简单的三角恒等变换

(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂． (3)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． ⑤尽量使被开方数不含三角函数．
—[通·一类]— 1．化简：sin s2inα－α－2cπ4os2α＝________.
3 Leabharlann Baidu. 3
D．－
3 3
解析：1＋sinco2sθ2θ＝1＋2si2ncoθsc2oθs－θ1＝tan θ＝ 3. 答案：A
4．化简： cos
cos 40° 25° 1－sin
＝( 40°
)
A．1 B. 3
C. 2 D．2
解
析：原式＝
cos
2c5o°s2c2o0s°－20s°i－n22si0n°20°＝cos
[小题热身]
1．已知 cosπ4－x＝35，则 sin 2x＝(
)
18 A.25
7 B.25
C．－275 D．－1265
解析：因为 cosπ4－x＝35，所以 cos
π 4cos
x＋sinπ4sin
x＝35，
则 sin x＋cos x＝35 2，所以 1＋2sin x·cos x＝1285，即 sin 2x＝－275.
解析：∵f(x)＝2tan x＋1－1 2sin22x 2sin x
＝2tan
x＋2scionsxx＝sin
2 xcos
x＝sin42x，
∴f1π2＝si4nπ6＝8.
答案：8
[知识重温]
一、必记 3●个知识点
1．降幂公式
sin2α2＝①__1_－__2c_o_s_α__(用 cosα 表示)
ctaons22α2α2＝＝③②____111__－ ＋＋____cc2c__ooo__sss_αα_α____((用用
20°＋sin cos 25°
20°＝
c2ocsos252°5°＝ 2，故选 C. 答案：C
5．(教材改编)sin 15°－ 3cos 15°＝________.
解析：sin 15°－ 3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2. 答案：－ 2
6．若 f(x)＝2tan x－2sin2x2x－1x，则 f(1π2)的值为________． sin 2cos2
考向一 化简与求值问题[自主练透型]
[例 1]
(1)化简：22tacnosπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝_12_c_o_s _2_x__；
(2)(2017·河南商丘一模)已知 α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos
α－3cos2α＝0，则sin 2sαi＋nαc＋os4π2α＋1＝___82_6____.
＝cos
2θ·sin22θ－cθo s22θ＝－cos
θ 2·cos θ θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos 2θ>0，∴原式＝－cos θ.
答案：－cos θ
考向二 三角函数求值[互动讲练型] [例 2] 已知函数 f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且 f51π2＝32. (1)求 A 的值； (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求 f34π－θ.
[解析] (1)∵f(x)＝Asinx＋π4，且 f51π2＝32，
∴Asin51π2＋π4＝32，∴A＝ 3.
(2)∵f(x)＝ 3sinx＋π4，且 f(θ)＋f(－θ)＝32，
∴f(θ)＋f(－θ)＝ 3sinθ＋π4＋ 3sin－θ＋π4 ＝ 3×2cos θsin π4＝ 6cos θ＝32.
a2b＋b2，cosφ＝
a a2＋b2.
二、必明 2●个易误点 1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公 式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的． 2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而 符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类 讨论，防止丢解．
又 sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝
213，sin α＝
3， 13
∴ sin
2sαi＋nαc＋os 4π2α＋1＝sin
α＋c22ossαin2α＋＋ccooss2αα－ sin2α＝
826.
—[悟·技法]— 三角式化简与求值的原则方法与要求
(1)三角函数式的化简遵循的三个原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与 联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变 形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
[解析]
(1)原式＝212×4cscoionssπ4π44x－－－xx4·ccooss22x＋π4－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x＝2sicnoπ2s2－2x2x
＝2ccooss222xx＝12 cos 2x.
(2)∵α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α －3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，
故选 C.
答案：C
2．已知 cos α＝13，α∈(π，2π)，则 cos α2等于( )
6 A. 3
B．－
6 3
3 C. 3
D．－
3 3
解析：∵α2∈(π2，π)，
∴cos α2＝－
1＋cos 2
α＝－
23＝－ 36.
答案：B
3．若 tan θ＝ 3，则1＋sinco2sθ2θ＝(
)
A. 3 B．－ 3
cosα cosα
表示) 表示)
2．半角公式
sinα2＝±
1－cosα 2
cosα2＝±
1＋cosα 2
tanα2＝± 11－＋ccoossαα＝1＋sicnoαsα＝1－sicnoαsα
其符号由α2所在的象限决定．
3．辅助角公式
asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，
其中 sinφ＝
解析：原式＝2si2n2αscinosαα－－c2ocsoαs2α＝2 2cos α. 答案：2 2cos α
1＋sin 2．化简
θ＋2c＋os2θco·ssiθn2θ－cos2θ(0<θ<π)＝________.
解析：原式＝2sin2θcosθ2＋2cos22θ·sin2θ－cosθ2 4cos2θ2