2009年重庆高考数学理科试题含答案

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2009年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2009年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•重庆）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B【点评】此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．2．（5分）（2009•重庆）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】由题意求出复数z，代入，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi （a，b∈R）的形式，可得选项．【解答】解：因为由条件知z=﹣1+2i，则=，故选A．【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．（5分）（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．160【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．【解答】解：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6r x6﹣r•2r，令6﹣r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．（5分）（2009•重庆）已知，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】利用向量的运算法则及向量模的平方即是向量的平方求出，再利用向量的数量积公式求出向量的夹角余弦，求出向量夹角．【解答】解：∵==2．又，∴=3．即cos＜a，b＞=3=1×6cos＜a，b＞，得cos＜a，b＞=，∴a与b的夹角为，故选项为C．【点评】本题考查向量的运算律；向量模的性质；利用向量的数量积公式求向量的夹角．5．（5分）（2009•重庆）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于a2﹣3a，求出a的范围．【解答】解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，以及恒成立问题，是中档题．6．（5分）（2009•重庆）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；组合及组合数公式．【分析】本题考查的知识点是古典概型，我们计算出总的滔法种类，再计算满足条件“从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件个数，然后代入古典概型公式计算，即可得到答案．【解答】解：因为总的滔法C154，而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆，取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率P==．故选C．【点评】古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．7．（5分）（2009•重庆）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用向量的坐标表示可求=1+cos（A+B），结合条件C=π﹣（A+B）可得sin（C+=，由0＜C＜π可求C【解答】解：因为=又因为所以又C=π﹣（B+A）所以因为0＜C＜π，所以故选C．【点评】本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些运算的基本技能．8．（5分）（2009•重庆）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先通分得，然后由极限的性质知，由此可以求出a﹣b的值．【解答】解：∵已知==2，∴，∴a=2，b=﹣4；∴a﹣b=6．故选D．【点评】本题考查函数的极限，解题时注意函数极限的逆运算．9．（5分）（2009•重庆）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】三个互不重合的平面把空间分成六个部份有两种情形：一是其中两个平面平行，第三个平面都与它们相交；二是三个平面交于一条直线，考虑到两类即可解决．【解答】解：分两类：①当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；②当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．10．（5分）（2009•重庆）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π【考点】函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数与方程的综合运用．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先由题目中已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x求周期，需要把函数化为标准型，然后根据周期公式求解即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin2x﹣cos2x=，所以函数的周期T=，故答案选择B．【点评】此题主要考查三角函数周期性的求法，其中涉及到三角函数标准型的化法，涵盖知识点少，属于基础题目．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•重庆）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B={x|0＜x＜3}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】要求A与B的交集，先要求出两个集合的区间，解出绝对值不等式得到集合A，根据指数函数的增减性得到集合B，然后取两集合的公共部分即可得到交集．【解答】解：由|x|＜3解得﹣3＜x＜3；由2x＞1=20，根据指数函数y=2x为增函数得到x＞0 ∴A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜3}．故答案为：{x|0＜x＜3}【点评】此题考查学生会利用指数函数的增减性解不等式，理解交集的定义并会进行交集的运算．12．（5分）（2009•重庆）若f（x）=a+是奇函数，则a=﹣．【考点】奇函数；函数奇偶性的性质．【专题】常规题型．【分析】充分不必要条件：若奇函数定义域为R（即x=0有意义），则f（0）=0．或用定义：f（﹣x）=﹣f（x）直接求a．【解答】解：函数的定义域为R，且为奇函数，则f（0）=a+=0，得a+=0，得a=﹣，检验：若a=﹣，则f（x）=+=，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x）为奇函数，符合题意．故答案为﹣．【点评】若定义域中包括0在内函数f（x）为奇函数⇒f（0）=0，注意是充分不必要条件，所以此类问题求解后需要检验，此题也可以直接采用奇偶性的定义f（﹣x）=f（x）求解．13．（5分）（2009•重庆）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有36种（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】由题意知将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，需要先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列排列，根据分步乘法原理得到结果．【解答】解：∵将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列排列，共有C24A33=36．故答案为：36【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．14．（5分）（2009•重庆）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1．【考点】数列递推式．【专题】压轴题；创新题型．【分析】由题设条件得=，由此能够导出数列{b n}的通项公式b n．【解答】解：由条件得=且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n﹣1=2n+1．故答案为：2n+1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．15．（5分）（2009•重庆）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，）．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入求得e的范围．【解答】解：不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．由正弦定理有，由双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex o，|PF2|=ex o﹣a，则有=，得x o=＞a，分子分母同时除以a2，易得：＞1，解得1＜e＜+1故答案为（1，）【点评】本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2009•重庆）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g（x）的最大值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】（1）利用两角差的正弦公式及二倍角公式及化简三角函数；再利用三角函数的周期公式求出周期．（2）在y=g（x）上任取一点，据对称行求出其对称点，利用对称点在y=f（x）上，求出g （x）的解析式，求出整体角的范围，据三角函数的有界性求出最值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为【点评】本题考查常利用三角函数的二倍角公式及公式化简三角函数、利用轴对称性求函数的解析式、利用整体角处理的思想求出最值．17．（13分）（2009•重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：设A k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2B l表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则A k，B l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（A k）=C2k（）k（）2﹣k，P（B l）=C21（）l（）2﹣l．据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．（1）所求概率为P（A1•B1）=P（A1）•P（B1）=×=．（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（ξ=0）=P（A0•B0）=P（A0）•P（B0）=×=，P（ξ=1）=P（A0•B1）+P（A1•B0）=×+×=，P（ξ=2）=P（A0•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B0）=×+×+×=，P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=×+×=．P（ξ=4）=P（A2•B2）=×=．综上知ξ有分布列ξ0 1 2 3 4P从而，ξ的期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、独立重复试验的概率等知识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力．18．（13分）（2009•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g（x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0，从而b=0，由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：、令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0（8分）（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根当是g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数（14分）【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．19．（12分）（2009•重庆）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理可知AD∥平面BCS，则从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离，从而DS为点A到平面BCS的距离，在Rt△ADS中求出DS即可；（Ⅱ）过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，根据二面角平面角的定义可知∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，在Rt△FEG中，求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）因为AD∥BC，且BC⊂平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥SD，由AD∥BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离，因此在Rt△ADS中（Ⅱ）如图，过E电作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，故∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，记为θ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF，故．由于E为BS边中点，故，在Rt△CFE中，，因EF⊥平面CSD，又EG⊥CD故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，从而又可得△CGF～△CSD，因此而在Rt△CSD中，，在Rt△FEG中，可得，故所求二面角的大小为【点评】本题主要考查了点到平面的距离，以及二面角的度量等有关知识，同时考查了计算能力、推理能力、以及转化与划归的思想，属于中档题．20．（12分）（2009•重庆）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（Ⅱ）设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+y y=4．因为，（1﹣x Q﹣y Q）•（1﹣x N﹣y n）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．由此可导出动点P的轨迹方程为．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程得．由得，解得a=2，c=，从而b=1，椭圆方程为．又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以，|MC|+|MD|=2a=4从而|MC|•|MD|，当且仅当|MC|=|MD|，即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（II）如图（20）图，设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+（y M）2=4 ①因为，（1﹣x Q﹣y Q）•（1﹣x N﹣y N）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．②记P点的坐标为（x P，y P），因为P是BQ的中点所以2x P=x Q+x P，2y P=y Q+y P由因为x N2+y N2=1，结合①，②得===故动点P的轨迹方程为【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细求解，知识方面注意椭圆的标准方程与焦点位置的关系以及向量与解析几何问题的综合运用．21．（12分）（2009•重庆）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．【考点】等差数列的性质；数列的应用；等比数列的性质；反证法与放缩法．【专题】压轴题；反证法．【分析】（1）利用等比数列的性质，用a1、d表示出a2009、a2008，结合已知，列方程即可解出a1、d，进而求出a n．（2）通过探求数列的周期性或利用反证法求解．【解答】解：（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，从而a2009=a1d，a2008=a1d2，由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，解得d=3或d=﹣4（舍去）．∴d=3，又S3=3a1+3d=15．解得a1=2从而当n≤1005时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1当1006≤n≤2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列得a n=a1d2009﹣（n﹣1）=a1d2010﹣n（1006≤n≤2009）因此（II）由题意a n2=a n﹣12a n+12（1＜n＜m），a m2=a m﹣12a12，a12=a m2a22得有①得④由①，②，③得a1a2a n=（a1a2a n）2，故a1a2a n=1．⑤又，故有．⑥下面反证法证明：m=6k若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由⑥得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，由②得，而④及⑥可推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，从而a4=a5═a m=1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1+a2+a3++a6＞6又m=6k，由④和⑥得a72++a m2=（a72++a122）++（a6k﹣52++a6k2）=（k﹣1）（a12++a62）=因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++a m2＞6+6（k﹣1）=6k=m=ma1a2a3a m【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、性质及方程、解不等式的有关知识，考查运算能力和推理能力．。

2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1

'
（D） 6
解：设切点 P ( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 y
|x x0 2 x0 .由题意有
y0 2 x0 又 y0 x0 2 1 x0
解得: x0 1,
2
b b 2, e 1 ( ) 2 5 . a a
(5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( （A）150 种（B）180 种（C）300 种 (D)345 种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 C3 C6 225 种选法
o
，动点 P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为 3 ，
Q 到α的距离为 2 3 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（ C ） (A) (B)2 (C) 2 3
Q
(D)4
解:如图分别作 QA 于A, AC l于C , PB 于B,
B C A
PD l于D ，连 CQ, BD则ACQ PBD 60, AQ 2 3, BP 3 ， AC PD 2
。
解:在 ABC 中 AB AC 2 , BAC 120 ,可得 BC 2 3 ,由正弦定理,可得 ABC
外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得球半径 R 故此球的表面积为 4 R 20 .
2
5，
16. 若

4
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4 ，0 中心对称 3
2
4 13 k k (k Z ) 由此易得 | |min .故选 A 6 3 2 6

2009年重庆高考数学理科卷带详解

2009年高考数学重庆卷理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【测量目标】直线与圆的位置关系．【考查方式】给出直线和圆的方程，判断它们的位置关系．【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而01<<，选B ． 2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+【测量目标】复数代数形式的四则运算．【考查方式】给出复数的实部和虚部，计算求解．【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】因为由条件知12i z =-+，则5i 5i(12i)5i 102i (12i)(12i)5z ---+===--+--，所以选A ． 3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（） A ．16 B ．70 C ．560 D ．1120 【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数．【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】设含4x 的为第2816318821,C ()()C 2rrr r r r r r T x x x--++==，1634r -=，所以4r =，故系数为：448C 21120=，选D ．4．已知1,6,()2==-= a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【测量目标】平面向量的夹角问题．【考查方式】给出两个向量的模和它们满足的关系式，求两向量的夹角．【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】因为由条件得222,23cos 16cos αα-==+===⨯⨯所以g g g a b a a b a a b ，1πcos 23αα==所以，所以．5．不等式2313x x a a +---…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞【测量目标】不等式恒成立问题．【考查方式】给出不等式及其恒成立的条件，求取值范围．【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】因为2314313x x x x a a +--+---对剟对任意x 恒成立，所以2234340a a a a ---即厖，解得41a a -或厔．6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（） A ．891 B ．2591 C ．4891 D ．6091【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】已知不同馅料汤圆的个数，由取法规则求概率．【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】因为总的方法415C ,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为112121211654654654415C C C C C C C C C 48C 91⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 7．设ABC △的三个内角,,A B C，向量,sin )A B =m，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（） A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π6【测量目标】向量的坐标运算、三角函数．【考查方式】给出两向量及其坐标与三角形内角关系式，求未知角．【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】cos sin )1cos()A B A B A B A B ==+=++m n g g g ，πA B C ++=1cos C C =-cos 1C C +=，π2sin 16C +=（）π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =．8．已知22lim()21x x ax b x →∞--=+，其中,a b ∈R ，则a b -的值为（） A ．-6 B ．2- C ．2D ．6【测量目标】函数的极限．【考查方式】给出函数的极限，求其中的未知量．【难易程度】中等. 【参考答案】D【试题解析】222lim 1x x ax ax bx bx →∞----+(2)()lim211x ba x ab x x→∞--+-==+．则20()2a ab -=⎧⎨-+=⎩，解得2,4a b ==-，故2(4)6a b -=--=．（删除）9．已知二面角l αβ--的大小为50︒，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25︒的直线的条数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【测量目标】二面角、线面角．【考查方式】给出二面角的大小，求过空间中任意一点与两平面成固定角度的直线条数．【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】AFE ∠是度数为50︒的二面角的一个平面角，FG AFE ∠为的平分线，当过P 的直线与FG 平行时，满足条件，当过点P 的直线与AD 平行，也是满足条件直线，与AD 直线类似，过点的直线与BE 平行也是满足条件得共有3条．10．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A．8,)33B．(3C ．48(,)33D．4(3【测量目标】函数的周期性、函数图象的应用．【考查方式】给出函数及其周期，利用函数的图象判断取值范围．【难易程度】较难. 【参考答案】B 【试题解析】第10题图因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第二个半椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)1(0)y x y m-+=…得 2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>则2(1)8150t x tx t +-+=．（步骤1）由2(8)415(1)0t t t ∆=-⨯+>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >（步骤2）同样由3x y =与第三个椭圆222(8)1(0)y x y m-+=…由0∆<可计算得m <综上知m ∈．（步骤3）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．11．若{}3A x x =∈<R ，{}21xB x =∈>R ，则A B = ．【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】给出两个集合，求它们的交集．【难易程度】中等. 【参考答案】（0，3）【试题解析】因为{}{}|33,|0,A x x B x x =-<<=>所以(0,3)A B =I . 12．若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = ．【测量目标】函数的奇偶性．【考查方式】给出函数的奇偶性，求其中的未知量．【难易程度】中等. 【参考答案】12【试题解析】12()2112xxxf x a a --=+=+--，()()f x f x -=- 2112()2112211212x xx x x xa a a ⇒+=-+⇒=-=----故12a =．13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【测量目标】排列组合及其应用．【考查方式】用排列组合求解概率问题．【难易程度】中等. 【参考答案】36【试题解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122C C C A g g ；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有2113421322C C C A 36A =g g g ． 14．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，n *∈N ，则数列{}n b 的通项公式n b = ．【测量目标】等比数列的通项、等比数列的性质．【考查方式】给出数列的首项、第1n +项及两数列的关系式，求另一数列的通项公式．【难易程度】较难. 【参考答案】21n +【试题解析】由条件得111222+12222111+1n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++====---且14b =所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+==g ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．【测量目标】双曲线的简单几何性质．【考查方式】给出点和双曲线方程的关系式，求其离心率．【难易程度】较难.【参考答案】(11)【试题解析】解法一：因为在12PF F △中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =．（步骤1）则由已知，得21a cP F P F =，即12aPF cPF =，且知点P 在双曲线的右支上，设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF ex a =+=-则00()()a a ex c ex a +=-，（步骤2）解得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e ++==--由双曲线的几何性质知0x a >则(1)(1)a e a e e +>-，整理得 2210,e e --<解得11(1,)e e <<∈+∞，又，故椭圆的离心率(11)e ∈（步骤3）解法二：由解析1知12cPF PF a=由双曲线的定义知 122PF PF a -=则222c PF PF a a -=即222a PF c a=-，（步骤1）由椭圆的几何性质知2PF c a >-，则22a c a c a>--，即2220c ac a --<，所以2210,e e --<以下同解析1．（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．设函数2πππ()sin()2cos 1468x x f x =--+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．【测量目标】三角函数定义域、值域.【考查方式】给出函数式，求其最小正周期；根据直线方程求解与函数关于直线对称的另一函数在区间内的最大值．【难易程度】容易.【试题解析】（Ⅰ）()f x =πππππsincos cos sin cos 46464x x x --=π3πcos 2424x x -ππsin()43x -．（步骤1）故()f x 的最小正周期为2ππ4T = =8．（步骤2）(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -．由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而ππ()(2)sin[(2)]43g x f x x =-=--πππsin[]243x =--ππ)43x =+．（步骤3）当403x 剟时，πππ2π3433x +剟，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max π32g ==．（步骤4）解法二：因区间4[0,]3关于1x =的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于1x =对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值．（步骤1）由（Ⅰ）知()f xππsin()43x -，当223x 剟时，ππππ6436x --剟，因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max π6g ==（步骤2）17．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【考查方式】给出事件的概率，由独立重复试验的概率公式求事件概率并求解随机变量的期望和方差．【难易程度】中等.【试题解析】设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2，l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2，则k A ，l B 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()C ()()33kkkk P A -=，2211()C ()()22llll P B -=．（步骤1）据此算得01()9P A = ， 14()9P A = ， 24()9P A =． 01()4P B = ， 11()2P B =， 21()4P B =．（步骤2） (Ⅰ) 所求概率为1111412()()()929P A B P A P B ==⨯= ．（步骤3） (Ⅱ) 解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436P P A B P A P B ξ====⨯= ，（步骤4）011011411(1)()()92946P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯= ，（步骤5） 021120114141(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==++=⨯+⨯+⨯ 1336=，（步骤6）122141411(3)()()94923P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯= ．（步骤7）22411(4)()949P P A B ξ===⨯= ．（步骤8）综上知ξ有分布列（步骤9）从而，ξ的期望为111311012343663639E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯73=（步骤10）解法二：分布列的求法同上．令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则1221(2,),(2,)32B B ξξ::，（步骤1）故有122412,21332E E ξξ=⨯==⨯=，从而知1273E E E ξξξ=+=．（步骤2）18．设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数e ()()xg x f x =，讨论()g x 的单调性．【测量目标】利用倒数求函数的极值、曲线的切线方程、利用导数求函数的单调区间．【考查方式】给出函数、其极值点的取值和某点的切线方程，求未知量；根据两函数的关系式讨论另一函数的单调性．【难易程度】中等.【试题解析】（Ⅰ）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故．（步骤1）又()f x 在0x =处取得极值，故()0,f x '=从而0b =，（步骤2）由曲线y =()f x 在(1,(1))f 处的切线与直线+210x y +=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2f '=，有22a =，从而1a =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2e ()(0)xg x k x k=>+， 222e (2)()(0)()x x x k g x k x k -+'=>+，（步骤5）令2()0,20g x x x k '=-+=有，（步骤6）（1）当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x '>在R 上恒成立，故函数()g x 在R 上为增函数．（步骤7）（2）当440k ∆=-=，即当1k =时，222e (1)()0(1)()x x g x x x k -'=>≠+， 1k =时，()g x 在R 上为增函数．（步骤8）（3）440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根，11x =21x =（步骤9）当(,1()0,(),1x g x g x '∈-∞>-∞是故在（上为增函数，当1x ∈（时，()0,g x '<故()1g x 在（上为减函数，当1x ∈∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数．（步骤10）19．如图，在四棱锥S ABCD -中，AD BC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，CE AS ==（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．第19题图(1)【测量目标】二面角、空间立体几何中平行与垂直关系的综合问题．【考查方式】给出四棱锥及其线面关系，求点到平面的距离和二面角．【难易程度】中等.【试题解析】解法一：（Ⅰ）因为AD BC ，且,BC BCS ⊂平面所以AD BCS 平面，从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离．（步骤1）因为平面,CSD ABCD AD CD ⊥⊥平面，故AD CSD ⊥平面，从而AD SD ⊥，（步骤2）由AD BC ，得B C D S ⊥，又由CS DS ⊥知DS BCS ⊥平面，从而DS 为点A 到平面BCS 的距离，（步骤3）因此在Rt ADS △中，DS ==（步骤4） (Ⅱ)如图，第19题图（Ⅱ）过E 点作,EG CD ⊥交CD 于点G ，又过G 点作GH CD ⊥，交AB 于H ，故EGH ∠为二面角E CD A --的平面角，记为θ，过E 点作EF BC ，交CS 于点F ，连结GF ，（步骤5）因平面ABCD CSD ⊥平面，GH CD ⊥，易知GH GF ⊥，故π2EGF θ=-∠．（步骤6）由于E 为BS 边中点，故112CF CS ==，在Rt CFE △中1EF ===，（步骤7）因EF CSD ⊥平面，又EG CD ⊥，,故由三垂线定理的逆定理得FG CD ⊥，从而又可得CGF CSD △△:，（步骤8）因此GF CFDS CD=而在Rt CSD △中，CD （步骤9）故CF GF DS CD ===g （步骤10）在Rt FEG △中，tan EFEGF FG==可得π3EGF ∠=，故所求二面角的大小为π6θ=．（步骤11）解法二：（Ⅰ）如图，第19题图以()S O 为坐标原点，射线,OD OC 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设(,,)A A A A x y z ，因为平面COD ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，故AD COD ⊥平面．（步骤1）即点A 在xOz 平面上，因此0A y =，1A z AD ==uuu r，（步骤2）又22213,AA x AS x +===uu rA ，）．（步骤3）因AD BC ，故BC ⊥平面CSD ，即BCS 与平面yOz 重合，从而点A 到平面BCS的距离为A x （步骤4）(Ⅱ)易知(0,2,0)C，D ．因E 为BS 的中点．BCS △为直角三角形，知2BS CE ==uu r uu r（步骤5）设(0,2,)B B z ，0B z >，则2A z =，故(0,2,2)B ，所以(0,1,1)E ．（步骤6）在CD 上取点G ，设11(,,0)G x y ，使GE CD ⊥．由2,0)CD =-u u u r，11(,1,1)GE x y =--+uu u r ，0CD GE =uu u r uu u r g ．112(1)0y --= ①（步骤7）又点G 在直线CD 上，即CG CD u u u r u u u r，由CG =u u u r 11(,2,0)x y -，122y -=- ②（步骤8）联立①、②，解得4(,0)33G =，（步骤9）故GE uu ur 1(,1)33=--．又由AD CD ⊥，所以二面角E CD A --的平面角为向量GE uu u r与向量DA uu u r 所成的角，记此角为θ．（步骤10）因为GE uu u r=3，(0,0,1)DA =u u u r ，1DA =uu u r ，1GE DA =u u u r u u u r g ，所以cos 2GE DA GE DAθ==uu u r uu u r g uu u r uu u r g 故所求的二面角的大小为π6．（步骤11） 20．已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y =e =M 是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,C D的坐标分别是(0,，求MC MD 的最大值；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+ ，0QA BA =．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．第20题图【测量目标】椭圆的标准方程和简单几何性质、基本不等式求最值、圆锥曲线中的轨迹问题．【考查方式】给出椭圆的一条准线方程和离心率，利用基本不等式求最值；利用向量的坐标运算求点的轨迹方程．【难易程度】较难.【试题解析】：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221x y b a+=(0)a b >>．设c =由准线方程3y =得．由2e =2ca =，解得2,a c =，从而1b =，椭圆方程为2214y x +=．（步骤1）又易知,C D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以，24MC MD a +==，（步骤2）从而22242MC MD MC MD ⎛+⎫== ⎪⎝⎭…g ，（步骤3）当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号，MC MD g 的最大值为4．（步骤4）（II ）如图，第20题图设(,)M M M x y ，(,)B B B x y ，(,)Q Q Q x y ．因为(,0),M N x OM ON OQ +=，故2,Q M Q M x x y y ==，2222(2)4Q Q M M x y x y +=+=， ① （步骤5）因为0QA BA = ，(1,)(1,)Q Q B B x y x y ----(1)(1)0Q B Q B x x y y =--+=所以 1Q B Q B B Q x x y y x x +=+-． ② （步骤6）记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点，所以 2,2P Q B P Q B x x x y y y =+=+．（步骤7）又因为 221B B x y +=，结合①，②得22221(()())4B B Q B Q B x y x x y y +=+++22221(2())4Q B Q B Q B Q B x x y y x x y y =+++++ 1(52(1))4Q B x x =++-34P x =+．（步骤8）故动点P 的估计方程为221()12x y -+=．（步骤9）21．设m 个不全相等的正数12,,,(7)m a a a m …依次围成一个圆圈．（Ⅰ）若2009m =，且121005,,,a a a 是公差为d 的等差数列，而120092008,,,,a a a a 是公比为q d =的等比数列；数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m …满足：320092007115,12S S S a ==+，求通项()n a n m …；（Ⅱ）若每个数()n a n m …是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：2216712m m a a a a ma a a +++++> ．【测量目标】等差等比数列的综合应用．【考查方式】给出条件，综合利用等差等比数列的相关知识求解．【难易程度】较难.【试题解析】（I ）因1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列，从而20091a a d =，220081a a d =，由 200920071200820091212S Sa a a a =++=得，故解得3d =或4d =-（舍去），因此3d =．（步骤1）又 313315S a d =+=．解得12a =．（步骤2）从而当1005n …时，1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-；（步骤3）当10062009n剟时，由1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列得2009(1)201011(10062009)n n n a a d a d n---==剟．因此201031,100523,10062009n nn n a n--⎧=⎨⎩…剟．（步骤4）（II ）由题意222222222111112(1),,n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<==得111112(1),n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<⎧⎪=⎨⎪=⎩ ①②③（步骤5）有①得413456112211,,,a a a a a a a a a a ====， ④ （步骤6）由①，②，③得21212()n n a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，故121n a a a ⋅⋅⋅=． ⑤ （步骤7）又2131111(13)r r r r r r ra a a r m a a a a +++++===- 剟，故有631(16)r r r a a r m a ++==-剟． ⑥ （步骤8）下面反证法证明：6m k =．若不然，设6,15m k p p=+其中剟．若取1p =即61m k =+，则由⑥得611m k a a a +==，而由③得11122,,m a aa a a a ==故（步骤9）得21a =，由②得11m m a a a -=，从而661k m a a a -==，而162aa a =，121a a ==故，由④及⑥可推得1n a =（1nm 剟）与题设矛盾．（步骤10）同理若p =2，3，4，5均可得1n a =（1n m 剟）与题设矛盾，因此6m k =为6的倍数，由均值不等式得21123612121211()()()6a a a a a a a a a a a a ++++=+++++…L ．（步骤11）由上面三组数内必有一组不相等（否则1231a a a ===，从而451m a a a ====L 与题设矛盾），故等号不成立，从而12366a a a a ++++>L ，（步骤12）又6m k =，由④和⑥得2222227712656()()m k k a a a a a a -++=++++++L L L L 2216(1)()k a a =-+222123222123111(1)()6(1)k a a a k a a a =-+++++-…．（步骤13）因此由⑤得221236712366(1)6m m a a a a a a k k m ma a a a +++++++>+-===L L L ．（步骤14）。

2009年重庆市高考数学试卷(理科)及答案

2009年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离2．（5分）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．1604．（5分）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．5．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）6．（5分）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．8．（5分）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．69．（5分）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或210．（5分）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B=．12．（5分）若f（x）=a+是奇函数，则a=．13．（5分）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．14．（5分）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．17．（13分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．18．（13分）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．20．（12分）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M 在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P 的轨迹方程．21．（12分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．2009年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•重庆）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B2．（5分）（2009•重庆）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【分析】由题意求出复数z，代入，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，可得选项．【解答】解：因为由条件知z=﹣1+2i，则=，故选A．3．（5分）（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．160【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．【解答】解：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6r x6﹣r•2r，令6﹣r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．4．（5分）（2009•重庆）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量的运算法则及向量模的平方即是向量的平方求出，再利用向量的数量积公式求出向量的夹角余弦，求出向量夹角．【解答】解：∵==2．又，∴=3．即cos＜a，b＞=3=1×6cos＜a，b＞，得cos＜a，b＞=，∴a与b的夹角为，故选项为C．5．（5分）（2009•重庆）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于a2﹣3a，求出a的范围．【解答】解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．6．（5分）（2009•重庆）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的知识点是古典概型，我们计算出总的滔法种类，再计算满足条件“从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件个数，然后代入古典概型公式计算，即可得到答案．【解答】解：因为总的滔法C154，而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆，取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率P==．故选C．7．（5分）（2009•重庆）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．【分析】利用向量的坐标表示可求=1+cos（A+B），结合条件C=π﹣（A+B）可得sin（C+=，由0＜C＜π可求C【解答】解：因为=又因为所以又C=π﹣（B+A）所以因为0＜C＜π，所以故选C．8．（5分）（2009•重庆）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【分析】先通分得，然后由极限的性质知，由此可以求出a﹣b的值．【解答】解：∵已知==2，∴，∴a=2，b=﹣4；∴a﹣b=6．故选D．9．（5分）（2009•重庆）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或2【分析】三个互不重合的平面把空间分成六个部份有两种情形：一是其中两个平面平行，第三个平面都与它们相交；二是三个平面交于一条直线，考虑到两类即可解决．【解答】解：分两类：①当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；②当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D10．（5分）（2009•重庆）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π【分析】首先由题目中已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x求周期，需要把函数化为标准型，然后根据周期公式求解即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin2x﹣cos2x=，所以函数的周期T=，故答案选择B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•重庆）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B={x|0＜x＜3} ．【分析】要求A与B的交集，先要求出两个集合的区间，解出绝对值不等式得到集合A，根据指数函数的增减性得到集合B，然后取两集合的公共部分即可得到交集．【解答】解：由|x|＜3解得﹣3＜x＜3；由2x＞1=20，根据指数函数y=2x为增函数得到x＞0∴A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜3}．故答案为：{x|0＜x＜3}12．（5分）（2009•重庆）若f（x）=a+是奇函数，则a=﹣．【分析】充分不必要条件：若奇函数定义域为R（即x=0有意义），则f（0）=0．或用定义：f（﹣x）=﹣f（x）直接求a．【解答】解：函数的定义域为R，且为奇函数，则f（0）=a+=0，得a+=0，得a=﹣，检验：若a=﹣，则f（x）=+=，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x）为奇函数，符合题意．故答案为﹣．13．（5分）（2009•重庆）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有36种（用数字作答）．【分析】由题意知将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，需要先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果．【解答】解：∵将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有C24A33=36．故答案为：3614．（5分）（2009•重庆）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1．【分析】由题设条件得b n====2b n，由此能+1够导出数列{b n}的通项公式b n．【解答】解：由条件得：b n====2b n+1且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n﹣1=2n+1．故答案为：2n+1．15．（5分）（2009•重庆）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，）．【分析】不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入求得e 的范围．【解答】解：不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．由正弦定理有，由双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex o，|PF2|=ex o﹣a，则有=，得x o=＞a，分子分母同时除以a2，易得：＞1，解得1＜e＜+1故答案为（1，）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2009•重庆）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．【分析】（1）利用两角差的正弦公式及二倍角公式及化简三角函数；再利用三角函数的周期公式求出周期．（2）在y=g（x）上任取一点，据对称行求出其对称点，利用对称点在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整体角的范围，据三角函数的有界性求出最值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为17．（13分）（2009•重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：设A k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2B l表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则A k，B l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（A k）=C2k（）k（）2﹣k，P（B l）=C21（）l（）2﹣l．据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．（1）所求概率为P（A1•B1）=P（A1）•P（B1）=×=．（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（ξ=0）=P（A0•B0）=P（A0）•P（B0）=×=，P（ξ=1）=P（A0•B1）+P（A1•B0）=×+×=，P（ξ=2）=P（A0•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B0）=×+×+×=，P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=×+×=．P（ξ=4）=P（A2•B2）=×=．综上知ξ有分布列ξ01234P从而，ξ的期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．18．（13分）（2009•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g （x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0，从而b=0，由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：、令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0（8分）（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根当是g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数（14分）19．（12分）（2009•重庆）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理可知AD∥平面BCS，则从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离，从而DS为点A到平面BCS的距离，在Rt△ADS中求出DS即可；（Ⅱ）过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，根据二面角平面角的定义可知∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，过E点作EF ∥BC，交CS于点F，连接GF，在Rt△FEG中，求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）因为AD∥BC，且BC⊂平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥SD，由AD∥BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离，因此在Rt△ADS中（Ⅱ）如图，过E电作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，故∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，记为θ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF，故．由于E为BS边中点，故，在Rt△CFE中，，因EF⊥平面CSD，又EG⊥CD故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，从而又可得△CGF～△CSD，因此而在Rt△CSD中，，在Rt△FEG中，可得，故所求二面角的大小为20．（12分）（2009•重庆）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M 在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P 的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b ＞0）．设，由准线方程．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（Ⅱ）设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+y y=4．因为，（1﹣x Q﹣y Q）•（1﹣x N﹣y n）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．由此可导出动点P的轨迹方程为．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程得．由得，解得a=2，c=，从而b=1，椭圆方程为．又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以，|MC|+|MD|=2a=4从而|MC|•|MD|，当且仅当|MC|=|MD|，即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（II）如图（20）图，设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+（y M）2=4 ①因为，（1﹣x Q，﹣y Q）•（1﹣x N，﹣y N）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．②记P点的坐标为（x P，y P），因为P是BQ的中点所以2x P=x Q+x B，2y P=y Q+y B由因为x N2+y N2=1，结合①，②得===故动点P的轨迹方程为21．（12分）（2009•重庆）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．【分析】（1）利用等比数列的性质，用a1、d表示出a2009、a2008，结合已知，列方程即可解出a1、d，进而求出a n．（2）通过探求数列的周期性或利用反证法求解．【解答】解：（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，从而a2009=a1d，a2008=a1d2，由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，解得d=3或d=﹣4（舍去）．∴d=3，又S3=3a1+3d=15．解得a1=2从而当n≤1005时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1当1006≤n≤2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列得a n=a1d2009﹣（n﹣1）=a1d2010﹣n（1006≤n≤2009）因此（II）由题意a n2=a n﹣12a n+12（1＜n＜m），a m2=a m﹣12a12，a12=a m2a22得有①得④由①，②，③得a1a2a n=（a1a2a n）2，故a1a2a n=1．⑤又，故有．⑥下面反证法证明：m=6k若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由⑥得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，由②得，而④及⑥可推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，从而a4=a5═a m=1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1+a2+a3++a6＞6又m=6k，由④和⑥得a72++a m2=（a72++a122）++（a6k﹣52++a6k2）=（k﹣1）（a12++a62）=因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++a m2＞6+6（k﹣1）=6k=m=ma1a2a3a m。

2009年全国高考重庆卷(数理)试题

2009年全国高考重庆卷（数理)试题shuli一、单项选择题：（本题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两个大小分别为F1和F2（F1<F2）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F满足答案：C2．一根容易形变的弹性导线，两端固定。

导线中通有电流，方向如图中箭头所示。

当没有磁场时，导线呈直线状态：当分别加上方向竖直向上、水平向右或垂直于纸面向外的匀强磁场时，描述导线状态的四个图示中正确的是答案：D3．两刚性球a和b的质量分别为ma和mb、直径分别为da和db (da>db )。

将a、b球依次放入一竖直放置、内径为的平底圆筒内，如图所示。

设a、b两球静止时对圆筒侧面的压力大小分别为f1和f2,筒底所受的压力大小为F．已知重力加速度大小为g。

若所以接触都是光滑的，则A．F=(ma+mb)g,f1=f2B．F=(ma+mb)g,f1≠f2C．mag＜F＜(ma+mb)g,f1=f2D．mag＜F＜(ma+mb)g,f1≠f2答案：A4．一长直铁芯上绕有一固定线圈M，铁芯右端与一木质圆柱密接，木质圆柱上套有一闭合金属环N，N可在木质圆柱上无摩擦移动。

M连接在如图所示的电路中，其中R为滑线变阻器，E1和E2为直流电源，S为单刀双掷开关。

下列情况中，可观测到N向左运动的是A．在S断开的情况下，S向a闭合的瞬间B．在S断开的情况下，S向b闭合的瞬间C．在S已向a闭合的情况下，将R的滑动头向c端移动时D．在S已向a闭合的情况下，将R的滑动头向d端移动时答案：C5．一平行板电容器两极板间距为d、极板面积为S，电容为ε0s/d，其中ε0是常量。

对此电容器充电后断开电源。

当增加两板间距时，电容器极板间A．电场强度不变，电势差变大B．电场强度不变，电势差不变C．电场强度减小，电势差不变D．电场强度较小，电势差减小答案：A6．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则答案：B二、多项选择题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有二个或三个选项是符合题目要求的。

2009年高考重庆数学(理科)试题及参考答案

金相组织
共析钢过共析钢轧钢
或
供货方式
锻钢铸钢
金属材料的定义及分类
金属材料的定义: 由金属元素或以金属元素为主构成的具有金属特性的材料的统称。包括纯金属、合金、金属间化合物和特种金属材料等。金属材料的分类：
黑色金属又称钢铁材料，包括含铁90％以上的工业纯铁，含碳 2％～4％的铸铁，含碳小于2％的碳钢，以及各种用途的结构钢、不锈钢、耐热钢、高温合金、精密合金等。广义的黑色金属还包括铬、锰及其合金。
黑色金属
金属材料
有色金属
有色金属是指除铁、铬、锰以外的所有金属及其合金，通常分为轻金属、重金属、贵金属、半金属、稀有金属和稀土金属等。有色合金的强度和硬度一般比纯金属高，并且电阻大、电阻温度系数小。

特种金属材料
特种金属材料包括不同用途的结构金属材料和功能金属材料。其中有通过快速冷凝工艺获得的非晶态金属材料，以及准晶、微晶、纳米晶金属材料等；还有隐身、抗氢、超导、形状记忆、耐磨、减振阻尼等特殊功能合金，以及金属基复合材料等。
钢的分类
平炉钢
冶炼方法
转炉钢电炉钢碳素钢
化学成分
合金钢普通钢磷≤0.045％、硫≤0.055％磷、硫≤0.035％磷、硫≤0.03％
品
质
优质钢高级优质钢
钢
用途
结构钢
工具钢特殊钢亚共析钢
用以制造各种承力结构件和机械零件
用以制造各种切削刀具、量具、模具和其他耐磨工具耐热钢、耐磨钢、不锈钢、电工钢、低温钢、易切削钢等铁素体加珠光体组织珠光体组织碳化物加珠光体组织珠光体钢贝氏体钢马氏体钢奥氏体钢铁素体钢
过饱和
铁素体+渗碳体

2009年高考重庆数学(理科)试题及参考答案

2009年高考重庆数学（理科)试题和参考答案本试卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，以R 为半径的球体积：34π3V R =一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（）A ．16B ．70C ．560D ．11204．已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A ．891 B ．2591 C ．4891 D ．60917．设ABC ∆的三个内角,,A B C，向量,sin )A B =m，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．已知22lim()21x x ax b x →∞--=+，其中,a b R ∈，则a b -的值为（） A ．-6B ．2-C ．2D ．69．已知二面角l αβ--的大小为050，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是025的直线的条数为（）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

da2009年高考数学(重庆)理

4 0，上的最大值为 3
gmax 3 cos
解法二：
π 3 ． 3 2
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因区间 0, 关于 x 1 的对称区间为，且 y g ( x) 与 y f ( x) 的图象关于 x 1 对 2 ， 3 3 称，故 y g ( x) 在 0，上的最大值即为 y f ( x) 在， 2 上的最大值．

2 3

1 2
ex (k 0) ，（II）由（I）知， g ( x) 2 x k
g ( x)
ex ( x2 2 x k ) (k 0) ． ( x 2 k )2
2
令 g ( x) 0 ，有 x 2 x k 0 (k 0) ．（1）当 4 4 k 0 ，即当 k 1 时， g ( x) 0 在 R 上恒成立，故函数 g ( x) 在 R 上为增函数．
π π g ( x) f (2 x) 3 sin (2 x) 3 4 π π π 3 sin x 3 2 4 π π 3 cos x ， 3 4
当 0≤ x≤
4 π π π 2π 时， ≤ x ≤ ，因此 y g ( x) 在区间 3 3 4 3 3
4
2
4 3
2 3
由（I）知 f ( x) 3 sin 当
π π x ， 3 4
2 π π π π ≤ x ≤ 2 时， ≤ x ≤ ． 3 6 4 3 6
因此 y g ( x) 在 0，上的最大值为 g max 3 sin （17）（本小题 13 分）
解法二：分布列的求法同前．令 1 ， 2 分别表示甲、乙两种树成活的株数，则

重庆高考数学理科卷带详解

2009年高考数学重庆卷理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【测量目标】直线与圆的位置关系．【考查方式】给出直线和圆的方程，判断它们的位置关系．【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B ． 2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+【测量目标】复数代数形式的四则运算．【考查方式】给出复数的实部和虚部，计算求解．【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】因为由条件知12i z =-+，则5i 5i(12i)5i 102i (12i)(12i)5z ---+===--+--，所以选A ．3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（）A ．16B ．70C ．560D ．1120 【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数．【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】设含4x 的为第2816318821,C ()()C 2r rr r r r r r T x x x--++==，1634r -=，所以4r =，故系数为：448C 21120=，选D ．4．已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【测量目标】平面向量的夹角问题．【考查方式】给出两个向量的模和它们满足的关系式，求两向量的夹角．【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】因为由条件得222,23cos 16cos αα-==+===⨯⨯所以g g g a b a a b a a b ，1πcos 23αα==所以，所以．5．不等式2313x x a a +---…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞【测量目标】不等式恒成立问题．【考查方式】给出不等式及其恒成立的条件，求取值范围．【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】因为2314313x x x x a a +--+---对剟对任意x 恒成立，所以2234340a a a a ---即厖，解得41a a -或厔．6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（） A ．891 B ．2591 C ．4891 D ．6091【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】已知不同馅料汤圆的个数，由取法规则求概率．【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】因为总的方法415C ,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为112121211654654654415C C C C C C C C C 48C 91⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 7．设ABC △的三个内角,,A B C，向量,sin )A B =m，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（） A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π6【测量目标】向量的坐标运算、三角函数．【考查方式】给出两向量及其坐标与三角形内角关系式，求未知角．【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】cos sin )1cos()A B A B A B A B =+=+=++m n g g g ，πA B C ++=1cos C C =-cos 1C C +=，π2sin16C +=（） π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =． 8．已知22lim()21x x ax b x →∞--=+，其中,a b ∈R ，则a b -的值为（） A ．-6 B ．2- C ．2D ．6【测量目标】函数的极限．【考查方式】给出函数的极限，求其中的未知量．【难易程度】中等. 【参考答案】D【试题解析】222lim 1x x ax ax bx bx →∞----+(2)()lim211x ba x ab x x→∞--+-==+．则20()2a ab -=⎧⎨-+=⎩，解得2,4a b ==-，故2(4)6a b -=--=．（删除）9．已知二面角l αβ--的大小为50︒，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25︒的直线的条数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【测量目标】二面角、线面角．【考查方式】给出二面角的大小，求过空间中任意一点与两平面成固定角度的直线条数．【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】AFE ∠是度数为50︒的二面角的一个平面角，FG AFE ∠为的平分线，当过P 的直线与FG 平行时，满足条件，当过点P 的直线与AD 平行，也是满足条件直线，与AD 直线类似，过点的直线与BE 平行也是满足条件得共有3条．10．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A．8)3B．C ．48(,)33D．4(3【测量目标】函数的周期性、函数图象的应用．【考查方式】给出函数及其周期，利用函数的图象判断取值范围．【难易程度】较难. 【参考答案】B 【试题解析】第10题图因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第二个半椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…无公共点时，方程恰有5个实数解，将3xy =代入222(4)1(0)y x y m-+=…得 2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>则2(1)8150t x tx t +-+=．（步骤1）由2(8)415(1)0t t t ∆=-⨯+>，得15t >，由2915m >，且0m >得3m >．（步骤2）同样由3x y =与第三个椭圆222(8)1(0)y x y m -+=…由0∆<可计算得m <综上知m ∈．（步骤3）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上． 11．若{}3A x x =∈<R ，{}21xB x =∈>R ，则A B = ．【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】给出两个集合，求它们的交集．【难易程度】中等. 【参考答案】（0，3）【试题解析】因为{}{}|33,|0,A x x B x x =-<<=>所以(0,3)A B =I . 12．若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = ．【测量目标】函数的奇偶性．【考查方式】给出函数的奇偶性，求其中的未知量．【难易程度】中等. 【参考答案】12【试题解析】12()2112xxxf x a a --=+=+--，()()f x f x -=- 2112()2112211212x x x x x x a a a ⇒+=-+⇒=-=----故12a =． 13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【测量目标】排列组合及其应用．【考查方式】用排列组合求解概率问题．【难易程度】中等. 【参考答案】36【试题解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122C C C A g g ；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有2113421322C C C A 36A =g g g ． 14．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，n *∈N ，则数列{}n b 的通项公式n b = ．【测量目标】等比数列的通项、等比数列的性质．【考查方式】给出数列的首项、第1n +项及两数列的关系式，求另一数列的通项公式．【难易程度】较难. 【参考答案】21n +【试题解析】由条件得111222+12222111+1n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++====---且14b =所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+==g ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．【测量目标】双曲线的简单几何性质．【考查方式】给出点和双曲线方程的关系式，求其离心率．【难易程度】较难.【参考答案】1)【试题解析】解法一：因为在12PF F △中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =．（步骤1）则由已知，得21a c P F P F =，即12aPF cPF =，且知点P 在双曲线的右支上，设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF ex a =+=-则00()()a a ex c ex a +=-，（步骤2）解得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e ++==--由双曲线的几何性质知0x a >则(1)(1)a e a e e +>-，整理得 2210,e e --<解得11(1,)e e <<∈+∞，又，故椭圆的离心率1)e ∈（步骤3）解法二：由解析1知12cPF PF a=由双曲线的定义知 122PF PF a -=则222cPF PF a a-=即222a PF c a =-，（步骤1）由椭圆的几何性质知2PF c a >-，则22a c a c a>--，即2220c ac a --<，所以2210,e e --<以下同解析1．（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．设函数2πππ()sin()2cos 1468x x f x =--+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．【测量目标】三角函数定义域、值域.【考查方式】给出函数式，求其最小正周期；根据直线方程求解与函数关于直线对称的另一函数在区间内的最大值．【难易程度】容易.【试题解析】（Ⅰ）()f x =πππππsincos cos sin cos 46464x x x --π3πcos 424x x -ππsin()43x -．（步骤1）故()f x 的最小正周期为2ππ4T = =8．（步骤2）(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -．由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而ππ()(2)sin[(2)]43g x f x x =-=--πππsin[]243x =--ππcos()43x =+．（步骤3）当403x 剟时，πππ2π3433x +剟，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max π3g ==（步骤4）解法二：因区间4[0,]3关于1x =的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于1x =对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值．（步骤1）由（Ⅰ）知()f xππsin()43x -，当223x 剟时，ππππ6436x --剟，因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max π62g ==．（步骤2）17．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【考查方式】给出事件的概率，由独立重复试验的概率公式求事件概率并求解随机变量的期望和方差．【难易程度】中等.【试题解析】设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2，l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2，则k A ，l B 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()C ()()33kkkk P A -=，2211()C ()()22llll P B -=．（步骤1）据此算得01()9P A = ， 14()9P A = ， 24()9P A =． 01()4P B = ， 11()2P B = ， 21()4P B =．（步骤2）(Ⅰ) 所求概率为1111412()()()929P A B P A P B ==⨯=．（步骤3） (Ⅱ) 解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436P P A B P A P B ξ====⨯=，（步骤4）011011411(1)()()92946P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=，（步骤5） 021*********(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==++=⨯+⨯+⨯1336=，（步骤6）122141411(3)()()94923P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=．（步骤7） 22411(4)()949P P A B ξ===⨯=．（步骤8）综上知ξ有分布列（步骤9）从而，ξ的期望为111311012343663639E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯73=（步骤10）解法二：分布列的求法同上．令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则 1221(2,),(2,)32B B ξξ::，（步骤1）故有122412,21332E E ξξ=⨯==⨯=，从而知1273E E E ξξξ=+=．（步骤2）18．设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数e ()()xg x f x =，讨论()g x 的单调性．【测量目标】利用倒数求函数的极值、曲线的切线方程、利用导数求函数的单调区间．【考查方式】给出函数、其极值点的取值和某点的切线方程，求未知量；根据两函数的关系式讨论另一函数的单调性．【难易程度】中等.【试题解析】（Ⅰ）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故．（步骤1）又()f x 在0x =处取得极值，故()0,f x '=从而0b =，（步骤2）由曲线y =()f x 在(1,(1))f 处的切线与直线+210x y +=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2f '=，有22a =，从而1a =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2e ()(0)xg x k x k =>+， 222e (2)()(0)()x x x k g x k x k -+'=>+，（步骤5）令2()0,20g x x x k '=-+=有，（步骤6）（1）当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x '>在R 上恒成立，故函数()g x 在R 上为增函数．（步骤7）（2）当440k ∆=-=，即当1k =时，222e (1)()0(1)()x x g x x x k -'=>≠+， 1k =时，()g x 在R 上为增函数．（步骤8）（3）440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根，11x =21x =（步骤9）当(,1()0,(),1x g x g x '∈-∞>-∞-是故在（上为增函数，当1x ∈-（时，()0,g x '<故()1g x +在（上为减函数，当1x ∈+∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数．（步骤10）19．如图，在四棱锥S ABCD -中，ADBC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，CE AS ==（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．第19题图(1)【测量目标】二面角、空间立体几何中平行与垂直关系的综合问题．【考查方式】给出四棱锥及其线面关系，求点到平面的距离和二面角．【难易程度】中等.【试题解析】解法一：（Ⅰ）因为ADBC ，且,BC BCS ⊂平面所以AD BCS 平面，从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离．（步骤1）因为平面,CSD ABCD AD CD ⊥⊥平面，故AD CSD ⊥平面，从而AD SD ⊥，（步骤2）由ADBC ，得B C D S⊥，又由CS DS ⊥知DS BCS ⊥平面，从而DS 为点A 到平面BCS 的距离，（步骤3）因此在Rt ADS △中，DS ===（步骤4） (Ⅱ)如图，第19题图（Ⅱ）过E 点作,EG CD ⊥交CD 于点G ，又过G 点作GH CD ⊥，交AB 于H ，故EGH ∠为二面角E CD A --的平面角，记为θ，过E 点作EFBC ，交CS 于点F ，连结GF ，（步骤5）因平面ABCD CSD ⊥平面，GH CD ⊥，易知GH GF ⊥，故π2EGF θ=-∠．（步骤6）由于E 为BS 边中点，故112CF CS ==，在Rt CFE △中1EF ==，（步骤7）因EF CSD ⊥平面，又EG CD ⊥，,故由三垂线定理的逆定理得FG CD ⊥，从而又可得CGF CSD △△:，（步骤8）因此GF CFDS CD=而在Rt CSD △中，CD ===（步骤9）故CF GF DS CD ===g ．（步骤10）在Rt FEG △中，tan EFEGF FG==可得π3EGF ∠=，故所求二面角的大小为π6θ=．（步骤11）解法二：（Ⅰ）如图，第19题图以()S O 为坐标原点，射线,OD OC 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设(,,)A A A A x y z ，因为平面COD ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，故AD COD ⊥平面．（步骤1）即点A 在xOz 平面上，因此0A y =，1A z AD ==uuu r，（步骤2）又22213,AA x AS x +===uu r1A ，）．（步骤3）因ADBC ，故BC ⊥平面CSD ，即BCS 与平面yOz 重合，从而点A 到平面BCS的距离为A x =（步骤4） (Ⅱ)易知(0,2,0)C，D ．因E 为BS 的中点．BCS △为直角三角形，知2BS CE ==uu r uur5）设(0,2,)B B z ，0B z >，则2A z =，故(0,2,2)B ，所以(0,1,1)E ．（步骤6）在CD 上取点G ，设11(,,0)G x y ，使GE CD ⊥．由2,0)CD =-uu u r，11(,1,1)GE x y =--+uu u r ，0CD GE =uu u r uu u r g ．112(1)0y --= ①（步骤7）又点G 在直线CD 上，即CG CD u u u r u u u r，由CG =uuu r 11(,2,0)x y -，122y -=- ②（步骤8）联立①、②，解得,0)3G =，（步骤9）故GE uu ur 1(,1)3=-．又由AD CD ⊥，所以二面角E CD A --的平面角为向量GE uu u r 与向量DA uu u r所成的角，记此角为θ．（步骤10）因为GE uu u r，(0,0,1)DA =u u u r ，1DA =uu u r ，1GE DA =uu u r uu u r g ，所以cos GE DA GE DAθ==uu u r uu u r g uu u r uu u r g 故所求的二面角的大小为π6．（步骤11） 20．已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为3y =，离心率2e =，M 是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,C D的坐标分别是(0,，求MC MD 的最大值；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+，0QA BA =．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．第20题图【测量目标】椭圆的标准方程和简单几何性质、基本不等式求最值、圆锥曲线中的轨迹问题．【考查方式】给出椭圆的一条准线方程和离心率，利用基本不等式求最值；利用向量的坐标运算求点的轨迹方程．【难易程度】较难.【试题解析】：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221x y b a+=(0)a b >>．设c =由准线方程y =得．由e =c a =，解得2,a c ==，从而1b =，椭圆方程为214x +=．（步骤1）又易知,C D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以，24MC MD a +==，（步骤2）从而22242MC MD MC MD ⎛+⎫== ⎪⎝⎭…g ，（步骤3）当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号，MC MD g 的最大值为4．（步骤4）（II ）如图，第20题图设(,)M M M x y ，(,)B B B x y ，(,)Q Q Q x y ．因为(,0),M N x OM ON OQ +=，故2,Q M Q M x x y y ==，2222(2)4Q Q M M x y x y +=+=， ① （步骤5）因为0QA BA =， (1,)(1,)Q Q B B x y x y ----(1)(1)0Q B Q B x x y y =--+=所以 1Q B Q B B Q x x y y x x +=+-． ② （步骤6）记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点，所以 2,2P Q B P Q B x x x y y y =+=+．（步骤7）又因为 221B B x y +=，结合①，②得22221(()())4B B Q B Q B x y x x y y +=+++22221(2())4Q B Q B Q B Q B x x y y x x y y =+++++1(52(1))4Q B x x =++-34P x =+．（步骤8）故动点P 的估计方程为221()12x y -+=．（步骤9）21．设m 个不全相等的正数12,,,(7)m a a a m …依次围成一个圆圈．（Ⅰ）若2009m =，且1210,,,a a a 是公差为d 的等差数列，而120092008,,,,a a aa 是公比为q d =的等比数列；数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m …满足：320092007115,12S S S a ==+，求通项()n a n m …；（Ⅱ）若每个数()n a n m …是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：2216712m m a a a a ma a a +++++>．【测量目标】等差等比数列的综合应用．【考查方式】给出条件，综合利用等差等比数列的相关知识求解．【难易程度】较难.【试题解析】（I ）因1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列，从而20091a a d =，220081a a d =，由 200920071200820091212S Sa a a a =++=得，故解得3d =或4d =-（舍去），因此3d =．（步骤1）又 313315S a d =+=．解得12a =．（步骤2）从而当1005n …时，1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-；（步骤3）当10062009n剟时，由1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列得2009(1)201011(10062009)n n n a a d a d n---==剟．因此201031,100523,10062009n nn n a n --⎧=⎨⎩…剟．（步骤4）（II ）由题意222222222111112(1),,n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<==得111112(1),n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<⎧⎪=⎨⎪=⎩ ①②③（步骤5）有①得413456112211,,,a a a a a a a a a a ====， ④ （步骤6）由①，②，③得21212()n n a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，故121n a a a ⋅⋅⋅=． ⑤ （步骤7）又2131111(13)r r r r r r ra a a r m a a a a +++++===-剟，故有631(16)r r r a a r m a ++==-剟． ⑥ （步骤8）下面反证法证明：6m k =．若不然，设6,15m k p p =+其中剟．若取1p =即61m k =+，则由⑥得611m k a a a +==，而由③得11122,,m a aa a a a ==故（步骤9）得21a =，由②得11m m a a a -=，从而661k m a a a -==，而162aa a =，121a a ==故，由④及⑥可推得1n a =（1nm 剟）与题设矛盾．（步骤10）同理若p =2，3，4，5均可得1n a =（1n m 剟）与题设矛盾，因此6m k =为6的倍数，由均值不等式得21123612121211()()()6a a a a a a a a a a a a ++++=+++++…L ．（步骤11）由上面三组数内必有一组不相等（否则1231a a a ===，从而451m a a a ====L 与题设矛盾），故等号不成立，从而12366a a a a ++++>L ，（步骤12）又6m k =，由④和⑥得2222227712656()()m k k a a a a a a -++=++++++L L L L2216(1)()k a a =-+222123222123111(1)()6(1)k a a a k a a a =-+++++-…．（步骤13）因此由⑤得221236712366(1)6m m a a a a a a k k m ma a a a +++++++>+-===L L L ．（步骤14）。

2005-2009年高考数学试题(重庆·理)含答案

2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A ．5)2(22=+-yxB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x 2．=-+2005)11(ii（）A ．iB ．－iC ．20052D ．－200523．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）4．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量AC 与DA 的夹角为（）A ．54arccos2-πB ．54arccosC ．)54arccos(-D ．－)54arccos(-5．若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是（）A ．3B ．27 C ．4D ．296．已知α、β均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β，其中，可以判定α与β平行的条件有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若)12(xx -n展开式中含21x项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于（）A ．4B ．6C ．8D ．109．若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x上变化，则y x 22+的最大值为（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+bD ．2b10．如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ，使 AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O —BCD 的体积等于（）A ．91B ．81C ．71D ．41第二部分（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，则B A = . 12．曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= .13．已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+=.14．nnn n n 231233232lim+-+∞→= .15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)2cos(2sin)2sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 19．（本小题满分13分）已知R a ∈，讨论函数)1()(2+++=a ax x e x f x的极值点的个数.20．（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3π，求：（Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值. 21．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+yx，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a nn a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）一、选择题：每小题5分，满分50分.1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C 二、填空题：每小题4分，满分24分.11．}30|{<<x x 12．1± 13．1 14．－3 15．12845 16．②③⑤三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）.15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a aax axa x x x a x xx f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ18．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============CC C P CC C P CC P CC C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P（Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）. 19．（本小题13分）.0)12()2(0)()],12()2([)2()1()(:222=++++='++++=+++++='a x a x x f a x a x e a x e a ax x e x f x xx 得令解（1）当.0)4(4)12(4)2(22>-=-=+-+=∆a a a a a a:),)(()(,,,0)12()2(,402121212从而有下表于是不妨设有两个不同的实根方程时或即x x x x e x f x x x x a x a x a a x--='<=++++><x),(1x -∞x 1 ),(21x x 2x ),(2+∞x)(x f '+ 0－ 0 + )(x f)(1x f 为极大值)(2x f 为极小值即此时)(x f 有两个极值点.（2）当0)12()2(,4002=++++===∆a x a x a a 方程时或即有两个相同的实根21x x =于是21)()(x x e x f x -=')(,0)(,;0)(,21x f x f x x x f x x 因此时当时故当>'>>'<无极值.ξ 010205060P3152151152151（3）,0)12()2(,40,02>++++<<<∆a x a x a 时即当)(,0)]12()2([)(2x f a x a x e x f x 故>++++='为增函数，此时)(x f 无极值. 因此当)(,40,2)(,04x f a x f a a 时当个极值点有时或≤≤<>无极值点.20．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因AB ⊥面BB 1C 1C ，故AB ⊥BE.又EB 1⊥EA ，且EA 在面BCC 1B 1内的射影为EB.由三垂线定理的逆定理知EB 1⊥BE ，因此BE 是异面直线 AB 与EB 1的公垂线，在平行四边形BCC 1B 1中，设EB=x ，则EB 1=24x -，作BD ⊥CC 1，交CC 1于D ，则BD=BC ·.233sin=π在△BEB 1中，由面积关系得0)3)(1(,23221421222=--⋅⋅=-x x xx 即.3,1±=±=x x 解之得（负根舍去）,33cos21,,322=⋅-+∆=πCE CEBCE x 中在时当解之得CE=2，故此时E 与C 1重合，由题意舍去3=x .因此x =1，即异面直线AB 与EB 1的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG//B 1A 1，则GE ⊥面BCC 1B ，故GE ⊥EB 1且GE 在圆A 1B 1E 内，又已知AE ⊥EB 1故∠AEG 是二面角A —EB 1—A 1的平面角. 因EG//B 1A 1//BA ，∠AEG=∠BAE ，故.2221tan ===ABBE AEG解法二：（Ⅰ）平面又由得由⊥=⋅⊥AB EB AE EB AE ,0,11 而BB 1C 1C 得AB ⊥EB 1从而1EB AB ⋅=0..,0)(111111的公垂线与是异面直线故线段即故EB AB BE EB EB EB AB EB EA EB AB EA EB EB ⊥=⋅+⋅=⋅+=⋅答（20）图1设O 是BB 1的中点，连接EO 及OC 1，则在Rt △BEB 1中，EO=21BB 1=OB 1=1，因为在△OB 1C 1中，B 1C 1=1，∠OB 1C 1=3π，故△OB 1C 1是正三角形，所以OC 1=OB 1=1，又因∠OC 1E=∠B 1C 1C －∠B 1C 1O=,3332πππ=-故△OC 1E 是正三角形，所以C 1E=1，故CE=1，易见△BCE 是正三角形，从面BE=1，即异面直线AB 与EB 1的距离是1.（Ⅱ）由（I ）可得∠AEB 是二面角A —EB 1—B 的平面角，在Rt △ABE 中，由AB=2， BE=1，得tanAEB=2.又由已知得平面A 1B 1E ⊥平面BB 1C 1C ，故二面角A —EB 1—A 1的平面角AEB ∠-=2πθ，故.22cot )2tan(tan ==∠-=AEB AEB πθ解法三：（I ）以B 为原点，1BB 、BA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB=2，∠BCC 1=3π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），)0,23,23(),0,21,23(1C C -设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EA EB EA a E)0,2,23()2,,23(0a a --⋅--= ,432)2(432+-=-+=a a a a.,04343)02323()0,21,23()0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅===--即故舍去或即得又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE. 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线，则14143||=+=BE ，故异面直线AB 、EB 1的距离为1.（II ）由已知有,,1111EB A B EB EA ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量EA A B 与11的夹角..22tan ,32||||cos ),2,21,23(),2,0,0(111111==⋅=--===θθ即故因A B EA A B EA EA BA A B21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by ax，则.1,31422222==+=-=bc ba a 得再由故C 2的方程为.1322=-yx（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k yxkx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆kk k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k yxkx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA kx x kk x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=kk kk k kk x x k x x kB A B A.0131315,613732222>--<-+kk k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<kk或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----22．（本小题12分）（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+kk k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a nn a nn a n nnn n两边取对数并利用已知不等式得 n nn a nn a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn nn a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n nn a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=nnn nn即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a nn a n nn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=nn因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立.2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(重庆卷,解析版)讲解

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（重庆卷，解析版）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，以R 为半径的球体积：34π3V R =一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离【答案】B【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离d ==，而01<<，选B 。

2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+【答案】A【解析】因为由条件知12z i =-+，则55(12)5102(12)(12)5i i i i i z i i ---+===--+--，所以选A 。

3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（） A ．16B ．70C ．560D ．1120【答案】【解析】设含4x 的为第2616316621,()()2rrr r r rr r T C x C xx--++==，1634r -= 所以4r =，故系数为：44621120C =，选D 。

高考试题——(重庆卷)数学理(有答案)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，，以R 为半径的球体积：34π3V R = 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+3．282()x x +的展开式中4x 的系数是（） A ．16 B ．70 C ．560 D ．11204．已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 5．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞ 6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

2009年高考重庆数学(理科)试题及参考答案

2009年高考重庆数学(理科)试题及参考答案
板块吸筹完毕一般发生在大盘启动初期，其主要特征是该板块大部分股票前期套牢筹码基本消失，股票启动时获利比例高于，板块大部分股票有启动迹象。

年月日——月日航天军工启动
凌云股份北方国际
二、板块洗盘完毕必将拉升
板块洗盘完毕一般发生在大盘拉升中期，是指该板块大部分股票拉升一波后进入洗盘阶段，主要特
板块二次吸筹后启动是指该板块经过一轮上涨后，大部分股票主力几乎全部出货，然后经过大幅下跌后（一般是大盘中期回调引起的）新的主力重新吸筹，吸筹完毕的特征是该板块大部分股票前期套牢
盘几乎割肉出局，上方套牢筹码消失转移到下方，股票经过的换手。

年月——月日发电设备启动
深圳惠程智光电气
板块，从该板块中寻找强势整理即将启动的个股。

、同步选股
大盘经过一波拉升后进入洗盘阶段的选股步骤：点击报价→点击热门板块分析→点鼠标右键→点
击区间热门板块→设置起止日期（上面填大盘启动日期，下面填大盘滞涨最后一天的日期）→点击确定→点击均涨幅，然后选取涨幅最大的板块，从该板块中寻找强势股，等待洗盘完毕后二次拉升时介入。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。

卷（选择题）和第错误！未找到引用源。

卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。

卷1至2页，第错误！未找到引用源。

卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。

也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）×+××+××（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4∴Eξ=2×+3×【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n=b n+，由此能够推导出所求的通+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。

2009年高考重庆数学试题参考答案

2009年高考重庆数学（理科)试题参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C (7) C (8) D (9) B (10) B 二．填空题：每小题5分，满分25分 (11) (0,3) (12)12(13) 36 (14) 12n +1) 三．解答题：满分75分 (16)（本小题13分）解：（Ⅰ）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--=3cos 2424x x ππ- sin()43x ππ-故()f x 的最小正周期为T =24ππ=8(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - . 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而 ()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=-- sin[]243x πππ--cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为m a xc o s 32g π== 解法二：因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值由（Ⅰ）知()f x sin()43x ππ- 当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤ 因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max 62g π==(17)（本小题13分）解：设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2 l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2则k A ，l B 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()()()33kkkk P A C -= , 2211()()()22llll P B C -= .据此算得01()9P A = , 14()9P A = , 24()9P A = . 01()4P B = , 11()2P B =, 21()4P B = . (Ⅰ) 所求概率为2111412()()()929P A B P A P B ∙=∙=⨯= . (Ⅱ) 解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436P P A B P A P B ξ==∙=∙=⨯= , 011011411(1)()()92946P P A B P A B ξ==∙+∙=⨯+⨯= ,021*********(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==∙+∙+∙=⨯+⨯+⨯=1336,122141411(3)()()94923P P A B P A B ξ==∙+∙=⨯+⨯= .22411(4)()949P P A B ξ==∙=⨯= . 综上知ξ有分布列从而，ξ的期望为111311012343663639E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 73=（株）解法二：分布列的求法同上令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则12ξξ::21B(2,)，B(2,)32故有121E E ξξ⨯=⨯=241=2=，2332从而知1273E E E ξξξ=+=18、（本小题13分）解：（Ⅰ）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故又()f x 在x=0处取得极限值，故()0,f x '=从而0b =由曲线y=()f x 在（1，f （1））处的切线与直线210x y -+=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2,f '=有2a=2,从而a=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()(0)xe g x k x k=>+ 222(2)()(0)()x e x x k g x k x k -+'=>+ 令()0g x '=，有220(0)x x k k -+=>（1）当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x '>在R 上恒成立，故函数()g x 在R 上位增函数（2）当440k ∆=-=，即当1k =时，有222(1)()0(1)(1)x e x g x x x -'=>≠+，从而当1k =时，()g x 在R 上为增函数（3）当440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根1211x x ==当(,1x ∈-∞时，()0g x '>，故()g x 在,1-∞（上为增函数；当1x ∈（时，()0,g x '<故()1g x 在（上为减函数；当1x ∈∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数（19）（本小题12分）解法一：（Ⅰ）因为AD//BC,且,BC BCS ⊂平面所以//,AD BCS 平面从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离。