角平分线的性质与判定 PPT课件
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角平分线的性质教学课件
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三角形中的角平分线与相对边 成比例,这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质,可以解决与三 角形相关的问题,例如求边长 、角度等。
此外,三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用,例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面,可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构,使其更加美观和 稳固。
THANK YOU
角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ,将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份, 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点,作一条射线,使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案: $AB = AC$
解析:由于$AD$是$angle BAC$的角平分线,且$BD = CD$,根据等 腰三角形的性质,我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$( SAS),所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3:
02
答案: AC是$angle BCD$的角平分线。
《角平分线的性质》课件
![《角平分线的性质》课件](https://img.taocdn.com/s3/m/42569a536fdb6f1aff00bed5b9f3f90f76c64df4.png)
角平分线的应用
• 利用角平分线可以求解未知角度,解决几何问题。 • 通过实例演示角平分线的应用,帮助加深理解。
思考题
• 给定一个三角形,如何构造它的角平分线? • 如果角平分线上的点不在三角形内怎么办? • 如果角平分线所分割的边不是三角形的边怎么办?
结语
• 角平分线是几何学中重要的概念,有着广泛的应用。 • 总结角平分线的性质和应用,强调其重要性。 • 提供参考资料,供进一步学习和探索。
《角平分线的性质》PPT 课件
这是一份关于角平分线性质的PPT课件,让我们一起探索角平分线的定义、性 质、应用和相关问题。
什么是角平分线
• 角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。 • 作图方法有使用直尺和指南针、使用角度量具等。
角平分线的性质
• 角平分线定义了角的特殊性质,具有重要的几ห้องสมุดไป่ตู้意义。 • 角平分线和角相似,具有相等比例关系。 • 角平分线具有平行、垂直等重要性质。
角平分线的性质ppt课件
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B
P D●
C●
O
A
34
知识拓展
如图,在△ABC中,
A
AC=BC,∠C=90°,
AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,垂足为E。
(1)已知CD=4cm,求 AC的长;
E
(2)求证:AB=AC+CD C
D
B
35
36
·D
何作图角度怎么画?
C·
7
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
F
E
C
D
B
26
3、如图,△ABC中,∠C=90°,AC=CB, AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E。 求证:△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
27
思考:
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
M C
B
N
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢! 8
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
P D●
C●
O
A
34
知识拓展
如图,在△ABC中,
A
AC=BC,∠C=90°,
AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,垂足为E。
(1)已知CD=4cm,求 AC的长;
E
(2)求证:AB=AC+CD C
D
B
35
36
·D
何作图角度怎么画?
C·
7
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
F
E
C
D
B
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3、如图,△ABC中,∠C=90°,AC=CB, AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E。 求证:△DBE的周长等于AB。
C
D
A
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思考:
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
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B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
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B
N
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢! 8
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
角平分线的性质与判定通用课件
![角平分线的性质与判定通用课件](https://img.taocdn.com/s3/m/4caf965c876fb84ae45c3b3567ec102de3bddf74.png)
角平分线定理
01
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
利用角平分线定理证明线段比例
02
通过构造角平分线,利用角平分线定理证明线段之间的比例关
系。
利用角平分线定理证明等腰三角形
03
通过构造角平分线,证明三角形中的两个底角相等,从而证明
是等腰三角形。
在三角形中的实际应用
利用角平分线确定角的度数
通过构造角平分线,将一个较大的角分成两个较小的角,从而确定角的度数。
判定方法在多边形中的应用
在多边形中,可以通过作对角线来判定角平分线。如果一个 点到多边形两个相对顶点的距离相等,那么这个点就是角平 分线上的点。
在多边形中,也可以通过作角平分线上的点到对边的垂线来 判定角平分线。如果这条垂线与对边平行,那么这个点就是 角平分线上的点。
03
角平分线的应用
在几何证明题中的应用
角平分线的性质与 判定通用课件
目 录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线的应用 • 角平分线的作法 • 角平分线的性质与判定的联系与
区别
01
角平分线的性质
定义与性质
角平分线定义
从一个角的顶点出发,将该角分 为两个相等的部分,这条线段被 称为该角的角平分线。
角平分线性质
角平分线将相对边分为两段相等 的线段。
04
角平分线的作法
通过给定角的两边作垂线
总结词
通过角的两边作垂线,可以确定角平 分线。
详细描述
在给定角上,通过角的两边作垂直于 对边的垂线,这两条垂线会在角的顶 点处相交,且交点到角的两边距离相 等,这个交点就是角平分线的交点。
通过给定角的顶点作对边的平行线
总结词
角平分线的性质 课件
![角平分线的性质 课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e1eb3d68492fb4daa58da0116c175f0e7cd119ad.png)
角的平分线与等边三角形的关系
角的平分线与等边三角形的联系
在等边三角形中,角的平分线也是中垂线,因此,角的 平分线与等边三角形也有密切的联系。
角的平分线与等边三角形的应用
利用这一性质,可以解决一些几何问题,如证明等边三 角形、求角度等。
THANKS
谢谢
角平分线的表示方法
在几何图形中,通常用虚线表示角平 分线,并在角平分线上标注相应的字 母。
例如,若角平分线为AD,则可以表示 为AD平分∠BAC。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到该角的两边的距离相等。 这一性质是角平分线的基本性质,也是证明其他角平分线性质的基础。
02
CHAPTER
角平分线的性质
04
CHAPTER
角平分线的作法
通过角的顶点作角的平分线
总结词
角的顶点是角的两条边的交汇点,通过角的顶点作角的平分线的方法是常用的方法之一 。
详细描述
首先,确定角的顶点,然后使用直尺或圆规等工具,从角的顶点出发,作一条与角的一 边平行的线段,线段的长度可以根据需要自行确定。接着,将线段的中点与角的另一边
角的平分线与平行线相交形成的交点,到角的两边的距离 相等。
利用这一性质,可以解决一些几何问题,如求距离、证明 角相等等。
角的平分线与等腰三角形的关系
角的平分线与等腰三角形 的联系
角的平分线是等腰三角形底边上的中垂线, 因此,角的平分线与等腰三角形有密切的联 系。
角的平分线与等腰三角形 的应用
利用这一性质,可以解决一些几何问题,如 证明等腰三角形、求角度等。
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
利用角平分线定理,可以证明线段的 比例关系。
证明三角形全等
角平分线的性质和判定(共张)课件
![角平分线的性质和判定(共张)课件](https://img.taocdn.com/s3/m/d8401465492fb4daa58da0116c175f0e7cd11931.png)
作法应用
01
在几何证明题中,常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线, 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质, 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边,所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直,从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质,通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点,过这点作角的两边的垂线,垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义,角平分线上的点到角的两边距离相等,即$PA=PB$。因此,角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分,那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先,我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之,如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等, 那么这条射线将这个角平分。因此,我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质,结合三角形全 等的判定定理,证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质,证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论
角平分线课件PPT
![角平分线课件PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/cef8cca20875f46527d3240c844769eae009a3ed.png)
生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中,角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如,古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中,角平分线的现象也很常见。例如,当阳光照射在树叶上时,树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状,这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中,∠C=90° ,AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB于E,F在AC上, BD=DF。求证:CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质,可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中,DF=BD, DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD(HL )。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证: PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质,可以证明 △OPC和△OPD全等,从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理,可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若 BC=32,且BD:CD=9:7,求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角,且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时,两个小角能够重合,具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质,可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如,通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用
《角平分线的判定》课件
![《角平分线的判定》课件](https://img.taocdn.com/s3/m/197984baf80f76c66137ee06eff9aef8941e48a4.png)
应用举例
在几何证明题中,常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明,假 设点不在角平分线上,通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中,可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点,从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ,将该角分为两个相等的部分, 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ,这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,E、F分别是AB、AC上的点,且 DE=DF。求证:EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,E、F分别是AB、AC上的点,且 DE=DF,EF平行于BC。求证:EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中,AD是角BAC的平 分线,E、F分别是AB、AC上的点, 且DE=DF。EF交AD于G。求证: EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线,可以证明面积分割定理,从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线,可以方便地计算三角形的面积,进一步用于解
决实际问题。
在几何证明题中,常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明,假 设点不在角平分线上,通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中,可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点,从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ,将该角分为两个相等的部分, 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ,这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,E、F分别是AB、AC上的点,且 DE=DF。求证:EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,E、F分别是AB、AC上的点,且 DE=DF,EF平行于BC。求证:EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中,AD是角BAC的平 分线,E、F分别是AB、AC上的点, 且DE=DF。EF交AD于G。求证: EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线,可以证明面积分割定理,从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线,可以方便地计算三角形的面积,进一步用于解
决实际问题。
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(1)若 BC=8,BD=5,则点 D 到 AB 的距离为___3_. (2)若 BD∶DC=3∶2,点 D 到 AB 的距离为 6,则 BC=__1_5_
,第 13 题图)
,第 14 题图)
14.如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,AB=6 cm,AC=8
cm,则 S△ABD∶S△ACD= 3∶4 .
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2.(3 分)如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,_.
3.(3 分)在△ABC 中,∠C=90°,AD 是三角形的角平分线,DE
⊥AB 于点 E,下列结论错误的是( B )
A.BD+DE=BC B.DE 平分∠ADB C.AD 平分∠EDC D.AC=AE
中,AEFE==EADE,∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL),∴AF=AD.∵E 是 DC 的 中点,∴EC=DC,∴EC=EF,∵AD∥BC,DC⊥AD,∴DC⊥BC,
∴∠DCB=90°,在 Rt△BFE 和 Rt△BCE 中,BEEF==EBCE,∴Rt△BFE ≌Rt△BCE(HL),∴BF=BC,∴AD+BC=AF+BF=AB
【综合应用】 18.(14 分)如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE 平分∠BAD,且点 E 是 CD 的中点,问:AD,BC 与 AB 之间有何关系?并证明你的结论.
证明:AD+BC=AB,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F,连接 BE.∵AE 平分∠BAD,DC⊥AD,EF⊥AB,∴EF=ED,在 Rt△AFE 和 Rt△ADE
,第 7 题图)
7.(4 分)如图,点 P 到 OA,OB,CD 的距离相等,则点 P 的位置: ①在∠O 的平分线上;②在∠ACD 的平分线上;③在∠ODC 的平分线上; ④恰是∠O,∠ACD,∠BDC 三个角平分线的交点.则上述结论中正确的
是 ①②④ .(填序号)
8.(4分)如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等, 则∠P= 90°.
证明:AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE, 又∵CF=BE,∴Rt△FCD≌Rt△BED,∴BD=DF.
6.(4 分)如图,点 P 在∠AOB 内部,PC⊥OA 于点 C,PD⊥OB 于
点 D,PC=3 cm,当 PD=__3__cm 时 P 点在∠AOB 的平分线上.
,第 6 题图)
15.如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠C=50°,且 DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,且DE=DF,
则∠ADC= 115° .
16.(10分)如图所示,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE, CF相交于点D,若BD=CD.
求证:AD平分∠BAC.
解:∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED.又 ∵∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE,∴DF =DE,∴点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC
4.(3 分)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为 A,
B,下列结论中不一定成立的是( D )
A.PA=PB B.PO 平分∠APB C.OA=OB D.AB 垂直平分 OP
5.(8 分)如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线, DE⊥AB 于点 E,点 F 在 AC 上,且 BE=CF.求证:BD=DF.
15.4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质与判定
1.角平分线的性质定理:角平分线上任意一点到角的两 边的距离 相等 .
2.角的内部到角两边距离相等的点在 角平分线上 .
1.(3 分)如图,点 P 是∠BAC 的平分线 AD 上一点,PE⊥AC 于
点 E,已知 PE=3,则点 P 到 AB 的距离是__3__.
10.如图,在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点 O,OD⊥AB
于点 D,OE⊥AC 于点 E,则 OD 与 OE 的大小关系是( B )
A.OD>OE B.OD=OE C.OD<OE D.不能确定
11.如图,在直线 MN 上找一点 P,使点 P 到∠AOB 两边的距离
相等,符合条件的点有( B )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
大家学习辛苦了,还是要坚持
继续保持安静
12.如图,已知 AB∥CD,O 是∠ACD,∠CAB 的平分线的交点,
且 OE⊥AC 于 E 点,OE=12,则 AB 与 CD 之间的距离为( C )
A.12 B.18 C.24 D.无法确定
13.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D.
9.(8 分)如图,已知△ABC 的∠ABC 与∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证:点 D 在∠BAC 的平分线上.
证明:过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E, DF⊥BC于点F,DG⊥AC交AC的延长线于 点G,∵BD平分∠EBC,∴DE=DF,同理 DF=DG,∴DE=DG,点D在∠BAC的平分 线上
17.(12 分)如图所示,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,DE⊥BC 交 ∠BAC 的平分线 AE 于点 E,EF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 交 AC 的延长线 于点 G.
求证:BF=CG.
证明:连接 BE 和 CE,∵EF⊥AB,EG⊥AC, ∴∠BFE=∠G=90°,∵BD=CD,DE⊥BC, ∴BE=CE.∵AE 平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, ∴EF=EG,在 Rt△EBF 和 Rt△ECG 中,EEBF==EEGC, ∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL),∴BF=CG
,第 13 题图)
,第 14 题图)
14.如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,AB=6 cm,AC=8
cm,则 S△ABD∶S△ACD= 3∶4 .
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2.(3 分)如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,_.
3.(3 分)在△ABC 中,∠C=90°,AD 是三角形的角平分线,DE
⊥AB 于点 E,下列结论错误的是( B )
A.BD+DE=BC B.DE 平分∠ADB C.AD 平分∠EDC D.AC=AE
中,AEFE==EADE,∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL),∴AF=AD.∵E 是 DC 的 中点,∴EC=DC,∴EC=EF,∵AD∥BC,DC⊥AD,∴DC⊥BC,
∴∠DCB=90°,在 Rt△BFE 和 Rt△BCE 中,BEEF==EBCE,∴Rt△BFE ≌Rt△BCE(HL),∴BF=BC,∴AD+BC=AF+BF=AB
【综合应用】 18.(14 分)如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE 平分∠BAD,且点 E 是 CD 的中点,问:AD,BC 与 AB 之间有何关系?并证明你的结论.
证明:AD+BC=AB,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F,连接 BE.∵AE 平分∠BAD,DC⊥AD,EF⊥AB,∴EF=ED,在 Rt△AFE 和 Rt△ADE
,第 7 题图)
7.(4 分)如图,点 P 到 OA,OB,CD 的距离相等,则点 P 的位置: ①在∠O 的平分线上;②在∠ACD 的平分线上;③在∠ODC 的平分线上; ④恰是∠O,∠ACD,∠BDC 三个角平分线的交点.则上述结论中正确的
是 ①②④ .(填序号)
8.(4分)如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等, 则∠P= 90°.
证明:AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE, 又∵CF=BE,∴Rt△FCD≌Rt△BED,∴BD=DF.
6.(4 分)如图,点 P 在∠AOB 内部,PC⊥OA 于点 C,PD⊥OB 于
点 D,PC=3 cm,当 PD=__3__cm 时 P 点在∠AOB 的平分线上.
,第 6 题图)
15.如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠C=50°,且 DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,且DE=DF,
则∠ADC= 115° .
16.(10分)如图所示,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE, CF相交于点D,若BD=CD.
求证:AD平分∠BAC.
解:∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED.又 ∵∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE,∴DF =DE,∴点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC
4.(3 分)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为 A,
B,下列结论中不一定成立的是( D )
A.PA=PB B.PO 平分∠APB C.OA=OB D.AB 垂直平分 OP
5.(8 分)如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线, DE⊥AB 于点 E,点 F 在 AC 上,且 BE=CF.求证:BD=DF.
15.4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质与判定
1.角平分线的性质定理:角平分线上任意一点到角的两 边的距离 相等 .
2.角的内部到角两边距离相等的点在 角平分线上 .
1.(3 分)如图,点 P 是∠BAC 的平分线 AD 上一点,PE⊥AC 于
点 E,已知 PE=3,则点 P 到 AB 的距离是__3__.
10.如图,在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点 O,OD⊥AB
于点 D,OE⊥AC 于点 E,则 OD 与 OE 的大小关系是( B )
A.OD>OE B.OD=OE C.OD<OE D.不能确定
11.如图,在直线 MN 上找一点 P,使点 P 到∠AOB 两边的距离
相等,符合条件的点有( B )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
大家学习辛苦了,还是要坚持
继续保持安静
12.如图,已知 AB∥CD,O 是∠ACD,∠CAB 的平分线的交点,
且 OE⊥AC 于 E 点,OE=12,则 AB 与 CD 之间的距离为( C )
A.12 B.18 C.24 D.无法确定
13.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D.
9.(8 分)如图,已知△ABC 的∠ABC 与∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证:点 D 在∠BAC 的平分线上.
证明:过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E, DF⊥BC于点F,DG⊥AC交AC的延长线于 点G,∵BD平分∠EBC,∴DE=DF,同理 DF=DG,∴DE=DG,点D在∠BAC的平分 线上
17.(12 分)如图所示,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,DE⊥BC 交 ∠BAC 的平分线 AE 于点 E,EF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 交 AC 的延长线 于点 G.
求证:BF=CG.
证明:连接 BE 和 CE,∵EF⊥AB,EG⊥AC, ∴∠BFE=∠G=90°,∵BD=CD,DE⊥BC, ∴BE=CE.∵AE 平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, ∴EF=EG,在 Rt△EBF 和 Rt△ECG 中,EEBF==EEGC, ∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL),∴BF=CG