电磁学部分习题解答

1. 直角坐标系中点电荷电量为Q ，坐标为()c b a ,,，写出Q 所产生的电场在空间任一点的电场强度。

解：画出坐标系及空间任一点()z y x P ,,，则该点相对于点电荷的位矢为 ()c z b y a x r ---=,,ϖ，由点电荷Q 产生的电场在P 点处的场强分量为 ()()()[]2322204c z b y a x ax Q E x -+-+--⋅=πε()()()[]2322204c z b y a x by Q E y -+-+--⋅=πε()()()[]232224c z b y a x cz Q E z -+-+--⋅=πε该场强的方向沿r ϖ方向：()()()k c z j b y i a x r )))ϖ-+-+-=。

在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便，还不易出错。

矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导的过程，因为矢量方程与所取的任一坐标无关。

2. 一电偶极子的电偶极矩为l q P ϖϖ=，P 点到偶极子中心的距离为r ，r ϖ与l ϖ的夹角为θ，在l r >>时，求P 点的电场强度E ϖ在P O r ρϖ=方向的分量r E 和垂直于r ϖ方向的分量θE 。

解：在极坐标系下，设点()θ,r P 相对于q +和q -的位矢分别为+r ϖ，-r ϖ，它们与r ϖ的夹角分别为α和β，由点电荷的场强公式有2041++⋅=r q E πε，2041--⋅=r q E πε， -++=E E E ϖϖϖ在极坐标下，E ϖ可以分解为：βαcos cos -+-=E E E r ， βαθsin sin -++=E E E其中，+-=r l r θαcos 2cos ，-+=r l r θβcos 2cos ，+=r lθαsin 2sin ， -=r l θβsin 2sin又因为l r >>，在此近似下有2r r r ≈⋅-+，r r r 2≈+-+，θcos l r r ≈-+-，带入以上各式，化简得30cos 241r P E r θπε⋅=，30sin 41r P E θπεθ⋅=。

此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。

对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。

以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x 轴方向取直角坐标系中任一点()z y x P ,,，由点电荷的电势叠加可得：()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+=-+22222202241z y l x q z y l x qU U P U πε考虑到l r >>的条件，有2222z y x r ++=，212222211121-⎪⎭⎫⎝⎛-=-≈++⎪⎭⎫ ⎝⎛-r xl r xl r zy l x上式右边经过二项展开，并略去l 的高阶项（二阶及以上），得⎪⎭⎫⎝⎛+≈++⎪⎭⎫ ⎝⎛-222221121r xl r zy l x则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈+20214r xl r qU πε，⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈-20214r xl r q U πε 则P 点的偶极子势为()2030cos 4141r P l q r x U U P U θπεπε⋅=⋅⋅⋅=+=-+ 可写成矢量表达形式：()30204141r rP r r P P U ϖϖ)ϖ⋅⋅=⋅⋅=πεπε （*）下面求电偶极子的电场强度：由()()P U P E -∇=ϖ,将上式带入,有()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅+⋅∇=∇3301141r r P r P r U ϖϖϖϖπε 其中，()P r P ϖϖϖ=⋅∇，54333311rrrr rr r dr d r ϖϖ-=⋅-=∇⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇，则()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=350341r P r r r P P E ϖϖϖϖϖπε （#）。

以上（*）和（#）式为偶极子的一般计算式。

可以在具体的坐标系中直接带入计算。

变换到球坐标系()ϕθ,,r 中,由于轴对称性可知，U 与ϕ无关，则E ϖ的分量为：30cos 241r P r U E r θπε⋅=∂∂-=，30sin 411r P U r E θπεθθ⋅=∂∂-=0sin 1=∂∂-=ϕθϕUr E 。

1. 计算3r rϖ的散度：解：03311325333=+-=⋅∇+⋅∇=⋅∇rr r r r r r r r ϖϖϖ。

2. 如图所示，无限大带电层，且电荷密度()x ρρ=，试求其产生的场强。

解：此题需分三个区域进行计算：取垂直于带电层的坐标OX 。

（1）a x ≤，取'x 到''dx x +之间的带电平面，取单位面积的电荷面密度为σ，则()''dx x ρσ=，则该平面在x 处形成的电场强度为：()()0''22ερεσdx x x dE ==，()()''021dx x x E ba⎰-=⇒ρε（负号代表取坐标负向。

）若()常数αρ=，则()02εαlx E -=；（2）b x ≥，同理可得()()''021dx x x E ba⎰=ρε（负号代表取坐标正向。

）若()常数αρ=，则 ()02εαlx E =；（3）b x a <<，对于带电层中间的区域，要注意x x <'和x x >'的情况不一样，故要进行分段积分：()()()''0''2121dx x dx x x E bxxa⎰⎰-=ρερε若()常数αρ=，则 ()()αε022b a x x E +-=。

3. 求无限长均匀带电柱体周围的场强，已知延高方向单位长度电荷密度为λ，圆柱底面半径为R 。

解：取半径为r 、高为l 的同轴圆柱面为高斯面，分以下两种情况考虑：（1）R r ≤时，由高斯定理，有2επq rlE s d E S==⋅⎰⎰ϖϖ而222Rlr l r q λρπ==，则 2022R lr rlE ελπ= 得202R r E πελ=（2）当R r ≥时，l q λ=，同理得到 r E 02πελ=。

4. 求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布，设球壳带电总量为q ，半径为R 。

解：以无穷远处作为电位零点，即()0=∞U , 由真空中带电球壳的场强分布：⎪⎩⎪⎨⎧<>⋅=R r R r r q E ,0,4120πε根据电位的定义求解：对于R r >时，()r qdr r q l d E r U r r020414πεπε=⋅=⋅-=⎰⎰∞∞ϖϖ；对于R r <时，()R q dr r q l d E l d E r U R R r R 020414πεπε=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=⎰⎰⎰∞∞ϖϖϖϖ。

5. 求无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电势分布。

解：确立原点在平面上的坐标OX ，设空间任一点P 位于r 处。

取)(00r P 为电位零点，由无限大均匀带电平面的场强公式，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->=0,20,20r r E εσεσ下面以0>r 的情况来讨论：由电位定义有：()()()r r l d E l d E P U P U P A AP-=⋅+⋅=-⎰⎰00020εσϖϖϖϖ。

本题中电位零点的取法很关键，注意到：求无限大带电体周围的电位时，不能取无穷远处为电位零点。

6. 一半径为R 的均匀带电圆面，电荷总量为q ，求轴线（OX ）上的电位分布，并画出x U -曲线。

解：在圆面上取dr r r +-的圆环，由于圆面的电荷面密度：2R qπσ=,故该圆环所带电量为：rdr Rq rdr R q rdr dq 22222=⋅=⋅=πππσ 而圆环在轴线上的电位分布可以根据电位叠加法，取圆环上dl l l +-的一段，取无穷远处为电位零点，由点电荷的电位公式：220'0''44Rx dq rdq dU +==πεπε，得圆环在轴线上的电位分布为：220'220'44'R x q Rx dq U q +=+⎰πεπε＝环现在将此电位作为圆面在轴线上电位的积分元，即令'q dq =，环U dU =，作圆面上半径的积分，可得整个圆面在轴线上的电位：()xR xR qRx R qrdr Rx dq dU U RRR -+=+=+=⎰⎰⎰2220220222002424επεππε＝。

7. 电量q 均匀分布在长为l 2的细直线上，求下列各处的电位：（1） 中垂面上离带电线段中心O 为r 处，并用梯度求r E ； （2） 延长线上离中心O 为为z 处，并用梯度求z E ； （3） 通过一端的垂直面上离该点为r 处，并用梯度求r E 。

解：根据题意，以O 为原点中垂线所在直线作为x 轴、延长线所在直线作为y 轴建立坐标系，取无穷远处为电位零点。

（1） 求()0,r P 点的电位()P U 及r E ：设直线上dy y y +-的一段所带的电量为dy lqdq 2=，由点电荷电位公式，它在()0,r P 点的电位为：22022084yr l qdy yr dq dU +=+=πεπε则整段直线在()0,r P 点的电位为：r l r l l qyr l qdy dU U ll ll 220220ln 48++=+=⎰⎰--πεπε＝ 则有 2204l r r qr U E r +=∂∂-=πε。

（2）求()z P ,0点的电位()P U 及z E ：线元dy y y +-的电量仍然为dy lqdq 2=，由点电荷电位公式，它在()z P ,0点的电位为：()()y z l qdzy z dq dU -=-=0084πεπε则整段直线在()z P ,0点的电位为：()()l z l z lz l q y z l qdz dU U ll ll>-+=-=⎰⎰--ln8800πεπε＝ 则有 ()2204l z q z U E z -±=∂∂-=πε,（＋号对应l z >，—号对应l z -<）。

（3）求()l r P ,点的电位()P U 及r E ： 同样取线元dy y y +-，其电量仍然为dy lqdq 2=，由点电荷电位公式，它在()l r P ,点的电位为：22022084yr l qdy yr dq dU +=+=πεπε则整段直线在()l r P ,点的电位为：r l r l l qyr l qdydU U ll 220202202042ln 48++=+=⎰⎰πεπε＝ 则有 22044l r r qr U E r +=∂∂-=πε。