湘教版九年级数学上册知识点归纳总结

九上

第一章反比例函数

（一）反比例函数

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而

得到反比例函数的解析式；

（二）反比例函数的图象与性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围：

3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在

双曲线的另一支上．

4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形

PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

图1 图2

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概

而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，

两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（三）反比例函数的应用

1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

2、反比例函数与一次函数的联系．

3、充分利用数形结合的思想解决问题．

第二章一元二次方程

（一）一元二次方程

1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20

++=（a、b、c为常数，

ax bx c

a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

2、把20

++=（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一ax bx c

次项系数；c为常数项（包括符号）。

（二）一元二次方程的解法

1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；

如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。

2、配方法：配方式

基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程

的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成左边为一个完全平方式， 右边化为一个常数；两边开方求其根。

3、公式法242b b ac

x a

-±-= （注意在找a 、b 、c 时须先把方程化为一般形式）

4、分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”

和“十字相乘”）

（三）一元二次方程根的判别式

判别式⊿=b 2

-4ac 与根的关系：

当b 2

-4ac>0时，则方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时，则方程有两个相等的实数根；

当b 2

-4ac ≥0时，则方程有两个实数根；

当b 2

-4ac<0时，则方程无实数根

（，上述结论反之也成立，但注意都同时要满足二次项系数a ≠0）

（四）一元二次方程根与系数的关系：

1、根与系数关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x 1、x 2， 则有： 1212,b c

x x x x a

a

+=-

⋅=

.（韦达定理） 2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称代数式的值，特别注意以下公式：

①22

212

1212()2x x x x x x +=+- ②121212

11x x x x x x ++= ③22

121212()()4x x x x x x -=+- ④2121212||()4x x x x x x -=+- ⑤2212121212(||||)()22||x x x x x x x x +=+-+

⑥333

12121212()3()x x x x x x x x +=+-+ ⑦其他能用12x x +或12x x 表达的代数式。

（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：1

2212()0x x x x x x -++=，

（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程1

2212()0x x x x x x -++= 的

两根。

（五）一元二次方程的应用

1、配方法作用：一元二次方程配方可以解该方程：

20

ax bx c ++=（a ≠0）（两边同时除以a 得）

20b c x x a a

++=（一次项系数b

a 除以2并写成完全平方式得）

（可作为公式记忆）

。。。。。。

2、二次代数式配方可以求最值（应用题常考）： 二次代数式 2ax bx c ++