7空间问题的基本理论详解

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7 空间问题的基本理论my

u x , x
v y , y
w z , z
w v u w yz , zx , y z z x
若在
v u xy , x y
(7-8)
su 边界上给定了约束位移分量 u , v , w ，则
（7-9）
空间问题的位移边界条件为
§7-5 轴对称问题的基本方程
如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。采用柱坐标表示
( , , z )。
所有物理量仅为(ρ ,z)的函数，与φ 无关。应力中只有形变中只有位移中只有
σ ,σ ,σ z , z , z 0; (a) , , z , z , z 0; u , uz , u 0。
（7-7）
Θ1 σ1 σ 2 σ 3 σ x σ y σ z , Θ2 σ1σ 2 σ 2 σ 3 σ 3σ1 σ y σ z （7-7） 2 2 2 σ z σ x σ x σ y τ yz τ zx τ xy , Θ3 σ1σ 2 σ 3 σ x σ y σ z 2 2 2 σ x τ yz σ y τ zx σ z τ xy 2τ yz τ zx τ xy .
(3) 三个主应力包含了此点的最大和最小正应力。 (4)一点存在三个应力不变量 Θ (5)最大和最小切应力为
σ1 σ 3 2
1
,Θ2 ,Θ3 .
，
σ
1
σ 2 σ3
作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。

问题空间分析知识点总结

问题空间分析知识点总结一、概念1. 问题空间的定义问题空间是指一个确定的问题，以及与解决这个问题相关的知识、信息和条件所构成的空间。

问题空间可以是任何一个领域，包括科学、工程、商业、教育等。

2. 问题空间分析的概念问题空间分析是指通过对问题空间的认知、理解和思考，找出问题的根本原因，并设计出解决问题的方法和策略的过程。

它是一种系统性的方法，需要对问题进行全面的分析和评估。

3. 问题空间分析的重要性问题空间分析可以帮助人们更好地理解问题，识别问题的关键因素，找出问题的解决途径，降低解决问题的成本和风险。

通过问题空间分析，人们可以更有效地解决复杂的问题，取得更好的成果。

二、方法1. 问题定义问题空间分析的第一步是清晰地定义问题。

需要明确问题的背景、原因、影响和目标，以确保问题被准确识别和理解。

2. 问题拆解接下来，将问题进行拆解，将其分解为更小的子问题，以便更好地理解和分析问题。

拆解问题能够帮助我们从更细分的角度看待问题，找出更多的解决途径。

3. 问题分析在理解和拆解问题的基础上，进行问题分析，找出问题的关键因素、瓶颈和难点。

可以使用SWOT分析、5W1H分析等工具，对问题进行全面的分析和评估。

4. 解决方案设计设计解决方案是问题空间分析的核心环节。

根据问题的特点和分析结果，设计出解决问题的具体方法和策略，并评估每种解决方案的优劣势，选择最适合的解决方案。

5. 实施和评估实施解决方案并持续对其进行评估和调整是问题空间分析的最后一步。

需要密切关注解决方案的实施效果，及时修正和改进解决方案，确保问题得到最终解决。

三、实践1. 商业领域的问题空间分析在商业领域，问题空间分析常常用于市场分析、竞争分析、战略规划等过程。

通过问题空间分析，企业可以找出市场机会、制定核心竞争力，制定战略计划，提高经营效益。

2. 工程领域的问题空间分析在工程领域，问题空间分析常常用于产品设计、工艺改进、设备维护等方面。

通过问题空间分析，工程师可以发现产品缺陷、改进工艺流程，提高设备稳定性，降低能耗成本。

8空间问题的基本理论

对三维情形( i，j =1，2，3) 排列成矩阵：
⎡δ 11 δ 12 δ 13 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎥ = ⎢ 0 1 0⎥ δ ij = ⎢ δ δ δ 22 23 ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣0 0 1⎥ ⎦ ⎢ ⎣δ 31 δ 32 δ 33 ⎥
对二维情形( i，j =1，2) 排列成矩阵：
x2
A ⋅ S = A S cos( A, S ) = ∑ a k ξ k A ⋅ S = A S cos( A, S ) = ∑ a i ′ξ i ′
k =1 3′ i ′ =1′
3
x1
显然，
A ⋅ S 应与坐标系的选择无关，即有
i ′ =1′
′ x1
∑a ξ = ∑a ξ
i′ i′ k =1 k
F = ∑ akξ k
3
x′ 3
x3 A S P
O′ O
P′
x′ 2
x2
是与坐标有关的三个标量，它们使得一次形式：
k =1
在坐标变换时不变，则矢量的变换规律：设
为矢量。 ( a1 , a 2 , a 3 )
—— 判别任意三个标量是否构成矢量的准则。
x1
′ x1
、( a1′ , a 2′ , a 3′ )分别为 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )、 (a1 , a 2 , a 3 ) 和 (ξ 1′ , ξ 2′ , ξ 3′ )
比较式（d）等号的右边，有
x1
′ x1
a k = ∑ a i ′ l i ′k
i ′ =1′
3′
（e）
同理，将式（a）： ξ k = ∑ l i ′k ξ i ′
i ′ =1′
3′
（a）

几何学中的空间理论

几何学中的空间理论几何学是研究空间、形状、大小和变换关系的数学学科，其中空间理论是其中一项重要的研究内容。

空间理论探讨了空间的性质、维度、距离等基本概念，为我们理解和描述物体、图形在空间中的位置和关系提供了数学工具。

本文将介绍几何学中的空间理论，包括空间的概念、空间的维度、空间的距离等。

一、空间的概念空间是几何学中最基本的概念之一。

在几何学中，我们将现实世界的物体和图形抽象成点、线、面等几何元素，而它们存在的背景就是空间。

空间是容纳这些几何元素的背景，它没有具体的形状和大小，是一种抽象的概念。

空间的概念可以追溯到古希腊的几何学，由欧几里得在《几何原本》中首次明确表述。

二、空间的维度空间的维度是指空间的独立方向的数量。

在我们熟知的三维空间中，有三个独立的方向，分别是长度、宽度和高度。

这种三维空间被称为欧几里得空间，是我们日常生活中所熟悉和理解的空间。

但实际上，几何学中还存在其他维度的空间，例如一维空间、二维空间、四维空间等，它们按照维度的不同，具有不同的性质和特点。

三、空间的距离空间的距离是指空间中两点之间的距离。

在欧几里得空间中，我们通常使用直线距离或欧氏距离来度量两点之间的距离。

直线距离是两点之间最短的路径长度，欧氏距离是指两点之间的直线距离的平方。

在其他维度的空间中，距离的定义可能会有所不同，例如在曲线空间中，距离可能需要考虑路径的曲率。

四、空间的变换空间的变换是指空间中的几何元素经过某种操作后产生的变化。

常见的空间变换包括平移、旋转、镜像等。

平移是指将几何图形沿着一定方向平行移动一段距离，旋转是指将几何图形绕着某个点旋转一定角度，镜像是指将几何图形关于某条直线或点对称翻转。

这些变换操作可以改变几何图形在空间中的位置、形状和方向，是几何学中非常重要的研究内容。

五、应用领域空间理论在许多学科和领域中都有广泛的应用。

在物理学中，空间理论是建立和研究天体物理学、力学和相对论等基础理论的数学工具。

在建筑学和工程学中，空间理论是设计和布局的基础，帮助我们理解和创造舒适和美观的空间。

第07章空间问题的基本理论

21
Chapter 7.3
从而有关于方向余弦l,m, n的线性方程组：
( x )l xy m xz n 0
xy l ( y )m yz n 0 xz l yz m ( z )n 0
其有非零解的充要条件为系数行列式等于0，即
§7.5 轴对称问题的基本方程
20
Content
过一点任意斜面的主应力与主方向
设如图所示的斜面上切应力
为0，则该面上的全应力等于正应力，也等于主应力，于是有
px l , p y m, pz n
又由于有
p x x l yx m zx n p y xy l y m zy n p l m n xz yz z z
24
Chapter 7.3
对于主应力方向，将1，2，3分别代入
( x )l xy m xz n 0
xy l ( y )m yz n 0 xz l yz m ( z )n 0
结合 l2+m2+n2=1 则可求主应力方向。
5
Chapter 7.1
基本未知量与方程
在一般空间问题中，包含15个未知函数： 6个应力分量，6个形变分量，3个位移分量
对于空间问题，在弹性体区域内，仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在边界上建立应力边界条件或位移边界条件。
空间问题与平面问题具有相似性：基本未知量、基本方程、边界条件和求解方法均是类似的。
x xy xz yx y yz 0 zx zy z
22

七度空间法则

七度空间法则引言：七度空间法则是一种思考问题和解决问题的方法论，它可以帮助我们从不同的角度思考问题，拓宽我们的思维边界，找到更全面、更创新的解决方案。

本文将介绍七度空间法则的概念、原理以及如何应用它来解决问题。

一、七度空间法则的概念七度空间法则由美国科学家艾萨克·阿西莫夫提出，它将问题空间划分为七个维度，每个维度代表了问题的不同方面。

这七个维度分别是：谁、什么时候、何地、为什么、如何、如何改进、如何预防。

通过对这七个维度的思考，我们可以全面地分析问题，找到更好的解决方案。

二、七度空间法则的原理1. 谁（Who）这个维度关注的是问题的相关人员或组织。

我们需要考虑问题对不同人员或组织的影响，他们的需求和利益会影响我们的解决方案。

2. 什么时候（When）这个维度关注的是问题发生的时间。

我们需要了解问题是突发性的还是长期存在的，它是否会随着时间的推移而变化，以便采取相应的措施。

3. 何地（Where）这个维度关注的是问题发生的地点。

我们需要了解问题在不同地点的表现有何不同，是否需要针对不同地点采取不同的解决方案。

4. 为什么（Why）这个维度关注的是问题的原因和根本原因。

我们需要深入分析问题的根本原因，而不仅仅是解决表面问题，以避免问题重演。

5. 如何（How）这个维度关注的是解决问题的具体方法和步骤。

我们需要考虑如何有效地解决问题，选择适当的方法和工具。

6. 如何改进（How to improve）这个维度关注的是如何改进解决方案。

我们需要不断反思和改进解决方案，以适应不断变化的环境和需求。

7. 如何预防（How to prevent）这个维度关注的是如何预防问题的再次发生。

我们需要采取措施，避免问题的再次发生，从源头上解决问题。

三、如何应用七度空间法则解决问题1. 确定问题我们需要明确问题的性质和范围，然后使用七度空间法则来分析问题。

我们可以逐个维度进行思考，找出问题的各个方面，并对其进行详细的描述。

空间问题的基本理论

第七章空间问题的基本理论
§7-1 平衡微分方程
工程实际中，除经常碰到一些平面问题外，还会碰到大量的空间问题，对空间问题，必须考虑三个方向的尺度
分析空间问题，仍然要从三个方面考虑：a、静力学方面 b、几何学方面 c、物理学方面
空间问题中未知量为： x、y、z、xy、xz、yz x、y、z、xy、xz、yz u、v、w
先从静力学方面考虑，导出空间问题的平衡微分方程从物体内任一点P，取微小的平行六面体，它的六个面垂直于坐标轴，棱边长分别为：
PA=dx， PB=dy， PC=dz
各面上的应力分量如图所示，体积力为fx、fy、fz
建立微单元的平衡微分方程：
Fx 0
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
Fy 0
y
y
xy
r
E
1
[
1 2
r ]
j
E
1
[
1 2
j ]
z
E
1
[ 1 2
z]
zr
2(1 E
)
zr
(7-20)
小结：
空间轴对称问题的基本未知量为：应力分量：r、j、z、zr 应变分量：r、j、z、zr 位移分量：ur、uz 这10个未知量应满足2个平衡微分方程；4个几何方程；4个物理方程；在边界上还要满足边界条件
§ 7-4 几何方程及物理方程
一、几何方程（参照平面问题几何方程）：
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xz
u z
w x
yz
v z
w y
位移在边界上满足位移边界条件：

第七章空间问题的基本理论

解出
m1 n1 , l1 l1
l m n 1
2 2 2
（b）
l1
1
m1 1 l 1
n1 1 2 l l 1 1
2
2
同样可求2 ，3相应的方向余玄l2，m2，n2，l3，m3，n3 受力物体内的一点，是否存在主应力？存在几个主应力？它们之间有何关系？ 2 2 3 ( x y z ) 2 ( y z z x x y yz xy )
( x 1 )l1 yx m1 zx n1 0, 两式除以l1 xy l1 ( y )m1 zy n1 0
m1 n1 yx zx ( x 1 ) 0, l1 l1 m1 n1 ( y ) zy xy 0 l1 l1
(c)
l m n 1
2 2 2
（b）
能同时等于零，所以这三个方程的系数的行列式等于零，即
x yx zx xy y zy 0. xz yz z
用式 yz , zx , xy代替
zy , xz , yx
的三次方程
将行列式展开，得

2 2 3 ( x y z ) 2 ( y z z x x y yz xy ) 2 2 ( x y z x yz y xy 2 yz zx xy ) 0.
关于的三次方程，可求得三个根1 ， 2，3
z
C
σ
n
x
p y m y n zy l xy
pz n z l xz m yz

弹性力学--CH 7 空间问题的基本理论

CH 7 空间问题的基本理论
7.1 平衡微分方程
M
ab
0
yz zy
同理：
xy yx
zx xz
CH 7 空间问题的基本理论
7.1 平衡微分方程
F F F
x
0 0 0
y
z
x yx zx X 0 x y z y zy xy Y 0 y z x z xz yz Z 0 z x y
解方程得出σ的三个根σ1、σ2、σ3，即为P点的三个主应力。求解与σ1相应的方向余弦l1、m1、n1。
l1 ( x 1 ) m1 yx n1 zx 0 l1 xy m1 ( y 1 ) n1 zy 0
l1 m1 n1 1
m1 n1 1 可以解出： , 及l1 2 2 l1 l1 1 (m1 / l12 ) 2 (n1 / l12 ) 2
X l x m yx n zx Y m y n zy l xy Z n z l xz m yz
X i l j ji
CH 7 空间问题的基本理论
7.1 平衡微分方程
静力学方面、几何方面和物理学方面建立方程
在物体内的任意一点P，取一个微小的平行六面体，它的六个面垂直于坐标轴，而棱边的长度为PA=dx、PB=dy、 PC=dz。一般而论，应力分量是位置坐标的函数。
N lX N m YN nZN
7.2 物体内任一点的应力状态
l 2 x m 2 y n 2 z 2m n yz 2nl zx 2lm xy
2 2 2 2 2 2 sN N N XN YN ZN 2 2 2 2 2 N XN YN ZN N

空间问题的基本理论70页PPT

6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
空间问题的基本理论
6、纪律是自由的第一条件。——黑格尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，பைடு நூலகம்集体的表情，集体的信念。 ——马卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律，否则一切都会陷入污泥中。 ——马克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天真而不幼稚，勇敢而鲁莽，倔强而有原则，热情而不冲动，乐观而不盲目。 ——马克思
Thank you

第八讲空间问题基本理论(一)

第八讲空间问题的基本理论（一）与平面问题方法一样，解决空间问题从三方面考虑：静力学方面（平衡）、几何学方面（应变）、物理学方面（胡克定理）。

平衡微分方程在物体内任一点处，用六个两两相互平行的平面割取一边长分别为 dx 、dy 、dz 的微小六面体，共有九个应力分量σx 、σy 、σz 、τxy 、τyx 、τyz 、τzy 、τxz 、τzx 。

列各力矩平衡方程∑=0M得到：τyx = τxy ，τzy = τyz ，τzx = τxz ，独立应力分量为六个：σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、τxz 。

∑=0xFdxdz dxdz dy ydydz dydz dx xxy xy xy x x x τττσσσ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+0=+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++dxdydz f dxdy dxdy dz z x xy xyxy τττ除以dxdydz 后得到 0=+∂∂+∂∂+∂∂x xzxy x f z y x ττσ 0=+∂∂+∂∂+∂∂y yz y xy f zyxτστ0=+∂∂+∂∂+∂∂z zyz xz f zy x σττ物体内任一点的应力状态问题：已知物体内任一点P 的六个应力分量σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、τxz ，求经过该点的任一斜面上的应力图示微小四面体P ABC ，外法线为N ，方向余弦 cos(N , x ) = l ，cos(N , y ) = m ，cos(N , z ) = n三角形ABC 上的全应力p 沿坐标轴方向的投影分别为p x 、p y 、p z ，设三角形ABC 的面积为∆S ，由投影关系，则三角形BPC 、CP A 、APB 的面积分别为l ∆S 、m ∆S 、n ∆S 。

平衡方程∑=0xF0=+---V f S n S m S l S p x xz xy x x ∆∆τ∆τ∆σ∆ 得到：xz xy x xx n m l SVf p ττσ∆∆++=+ 注意到：四面体的体积趋于零时，∆V 与∆S 相比是高阶小量，则 xz xy x x n m l p ττσ++= 类似有：yz y xy y n m l p τστ++= z yz xz z n m l p σττ++= 三角形ABC 上的全应力2222zy x p p p p ++= 设三角形ABC 上的正应力为σN ，剪应力为τN ，由关系式222NN p τσ+= z y x N np mp lp ++=σxz yz xy z y x nl mn lm n m l τττσσσ222222+++++= 可以求出一点处任一斜面上的正应力和剪应力。

第七章空间问题的基本理论

第七章空间问题的基本理论（说明） §7-1 平衡微分方程在一般空间问题中，共有15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，而且它们都是x ，y ，z 坐标变量的函数。

对于空间问题，在弹性体区域内部，仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在给定约束或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。

然后在边界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分量和位移分量。

现在首先来考虑区域内静力学方面条件，导出空间问题的平衡微分方程。

在物体内的任意一点P ，割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于坐标轴，而棱边的长度为dz PC dy PB dx PA ===,,，图7-1。

一般而论，应力分量是位置坐标的函数。

因此，作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。

例如，作用在后面的正应力是x σ，由于坐标x 改变了dx ，作用在前面的正应力应当是dx xx x ∂∂+σσ，余类推。

由于所取的六面体是微小的，因而可以认为体力是均匀分布的。

首先，以连接六面体前后两面中心的直线ab 为矩轴，列出力矩的平衡方程∑=0ab M ：.02222=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+dz dxdy dz dxdy dz z dy dxdz dy dxdz dy y zy zy zy yz yz yz ττττττ 除以dxdydz ，合并相同的项，得02121=∂∂--∂∂+dz zdy y zy zy yz yz ττττ。

略去微量以后，得zy yz ττ=。

同样可以得出yx xy xz zx ττττ==,。

这些是以前已有的结果，只是又一次证明了切应力的互等性。

其次，以x 轴为投影轴，列出投影的平衡方程∑=0x F ，得.0=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+dxdydz f dxdy dxdy dz z dzdx dzdx dy y dydz dydz dx x x zx zx zx yx yx yx x x x ττττττσσσ 由其余2个平衡方程，∑∑==00z y F F 和，可以得出与此相似的2个方程。

空间逻辑知识点总结归纳

空间逻辑知识点总结归纳一、基本概念1. 空间：空间是指我们所生活的三维世界，在空间逻辑中，通常将空间分为二维平面和三维空间。

二维平面指平面上的点、线和面，而三维空间则包括三维物体及其投影、旋转等概念。

2. 几何关系：几何关系是指在空间中物体之间的相对位置和结构关系，包括物体的大小、形状、方向等。

3. 空间逻辑：空间逻辑是一种运用逻辑推理和推导方法来研究空间关系和结构的学科，它主要关注如何合理地描述和推导出空间中物体的位置、方向、大小等信息。

4. 空间推理：空间推理是指根据已知的空间信息，通过逻辑推理和推导得出新的空间结论或信息的过程。

空间推理是空间逻辑中的核心内容，它通常涉及到几何关系、图形推理等方面的知识。

二、空间逻辑的基本原理1. 几何公理：几何公理是几何学的基础，它规定了空间中物体的基本性质和关系，可以看作是空间逻辑的基本原理。

常见的几何公理包括点、线、面等概念的定义和性质、平行公设等。

2. 空间坐标系：空间坐标系是描述空间中物体位置和运动的重要工具，它通常包括直角坐标系、极坐标系等不同的坐标系。

在空间逻辑中，空间坐标系可以用来描述物体的位置、方向等信息，是进行空间推理和计算的基础。

3. 空间变换：空间变换是指空间中物体位置、形状等随时间或参数变化的过程。

常见的空间变换包括平移、旋转、镜像等，它们在空间逻辑中有着重要的应用，可以用来描述物体的位置变化和运动轨迹。

4. 空间关系：空间关系是指空间中物体之间的相对位置和结构关系，包括相交、包含、相邻等。

在空间逻辑中，空间关系是进行空间推理和推导的重要依据，可以帮助我们理解和描述物体之间的几何关系。

三、空间逻辑的应用1. 计算机图形学：计算机图形学是空间逻辑的重要应用领域之一，它涉及到计算机对图形和图像的生成、处理和显示。

在计算机图形学中，空间逻辑可以用来描述和分析图形的几何结构和关系，进行图形建模和仿真等工作。

2. 机器人技术：机器人技术是另一个重要的空间逻辑应用领域，它涉及到机器人的感知、导航、路径规划等问题。

空间问题的基本理论1

三、物理方程：（各向同性材料）
Physical Equations
1 x [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
xy
2(1 ) xy E 2(1 ) xz E 2(1 ) yz E
xz
w z z u w z x
位移在边界上满足位移边界条件：
us u
vs v
ws w
二、体积应变（单位体积的改变量）：
Volume strain（the change of volume per unit of the original volume)
微小正六面体，变形前的体积：dx· dz dy·
In analyzing spatial problems,it is necessary to consider their Equilibrium geometrical and aspects.
空间问题中未知量为：x、y、z、xy、 xz、yz、x、y、z、xy、xz、yz、u、v、 w
xz
yz
三、物理方程的另一种形式：
体积应变：
Volume strain
e x y z
x y z
Ee 1 2
体积弹性模量
体积应力：
Volume stress
体积应变与体积应力成正比：
1 2 e E
1 2 E
导出物理方程的另一种形式：
在铅垂面上： z z dz zr zr dz z z
z
dz
r
Z
Kr
rz
rz rz dr r r r dr

第四章--空间问题的基本理论

只包含位移分量的微分方程。
将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程。
x
E 1
1
2
e
u x
y
E 1
1
2
e
v y
z
E 1
1
2
e
w z
xy
E
2 1
v x
u y
yz
E
2 1
w y
v z
zx
E
2 1
w x
u z
第四章空间问题的基本理论
e
2G
w z
n
Z
和平面问题一样，按边界条件也可以把空间问题划分
为三类：位移边界、应力边界和混合边界问题。
第四章空间问题的基本理论
小结
对于空间问题，共有15个未知函数：6个应力分量
x , y , z , xy , yz , zx ； 6个应变分量 x , y , z , xy , yz , zx ；3个位移
令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为 z C
cos N, x l,cosN, y m,cosN, z n
设三角形ABC的面积为S，则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为lS 、 mS、 nS。四面体PABC的体积用V
表示。三角形ABC上的应力在坐标sN
轴方向的分量用XN、YN、ZN代表。根
样，由平衡条件 Fy 0,Fz 0 可以得出其余两式。
XN
l x
m yx
n
zx
YN l xy m y n zy
ZN
l xz
m yz
n z
设三角形ABC上的正应力为N , 则由投影可得

空间问题的基本理论

斜面应力
§7-2 物体内任一点的应力
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐标的应力分量 σ x
…

…，来求出斜
yz
面(法线 n）上的应力。
第七章空间问题的基本理论
斜面应力
斜面全应力p可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px, py , pz )
p沿法向和切向分量:
p (σn , n )
M x 0 ， yz zy 。 (x, y , z) (d)
空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量 (dxd ydz)。
第七章空间问题的基本理论
思考题
z
在图中，若
点o的x向正应力分量为 σ x ，试表示点A , B
B dz
的正应力分量。
dy
y
o dx
A
x
第七章空间问题的基本理论
第七章空间问题的基本理论
第七章空间问题的基本理论
n n
2. 求 p (σn , n ) 将 p ( px , py , pz )向法向 n投影，即得
σn lpx mpy npz
l2σx m2σy n2σz 2mn yz 2nlzx 2lmxy . (b)
第七章空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
l 2 m2 n2 1.
(b)
式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。
第七章空间问题的基本理论
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为
(σx σ)l yxm xyl (σ y σ)m
zzxynn00,,
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，

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