高中数学导数练习题分类练习讲义

导数专题

经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2

+=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3

考点二：导数的几何意义。

例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1

(1))M f ，处的切线方程是1

22

y x =+，则(1)(1)f f '+= 。

解析：因为21=

k ，所以()2

1

1'=f ，由切线过点(1

(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2

5

1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3

例3.曲线32

242y x x x =--+在点(1

3)-，处的切线方程是 。 解析：443'2

--=x x y ，∴点(1

3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C ：x x x y 232

3

+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点

()00,y x 00

≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。

解析：Θ直线过原点，则()000

≠=

x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02

030023x x x y +-=，∴

2302

00

0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在()

00,y x 处曲线C

的切线斜率为()263'02

00+-==x x x f k ，∴

2632302

0020+-=+-x x x x ，

整理得：03200=-x x ，解得：2

3

0=x 或00=x （舍），此时，830-

=y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4

1

-=，切点坐标是⎪⎭

⎫

⎝⎛-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41-

=，切点坐标是⎪⎭

⎫ ⎝⎛-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知()132

3

+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。

解析：函数()x f 的导数为()163'2

-+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'

x f 为减函数。由()R x x ax ∈<-+01632

可得⎩

⎨

⎧<+=∆<012360

a a ，解得3-

当3-

（1） 当3-=a 时，()983131333

23+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--=+-+-=x x x x x f 。

由函数3

x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 是，函数()x f 对R x ∈为减函数。

（2） 当3->a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。所以，当3->a 时，函数()x f 在

R 上不是单调递减函数。

综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。

答案：3-≤a

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五：函数的极值。

例6. 设函数32

()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值；

（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2

()f x c <成立，求c 的取值范围。

解析：（1）2

()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有

(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨

++=⎩，

．

，解得3a =-，4b =。 （2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2

()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。 当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>。所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+。则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+。因为对于任意的[]03x ∈，，有2

()f x c <恒成立，

所以 2

98c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，。

答案：（1）3a =-，4b =；（2）(1)(9)-∞-+∞U ，

，。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。 考点六：函数的最值。

例7. 已知a 为实数，()()

()a x x x f --=42

。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()

x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。

解析：（1）()a x ax x x f 442

3

+--=，∴ ()423'2

--=ax x x f 。

（2）()04231'=-+=-a f ，2

1=

∴a 。()()()14343'2

+-=--=∴x x x x x f