：构件在三维空间中的有限转动，可依次用三个相对转角表示，即进动角、章动角和自旋角，这三个转角统称为欧拉角。

所属学科：机械工程（一级学科）；机构学（二级学科）；机构运动学（三级学科）

本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布

欧拉角

用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。

目录

它们有多种取法，下面是常见的一种。如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′。以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。由轴Oz

欧拉角

量到Oz′的角θ称章动角。平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。在右手坐标系中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。由固定轴Ox量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。由轴Oz和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。若令Ox′y′z′的初始位置与Oxyz重合，经过相继绕Oz、ON和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。如果刚体绕通过定点O的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝ sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。上式通常被称为欧拉运动学方程。

原理

欧拉角

Eulerian angles

用来唯一地确定定点转动刚体位置的三个一组独立角参量[1]，由章动角θ、进动角ψ和自转角嗞组成，为L.欧拉首先提出，故得名。对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。它们有多种取法，下面是常见的一种。

欧拉运动学方程

如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz 以及固连于刚体的坐标系Ox┡y┡z┡。以轴Oz和Oz┡为基本轴，其垂直面Oxy和Ox┡y┡为基本平面。由轴Oz量到Oz┡的角度θ称为章动角。平面zOz┡的垂线ON称为节线,它又是基本平面Ox┡y┡和Oxy的交线。在右手坐标系中,由ON的正端看,角θ应按逆时针方向计量。由固定轴Ox量到节线 ON的角度ψ称为进动角；由节线ON量到动轴Ox┡的角度嗞称为自转角。由轴Oz和Oz┡正端看,角ψ和嗞也都按逆时针方向计量。欧拉角(ψ，θ，嗞)的名称来源于天文学。

三个欧拉角是不对称的，且在几个特殊位置上具有不确定性（当θ＝0时,嗞和ψ就分不开）。对不同的问题，宜取不同的轴作基本轴，并按不同的方式量取欧拉角。

若令Ox┡y┡z┡的原始位置重合于Oxyz，经过相继绕Oz、ON和Oz┡的三次转动Z(ψ)、N(θ)、Z┡(嗞)后，刚体将转到图示的任意位置（见刚体定点转动）。变换关系可写为：

欧拉角

R(ψ，θ，嗞)=Z┡(嗞)N(θ)Z(ψ)，

式中R、Z┡、N、Z是转动算子,并可用矩阵表示如下:

Image:374-01.jpg Image:374-02.jpg

在进行转动算子的乘法运算时，应从最右端做起。

刚体上任一点Q在两个坐标系中的坐标x、y、z和x┡、y┡、z┡都可以通过矢径Image:374-06.jpg的模和方向余弦来表出。两组坐标之间有如下变换关系：

x＝x┡cos(x,x┡)+y┡cos(x,y┡)+z┡cos(x,z┡)，

y＝x┡cos(y,x┡)+y┡cos(y,y┡)+z┡cos(y,z┡)，

z＝x┡cos(z,x┡)+y┡cos(z,y┡)+z┡cos(z,z┡)。

反变换只须在同名坐标间对调记号。

如果刚体绕通过定点O 的某一轴线以角速度ω转动，而ω在与刚体固连的活动坐标系Ox┡y┡z┡上的投影为Image:374-x.jpg、

Image:374-y.jpg、Image:374-z.jpg，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：

Image:374-x.jpg＝夗sinθsin嗞＋夝cos嗞，

Image:374-y.jpg＝夗sinθcos嗞－夝sin嗞，

Image:374-z.jpg＝夗cosθ＋夓。

由上式可以看出，如果已知ψ、θ、嗞和时间的关系，则可用上式计算角速度ω在活动坐标轴上的三个分量；反之,如在任一瞬时已知t和ω的各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、嗞和时间t的关系，因而也就决定了刚体运动。我们通常把上式叫做欧拉运动学方程。

作用

欧拉角Eulerian angles用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成。为欧拉首先提出而得名。它们有多种取法，下面是常见的一种。如图所示，由定点O 作出固定坐标系 Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′ 。以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。由轴Oz量到Oz′的角θ称章动角。平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。在右手坐标系中，由 ON 的正端看，角θ应按逆时针方向计量。由固定轴 Ox 量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。由轴 Oz 和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。若令Ox′y′z′的初始位置与 Oxyz 重合，经过相继绕 Oz 、ON 和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。如果刚体绕通过定点 O 的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为

ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′ ＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝ sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的 3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。上式通常被称为欧拉运动学方程。

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