艺术生高考数学专题讲义：考点11 函数与方程

考点十一函数与方程

知识梳理

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．

(2)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

2．函数零点存在性定理

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx

＋c(a>0)的图象

与x轴的交点两个交点一个交点无交点

零点个数 2 1 0

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

5．二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0；

第二步，求区间(a，b)的中点x1；

第三步，计算f(x1)；

①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；

②若f(x1)f(a)<0，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))；

③若f(x1)f(a)>0，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))；

第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步．

典例剖析

题型一 函数零点的判断和求解

例1 函数f (x )＝－＋4x －4在区间［1，3］上有 零点. 答案 一个

解析 因为f (x )＝－＋4x －4=，所以函数f (x )＝－＋4x －4在区间［1，3］上有

一个零点2. 变式训练 函数有零点的区间是 ．

答案 (2，3) 解析

.

解题要点 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断． 题型二 零点个数问题

例2 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－1

x

，试求函数的零点个数．

解析 令f (x )＝0，即ln(x ＋1)＝1x ，在同一坐标系中画出y ＝ln(x ＋1)和y ＝1

x 的图象，可知两

个图象有两个交点， ∴ f (x )有两个零点．

变式训练 函数的零点个数是 ．

答案 1个 解析 函数的零点，即方程

的解，

研究函数

与

图象的交点，作出两个函数的图象如图，

可知有一个交点，故有一个零点.

解题要点 判断函数零点个数的三种方法:

(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )•f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 题型三 参数范围问题

例3 (1)函数f (x )＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝ ． (2) 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |

－m 有两个零点，则m 的取值范围是________． 答案 (1) 4 (2) (0，1)

解析 (1)令函数f (x )=|x 2－4x |－a =0，可得|x 2－4x |=a ．由于函数f (x )=|x 2－4x |－a 的零点个数为3，故函数y =|x 2－4x |的图象和函数y =a 的图象有3个交点， 如图所示：故a =4．故答案为 4．

(2) 在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝⎛⎭⎫12|x |

和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0

变式训练 设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于________． 答案 1

解析 在同一坐标系中分别画出函数y 1＝|x 2－3|和y 2＝a 的图象，如图所示．

可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．

解题要点 数形结合是解决此类问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，从而借助图象来求出参数的范围． 题型四 用二分法求方程的近似解

例4 设，用二分法求方程

在区间上近似解的过程中，

计算得到，则方程的根落在区间__________．

答案

解析 因为

根据零点存在定理知，方程的根落在区间内.

变式训练 用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈__________，第二次应计算__________． 答案 (0，0.5)，f (0.25)

解析 因为用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈(0，0.5)，第二次应计算中点值f (0.25)的函数值，然后依次进行判定．

当堂练习

1．(2015湖北文)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2－x 2的零点个数为________． 答案 2

解析 f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2.令f (x )＝0，则sin 2x ＝x 2，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2的图象的交点个数．作出函数图象知，

两函数交点有2个，即函数f (x )的零点个数为2.

2．(2015湖南文)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)

解析 将函数f (x )＝|2x －2|－b 的零点个数问题转化为函数y ＝|2x －2|的图象与直线y ＝b 的交点个数问题，数形结合求解．

由f (x )＝|2x －2|－b ＝0 得|2x －2|＝b .

在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．

则当0