角平分线的性质与判定 PPT课件
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角平分线的性质教学课件
三角形中的角平分线与相对边 成比例,这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质,可以解决与三 角形相关的问题,例如求边长 、角度等。
此外,三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用,例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面,可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构,使其更加美观和 稳固。
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角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ,将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份, 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点,作一条射线,使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案: $AB = AC$
解析:由于$AD$是$angle BAC$的角平分线,且$BD = CD$,根据等 腰三角形的性质,我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$( SAS),所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3:
02
答案: AC是$angle BCD$的角平分线。
《角平分线的性质》课件
角平分线的应用
• 利用角平分线可以求解未知角度,解决几何问题。 • 通过实例演示角平分线的应用,帮助加深理解。
思考题
• 给定一个三角形,如何构造它的角平分线? • 如果角平分线上的点不在三角形内怎么办? • 如果角平分线所分割的边不是三角形的边怎么办?
结语
• 角平分线是几何学中重要的概念,有着广泛的应用。 • 总结角平分线的性质和应用,强调其重要性。 • 提供参考资料,供进一步学习和探索。
《角平分线的性质》PPT 课件
这是一份关于角平分线性质的PPT课件,让我们一起探索角平分线的定义、性 质、应用和相关问题。
什么是角平分线
• 角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。 • 作图方法有使用直尺和指南针、使用角度量具等。
角平分线的性质
• 角平分线定义了角的特殊性质,具有重要的几ห้องสมุดไป่ตู้意义。 • 角平分线和角相似,具有相等比例关系。 • 角平分线具有平行、垂直等重要性质。
角平分线的性质ppt课件
B
P D●
C●
O
A
34
知识拓展
如图,在△ABC中,
A
AC=BC,∠C=90°,
AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,垂足为E。
(1)已知CD=4cm,求 AC的长;
E
(2)求证:AB=AC+CD C
D
B
35
36
·D
何作图角度怎么画?
C·
7
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
F
E
C
D
B
26
3、如图,△ABC中,∠C=90°,AC=CB, AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E。 求证:△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
27
思考:
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
M C
B
N
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢! 8
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
P D●
C●
O
A
34
知识拓展
如图,在△ABC中,
A
AC=BC,∠C=90°,
AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,垂足为E。
(1)已知CD=4cm,求 AC的长;
E
(2)求证:AB=AC+CD C
D
B
35
36
·D
何作图角度怎么画?
C·
7
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
F
E
C
D
B
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3、如图,△ABC中,∠C=90°,AC=CB, AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E。 求证:△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
27
思考:
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
M C
B
N
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢! 8
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
角平分线的性质与判定通用课件
角平分线定理
01
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
利用角平分线定理证明线段比例
02
通过构造角平分线,利用角平分线定理证明线段之间的比例关
系。
利用角平分线定理证明等腰三角形
03
通过构造角平分线,证明三角形中的两个底角相等,从而证明
是等腰三角形。
在三角形中的实际应用
利用角平分线确定角的度数
通过构造角平分线,将一个较大的角分成两个较小的角,从而确定角的度数。
判定方法在多边形中的应用
在多边形中,可以通过作对角线来判定角平分线。如果一个 点到多边形两个相对顶点的距离相等,那么这个点就是角平 分线上的点。
在多边形中,也可以通过作角平分线上的点到对边的垂线来 判定角平分线。如果这条垂线与对边平行,那么这个点就是 角平分线上的点。
03
角平分线的应用
在几何证明题中的应用
角平分线的性质与 判定通用课件
目 录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线的应用 • 角平分线的作法 • 角平分线的性质与判定的联系与
区别
01
角平分线的性质
定义与性质
角平分线定义
从一个角的顶点出发,将该角分 为两个相等的部分,这条线段被 称为该角的角平分线。
角平分线性质
角平分线将相对边分为两段相等 的线段。
04
角平分线的作法
通过给定角的两边作垂线
总结词
通过角的两边作垂线,可以确定角平 分线。
详细描述
在给定角上,通过角的两边作垂直于 对边的垂线,这两条垂线会在角的顶 点处相交,且交点到角的两边距离相 等,这个交点就是角平分线的交点。
通过给定角的顶点作对边的平行线
总结词
角平分线的性质 课件
角的平分线与等边三角形的关系
角的平分线与等边三角形的联系
在等边三角形中,角的平分线也是中垂线,因此,角的 平分线与等边三角形也有密切的联系。
角的平分线与等边三角形的应用
利用这一性质,可以解决一些几何问题,如证明等边三 角形、求角度等。
THANKS
谢谢
角平分线的表示方法
在几何图形中,通常用虚线表示角平 分线,并在角平分线上标注相应的字 母。
例如,若角平分线为AD,则可以表示 为AD平分∠BAC。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到该角的两边的距离相等。 这一性质是角平分线的基本性质,也是证明其他角平分线性质的基础。
02
CHAPTER
角平分线的性质
04
CHAPTER
角平分线的作法
通过角的顶点作角的平分线
总结词
角的顶点是角的两条边的交汇点,通过角的顶点作角的平分线的方法是常用的方法之一 。
详细描述
首先,确定角的顶点,然后使用直尺或圆规等工具,从角的顶点出发,作一条与角的一 边平行的线段,线段的长度可以根据需要自行确定。接着,将线段的中点与角的另一边
角的平分线与平行线相交形成的交点,到角的两边的距离 相等。
利用这一性质,可以解决一些几何问题,如求距离、证明 角相等等。
角的平分线与等腰三角形的关系
角的平分线与等腰三角形 的联系
角的平分线是等腰三角形底边上的中垂线, 因此,角的平分线与等腰三角形有密切的联 系。
角的平分线与等腰三角形 的应用
利用这一性质,可以解决一些几何问题,如 证明等腰三角形、求角度等。
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
利用角平分线定理,可以证明线段的 比例关系。
证明三角形全等
角平分线的性质和判定(共张)课件
作法应用
01
在几何证明题中,常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线, 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质, 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边,所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直,从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质,通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点,过这点作角的两边的垂线,垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义,角平分线上的点到角的两边距离相等,即$PA=PB$。因此,角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分,那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先,我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之,如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等, 那么这条射线将这个角平分。因此,我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质,结合三角形全 等的判定定理,证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质,证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论
角平分线课件PPT
生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中,角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如,古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中,角平分线的现象也很常见。例如,当阳光照射在树叶上时,树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状,这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中,∠C=90° ,AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB于E,F在AC上, BD=DF。求证:CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质,可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中,DF=BD, DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD(HL )。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证: PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质,可以证明 △OPC和△OPD全等,从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理,可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若 BC=32,且BD:CD=9:7,求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角,且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时,两个小角能够重合,具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质,可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如,通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用
《角平分线的判定》课件
应用举例
在几何证明题中,常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明,假 设点不在角平分线上,通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中,可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点,从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ,将该角分为两个相等的部分, 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ,这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,E、F分别是AB、AC上的点,且 DE=DF。求证:EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,E、F分别是AB、AC上的点,且 DE=DF,EF平行于BC。求证:EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中,AD是角BAC的平 分线,E、F分别是AB、AC上的点, 且DE=DF。EF交AD于G。求证: EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线,可以证明面积分割定理,从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线,可以方便地计算三角形的面积,进一步用于解
决实际问题。
在几何证明题中,常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明,假 设点不在角平分线上,通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中,可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点,从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ,将该角分为两个相等的部分, 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ,这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,E、F分别是AB、AC上的点,且 DE=DF。求证:EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,E、F分别是AB、AC上的点,且 DE=DF,EF平行于BC。求证:EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中,AD是角BAC的平 分线,E、F分别是AB、AC上的点, 且DE=DF。EF交AD于G。求证: EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线,可以证明面积分割定理,从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线,可以方便地计算三角形的面积,进一步用于解
决实际问题。
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(1)若 BC=8,BD=5,则点 D 到 AB 的距离为___3_. (2)若 BD∶DC=3∶2,点 D 到 AB 的距离为 6,则 BC=__1_5_
,第 13 题图)
,第 14 题图)
14.如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,AB=6 cm,AC=8
cm,则 S△ABD∶S△ACD= 3∶4 .
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2.(3 分)如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,_.
3.(3 分)在△ABC 中,∠C=90°,AD 是三角形的角平分线,DE
⊥AB 于点 E,下列结论错误的是( B )
A.BD+DE=BC B.DE 平分∠ADB C.AD 平分∠EDC D.AC=AE
中,AEFE==EADE,∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL),∴AF=AD.∵E 是 DC 的 中点,∴EC=DC,∴EC=EF,∵AD∥BC,DC⊥AD,∴DC⊥BC,
∴∠DCB=90°,在 Rt△BFE 和 Rt△BCE 中,BEEF==EBCE,∴Rt△BFE ≌Rt△BCE(HL),∴BF=BC,∴AD+BC=AF+BF=AB
【综合应用】 18.(14 分)如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE 平分∠BAD,且点 E 是 CD 的中点,问:AD,BC 与 AB 之间有何关系?并证明你的结论.
证明:AD+BC=AB,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F,连接 BE.∵AE 平分∠BAD,DC⊥AD,EF⊥AB,∴EF=ED,在 Rt△AFE 和 Rt△ADE
,第 7 题图)
7.(4 分)如图,点 P 到 OA,OB,CD 的距离相等,则点 P 的位置: ①在∠O 的平分线上;②在∠ACD 的平分线上;③在∠ODC 的平分线上; ④恰是∠O,∠ACD,∠BDC 三个角平分线的交点.则上述结论中正确的
是 ①②④ .(填序号)
8.(4分)如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等, 则∠P= 90°.
证明:AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE, 又∵CF=BE,∴Rt△FCD≌Rt△BED,∴BD=DF.
6.(4 分)如图,点 P 在∠AOB 内部,PC⊥OA 于点 C,PD⊥OB 于
点 D,PC=3 cm,当 PD=__3__cm 时 P 点在∠AOB 的平分线上.
,第 6 题图)
15.如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠C=50°,且 DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,且DE=DF,
则∠ADC= 115° .
16.(10分)如图所示,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE, CF相交于点D,若BD=CD.
求证:AD平分∠BAC.
解:∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED.又 ∵∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE,∴DF =DE,∴点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC
4.(3 分)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为 A,
B,下列结论中不一定成立的是( D )
A.PA=PB B.PO 平分∠APB C.OA=OB D.AB 垂直平分 OP
5.(8 分)如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线, DE⊥AB 于点 E,点 F 在 AC 上,且 BE=CF.求证:BD=DF.
15.4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质与判定
1.角平分线的性质定理:角平分线上任意一点到角的两 边的距离 相等 .
2.角的内部到角两边距离相等的点在 角平分线上 .
1.(3 分)如图,点 P 是∠BAC 的平分线 AD 上一点,PE⊥AC 于
点 E,已知 PE=3,则点 P 到 AB 的距离是__3__.
10.如图,在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点 O,OD⊥AB
于点 D,OE⊥AC 于点 E,则 OD 与 OE 的大小关系是( B )
A.OD>OE B.OD=OE C.OD<OE D.不能确定
11.如图,在直线 MN 上找一点 P,使点 P 到∠AOB 两边的距离
相等,符合条件的点有( B )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
大家学习辛苦了,还是要坚持
继续保持安静
12.如图,已知 AB∥CD,O 是∠ACD,∠CAB 的平分线的交点,
且 OE⊥AC 于 E 点,OE=12,则 AB 与 CD 之间的距离为( C )
A.12 B.18 C.24 D.无法确定
13.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D.
9.(8 分)如图,已知△ABC 的∠ABC 与∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证:点 D 在∠BAC 的平分线上.
证明:过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E, DF⊥BC于点F,DG⊥AC交AC的延长线于 点G,∵BD平分∠EBC,∴DE=DF,同理 DF=DG,∴DE=DG,点D在∠BAC的平分 线上
17.(12 分)如图所示,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,DE⊥BC 交 ∠BAC 的平分线 AE 于点 E,EF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 交 AC 的延长线 于点 G.
求证:BF=CG.
证明:连接 BE 和 CE,∵EF⊥AB,EG⊥AC, ∴∠BFE=∠G=90°,∵BD=CD,DE⊥BC, ∴BE=CE.∵AE 平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, ∴EF=EG,在 Rt△EBF 和 Rt△ECG 中,EEBF==EEGC, ∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL),∴BF=CG
,第 13 题图)
,第 14 题图)
14.如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,AB=6 cm,AC=8
cm,则 S△ABD∶S△ACD= 3∶4 .
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2.(3 分)如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,_.
3.(3 分)在△ABC 中,∠C=90°,AD 是三角形的角平分线,DE
⊥AB 于点 E,下列结论错误的是( B )
A.BD+DE=BC B.DE 平分∠ADB C.AD 平分∠EDC D.AC=AE
中,AEFE==EADE,∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL),∴AF=AD.∵E 是 DC 的 中点,∴EC=DC,∴EC=EF,∵AD∥BC,DC⊥AD,∴DC⊥BC,
∴∠DCB=90°,在 Rt△BFE 和 Rt△BCE 中,BEEF==EBCE,∴Rt△BFE ≌Rt△BCE(HL),∴BF=BC,∴AD+BC=AF+BF=AB
【综合应用】 18.(14 分)如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE 平分∠BAD,且点 E 是 CD 的中点,问:AD,BC 与 AB 之间有何关系?并证明你的结论.
证明:AD+BC=AB,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F,连接 BE.∵AE 平分∠BAD,DC⊥AD,EF⊥AB,∴EF=ED,在 Rt△AFE 和 Rt△ADE
,第 7 题图)
7.(4 分)如图,点 P 到 OA,OB,CD 的距离相等,则点 P 的位置: ①在∠O 的平分线上;②在∠ACD 的平分线上;③在∠ODC 的平分线上; ④恰是∠O,∠ACD,∠BDC 三个角平分线的交点.则上述结论中正确的
是 ①②④ .(填序号)
8.(4分)如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等, 则∠P= 90°.
证明:AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE, 又∵CF=BE,∴Rt△FCD≌Rt△BED,∴BD=DF.
6.(4 分)如图,点 P 在∠AOB 内部,PC⊥OA 于点 C,PD⊥OB 于
点 D,PC=3 cm,当 PD=__3__cm 时 P 点在∠AOB 的平分线上.
,第 6 题图)
15.如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠C=50°,且 DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,且DE=DF,
则∠ADC= 115° .
16.(10分)如图所示,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE, CF相交于点D,若BD=CD.
求证:AD平分∠BAC.
解:∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED.又 ∵∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE,∴DF =DE,∴点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC
4.(3 分)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为 A,
B,下列结论中不一定成立的是( D )
A.PA=PB B.PO 平分∠APB C.OA=OB D.AB 垂直平分 OP
5.(8 分)如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线, DE⊥AB 于点 E,点 F 在 AC 上,且 BE=CF.求证:BD=DF.
15.4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质与判定
1.角平分线的性质定理:角平分线上任意一点到角的两 边的距离 相等 .
2.角的内部到角两边距离相等的点在 角平分线上 .
1.(3 分)如图,点 P 是∠BAC 的平分线 AD 上一点,PE⊥AC 于
点 E,已知 PE=3,则点 P 到 AB 的距离是__3__.
10.如图,在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点 O,OD⊥AB
于点 D,OE⊥AC 于点 E,则 OD 与 OE 的大小关系是( B )
A.OD>OE B.OD=OE C.OD<OE D.不能确定
11.如图,在直线 MN 上找一点 P,使点 P 到∠AOB 两边的距离
相等,符合条件的点有( B )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
大家学习辛苦了,还是要坚持
继续保持安静
12.如图,已知 AB∥CD,O 是∠ACD,∠CAB 的平分线的交点,
且 OE⊥AC 于 E 点,OE=12,则 AB 与 CD 之间的距离为( C )
A.12 B.18 C.24 D.无法确定
13.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D.
9.(8 分)如图,已知△ABC 的∠ABC 与∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证:点 D 在∠BAC 的平分线上.
证明:过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E, DF⊥BC于点F,DG⊥AC交AC的延长线于 点G,∵BD平分∠EBC,∴DE=DF,同理 DF=DG,∴DE=DG,点D在∠BAC的平分 线上
17.(12 分)如图所示,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,DE⊥BC 交 ∠BAC 的平分线 AE 于点 E,EF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 交 AC 的延长线 于点 G.
求证:BF=CG.
证明:连接 BE 和 CE,∵EF⊥AB,EG⊥AC, ∴∠BFE=∠G=90°,∵BD=CD,DE⊥BC, ∴BE=CE.∵AE 平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, ∴EF=EG,在 Rt△EBF 和 Rt△ECG 中,EEBF==EEGC, ∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL),∴BF=CG