2020年高考数学一轮复习第五章数列推理与证明第4讲数列的求和课件理

(1)解：由题设 3Sn＝an＋1－2， 当n≥2时，3Sn－1＝an－2，
两式相减，得3an＝an＋1－an，即an＋1＝4an. 又a1＝2,3a1＝a2－2，可得a2＝8， ∴a2＝4a1. ∴数列{an}构成首项为2，公比为4的等比数列. ∴an＝2×4n－1＝22n－1.
【互动探究】
因为 q>1，所以 q＝2. (2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn.
【规律方法】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn} 是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法， 一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解. (2)在写出“Sn”与“qSn” 的表达式时应特别注意将两式“错项 对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
第4讲 数列的求和
1.掌握等差数列、等比数列的求和公式. 2.了解一般数列求和的几种方法.
数列求和
B
A
3.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝__1_6___， 前8项的和S8＝__2_5_5__(用数字作答).
10，则项数 n＝__1_2_0___.
考点 1 公式或分组法求和 例 1：(2018 年天津)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn (n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈ N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn ； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值.
(2)由(1)，知T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝ 2n＋1－n－2.
整理，得n2－3n－4＝0.解得n＝－1(舍)，或n＝4. 所以 n 的值为 4. 【规律方法】若一个数列是由等比数列和等差数列组成， 则求和时，可采用分组求和，即先分别求和，再将各部分合并.
【互动探究】 9
又因题设可得 a1＝2，满足上式，
【规律方法】常见的裂项公式：
【互动探究】
2.(2018 年天津)设{an}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项 和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列.已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝ b3＋b5，a5＝b4＋2b6.
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)， ①求Tn；
【互动探究】 3.(2014 年新课标Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是 方程 x2－5x＋6＝0 的根. (1)求{an}的通项公式；
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思想与方法 ⊙ 放缩法在数列中的应用 例题：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2,3Sn＝an＋1－2. (1)求数列{an}的通项公式；
考点 3 错位相减法求和 例 3：(2018 年浙江)已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项.数列{bn}满足b1＝ 1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n. (1)求 q 的值； (2)求数列{bn}的通项公式.
解：(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项，得a3＋a5＝2a4＋4， 所以 a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28. 解得 a4＝8.
(1)解：设等比数列{an}的公比为q.由a1＝1，a3＝a2＋2， 可得 q2－q－2＝0.
因为q>0，可得q＝2，故an＝2n－1. 设等差数列{bn}的公差为d，由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4. 由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16， 从而b1＝1，d＝1，故bn＝n. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式 为bn＝n.
考点 2 裂项相消法求和 例 2：(2017 年新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋ (2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式；
解：(1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 两式相减，得(2n－1)an＝2.