极射赤面投影

极射赤面投影一、《晶体结构几何理论》一书中关于极射赤面投影的论述：1 晶体投影晶体投影的实施分两步进行：第一步是球面投影,是把晶体的晶面和晶线等投影到三维的参考球面上，有两种方法：1）迹式球面投影法2）极式球面投影法第二步是极射赤面投影或心射切面投影，把三维的球面投影通过极射或心射方法转化为二维的赤面或切面的平面投影，也有两种方法：1）极射赤面投影2）心射切面投影1.1 球面投影球面投影的两种方法：1）、迹式球面投影法:将晶体置于投影球（参考球）的球心晶体的平面扩展到与投影球相交而得的大圆－叫迹线晶向直线延长与投影球相交而得的的两个点（互称对蹠点）－叫迹点或出露点。

2）极式球面投影法晶面法线与球面相交的交点－叫极点晶向直线的垂直面扩展到与投影球相交所得的大圆－叫极线或极圆。

几个术语：赤道平面、赤道大圆，本初子午面、本初子午线大圆、子午面、子午线大圆，经度、纬度、极距，球面座标，投影基圆（赤道大圆的极射赤面投影），注意：在一般的晶体投影中常常混合使用迹式球面投影和极式球面投影。

立方晶系中三个主要晶面族的参考立方体：晶面法线到参考球面上的投影：球面坐标：1.2极射赤面投影和吴里夫网这种投影(参看图4—5)是以赤道平面为投影平面。

投影时，从S极引直线(投影线)通过上半球面上的点P1(一平面的极点或一直线的一个出露点)，投影线与赤道平面的交点S l即P l的极射赤面投影。

若P2为下半球面上的点则其极射赤面投影位于赤道圆圈(投影基圆)之外；这种情况对于作及-系列数量的测量均颇为不便，因此对于下牛球面上的点，是从N极引出其投影线，这样仍可在赤道圆圈内求得其极射赤面投影。

通常上半球面上的点的极射赤面投影以小圆点表示，下于球面上的点以小叉表示，以资区别。

1）基本原则：投影球面上的一个圆的极射赤面投影仍是一圆，但有不同情况：a.投影球面的本初子午线大圆的极射赤面投影就是CD直径；投影球面上的其他子午线大圆的极射赤面投影是投影基圆的一直径，这是一种特殊情况，可视为半径等于无限长的圆。

b.投影球面的赤道大圆的极射赤面投影即为投影基圆本身。

c.与投影球的NS轴斜交的平面跟球面相交得的大圆（以后称倾斜大圆），其极射赤面投影为一半径颇大的圆，且一部分圆弧位于投影基圆（赤道的投影）之外，通常只取位于投影基圆内的一段圆弧来表示此倾斜大圆的极射赤面投影，此段圆弧称为大圆弧。

d.投影球的所有纬线小圆的极射赤面投影为与投影基圆同心的许多同心圆，了称纬线小圆。

e.与投影球的NS轴平行的平面跟球面相交得的小圆、其极射赤面投影为一圆，但其一部分位于投影基圆之外，通常只取位于投影基圆内的一段圆弧来表示此种小圆，并称此段圆弧为小圆弧。

f. 投影球面上任意一小圆的极射赤面投影为不与投影基圆同心的一圆－非同心圆。

极射赤面投影的基本原则表No 投影球面（参考球面）极射赤面投影1 本初子午线大圆CD直径2 所有子午线大圆对应的直径3 赤道大圆投影基圆本身4 与NS轴斜交的所有倾斜大圆大圆弧(以AB为弦)5 与赤道平面平行的所有纬线小圆纬线小圆(与投影基圆同心)6 与NS轴平行的小圆小圆弧7 投影球面上的任意小圆小圆（与投影基圆非同心）2）注意问题：①投影球面上任意两点P1和P2之间的大圆弧段的弧度(P1 P2)，既是P1、P2两点所代表的两条直线间的交角，也是它们所代表的两个平面间的交角或补角。

②重要问题：当投影球面上的P1、P2转换为赤面（赤道平面）上投影点S1、S2（极点）后，如何在极射赤面投影面上从投影线段S1 S2来度量参考球面上的弧段P1 P2的弧度？这是解决将三维球面投影问题变为二维赤面投影问题的核心问题。

这一问题的解决是借助一种称之为“赤式网”和“吴里夫网”的两种特殊尺规，用直接度量或作图的方法来解决的。

3）赤式网的构成及用法①先在参考投影球面上作“经纬线坐标网”投影球面上的经线族、纬线族在球面上构成一网状图形，称为“经纬线坐标网”，球面上一点P的位置由它所在经线和纬线决定，它的球面坐标（ρ、φ）也可由其经度和纬度算出。

②经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆的放射经族和同心圆构成的网，此网称之为“赤式网”（图4－8及附图1）。

P点的ρ和φ可由其投影点S所在的直径Q1Q2和小圆S’SS”定出。

4）吴里夫网的构成及用法先在赤面投影基圆上作“经纬线坐标网”：在投影基圆上，作出以AB为直径的大圆族(经线)，及平行于CNDS（本初子午面）的小圆族(纬线)，由此来构成一个新的经纬线坐标网，这就是“吴里夫网”。

在这个吴里夫网(坐标网)中大圆族和小圆族互相划分成360度。

③应用实例：如图4-9所示，投影点S的坐标ρ和φ，不能直接从吴里夫网读出，但在垂直的直径AB上的S’点，和本初子午线直径上S”的纬线ρ与之相等，而S’、 S”的ρ可分别在CD和AB上读出。

因此，将S点沿小圆S’SS”绕中心O点转到AB上的S’点或CD上的S”点，就可将S点的ρ值度量出来。

φ可从旋转的角度读出。

吴里夫网与参考球的关系：④实际应用和图的吴里夫网：省略。

1.3 极射赤面投影的基本作图题问题1 已知投影球面上点的球面坐标，求点的极射赤面投影。

设P、Q、R的球面坐标为：P：ρ＝65Oφ＝40OQ：ρ＝50O φ＝125OR：ρ＝150O φ＝240O解法：问题2 求球面上已知点的对蹠点。

参见图4-10问题3 度量球面上已知点之间的弧度。

P’、Q’两点；P’、R’两点参见图4-10，转到大圆弧上度量。

PQ两点的弧度可以用公式计算：cosθ＝ cosρ1·cosρ2＋sinρ1·sinρ2·cos(φ1-φ2)问题4 已知一大圆弧，求此大圆弧的极点。

参见图4－11问题5 已知一大圆弧的极点，求此大圆弧。

参见4－11问题6 已知二大圆的极射赤面投影，求出二大圆所属平面间之二面角。

参见4－12问题7 已知球面上一点的极射赤面投影，求此点为中心、半径等于n o的小圆的极射赤面投影。

参见4－13问题8 转换投影平面。

问题9 作32点群的极射赤面投影。

？2、心射切面投影―――――――――――二、《物理冶金学基础，美国约翰著》一书中关于极射赤面投影的论述：1、极射赤面投影1.1 极射赤面投影的特点1）用各晶面的法线表示各个晶面。

2）将晶体置于参考球的中心处，同时将各晶面的法线向外引申，直至与参考球相交。

3）然后各法线在参考球的交点画到一个平面上，以便得到所要求的投影图。

极射赤面投影的重要意义：(1)揭示并阐明晶体中各个晶面与晶向之间的关系。

(2)帮助分析X射线和电子束所产生的衍射图象。

(3)可用图解法描述点阵的对称性。

(4)确定晶体中各个晶面和各个晶向之间的夹角。

为了介绍极射赤面投影法，将晶胞用作参考立方体很有好处，其步骤如下：(1)将坐标系的原点置于晶胞的中心处。

（2)从坐标原点向晶体的各主要晶面作垂直线，以构成这些晶面的法线。

(3)在晶胞上用法线所代表的晶面的对称符号标明各晶面法线的交点(极点)。

图1.13表明了这种方法，各条法线的交点用它所代表的晶面及其对称符号标明。

●采用参考立方体的优点：在于立方体具有极其简单的几何形状，而在这种简单的几何形状上采用晶面法线可以使所代表的各晶面之间的空间关系更加形象化。

●现在把参考立方体放在参考球的中心，并由此引出各晶面的法线和球体表面相交，如图1.14所给出的该球体的八分圆所示。

法线在参考球表面上的交点称为极点(pole)。

根据立方体的几何形状可以明显地看出，三个{101}极点位于与坐标轴成45。

角的直线上。

●现在的问题：是把这个参考球域到平面上。

图1．15表示把参考球的上半部画到平面上去的三种不同方法。

根据投射点位置的不同，图中A、B两点将被投影到平面上的不同地点：心射切面投影：投影点为参考球中心；极射赤面投影：以南极为投影点；正射投影：投影点在无穷远处。

如图1.15所示。

●极射赤面投影中的伍氏网：●伍氏网与参考球的关系：●利用伍氏网测量极点之间的夹角：夹角可由沿纬线或沿经线计算度数平量得。

到底哪一种是正确的呢？1）A、B点之间的夹角：第一种方法：（错误的方法）A、B间的夹角可以沿纬线来测量，得α’角，这是错误的，不能代表A、B两极点之间的夹角。

那么，怎样用伍氏网来测量A、B之间的夹角α呢?第二种方法：（正确的方法）我们假定有一个过原点及A、B两点的平面贯穿图1.16(b)的球体，则该平面在球表面上的交线应当是个大圆(great cirele)，这是因为这个交线圆的中心也就是参考球的中心。

如果我们能沿这个大圆测定角度，那么便能测出a角。

图1.16(b)清楚地表明，所有的经线都是大圆，而除赤道外，所有的纬线都不是太圆。

所以，晶面之间的夹角在图1.16(b)中应为α角，它必须是自参考球心引出的晶面法线之间的夹角。

凡经过参考球心的晶面与球面相交的圆为大圆，凡不经过球心的晶面与球面相交的圆为小圆。

2）B、C点之间的夹角：将伍氏网放在图l-16（a)的位置上，通过沿东经60o线数出刻在网上的度数，很容易量出B、C之间的夹角。

由此可知该角为30o，这在图1．16(b)中相当于β角。

如果B、C两点是极点，那么，β=30o的夹角就相当于这两个极点所代表的晶面之间的夹角，因为该夹角为这两个晶面的法线之交角。

B、C间的夹角是沿经线来测量的。

●因此，得出应用伍氏网的重要结论：极点所代表的晶面之间的真实夹角应当沿大圆（经线和赤道）测量，而不能沿小圆（纬线）测量。

为了量出A、B两点之间的夹角，首先将一张描图纸迭在伍氏网上，并在这张描图纸上确定A、B两点的位置。

然后，用一根大头针钉住伍氏网的原点，并转动伍氏网上的描图纸，使A、B两极点都处于伍氏网的同一经线上。

其间的夹角便可以沿这条经线测得。

●三个实例：1、制作(001)标准极射赤面投影hkl的极射赤面投影是hkl极点落在投影面中心时的参考球的投影。

通常至少给出{100}{111}{011}的极点。

首先，在伍氏网上放一张描图纸，并将(001)极点放在中心。

从图1.17(a)可以看出，(100)极点位于投影图的南极，而如图1.17(b)所示，(010)极点位于赤道的东端。

其次，我们来分析一下图1-17(a)中过原点、(100)极点和(Olj)极点的平面。

由图1．17(a)的几何关系可以明显看出，该平面在球面上形成一条交线，而在图1.17(b)的投影图上表现为东经450线。

而且图1.7(b)还清楚地表明，(O11)极点落在这条东经线和赤道的交点上。

由图1．17(a)可见，(111)极点位于东经450线上。

同时，(111)极点也必然位于过(001)和(1lO)极点的大圆上。

这个大圆在投影图上是一条直线，而且如图1.17(b)所示，(111)极点落在该直线与东经450线的交点上。