欧拉角
欧拉角名词解释
欧拉角名词解释欧拉角（Eulerangles）是描述旋转位置的三个轴，它们也被称为欧拉轴。
这三个轴分别是沿x，y和z轴旋转的角度，它们组成的角称为欧拉角。
它们是应用于航空，航天和船舶的最普遍的旋转表示法，以及许多其他系统的机器人手臂，机械臂或工程器械的旋转。
欧拉角的结构是沿着三个不同的轴旋转，分别是绕z轴旋转，绕y轴旋转，然后绕x轴旋转。
这三个轴般的旋转可以被称为：“欧拉X”、“欧拉Y”和“欧拉Z”。
它们可以被用来描述任何可以被描述为旋转的位置，其中每个轴的旋转是相对于其前一个轴的，因此它们可以定义出任意位置的旋转状态。
拉角也可以被用来表示旋转后相对于坐标系的物体位置，因此它们是十分有用的在改变物体位置的应用中，特别是机器人控制的应用程序。
欧拉角的应用欧拉角可以用来描述空间中物体的位置和旋转情况。
如，在航空领域，欧拉角可以用来描述飞机的姿态，以及它的运动情况。
机器人控制系统中，它们可以用来描述机器人臂的位置和运动情况。
也可以用来控制船舶和潜艇的位置。
此外，欧拉角还可以用在许多其他领域，比如机械设计，机器视觉，触摸探头控制，数控机床控制等。
例如，它可以用来控制机械臂的移动，它也可以用来控制装配机器的工作位置。
欧拉角的优缺点欧拉角的优点在于它提供了一种可用于描述旋转状态的简单易用的方法。
另外，它还可以用来求解两个坐标系之间的关系。
它还可以快速地改变物体的位置，这对于机械臂运动或机器人控制操作是十分有用的。
然而，欧拉角也有一些缺点。
首先，它要求每个轴上的角度都必须是有限的，因此无法完全表示任意的角度。
外，当它被用来求解两个坐标系之间的关系时，它也可能会产生抖动。
是由于不同轴上的角度有限，因此当旋转过程中产生极小的角度变化时会发生数值问题。
总结欧拉角，也称作欧拉轴，是一种描述旋转位置的三轴旋转的方法。
它们被广泛应用于航空，航天，船舶和机器人控制系统中，以及机械设计和机器视觉等其他系统。
们的优点是可以用来描述物体位置旋转的情况，可以快速改变物体的位置，并且可以求解坐标系之间的关系。
欧拉角名词解释
欧拉角名词解释欧拉角（EulerAngles）是旋转空间中最常见的表示姿态变换的数学方法，用它可以表示物体以某种方式从一个姿态旋转到另一个姿态的变换。
它是由普林斯顿大学的数学家兼物理学家Leonhard Euler 发明的一种角度表示法，因此也叫做“尤拉角”。
欧拉角一般被用来描述复杂的三维旋转，可以准确地表示一个空间中的物体的姿态。
【定义】欧拉角定义为三个独立的角度，如α，β，γ，分别表示绕某个坐标轴的顺时针或逆时针旋转角度。
它可以用来指定一个坐标系在另一个坐标系中的方位，以及实现两个坐标系相对旋转的偏转量。
【类型】欧拉角可以分为两种：绕Z-Y-X（顺时针）和绕Z-X-Y（逆时针）。
绕Z-Y-X欧拉角，第一个角度α表示绕Z轴旋转，第二个角度β表示绕Y轴旋转，第三个角度γ表示绕X轴旋转。
而绕Z-X-Y欧拉角中，第一个角度α表示绕Z轴旋转，第二个角度β表示绕X轴旋转，第三个角度γ表示绕Y轴旋转。
【应用】欧拉角在机器人、航空航天、计算机视觉等领域有着广泛的使用。
欧拉角可以用来精确描述物体的旋转变换，进而可以更加精确的描述物体的位置和姿态。
在用欧拉角表示旋转时，需要进行一定的换算，以解决旋转变换的问题，以确保得到的旋转变换的准确性。
另外，欧拉角还可以用来解决其他空间变换问题，例如多维空间的缩放问题，可以用旋转矩阵来进行求解。
由此可见，欧拉角在多维空间变换领域有着广泛的应用。
【特点】欧拉角的一个优点在于它不会受到四元数（Quaternion）的混乱，也不会受到旋转矩阵的低效问题的困扰，它具有较高的准确度和计算效率，从而使得欧拉角成为空间绝对变换的理想表示方法。
此外，欧拉角有着很好的迭代特性，可以容易地模拟空间物体的仿射变换。
当然，欧拉角也有一些缺点，例如它不容易用来表示方位不同，但同时仍未实现旋转差异的情况，这就要求其时刻保持七个自由度，以免发生死区现象。
【总结】从上面可以看出，欧拉角是旋转空间中最常见的表示姿态变换的数学方法，它可以准确地表示一个空间中的物体的姿态。
欧拉角定义
（A-1）
其中，简记三角函数 。
类似的，在图A-2中，不难看出它的欧拉角定义方式为“312”，三个坐标轴各转动了一次， 系至 系的方向余弦阵为
（A-2）
在导航应用中，习惯上使用一组欧拉角来描述运载体的空间指向，比如舰船、车辆或飞机等，其中参考坐标系一般默认为当地地理坐标系，而动坐标系为与运载体固连的坐标系。与运载体固连的三轴俗称为横轴、纵轴和立轴，它们在物理上具有明确的含义，是绝大多数运动和控制的参考基准。当运载体水平停放时，横轴沿左右方向，可取向右方向为正；纵轴沿前后方向，可取向前方向为正；立轴沿上下方向，可取向上方向为正。描述运载体的一组欧拉角通常也称为姿态角，包括航向角（方位角或偏航角）、俯仰角（高低角或横摇角）和横滚角（滚动角或纵摇角），各角参数的定义与运载体各物理轴向相联系，详细定义如下。
在式（A-9）中， 等价于 ，即 ；同理，有 等价于 ；以及 等价于 。由此可得计算四元数各元素的伪代码如下
（A-11）
（5）从欧拉角到四元数
在实际惯导的姿态更新算法中经常使用的是四元数，需要涉及到四元数和欧拉角的转换问题。根据单位四元数的含义式（2.4-23），在“东-北-天312”欧拉角定义下，由欧拉角求解四元数的公式为
（3）从四元数到姿态阵
参考式（2.4-25），将姿态阵与四元数之间转换关系重写如下
（A-8）
（4）从姿态阵到四元数
根据式（A-8）的对角线元素，可得
解得 （A-9）
再由式（A-8）的非对角线元素，可得
解得 （A-10）
若仅根据式（A-9）将难以确定四元数各元素的正负符号。如果已知四元数的某一个元素，则根据式（A-10）可求解其它元素，但须避免该已知元素为0。由四元数归一化条件 可知，必然有 成立，也就是说，四个元素中必然存在某个 。实际应用时，可先根据式（A-9）计算获得某一个较大的元素 （不妨取为正值），再根据式（A-10）计算剩余的其它三个元素。
欧拉角旋转次序与方向余弦矩阵
欧拉角旋转次序与方向余弦矩阵1. 概述欧拉角和方向余弦矩阵是描述刚体在三维空间中旋转的重要数学工具。
在实际工程和科学研究中，经常需要对物体进行旋转操作，因此对欧拉角的理解和运用具有重要意义。
本文将从欧拉角的定义和意义出发，探讨欧拉角旋转次序对方向余弦矩阵的影响，旨在帮助读者更好地理解和使用欧拉角及其相关知识。
2. 欧拉角的定义欧拉角是描述刚体在空间中旋转的一种常用方法。
它由旋转轴和旋转角组成，通常用三个角度来描述旋转的过程。
在坐标系转动的过程中，可以通过欧拉角描述坐标系的转动角度。
欧拉角的常用表示方法有欧拉参数表示法和欧拉角矢量表示法。
3. 欧拉角的旋转次序在欧拉角的表示中，常常会涉及到旋转的次序。
欧拉角的旋转次序指的是在进行复合旋转时，各个旋转绕固定坐标轴的次序。
常用的欧拉角旋转次序有ZXZ、ZYZ、ZYX等，不同的旋转次序会对应不同的旋转顺序和结果。
4. 方向余弦矩阵的定义方向余弦矩阵是描述刚体在三维空间中旋转的一个重要工具。
它由旋转后的坐标系与旋转前的坐标系之间的乘旋阵组成。
方向余弦矩阵可以用来描述不同坐标系之间的转换关系，是描述物体旋转的数学表示。
5. 欧拉角与方向余弦矩阵的关系欧拉角与方向余弦矩阵之间存在着紧密的通联。
通过欧拉角的定义和旋转次序，可以推导出描述旋转的方向余弦矩阵。
具体来说，通过欧拉角的变化，可以得到相应的方向余弦矩阵，从而实现对旋转过程的描述和分析。
6. 不同欧拉角旋转次序对方向余弦矩阵的影响在实际应用中，不同的欧拉角旋转次序会对方向余弦矩阵产生不同的影响。
具体来说，不同的旋转次序会导致不同的旋转顺序和不同的方向余弦矩阵表示。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的欧拉角旋转次序，以确保得到正确的方向余弦矩阵表示。
7. 结论欧拉角和方向余弦矩阵是描述刚体在三维空间中旋转的重要数学工具，它们之间存在着紧密的通联。
欧拉角的旋转次序会对方向余弦矩阵产生影响，不同的旋转次序对应不同的旋转顺序和不同的方向余弦矩阵表示。
简述rpy欧拉角的转动顺序
简述rpy欧拉角的转动顺序
欧拉角是一种描述物体或坐标系在三维空间中旋转的方法之一。
rpy欧拉角，也称为Roll-Pitch-Yaw欧拉角，是最常用的一种欧拉角表示方法。
rpy欧拉角的转动顺序通常是先绕Z轴旋转一定角度Roll，然后绕新的Y轴旋转一定角度Pitch，最后绕新的X轴旋转一定角度Yaw。
这个顺序也可以记作ZYX，即旋转顺序为Z轴、Y轴、X轴。
在具体应用中，rpy欧拉角可以用来描述飞行器、机器人等在三维空间中的姿态。
例如，当一个飞行器需要转动时，首先绕飞行器的Z轴旋转一定角度，使飞行器做横滚（Roll）动作；然后绕新的Y轴旋转一定角度，使飞行器做俯仰（Pitch）动作；最后绕新的X轴旋转一定角度，使飞行器做偏航（Yaw）动作。
rpy欧拉角的优点是直观易懂，容易与人的直观感受和操作对应。
但是，rpy欧拉角也存在一些问题。
首先，rpy欧拉角存在万向锁问题，即在某些情况下，旋转顺序的限制会导致某个方向上的旋转无法独立实现。
其次，rpy欧拉角的旋转顺序不唯一，不同的旋转顺序会导致不同的结果，这可能会引起混淆。
为了解决rpy欧拉角的问题，还有其他的表示方法，如四元数、旋转
矩阵等。
这些方法可以避免万向锁问题，并且在一些计算和优化问题中更加方便使用。
但是，rpy欧拉角作为一种简单直观的表示方法，在许多应用中仍然被广泛使用。
欧拉角
我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体 的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的 复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特 别注意，以下的描述，XYZ 坐标轴是旋转的刚体坐标轴；而 xyz 坐标轴是 静止不动的实验室参考轴。
作用
欧拉角 Eulerian angles 用来确定定点转动刚体位置的 3 个一组独立 角参量，由章动角 θ、旋进角（即进动角）ψ 和自转角 j 组成。为欧拉首 先提出而得名。它们有多种取法，下面是常见的一种。如图所示，由定点 O 作出固定坐标系 Oxyz 和固连于刚体的动坐标系 Ox′y′z′。以轴 Oz 和 Oz′ 为基本轴，其垂直面 Oxy 和 Ox′y′为基本平面。由轴 Oz 量到 Oz′的角 θ 称章动角。平面 zOz′的垂线 ON 称节线，它又是基本平面 Ox′y′和 Oxy 的交线。在右手坐标系中，由 ON 的正端看，角 θ 应按逆时针方向计量。 由固定轴 Ox 量到节线 ON 的角 ψ 称旋进角；由节线 ON 量到动轴 Ox′的角 j 称自转角。由轴 Oz 和 Oz′正端看，角 ψ 和 j 也都按逆时针方向计量。 若令 Ox′y′z′的初始位置与 Oxyz 重合，经过相继绕 Oz 、ON 和 Oz′ 的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。如果刚体绕通过定点 O 的某 一轴线以角速度 ω 转动，而 ω 在动坐标系 Ox′y′z′上的投影为 ωx′、 ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′ =sinθsinj+cosj，ωy′= sinθcosj－sinj，ωz′=cosθ+。如果已知 ψ、 θ、j 和时间的关系，则可用上式计算 ω 在动坐标轴上的 3 个分量；反之， 如已知任一瞬时 t 的 ω 各个分量，也可利用上式求出 ψ、θ、j 和时间 t 的关系，因而也就决定了刚体的运动。上式通常被称为欧拉运动学方程。
欧拉角名词解释
欧拉角名词解释欧拉角（Eulerangles）由普林斯顿大学的梅西耶欧拉于1775年发明，是一种使用不同的转动角度来描述飞机、船只和机器人的运动状态的一种标准描述办法，把运动状态看作由三个连续的转动来完成，即绕着三轴的角度：滚转角、俯仰角和偏航角。
滚转角（Roll angle），也叫绕X轴旋转，是指飞行器沿着X轴旋转的角度，也叫偏摆角，它可用来描述飞行器的横滚状态，用角度来表示，一般以笛卡尔坐标系统下X轴向右为正，X轴向左为负来表示。
俯仰角（Pitch angle），也叫绕Y轴旋转，是指飞行器沿着Y轴旋转的角度，它可用来描述飞行器的俯仰状态，用角度来表示，一般以笛卡尔坐标系统下Y轴向上为正，Y轴向下为负来表示。
偏航角（Yaw angle），也叫绕Z轴旋转，是指飞行器沿着Z轴旋转的角度，它可用来描述飞行器的偏航状态，用角度来表示，一般以笛卡尔坐标系统下Z轴顺时针方向为正，逆时针方向为负来表示。
欧拉角在飞行动力学中有着重要的作用，它可以描述飞行器的运动状态明确，以及相应的姿态变换，更便于工程上的应用和实现，比如从起飞姿态到绕场及横穿场、航线，等等，都可以用欧拉角来表示，它对于导航控制系统的稳定性有着举足轻重的作用。
欧拉角也可以用在机器人领域，如在机器人动力学中，可以使用欧拉角作为关节转动的标准描述，将一个机器人当前的运动状态和相应的姿态变换数学描述出来，将机器人的非线性动力学约束问题转换为一个线性的动力学，从而可以推导出机器人当前运动状态的最优解。
欧拉角以其解决复杂运动状态和姿态变换的数学模型，极大地提高了运动控制领域的精度和效率，可以说，欧拉角是影响着现代机器人技术发展的重要元素，成为机器人控制的基础，值得研究学习。
综上所述，欧拉角使用不同的转动角度来描述飞机、船只和机器人的运动状态，其中包括滚转角，俯仰角和偏航角。
欧拉角在飞行动力学和机器人领域都有着重要的作用，它极大地提高了运动控制领域的精度和效率，从而成为机器人控制的基础。
欧拉角转向量
欧拉角转向量介绍欧拉角和向量都是在空间几何中常见的表示方法，在飞行器、机器人等领域中广泛应用。
欧拉角是一种常用的方式来描述一个刚体在空间中的方向，而向量则是表示物体位置和方向的几何工具。
本文将介绍如何将欧拉角转换为向量，以及其应用。
欧拉角和向量的基本概念在开始讨论欧拉角转向量之前，我们先简单了解一下欧拉角和向量的基本概念。
欧拉角欧拉角是一种用于描述物体在三维空间中旋转的方法。
它由三个角度组成，通常分别表示绕三个相互垂直的轴旋转的角度，我们将这些轴分别记为X轴、Y轴和Z轴。
根据欧拉角的旋转顺序，常见的欧拉角表示方式有以下三种： 1. 绕X轴旋转的角度，绕Y轴旋转的角度，绕Z轴旋转的角度（俯仰-滚转-偏航） 2. 绕Z轴旋转的角度，绕X轴旋转的角度，绕Y轴旋转的角度（航向-俯仰-滚转） 3. 绕Y轴旋转的角度，绕Z轴旋转的角度，绕X轴旋转的角度（滚转-偏航-俯仰）向量向量是表示空间中方向和长度的几何工具。
它由有序的数字集合组成，每个数字表示一个维度上的分量。
在三维空间中，向量通常由三个分量表示，分别对应于X轴、Y轴和Z轴方向上的值。
向量可以表示位移、力、速度等，其长度和方向分别表示向量对应的实际量的大小和方向。
欧拉角转向量的方法将欧拉角转换为向量可以帮助我们更方便地在算法和计算中使用。
接下来将介绍欧拉角转向量的方法。
方法一：基于旋转矩阵的转换1.根据欧拉角的旋转顺序和角度，构造三个旋转矩阵。
旋转矩阵可以将单位向量转换为在相应方向上旋转后的向量。
2.将三个旋转矩阵按照旋转的顺序相乘，得到一个综合的旋转矩阵。
3.将综合的旋转矩阵乘以一个基准向量，得到旋转后的向量。
方法二：基于四元数的转换1.根据欧拉角的旋转顺序和角度，将欧拉角转换为四元数。
2.根据四元数的定义和运算规则，将四元数转换为旋转矩阵。
3.将旋转矩阵乘以一个基准向量，得到旋转后的向量。
欧拉角转向量的应用欧拉角转向量在许多领域都有广泛应用，以下列举其中几个常见的应用场景。
压电材料欧拉角标准
压电材料欧拉角标准一、欧拉角标准的定义欧拉角是刚体绕三个互相垂直的轴线旋转的角度，通常用于描述刚体的方向。
在压电材料的研究和应用中，欧拉角标准用于规定压电晶体或薄膜的极化方向和坐标轴的相对关系。
根据不同的应用需求和标准制定组织的规定，存在多种欧拉角标准，如XYZ、X'Y'Z'等。
这些标准的具体旋转顺序和角度范围有所差异，但都旨在描述压电材料的晶体结构和极化方向。
二、欧拉角标准的重要性欧拉角标准在压电材料的研究和应用中具有重要意义，具体如下：1.描述晶体结构和极化方向：压电材料的晶体结构和极化方向决定了其压电性能和应用特性。
欧拉角标准为描述这些性质提供了统一的语言，有助于研究者更好地理解材料的物理性质和行为。
2.性能表征和材料分类：通过测量压电材料的欧拉角，可以进一步了解其晶体结构、对称性和取向等，从而对材料进行分类和性能表征。
这有助于对材料进行评估和筛选，选择适合特定应用需求的压电材料。
3.传感器和能量收集器设计：在传感器和能量收集器设计中，了解压电材料的欧拉角有助于优化器件的性能。
通过合理地选择和使用欧拉角，可以设计出具有优异性能的传感器和能量收集器。
4.仿真与计算：在仿真和计算中，欧拉角可以作为输入参数用于模拟和预测压电材料的性能。
制定统一的欧拉角标准有助于提高仿真和计算的准确性和可靠性。
5.标准与规范制定：欧拉角标准在制定材料性能标准和测试规范方面具有重要意义。
通过制定统一的欧拉角标准，可以促进不同研究机构和生产厂家之间的交流与合作，推动压电材料领域的进步和发展。
6.科研交流与合作：统一的欧拉角标准有助于不同研究团队之间的沟通和协作，促进学术交流和知识共享。
这有助于推动压电材料领域的科技进步和创新发展。
三、欧拉角标准的应用领域欧拉角标准在以下领域中具有广泛应用：1.传感器设计：传感器是利用压电材料的压电效应实现信号转换的器件。
了解压电材料的欧拉角有助于优化传感器的设计，提高其灵敏度和响应速度。
欧拉角一般旋转规则
欧拉角一般旋转规则
欧拉角是描述物体在三维空间中旋转的一种方式，它由三个角度构成，分别是绕z轴旋转的角度、绕旋转后的y轴旋转的角度和绕旋转后的z轴旋转的角度。
在欧拉角中，有两种不同的旋转顺序，即ZYX顺序和ZYZ顺序。
在ZYX顺序中，先绕z轴旋转，再绕旋转后的y轴旋转，最后绕旋转后的z轴旋转。
而在ZYZ顺序中则是先绕z轴旋转，再绕旋转后的y轴旋转，最后绕旋转后的z轴旋转。
欧拉角的旋转顺序对于旋转结果有很大的影响，因此在使用欧拉角进行旋转时，需要确定旋转顺序。
同时，在进行旋转时，还需要注意欧拉角的局限性，即欧拉角无法描述所有的物体旋转情况，因为欧拉角存在万向锁问题。
在实际应用中，为避免欧拉角的局限性，通常使用四元数或旋转矩阵进行旋转描述。
不过，对欧拉角的了解仍然是很重要的，因为它可以帮助我们更好地理解旋转的本质。
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欧拉角 轴角 取向差
欧拉角轴角取向差全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉角、轴角和取向差是表示物体旋转姿态的常用方法，它们在航空航天、机器人学和计算机图形学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍这三种方法的基本概念和计算方式，以帮助读者更好地理解和使用这些概念。
欧拉角是描述物体在空间中的旋转姿态的常用方法之一。
欧拉角可以分为三种：俯仰角（pitch）、偏航角（yaw）和横滚角（roll）。
这三个角分别描述了物体绕着X、Y、Z轴的旋转情况。
以俯仰角为例，当一个物体绕着X轴旋转时，就会改变俯仰角，其他两个角度也以此类推。
欧拉角的表示方式通常为\( (\phi, \theta, \psi) \)，分别表示横滚角、俯仰角和偏航角。
而轴角表示方法则是用一个单位向量和一个旋转角度来描述物体的旋转姿态。
具体而言，一个向量\( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \) 表示旋转轴的方向，而一个标量\( \theta \) 表示旋转的角度。
物体绕着向量\( \vec{v} \) 旋转\( \theta \) 弧度后即可到达新的姿态。
轴角的表示方式通常为\( (\vec{v}, \theta) \)。
取向差是用来描述两个物体之间的旋转差异的指标。
取向差可以通过欧拉角或轴角来计算，它表示了两个旋转姿态之间的最小变化量。
取向差的计算方法可以通过欧拉角转换为四元数再转回欧拉角，也可以通过旋转矩阵的转置矩阵相乘再取迹得到。
取向差的计算对于使两个物体在旋转姿态上尽量接近非常有用。
欧拉角和轴角是描述物体旋转姿态的两种常见方法，它们各有优缺点。
欧拉角可以直观地表示物体的旋转姿态，但存在万向锁问题，即某些特定姿态下无法唯一表示旋转。
而轴角方法则可以避免万向锁问题，但计算稍显复杂。
在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
欧拉角、轴角和取向差是描述物体旋转姿态和对比姿态差异的重要方法，它们在各种工程领域中都有着广泛的应用。
通过深入理解这些概念，并掌握其计算方法，可以更好地应用于实际工程问题中，提高工作效率和精度。
欧拉角变化率与机体角速度关系
欧拉角变化率与机体角速度关系一、概述欧拉角是描述刚体在空间中姿态的重要工具，在飞行器、导弹以及无人机等航空航天领域有着广泛的应用。
欧拉角变化率与机体角速度之间的关系是研究欧拉角动力学的重要内容，对于研究飞行器的稳定性、控制以及导航具有重要意义。
本文将就欧拉角变化率与机体角速度之间的关系展开探讨。
二、欧拉角介绍欧拉角是描述刚体在空间中姿态的一种坐标系，由航向角、俯仰角和滚转角组成。
航向角表示空间中的指向，俯仰角表示刚体前倾或后仰的程度，滚转角表示刚体绕自身轴的旋转情况。
在飞行器的姿态控制中，欧拉角通常被用来描述姿态变化。
三、欧拉角的变化率欧拉角的变化率可以用来描述刚体在空间中的姿态动态变化。
在飞行器的动力学模型中，欧拉角的变化率是姿态动力学方程的一部分。
欧拉角的变化率与机体角速度之间存在着密切的关系，关系可以用公式来表示。
四、机体角速度的定义机体角速度是描述飞行器自身旋转的速度矢量，通常表示为一个三维向量，包括绕X轴的角速度、绕Y轴的角速度和绕Z轴的角速度。
机体角速度与欧拉角的变化率之间存在着一定的关系。
五、欧拉角变化率与机体角速度的关系欧拉角的变化率与机体角速度之间的关系可以用变换矩阵来表示，变换矩阵将欧拉角的变化率与机体角速度通联起来。
通过变换矩阵的运算，可以将机体角速度转换成欧拉角的变化率，从而建立欧拉角变化率与机体角速度的关系。
六、欧拉角变化率与控制在飞行器的控制系统中，通过对欧拉角变化率的控制可以实现飞行器的姿态控制。
利用欧拉角变化率与机体角速度的关系，可以设计出有效的姿态控制算法，从而实现飞行器的稳定飞行和精确控制。
七、结论欧拉角变化率与机体角速度之间有着密切的数学关系，研究欧拉角变化率与机体角速度的关系对于飞行器的姿态控制和导航具有重要意义。
通过深入研究欧拉角变化率与机体角速度的关系，可以为飞行器的稳定性、控制性能以及导航精度提供理论支持和技术指导。
希望在未来的研究工作中能够进一步深入探讨这个问题，为飞行器的发展和应用提供更好的技术支持。
人脸欧拉角计算
人脸欧拉角计算人脸欧拉角计算是一种广泛应用于人脸识别、姿态估计和动作捕捉等领域的方法，它通过测量人脸在三个坐标轴上的旋转角度来描述人脸的姿态。
本文将详细阐述人脸欧拉角计算的原理和应用，并探讨其在人工智能和虚拟现实等领域的前景。
首先，我们需要了解什么是欧拉角。
欧拉角是描述刚体在三维空间内的旋转状态的一种方法，它由三个角度构成：俯仰角、偏航角和滚转角。
俯仰角描述的是绕x轴的旋转，偏航角描述的是绕y轴的旋转，滚转角描述的是绕z轴的旋转。
通过测量人脸在这三个方向上的旋转角度，我们可以准确地描述人脸的姿态。
人脸欧拉角计算的原理主要基于三维空间中的几何关系和数学运算。
首先，我们需要获取人脸的三维坐标点。
现如今，随着深度学习和计算机视觉技术的快速发展，通过摄像头或者传感器等设备可以准确地获取人脸的三维坐标点。
然后，我们需要确定人脸的参考坐标系。
通常情况下，我们选择人脸的眼睛所在的位置作为参考点，将其作为坐标系的原点。
接着，我们可以通过求解坐标系的旋转矩阵来计算欧拉角。
最后，我们可以得到人脸在三个方向上的旋转角度。
人脸欧拉角计算在人脸识别、姿态估计和动作捕捉等领域有着广泛的应用。
在人脸识别方面，欧拉角可以帮助我们准确地识别人脸的方向和姿态，提高识别的准确性和稳定性。
在姿态估计方面，欧拉角可以帮助我们判断人体的姿态，从而实现更加精准的姿态检测和分析。
在动作捕捉方面，欧拉角可以帮助我们捕捉人体的动作，并将其应用于虚拟现实和增强现实等领域。
除了上述应用之外，人脸欧拉角计算还可以应用于人工智能和智能交互领域。
例如，在人机交互中，通过识别用户的面部表情和头部姿态，我们可以更加准确地理解用户的意图和情感，从而提供更加智能化和个性化的服务。
在虚拟现实和增强现实方面，人脸欧拉角计算可以帮助我们更加逼真地渲染虚拟角色的面部表情和头部姿态，提高用户的沉浸感和体验度。
然而，人脸欧拉角计算也面临着一些挑战和限制。
首先，欧拉角只能描述刚体的旋转，无法描述刚体的平移和尺度变换。
欧拉角 转 固定角
欧拉角转固定角欧拉角和固定角是两种描述物体在三维空间中姿态的常用方法。
他们可以帮助我们精确地描述物体的朝向和旋转，因此在航空航天、机器人、计算机图形学等领域被广泛应用。
欧拉角是一种将旋转分解为三个连续的旋转操作的方法。
这三个旋转操作分别绕物体的X轴、Y轴和Z轴进行。
欧拉角一般用φ、θ、ψ分别表示这三个旋转的角度。
通过这种方式，我们可以精确地描述一个物体的姿态，包括旋转的顺序和角度。
然而，欧拉角也存在一些问题。
一是欧拉角的描述方式不唯一，也就是说，同一个姿态可以有多种不同的欧拉角表示方法。
这给我们的计算和分析带来了一定的困难。
二是欧拉角容易受到万向锁（gimbal lock）的影响。
当物体的两个轴趋于对齐时，就会发生万向锁现象，从而导致欧拉角的计算不稳定。
为了解决欧拉角的问题，固定角（或者称为四元数）被引入。
固定角是一种更为简洁和稳定的旋转表示方法。
它将旋转操作转化为一个四元数，通过四个实数来表示物体的姿态。
固定角的运算相对欧拉角更加简单，而且不存在欧拉角的歧义性和万向锁现象。
当然，使用固定角也需要一定的计算和理解成本。
固定角的四元数并不是很直观，需要进行一定的数学运算才能得到旋转的结果。
但是，一旦我们熟悉了固定角的计算方法，就能更加高效地处理三维旋转问题。
在实际应用中，选择使用欧拉角还是固定角要根据具体的需求来决定。
如果需要对旋转进行复杂的计算和操作，那么固定角会更加适合。
而如果只是简单地描述物体的姿态，欧拉角可能会更加直观和方便。
总之，欧拉角和固定角是两种常用的旋转表示方法。
它们各有优缺点，在具体的应用中需要根据需求进行选择。
通过深入学习和理解欧拉角和固定角，我们能够更好地处理和分析物体在三维空间中的姿态，为相关领域的研究和应用提供有力支持。
欧拉角计算方法
欧拉角计算方法嘿，咱今儿就来唠唠欧拉角计算方法这档子事儿！你说这欧拉角啊，就像是一个神奇的魔法钥匙，能打开好多复杂问题的大门呢！想象一下，空间里的物体就像个调皮的小孩子，到处乱跑乱动，而欧拉角就是能让我们抓住这个小调皮，搞清楚它到底是怎么个调皮法的工具。
那欧拉角到底咋算呢？简单来说，就是通过一些特定的公式和规则来确定。
比如说，咱得先搞清楚物体在不同轴上的旋转角度，这可不能马虎，一个不小心算错了，那可就全乱套啦！咱就拿个实际例子来说吧，比如说一个飞机在天空中飞，它的姿态可复杂了吧。
这时候欧拉角就能派上大用场啦，通过计算它的欧拉角，咱就能清楚知道飞机现在是个啥姿势，是在俯冲呢，还是在盘旋呢。
计算欧拉角就像是解一道谜题，得一步一步慢慢来。
可别小瞧了这每一步哦，就像盖房子，一块砖一块砖都得垒好咯。
有时候可能会遇到一些难题，哎呀，这数字咋这么难缠呢！但别着急，咱静下心来，慢慢琢磨。
你说这欧拉角计算方法是不是挺有意思的？它就像是一个隐藏在数学世界里的小秘密，等着我们去发现。
就像探险家寻找宝藏一样，我们在计算欧拉角的过程中，也在不断探索和发现新的东西呢。
而且啊，这欧拉角计算方法在好多领域都大有用处呢！不光是航空航天，像机器人领域、虚拟现实，都离不开它。
它就像是一个万能的小助手，默默地为这些领域做着贡献。
所以啊，咱可得好好掌握这个欧拉角计算方法，可别小瞧了它。
虽然它可能有点复杂，有点让人头疼，但一旦咱掌握了它，那可就像打开了新世界的大门一样。
总之呢，欧拉角计算方法是个很重要的东西，咱得认真对待，好好钻研。
别被它一开始的复杂吓住了，要相信自己，咱一定能搞明白的！加油吧！。
欧拉角与密勒指数的转换
欧拉角与密勒指数的转换欧拉角和密勒指数的概述欧拉角的定义和意义欧拉角是一种用于描述物体在空间中旋转的方法，它由3个连续旋转组成，分别绕X轴、Y轴和Z轴旋转。
欧拉角的三个分量通常用α、β和γ来表示，分别代表绕X、Y和Z轴旋转的角度。
欧拉角具有很好的几何直观性，可以直观地表示物体在空间中的方向和姿态。
它在航空、航天、机器人、计算机图形学等领域被广泛应用。
密勒指数的定义和意义密勒指数是描述晶体中晶面方向的方法之一，它由一组整数表示，用来表示晶体中的晶面在晶体学坐标系中的方向。
密勒指数的每个整数代表了晶面与坐标轴的交点所位于的位置。
密勒指数可以有效地表示晶体的晶面方向，对于研究晶体的结构和性质具有重要的意义。
在材料科学、地质学、几何学等领域广泛使用。
欧拉角转换为密勒指数欧拉角的定义和表示欧拉角的定义已在前面进行了介绍，它由三个分量α、β和γ表示旋转角度，分别绕X、Y和Z轴进行旋转。
在某些特定的情况下，欧拉角可以通过旋转矩阵进行表示。
欧拉角与旋转矩阵的关系欧拉角和旋转矩阵之间存在一定的关系，通过旋转矩阵可以将欧拉角转换为旋转矢量，从而方便进行计算。
旋转矩阵和晶体学坐标系的关系旋转矩阵可以用来表示物体在空间中的旋转，包括欧拉角的旋转。
在晶体学中，晶体学坐标系是用来描述晶体中晶面方向和晶面间夹角的坐标系。
密勒指数的定义和表示密勒指数是用来描述晶体中的晶面方向的方法，它由一组整数表示。
密勒指数的每个整数表示晶面与晶体学坐标轴的交点所位于的位置。
密勒指数的计算方法密勒指数的计算方法可以通过晶面的法向量和晶体学坐标轴的关系进行计算，通过计算得到的法向量的坐标即可表示晶面的密勒指数。
欧拉角转换为密勒指数的步骤欧拉角转换为密勒指数的步骤如下： 1. 计算出旋转矩阵； 2. 确定晶体学坐标系；3. 将旋转矩阵与晶体学坐标系进行相乘，得到变换后的晶面方向；4. 通过计算得到的晶面法向量的坐标即可得到密勒指数。
欧拉角转换为密勒指数的示例以某个特定的晶体为例，假设欧拉角为α=30°，β=45°，γ=60°，晶体学坐标系为XYZ。
欧拉角名词解释
欧拉角名词解释欧拉角（EulerAngles）是可以用来描述物体的三维空间变换的大家常用的一系列角度，由法国数学家兼天文学家约翰欧拉首先提出。
它把空间坐标系的变换表示为三个独立的旋转角度，也就是欧拉角，主要用于机器人动作控制。
在一般的活动机器人中，有6种自由度运动，所谓自由度就是指机器人自身能够进行任何轴向旋转而不必依赖外部力，比如有X轴、Y轴和Z轴的运动，以及其中任意两个轴的旋转（Yaw、Pitch和Roll），这六种运动就可以称之为自由度运动。
欧拉角就是把六种自由度运动空间表达转化成三维空间的Euler angles，它有三个角度参数，分别是Yaw、Pitch和Roll，它们分别表示Y轴、X轴和Z轴旋转的角度。
在实际仿真中，欧拉角常常用来描述位置坐标变换之后的物体空间状态，比如飞行器空间运动，可以用欧拉角来表示角度变换，以及船舶运动，也可以用欧拉角来表示坐标变换。
不同于其他旋转变换方法，欧拉角的优势在于不仅可以用来表示旋转，还可以用来描述连续的旋转运动，比如说，通常在太空运动中，可以用欧拉角来描述飞行器的连续旋转运动。
需要注意的是，欧拉角度是有一些局限性的，比如说欧拉角不能够包含一个大的旋转量，如果旋转量超过2π的话，欧拉角就会出现结构性问题。
另外，欧拉角还存在着一个称为欧拉角突变（Euler Angles Singularity）的现象，也就是说，一旦旋转角接近90°，欧拉角就会出现突变，从而影响物体的旋转运动。
因此，欧拉角在应用时要小心，不能单纯地仅仅凭借欧拉角来完成任务，而应该考虑其他技术，比如正交变换、四元数或者其他机器视觉技术，以保证物体的精确旋转状态。
总之，欧拉角是机器人的一种重要技术，可以用来表示物体的三维空间变换，但它也存在着一定的局限性，需要加以小心谨慎，以保证其正确性。
- 1 -。
欧拉角和晶向的换算
欧拉角和晶向的换算
欧拉角和晶向是描述晶体中原子排列方向的两个不同概念。
欧拉角通常用于描述晶体相对于某个参考系的旋转，而晶向则直接指定了晶体中某个方向上的原子排列。
在三维空间中，欧拉角可以用三个角度（通常表示为α、β和γ）来定义，它们分别表示绕三个不同的轴（通常是相互垂直的）进行的旋转。
具体的旋转顺序和轴的选择可能会根据不同的定义和约定有所不同。
晶向通常用一组整数（如[1,0,0]、[0,1,0]和[0,0,1]）来表示，这些整数指定了晶体中某个方向上的原子排列。
例如，[1,0,0]表示晶体中沿x 轴方向的原子排列。
要将欧拉角转换为晶向，首先需要明确欧拉角的定义和旋转顺序。
然后，可以通过旋转矩阵或四元数等数学工具来计算旋转后的方向向量。
最后，将方向向量归一化，并取其整数部分作为晶向的表示。
需要注意的是，欧拉角和晶向之间的转换可能不是唯一的，因为不同的欧拉角组合可能得到相同的晶向。
此外，具体的转换方法还可能受到晶体结构和对称性的影响。
为了进行准确的转换，建议查阅相关的晶体学文献或咨询专业人士，以获取更详细和准确的信息。
§3.3 欧拉角
η
N
: 章动角 ξ
x y
y : 自转角 z ζ
O
N
ξ
x
η
O
x
η
N
ξ
Note：
（1）3个欧拉角的作用： , : 确定z轴的方位
: 确定刚体绕 z轴的转角
（2）欧拉角的取值范围： y
zζ
0 2 , 0 , 0 2
O
x
N
ξ
η
, , : 可以完全描述
定轴转动刚体的一切位置
二、欧拉运动学方程
如果刚体绕着通过定点O某一轴线以角速度转动，
在活动系O-xyz上的投影是x ,y和z ,则
xi
y
j
z
k
在o 中也可以认为v是绕轴O
的角速度 ,绕ON轴的角速度
及绕Oz轴的角速度 三者的矢量和:
v v&v&v&
ON：节线
z/ζ
z/ζ : 进动角
O
x/ξ zζ
y
O
y/η
η
N
: 章动角 ξ
§3.3 欧拉角
一、欧拉角
当刚体作定点转动时，我们以该定点为原点，而用3个独立 的角度来确定刚体的位置，这3个角称为欧拉角。
z/ζ
ζ
z y x
O
y/η
η
x/ξ
ξ
建立：定系o-ξηζ
固定在刚体上的坐标系o-xyz —— 动系，其位置代表刚体位置
ON：节线
z/ζ
z/ζ : 进动角
O
x/ξ zζ
y
O
y/η
x y
y : 自转角 z ζ
O
N
ξ
x
机械臂欧拉角映射
机械臂欧拉角映射欧拉角是描述三维空间中物体旋转姿态的一种常用方法。
在机械臂领域，欧拉角被广泛应用于描述机械臂的姿态和运动。
本文将介绍机械臂欧拉角映射的原理和应用。
一、欧拉角的定义和表示方法欧拉角是通过三个轴的旋转来描述物体的姿态。
通常，欧拉角由三个角度组成，分别是俯仰角（pitch angle）、翻滚角（roll angle）和偏航角（yaw angle）。
俯仰角是绕机械臂基座坐标系的X轴旋转得到的角度，可以描述机械臂的上下运动。
翻滚角是绕机械臂当前坐标系的Y轴旋转得到的角度，可以描述机械臂的左右倾斜。
偏航角是绕机械臂当前坐标系的Z轴旋转得到的角度，可以描述机械臂的左右旋转。
欧拉角的表示方法有多种，常见的有ZYX欧拉角、XYZ欧拉角和YXZ 欧拉角等。
不同的表示方法可以描述相同的姿态，但其数学计算和物理意义有所不同。
二、机械臂欧拉角映射原理机械臂欧拉角映射是将欧拉角转化为机械臂的关节角度的过程。
机械臂的关节角度是机械臂运动的基本参数，通过控制关节角度可以实现机械臂的精确运动。
机械臂欧拉角映射的原理是将欧拉角转化为机械臂的坐标系变换矩阵，再通过正向运动学求解机械臂的关节角度。
具体步骤如下：1. 根据给定的欧拉角，构建机械臂的坐标系变换矩阵。
根据不同的坐标系表示方法，选择相应的旋转矩阵构建方法。
2. 根据机械臂的结构和几何关系，建立机械臂的正向运动学模型。
正向运动学模型描述了机械臂的末端执行器坐标与关节角度之间的关系。
3. 利用正向运动学模型，求解机械臂的关节角度。
根据机械臂的结构和运动限制，可以得到机械臂关节角度的解析解或数值解。
4. 将求解得到的关节角度作为机械臂的控制命令，实现机械臂的运动。
三、机械臂欧拉角映射的应用机械臂欧拉角映射在机械臂控制和路径规划中起着重要作用。
通过将欧拉角映射为机械臂的关节角度，可以实现对机械臂的精确控制和运动规划。
在机械臂控制中，欧拉角映射可以用于机械臂的逆向运动学求解。
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欧拉角
科技名词定义
中文名称：欧拉角
英文名称：Euler angles
定义：构件在三维空间中的有限转动，可依次用三个相对转角表示，即进动角、章动角和自旋角，这三个转角统称为欧拉角。
所属学科：机械工程（一级学科）；机构学（二级学科）；机构运动学（三级学科）
本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
欧拉角
用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。
目录
它们有多种取法，下面是常见的一种。
如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′。
以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。
由轴Oz
欧拉角
量到Oz′的角θ称章动角。
平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。
在右手坐标系中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴Ox量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。
由轴Oz和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。
若令Ox′y′z′的初始位置与Oxyz重合，经过相继绕Oz、ON和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。
如果刚体绕通过定点O的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝ sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。
如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。
上式通常被称为欧拉运动学方程。
原理
欧拉角
Eulerian angles
用来唯一地确定定点转动刚体位置的三个一组独立角参量[1]，由章动角θ、进动角ψ和自转角嗞组成，为L.欧拉首先提出，故得名。
对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。
所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。
换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
它们有多种取法，下面是常见的一种。
欧拉运动学方程
如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz 以及固连于刚体的坐标系Ox┡y┡z┡。
以轴Oz和Oz┡为基本轴，其垂直面Oxy和Ox┡y┡为基本平面。
由轴Oz量到Oz┡的角度θ称为章动角。
平面zOz┡的垂线ON称为节线,它又是基本平面Ox┡y┡和Oxy的交线。
在右手坐标系中,由ON的正端看,角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴Ox量到节线 ON的角度ψ称为进动角；由节线ON量到动轴Ox┡的角度嗞称为自转角。
由轴Oz和Oz┡正端看,角ψ和嗞也都按逆时针方向计量。
欧拉角(ψ，θ，嗞)的名称来源于天文学。
三个欧拉角是不对称的，且在几个特殊位置上具有不确定性（当θ＝0时,嗞和ψ就分不开）。
对不同的问题，宜取不同的轴作基本轴，并按不同的方式量取欧拉角。
若令Ox┡y┡z┡的原始位置重合于Oxyz，经过相继绕Oz、ON和Oz┡的三次转动Z(ψ)、N(θ)、Z┡(嗞)后，刚体将转到图示的任意位置（见刚体定点转动）。
变换关系可写为：
欧拉角
R(ψ，θ，嗞)=Z┡(嗞)N(θ)Z(ψ)，
式中R、Z┡、N、Z是转动算子,并可用矩阵表示如下:
Image:374-01.jpg Image:374-02.jpg
在进行转动算子的乘法运算时，应从最右端做起。
刚体上任一点Q在两个坐标系中的坐标x、y、z和x┡、y┡、z┡都可以通过矢径Image:374-06.jpg的模和方向余弦来表出。
两组坐标之间有如下变换关系：
x＝x┡cos(x,x┡)+y┡cos(x,y┡)+z┡cos(x,z┡)，
y＝x┡cos(y,x┡)+y┡cos(y,y┡)+z┡cos(y,z┡)，
z＝x┡cos(z,x┡)+y┡cos(z,y┡)+z┡cos(z,z┡)。
反变换只须在同名坐标间对调记号。
如果刚体绕通过定点O 的某一轴线以角速度ω转动，而ω在与刚体固连的活动坐标系Ox┡y┡z┡上的投影为Image:374-x.jpg、
Image:374-y.jpg、Image:374-z.jpg，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：
Image:374-x.jpg＝夗sinθsin嗞＋夝cos嗞，
Image:374-y.jpg＝夗sinθcos嗞－夝sin嗞，
Image:374-z.jpg＝夗cosθ＋夓。
由上式可以看出，如果已知ψ、θ、嗞和时间的关系，则可用上式计算角速度ω在活动坐标轴上的三个分量；反之,如在任一瞬时已知t和ω的各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、嗞和时间t的关系，因而也就决定了刚体运动。
我们通常把上式叫做欧拉运动学方程。
作用
欧拉角Eulerian angles用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成。
为欧拉首先提出而得名。
它们有多种取法，下面是常见的一种。
如图所示，由定点O 作出固定坐标系 Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′ 。
以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。
由轴Oz量到Oz′的角θ称章动角。
平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。
在右手坐标系中，由 ON 的正端看，角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴 Ox 量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。
由轴 Oz 和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。
若令Ox′y′z′的初始位置与 Oxyz 重合，经过相继绕 Oz 、ON 和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。
如果刚体绕通过定点 O 的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为
ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′ ＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝ sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。
如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的 3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。
上式通常被称为欧拉运动学方程。
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欧拉角
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应用
应用研究
欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究，与量子力学中的角动量研究。
在刚体的问题上, xyz 坐标系是全局坐标系， XYZ 坐标系是局部坐标系。
全局坐标系是不动的；而局部坐标系牢嵌于刚体内。
关于动能的演算，通常用局部坐标系比较简易；因为，惯性张量不随时间而改变。
如果将惯性张量（有九个分量，其中六个是独立的）对角线化，那么，会得到一组主轴，以及一个转动惯量（只有三个分量）。
在量子力学里，详尽的描述SO(3)的形式，对于精准的演算，是非常重要的，并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。
在早期的量子力学研究，对于抽象群理论方法(称为Gruppenpest)，物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候；对欧拉角的信赖，在基本理论研究来说，是必要的。
欧拉角的哈尔测度
欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式，通常在前面添上归一化因子
π2 / 8 。
欧拉角
单位四元数，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维旋转。
这与特殊酉群的描述是等价的。
四元数方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向节锁 (gimbal lock) 现象。
因为这些原因，许多高速度三维图形程式制作都使用四元数。