部分线性测量误差模型的模拟_推断估计_赵昕[1]

ｎ
２
１
ｉ＝１
Ｙ ∑｛
ｉ
， ｝Ｋｈ （ ｂ（ Ｗｉ Ｗｉ λ） λ） －βＺ －ｘ －ｘ ｉ －ａ－ ｂ（ ０） ｂ（ ０）
Ｔ
（ ） ２． ２
１ － 其中 Ｋｈ （ ·） ·／ ·）为核函数 ， Ｋ（ ｈ）， Ｋ（ ｈ 为带宽 ． ＝ｈ 记上述加权最小二乘问题 （ 即分别有 ＾ ａ 和＾ ｂ， ａ 和＾ ′（ ｂ． ２ ． ２）的解为＾ ｘ ｘ Ｚ ｈ ｕ和 ＝＾ ＝＾ λ； λ； ｇ（ ｇ ０） ０）
当Ｘ 模型 （ 该模型一直以来 备 受 学 者 们 的 关 注， 已 １ ． １）就成为 了 部 分 线 性 模 型 ． ｉ 可以被观测时 ， （ ） ； 取得了丰富的研究成果 ． Ｌ ｉ ａ ｎ ０ ０ ０ 对参数及非参 数 进 行 估 计 并 给 出 了 它 们 相 应 的 渐 近 正 态 性 当 参 ｇ２ （ 数向量β 为零向量时 ， 模型 （ 最近 ， 提出利用经验似然的方法 １ ． １）就变成了非参数模型 ． Ｈ ｕ ａ ｎ ２ ０ １ ２） ｇ 构造部分线性测量误差模型参数分量的置信域 ． 部分线性模型结合了 线 性 模 型 及 非 参 数 模 型 的 特 点 ， 可 以 更 加 灵 活 有 效 地 处 理 统 计 问 题． Ｅ ｎ ｌ ｅ ｇ （ ） 在分析电力需求与气候变化之间的关系时首次提出了 该 模 型 ． 利用加权最小二 １ ９ ８ ６ Ｒ ｏ ｂ ｉ ｎ ｓ ｏ ｎ（ １ ９ ８ ８） ）的估计量 ， 乘法构造了参数β 及非参数ｇ（ 并在适当的条件下研究了参数估计量＾ · ｇ β 的渐近正态性及＾ （ ） ）的估计量 ， 的收敛速度 ． 使用光滑样条方法构造了β 和ｇ（ 并给出了相应的算法 ． · Ｓ ｃ ｈ ｉ ｍ ｅ ｋ ２ ０ ０ ０ Ｗ ａ ｎ ｇ （ ） （ ） 和Ｊ 构造了参数β 的经验似然估计 ， 并在适当条件下证明了其似然比函数＾ 依分布收敛于 ｉ ｎ ２ ０ ０ ３ ｌ ｇ β ， ， ） 自由度为 ｐ 的χ２ 分布 ． 其它研究成果还有 （ 等． 柴 Ｓ ｈ ｅ ｎ等， ２ ０ １ １； Ｌ ｉ ａ ｎ ｉ ｎ ２ ０ ０ ９； Ｘ ｕ ｅ和 Ｌ ｉ ｕ ２ ０ １ ０ ｇ和Ｊ ｇ ） 根象和徐克军 （ 将小波方法应用到该模型中 ， 构造且证明了所得参数 及 未 知 函 数 的 小 波 估 计 具 有 １ ９ ９ ９ （ 并研究了误差方差的小波估计及其相应的渐近性质 ． 进一步研究 优良的大样本性质 ， Ｚ ｈ ｕ和 Ｘ ｕ ｅ ２ ０ ０ ５）
１ ４ 于是β（ λ）的估计可定义为
大 学 数 学 第 ３ ２卷
１ ＾ ． λ） λ） ＝ ∑＾ ｂ（ β（ β Ｂ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｂ＝１
Ｂ
（ ）推断 ｉ ｉ ｉ ＾ ， （ ） 我们定义 Ｇ（ 基于 Ｇ（ 从而得到 λ， Γ）为推断函数 ． λ， Γ）对数据 ｛ λ， λ） λ ∈ Λ｝建立回归模型 ， β（ ＾ 进一步给出β 的模拟 － 推断估计量 Γ 的一个估计量Γ ．
ｎ Ｔ ＾（ ） ｝． Ｗｉ λ） －βＺ ｉ －ｇ ｂ（
２
Ｑ（ ＝ β）
直接计算可得β 的估计为
ｉ＝１
Ｙ ∑｛
ｉ
Ｔ １ Ｔ － ＾ 珟） ， （ Ｚ Ｚ） Ｚ Ｙ ＝ （ λ） ｂ（ β
其中
＾ 珟＝ （ 珟 珟 珟 …， ， ， …， ） Ｙ Ｙ Ｙ Ｙ Ｗｉ Ｚ＝ （ Ｚ Ｚ ． λ） １， ｎ） ｉ ＝Ｙ ｉ －ｇ（ ｂ（ １， ｎ）
＾ ＾ ． －１， Γ） Ｓ Ｉ ＭＥ Ｘ ＝ Ｇ（ β ＾ ， ， 注意到当λ 缩减至 ０ 时 ， 可以得到＾ 即忽略测量误差的 它是直接替代 Ｘ 为 （ ） ０Γ Ｎ ａ ｉ ｖ ｅ估计 ， ｉ ｖ ｅ ＝ Ｇ βＮａ Ｗ 所得的估计量 ． ， 通常无法得到精确的推断函数 ． 常用的推断函数有三种 （ 线性推 断 、 二 次 推 断 及 非 线 性 推 断） 本文 ２ ＾ 使用二次推断函数 ＧＱ （ λ， Ψ） λ＋ψ λ 逼近β（ λ）． ＝ψ １ ＋ψ ２ ３ ， （ ） 类似地 可以定义 ｇ ｘ 的模拟 － 推断估计 ． 将估计过程第一步中的β 替换为＾ 从而得到估计 Ｉ ＭＥ Ｘ ， βＳ ＾ （ ； ）（ ） （ ； ） ， …， ， 量＾ 此时取适当的带宽 对 关于 取平均 得到估计量 ｈ ． ｇ ｂ＝１ Ｂ ｇ ｂ λｘ ０ ２ ｂ λｘ ０
１ 引 言
本文研究如下模型 （ １． １）中非参数部分协变量 Ｘ ｉ 具有测量误差时 ，参数分量及 非 参 数 分 量 的 估 计问题 ． 当Ｘ 人们可观测到它的替代变量 Ｗｉ ． 考虑部分线性测量误差模型 ｉ 具有测量误差时 ，
｛
Ｔ Ｙｉ ＝β Ｚ Ｘ ＋ε ｉ ＋ｇ（ ｉ） ｉ， …， Ｗｉ ＝ Ｘ ｉ ＝ １， ｎ ｉ ＋Ｕ ｉ，
（ ） 指出若在上述问题中使用相同的带宽 ｈ ， 则ｇ 因此 ， 我们另取适 Ｘ ｕ ｅ ２ ０ ０ ６ ′ 的收敛速度将会比ｇ 要慢 ． ＾ （ 当的带宽 ｈ 即以 ｈ 并记为 ｇ ′（ ′（ ′ ｘ）． ｘ ｘ ． λ； λ； １ 用以估计 ｇ １ 替代 ｈ 估计ｇ ０） ｂ， ｈ ０） １ 第二步 ：通过极小化目标函数 Ｑ（ β）得到β 的估计 １ ｎ
Ｂ …， 均生成一列变量 ｛ 对于每一个ｉ ＝ １， ｝ ｎ， Ｗｉ λ） ｂ（ ｂ＝１
（ ） Ｗｉ Ｕｉ ２． １ ＝Ｘ λ） λ２σ ｂ（ ｉ＋ Ｕ ｂ， ， …， （ 其 中 Ｕｉ 表示推断 （ ０， １） Ｂ 是任一个给定的正整数 ， Ｍ 常取６～１ ０的整数 ） λ∈Λ ＝ ｛ λ λ ｂ ～Ｎ １， Ｍ｝ 过程中格子点λ 的取值范围 ． 通常取该值域在 ０ 到 ２ 之间 ． （ ） 估计 ｉ ｉ ）在 ｘ · 假设函数 ｇ（ 那么 ｇ（ 即 ｘ）可被一线性函数逼近 ， ０ 的邻域内有连续的二阶导数 ， （ ｘ）≈ ｇ（ ｘ ′（ ｘ ｘ －ｘ ｘ －ｘ ＋ｇ ＝ ａ＋ｂ（ ｇ（ ０） ０） ０） ０ ）， 其中 ｘ 为ｘ０ 邻域内的点 ． 由此 ， 来构造 ｇ（ 和β（ ｘ λ； λ）的估计量 ： ０） ， （ ； ） 第一步 ： 对于每个固定的点 ｘ 及 及 的估计量 （ 即＾ 及＾ 可以 ′（ ′（ ｘ ｘ ｘ λ； λ； λ； ｇ（ ｇ ｇ ０ ０ ０） ０） ０ ）） β ｇλｘ 归结为二次极小化问题
第３ ２ 卷第 ４ 期 ２ ０ １ ６年８月
大 学 数 学
Ｃ Ｏ Ｌ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ ＭＡＴＨＥＭＡＴ Ｉ Ｃ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ２， №． ４ Ａ ｕ ． ２ ０ １ ６ ｇ
部分线性测量误差模型的模拟 — 推断估计
赵 昕
（ ） 南京理工大学 理学院 ， 南京 ２ １ ０ ０ ９ ４ 摘 要 ］ 该文研究了部分线性测量误差模型 ， 即无法直接观测非参数部分协变量 ， 只能得到其替代变量 ［ 利用局部线性估计并结合模拟－推断的方法（ 得 到 参 数 及 非 参 数 的 估 计， 并在适当的条件 的模 型 ． Ｓ Ｉ ＭＥ Ｘ） 下， 得到了所提估计量的渐近偏差及方差 ． 将该文提出的模拟 － 推 断 方 法 与 Ｌ 的估计方法比较， 表 ｉ ａ ｎ ２ ０ ０ ０） ｇ（ 明模拟 － 推断法在处理测量误差问题上的有效性 ． 值得一提 的 是 ， 模拟－推断方法不需要对非参数部分协变 量的分布提出假设 ． ［ 关键词 ］ 测量误差 ；部分线性模型 ；替代变量 ；模拟 － 推断方法 ［ （ ） 中图分类号 ］Ｏ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号 ］１ ２ １ ２． ７ ［ ６ ７ ２ １ ４ ５ ４ ２ ０ １ ６ ０ ４ ０ ０ １ ２ ０ ８ － － －
； 收稿日期 ］２ 修改日期 ］２ ０ １ ６ ０ ４ ０ １ ０ １ ６ ０ ４ ２ ２ ［ － － ［ － － ） ； ； 基金项目 ］ 国家自然科学基金 （ 国家统计科学研究重点项目（ 中央高校基本科研 １ ０ ８ ７ １ ０ ７ ２； １ １ ５ ０ １ ２ ９ ２ ２ ０ １ ３ Ｌ Ｚ ４ ５） ［ ） ； ） 基金 （ 江苏省自然科学基金面上项目 （ 资助 ． ３ ０ ９ ２ ０ １ ３ ０ １ １ １ ０ １ ５ Ｂ Ｋ ２ ０ １ ３ １ ３ ４ ５ ， ： 作者简介 ］ 赵昕 （ 女， 硕士 ， 研究生在读 ．从事非参数统计分析研究 ． ． ｃ ｏ ｍ １ ９ ９ ２－ ） Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ２ ６ ９ ０ １ ６ ７ ２ ０ ３＠ｑ ［ ｑ
（ ） １． １
）是未知的一元联系函数 ， （ ， · 其中β 是ｐ 维参数向量 ， Ｚ Ｘ １ ≤ｉ ≤ ｎ｝的随机 ε ｇ（ ｉ 是独立于样本 ｛ ｉ， ｉ）
２ ｐ 且有 Ｅ（ 误 差， （ ａ ｒ Ｚ Ｘ Ｕｉ 为 ε ε ＝０ 及 Ｖ ＝σ ． ｉ） ｉ） ｉ 是来自Ｚ ∈ 瓗 的随机向量 ， ｉ 和Ｕ ｉ 是一维随机变量 ． ２ ２ ２ ， 具有零均值及σ 方差 ， 且与 ｛ 该文假定σ 对σ 测量误差 ， （ Ｙｉ， Ｚ Ｘ １ ≤ｉ ≤ ｎ｝独立 ． ｉ， ｉ） Ｕ 是已知的 ． Ｕ 未 Ｕ 知的情形 ， 可以用其估计量替代 ， 从而进行类似讨论 ．
第 ４ 期 赵昕 ： 部分线性测量误差模型的模拟 — 推断估计
１ ３
了部分 线 性 模 型 中 误 差 方 差 的 分 布 的 收 敛 速 度 及 Ｂ 其它成果包括（ 周 恒 忠 和 陈 明 华， ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｅ ｎ 界． － ｙ ） 任哲和陈明华 ， 等． 由于实际数据的多样性 ， 许多学者还 将 部 分 线 性 模 型 应 用 到 测 量 误 差 数 １ ９ ９ ５； １ ９ ９ ５ （ ） 据、 缺失数据及纵向数据等复杂数据的问题上去 ， 并取得了很多研究成果 ． 构造了随机删失 Ｗ ａ ｎ １ ９ ９ ６ ｇ （ 的部分线性模型的参数及非参数分 量 的 权 估 计 并 证 明 了 它 们 的 大 样 本 性 质 ． 提 Ｚ ｅ ｅ ｒ和 Ｄ ｉ ｌ ｅ １ ９ ９ ４） ｇ ｇ ｇ ） 并对 Ｃ 利用修正方法研究了部 出后移算法对模型进行估计 ， Ｄ ４ 细胞数据进行实例分析 ． Ｌ ｉ ａ ｎ ２ ０ ０ ９ ｇ等（ 使得估计量具有相合性和渐近正态性 ． 但是 ， 他们考虑的是参数部分协变量 Ｚ 分线性测量误差模型 ， ｉ 带 有测量误差的情形 ， 目前很少有文献针对本文模型进行研究 ． 本文通过模拟 － 推断方法并结合局部线性回归及加权最小二乘对模型 （ 模拟 － 推 １． １）进行估计 ． （ ， ） ， 、 可以 断法 Ｃ ａ ｒ ｒ ｏ ｌ ｌ等 １ ９ ９ ６ 是一种偏差修正 的 方 法 它 具 有 算 法 简 洁 应 用 性 广 泛 及 近 似 推 断 等 优 点 ， 有效处理测量 误 差 问 题 ． 本 文 先 通 过 局 部 线 性 回 归 对 非 参 数 ｇ（ 再由模拟过程得到 ｘ）进 行 估 计 ， ＾ ＾ ； （ ） 和 最后 由 推 断 过 程 得 出 参 数 和 非 参 数 函 数 的 模 拟 推 断 估 计． 本文与 Ｌ （ ） （ ） － ｉ ａ ｎ ｇ ｇｘ ｇλ βλ β （ ） 的估计方法 （ 忽略非参数部分的测量误差 ） 进行了比较 ， 结果表明本文所提出方法的合理有效性 ． ２ ０ ０ ０ 值得一提的是 ， 本文的方法无需对不可观测的协变量 Ｘ ｉ 进行分布假设 ． 本文其余内容安排如下 ： 第二节 介 绍 了 模 拟 － 推 断 （ 方法并证明了所得估计的渐近性质； Ｓ Ｉ ＭＥ Ｘ） 第三节通过一些模拟实验以验证该方法的有效性 ， 此外 ， 本文还与 Ｌ 提出的估计方法进行了 ｉ ａ ｎ ２ ０ ０ ０） ｇ（ 比较 ， 通过一些数量特征直观地反映出本文方法的优越性 ． 文中定理的证明在附录中给出 ．