第一章 2排列(二)

§2排列(二)
[学习目标]
1．进一步加深对排列概念的理解．
2．掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题．
[知识链接]
有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？
答所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求．解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种．
(1)直接法
①分步法
按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地：
(ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．
(ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．
②分类法
直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法．
特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法采用分类法：n个不同元素的全排列有A n n种排法，m个元素的全排列有A m m种排法，因此A n n种排法中关于m个元素的不同分法有A m m类，而且每一分类的排法数是一样的，
当这m个元素顺序确定时，共有A n n
A m m种排法．
(2)间接法
符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差．故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”．
[预习导引]
1．排列数公式
A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝
n！
（n－m）！
．
A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫作n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1．2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：
要点一数字排列的问题
例1用0，1，2，3，4，5这六个数字
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？
(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？
(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？
(5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？
解(1)分三步：
①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；
②十位数字有5种选法；
③个位数字有4种选法．
由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．
(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．
故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．
(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；
③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．
(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)．
规律方法排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素．
解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．跟踪演练1用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：
(1)五位奇数；
(2)大于30 000的五位偶数．
解(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A38种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A38＝13 440个没有重复数字的五位奇数．
(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：
①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数
字中选取，共A38种取法．所以共有2×7×A38种不同情况．
②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A38种选法，所以共有3×6×A38种不同情况．
由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A38＋3×6×A38＝10 752(个)．
要点二排队问题
例23名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：
(1)选5名同学排成一行；
(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(5)全体站成一排，男、女各站在一起；
(6)全体站成一排，男生必须排在一起；
(7)全体站成一排，男生不能排在一起；
(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；
(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；
(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；
(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．
解(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有N＝A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)(直接分步法)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余6人全排A66，
故N＝A13A66＝2 160(种)．
(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排A55，
故N＝A22·A55＝240(种)．
(4)法一(直接分类法)
按甲是否在最右端分两类：
第一类：甲在最右端有N1＝A66(种)；
第二类：甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排A55，N2＝A15A15A55.
故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．
法二(间接法)
无限制条件的排列数共有A77，而甲或乙在左端(右端)的排法有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，
故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．
法三(直接分步法)
按最左端优先安排分步
对于左端除甲外有A16种排法，
余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，
故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．
(5)相邻问题(捆绑法)
男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法，
女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288(种)．(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，
故N＝A33·A55＝720(种)．
(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排有A35种排法，
故N＝A44·A35＝1 440(种)．
(8)对比(7)让女生插空：N＝A33·A44＝144(种)．
(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N＝(A25·A22)·A44＝960(种)．
(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，
故N＝A77
A22＝2 520(种)．
(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的
1
A33，∴N
＝A77
A33＝840(种)．
(12)直接分步完成共有A37·A44＝5 040(种)．
规律方法排队问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．
跟踪演练2分别求出符合下列要求的不同排法的种数：
(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．
解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.
(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.
(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．
要点三排列的综合应用
例3从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？
解先考虑组成一元二次方程的问题．
首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A14种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A24种．
由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程
A14·A24＝48(个)
方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.
分类讨论如下：
当c＝0时，a，b可以从1，3，5，7中任取两个，有A24种；
当c≠0时，分析判别式知b只能取5，7中的一个．
当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有A22种；
当b取7时，a，c可取1，3或1，5这两组数，有2A22种．
此时共有(A22＋2A22)个．
由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：
A24＋A22＋2A22＝18(个)．
规律方法该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中a≠0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有Δ≥0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b2－4ac≥0，所以需先对c能否取0进行分类讨论．实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想．
跟踪演练3从集合{1，2，3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
解设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．
(1)第一、三个数都是偶数，有A210种；
(2)第一、三个数都是奇数，有A210种．
于是，选出3个数成等差数列的个数为A210＋A210＝180(个).
1．用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()
A．30个B．36个C．40个D．60个
答案 B
解析分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36(个)无重复数字的三位奇数．
2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为() A．720 B．144 C．576 D．684
答案 C
解析(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.
∴符合题意的排法种数为A66－A44×A33＝576.
3．(2013·北京理)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
答案96
解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96种．
4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．
答案96
解析∵红口袋不能装入红球，∴红球只能放在黄、蓝、白、黑4种颜色的口袋中，∴红球有A14种放法，其余的四个球在四个位置全排列有A44种放法，由分步计数原理得到共有A14·A44＝96(种)．
1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置．
2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法．
3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”或“插空法”.
一、基础达标
1．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是() A．A88B．A44A44
C．A44A44A22D．以上都不对
答案 C
2．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为() A．A33B．A36C．A46D．A44
答案 D
解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A44种停放方法．
3．某省有关部门从6人中选4人分别到A，B，C，D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有1人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有() A．300种B．240种C．144种D．96种
答案 B
解析A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为() A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26
答案 A
解析运用插空法，8名学生间共有9个空隙(包括边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88A29种排法．
5．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．
答案18
解析若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．
6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．
答案186
解析没有女生的选法有A34种，一共有A37种选法，则至少有1名女生的选派方案共有A37－A34＝186(种)．
7．(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
(2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车
分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
解(1)分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种；
第二类用2面旗表示的信号有A23种；
第三类用3面旗表示的信号有A33种．
由分类加法计数原理，所求的信号种数是
A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
即一共可以表示15种不同的信号．
(2)由分步乘法计数原理，分配方案种数共有
N＝A44·A44＝576.
即共有576种不同的分配方案．
二、能力提升
8．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有() A．48种B．192种C．240种D．288种
答案 B
解析(间接法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.
9．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．
答案 1 440
解析先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1 440(种)排法．
10．(2013·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
答案480
解析按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55，当C在左边第2个位置时A24·A34，当C在左边第3个位置时，有
A23·A33＋A22·A33.这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．
11．某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？
解不考虑任何条件限制共有A66种排法，其中包括不符合条件的有：
(1)数学排在最后一节，有A55种；
(2)体育排在第一节，有A55种．
但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有A44种(即重复)，
故共有A66－2A55＋A44＝504种．
12．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．
(1)若正、副班长两职务只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方
案？
(2)若正、副班长两职务至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工
方案？
解(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．
(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工
方案有A24A55种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．
三、探究与创新
13．三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
解(1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法．
(2)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选
取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法．
(3)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的
位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400(种)不同排法．。