等差、等比数列的判定与证明
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等差ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ列的判断与证明
江苏省口岸中学 陈明朋
探究点一、等差数列的判定
例 1. 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足： an1
2 b bn bn 1 1 , n N ，求证：数列 n 是等差数列 a an n
an bn
2 2 an bn
, n N ,
变式迁移1
已知数列 an 中， a2 a （ a 为 非 零 常 数） ，其前 n 项和
n(an a1 ) Sn (n N ) . 求证：数列 an 为等差数列 2
小结：
1．等差数列的判断方法有： (1)定义法：an ＋ 1 －an ＝d (d 是常数)⇔{an}是等差数列． (2)中项公式：2an ＋ 1 ＝an ＋an ＋ 2 (n∈N* )⇔{an }是等差数列． (3)通项公式：an ＝pn＋q (p，q 为常数)⇔{an }是等差数列． (4)前 n 项和公式：Sn ＝An2 ＋Bn(A、B 为常数)⇔{an}是等差数列．
合作探究
已知数列{an }中，a1 ＝5 且 an ＝2an －1 ＋2n －1(n≥2 且 n∈N* )． (1)求 a2 ，a3 的值． an ＋λ (2)是否存在实数 λ，使得数列{ n }为等差数列？若存在， 2 求出 λ 的值；若不存在，说明理由．
探究点二、等比数列的判定
例 2. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an+Sn=n，cn=an-1， 求证：数列{cn}是等比数列.
江苏省口岸中学 陈明朋
探究点一、等差数列的判定
例 1. 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足： an1
2 b bn bn 1 1 , n N ，求证：数列 n 是等差数列 a an n
an bn
2 2 an bn
, n N ,
变式迁移1
已知数列 an 中， a2 a （ a 为 非 零 常 数） ，其前 n 项和
n(an a1 ) Sn (n N ) . 求证：数列 an 为等差数列 2
小结：
1．等差数列的判断方法有： (1)定义法：an ＋ 1 －an ＝d (d 是常数)⇔{an}是等差数列． (2)中项公式：2an ＋ 1 ＝an ＋an ＋ 2 (n∈N* )⇔{an }是等差数列． (3)通项公式：an ＝pn＋q (p，q 为常数)⇔{an }是等差数列． (4)前 n 项和公式：Sn ＝An2 ＋Bn(A、B 为常数)⇔{an}是等差数列．
合作探究
已知数列{an }中，a1 ＝5 且 an ＝2an －1 ＋2n －1(n≥2 且 n∈N* )． (1)求 a2 ，a3 的值． an ＋λ (2)是否存在实数 λ，使得数列{ n }为等差数列？若存在， 2 求出 λ 的值；若不存在，说明理由．
探究点二、等比数列的判定
例 2. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an+Sn=n，cn=an-1， 求证：数列{cn}是等比数列.