沪教版七年级数学(上)因式分解专题训练(一)
12.2因式分解的方法(运用完全平方公式因式分解)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
2
即( x －3 y ) ＝0.∴ x －3 y ＝0.∴ x ＝3 y .∴ ＝3.
16. 将下列各式进行因式分解.
(1)简便计算： 8002－1 600×798＋7982；
【解】原式＝8002－2×800×798＋7982＝(800－798)2
＝4.
(2) b2－4 a2－1＋4 a ；
【解】原式＝ b2－(4 a2－4 a ＋1)＝ b2－(2 a －1)2
的大小关系为( B
)
A. M ＞ N
B. M ≥ N
C. M ≤ N
D. 不能确定
4. [2023太原期末]已知一个圆的面积为9π a2＋6π ab ＋π b2( a ＞0， b
＞0)，则该圆的半径是(
A )
A. 3 a ＋ b
B. 9 a ＋ b
C. 3 ab
D. 3π a ＋π b
5. 将多项式4 x2＋1加上一项，使它能化成( a ＋ b )2的形式，
= 8 + 2 .
2
2 −
2
− 10 2 − + 25.
解： 2 − 2 − 10 2 − + 25
= 2 − 2 − 2 • 2 − • 5 + 52
= 2 − − 5 2 .
分层练习-基础
1.下列可以用完全平方公式因式分解的是(
C )
A. 4 a2－4 a －1
课堂练习
课堂练习12.2 3
1. 口答 下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？
1
2 + 4 + 16;
解：不能.
3
9 2 − 24 + 16;
解：能.
初一数学专题训练(乘法公式+因式分解)(含答案)
初一数学专题训练(乘法公式+因式分解)(一) 巧用乘法公式进行计算类型一 巧用乘法公式的变形求式子的值1.阅读下面的材料，解答相应问题:数学知识随着人类文明的起源而产生，人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始贵料， 古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式:221[()()]4ab a b a b =+--①; 221[()2ab a b a =+- ]②. (1)补全材料中公式②中的空缺部分.(2)验证材料中的公式①.(3)当5,7a b a b +=-=时，利用公式①计算ab 的值.类型二 巧用乘法公式进行简便计算2.化简:6X (7+1) X(72+1) X(74+1) X(78+1)X (716+1)+1.3.观察下列等式:22()()a b a b a b -+=-;2233()()a b a ab b a b -++=-;322344()()a b a a b ab b a b -+++=-;…利用你发现的规律解决下列问题:(1)计算: 432234()()a b a a b a b ab b -++++= .(2)计算: 123221()()n n n n n a b a a b a b ab b ------+++⋅⋅⋅++= .(3)利用(2)中得出的结论求20192018266661++⋅⋅⋅+++的值.类型三 巧用乘法公式解决整除问题4.当n 为自然数时，22(5)(3)n n +--能被16整除吗?请说明理由.5.当n 为自然数时，22(7)(5)n n +--能被24整除吗?请说明理由.(二) 常见因式分解的方法类型一 提公因式法1.分解因式(1) 2222464x y x z -= .(2) 2222898a b ab -+== .(3) 323612ma ma ma -+-= .(4) 2(1)(32)(23)x x x --+-= . 类型二 公式法2.分解因式:(1) 2244816x y x y -- = .(2) 2222(328)(28)a a a a +----= .类型三 分组分解法3.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解:甲: 244x xy x y -+-=2()(44)x xy x y -+-)=()4()x x y x y -+-=()(4)x y x -+.乙: 2222a b c bc --+=222(2)a b c bc -+- =22()a b c --=()()a b c a b c +--+请你在他们解法的启发下，分解因式: 22441x x y +-+.类型四 配方法4.阅读与思考:对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式.但 对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式 2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有2223x ax a +-=2222(2)3x ax a a a ++--=22()(2)x a a +- =(2)(2)x a a x a a +++-=(3)()x a x a +-.像这样，先添一适当项，使式中一出现完全 平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法’，分 解因式:(1) 268a a -+= .(2) 21213x x +-= .类型五 十字相乘法5.阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，得 2()()()x p q x pq x p x q +++=++.利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三 项式分解因式.例如将式子26x x --分解因式，这个式子的常数项－6=2X(－3)，一次项 系数－1=2+(－3)，这个过程可用“十字相乘”的形式形象地表示:先分解二次项系数，分 别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项，分别写在干字交叉线的右上有和右 下角;然后交叉相乘，求代数和;使其等于一次项系数(如图)，这种分解二次三项式的方法 叫“十字相乘法”.请同学们认真观察，分析理解后，解答下面的问题:(1)分解因式: 2718x x +-.(2)若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是 .参考答案(一) 巧用乘法公式进行计算1.(1)2b -(2)略(3)6ab =-2. 原式327=3. (1) 55a b -(2) n n a b - (3)原式2020615-= 4. 能点拨：22(5)(3)16(1)n n n +--=+5. 能点拨：22(7)(5)24(1)n n n +--=+(二) 常见的因式分解方法1.(1) 24()()x y z y z +-(2) 22(7)ab -(3) 23(424)ma a a --+(4) (32)(2)x x x --2.(1)22(2)(2)x y x y -+-(2)28(2)(2)a a a +-3. 22441(21)(21)x x y x y x y +-+=+++-4.(1)(2)(4)a a --(2)(13)(1)x x +-5. (1)2718(9)(2)x x x x +-=+-(2)7,7,2,2--。
上海初中七上因式分解260题(学生版)
【因式分解方法总览】版块一 基本方法因式分解的四种基本方法：一提二代三组四叉1. 【提】提公因式法：一次提净，注意符号确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 2. 【代】公式法因式分解中常用的公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b −=+− ⑵完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶三元平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++ ⑷三次方公式：①3322()()a b a b a ab b +=+−+；3322()()a b a b a ab b −=−++ ②3223333()a a b ab b a b +++=+；3223333()a a b ab b a b −+−=− ③()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++−=++++−−− ⑸n 次方公式：①()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=−+++++（n 为正整数） ②()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=+−+−+−（n 为正偶数） ③()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−+=+−+−−+（n 为正奇数）3. 【组】分组分解法分组分解法：通过分组，各组内可以用提公因式法或者公式法进行因式分解. 4. 【叉】十字相乘法与双十字相乘法⑴十字相乘法：适用范围：形如2ax bx c ++的二次三项式设()()21122ax bx c a x c a x c ++=++，则：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=； 写成十字交叉的形式，即：12a x a x 12c c ； 口诀：降幂排列，首尾分解，交叉相乘，求和凑中.【注】若24b ac −不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.⑵双十字相乘法适用范围：形如22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++的二次多项式 条件：①12A a a =，12C c c =，12F f f =②1221a c a c B +=，1221c f c f E +=，1221a f a f D += 即： 1a x 1c y 1f2a x 2c y 2f则()()22111222Ax Bxy Cy Dx Ey F a x c y f a x c f +++++=++++步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y ++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f ++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F 分解成两个因式填在第三列上；③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F ++，检验是否等于()()1122a x f a x f ++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.应用情况：⑴二元二次式（22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++）；⑵三元二次齐次式（222Ax Bxy Cy Dxz Eyz Fz +++++）； ⑶四次五项式（43243210a x a x a x a x a ++++）.版块二 拓展方法因式分解的六种拓展方法：拆添项与配方、主元、换元、试根、待定系数、轮换对称式 1. 拆添项与配方法⑴拆、添项⇒分组⇒提、代； ⑵配方法⇒配完全平方式⇒平方差公式 2. 主元法步骤：选（二次三项式）→排（降幂排列）→叉（十字相乘法） 3. 换元法整体思想：化繁为简，本质不变4. 因式定理与试根法⑴余数定理：x c −除()f x ，余数为()f c ；⑵因式定理：若()0f c =，则x c −为()f x 的因式；若x c −为()f x 的因式，则()0f c =；⑶试根法：设()1110n n n n f x a x a x a x a −−=++++为整系数多项式若存在有理数c 满足()0f c =，则pc q=；其中：p 为0a 的因数，q 为n a 的因数；()f x 含有因式()qx p −；特别地，当1n a =时，c p =为整数.【注】常见技巧：若多项式各项系数和为0，则1一定为根. 5. 待定系数法步骤：设（待定系数）→（展）→等（对应项系数相等） 【注】待定系数法往往会有多种情况，需逐一验证. 6. 轮换对称式⑴判定多项式是否为轮换对称式；⑵试根：选定一个字母为主元，利用因式定理确定因式，并写出相关同型式 对于关于x ，y ，z 的轮换对称式，最常见的试根情况有：常见的齐次轮换对称式：【基础篇】1. 分解因式：22462x xy y +−2. 分解因式：242ab a b a bm an −++3. 分解因式：26312m mn mn −−4. 分解因式：()()32226a b c a c b −−−5. 分解因式：22223a b abc ab c −+−6. 分解因式：44332232722436x y z x y z x y z +−7. 分解因式：()()23262x a b xy a b +−+8. 分解因式：()()221n n x a b y b a +−+−9. 解方程：()()()()45303315453033160x x x x ++−++=11. 分解因式：()()()()22x y x y x y x y +−++−12. 分解因式：23361412abc a b a b −−+13. 分解因式：32461512a a a −+−14. 分解因式：4325286x y z x y −15. 分解因式：322618m m m −+−16. 分解因式：22224()x a x a x +−−17. 分解因式：2316()56()m m n n m −+−18. 分解因式：3223224612x y x y x y −+−20. 分解因式：(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +−−+−21. 分解因式：()()()213223x x x −−+− 22. 分解因式：2121()()m m p q q p +−−+−23. 分解因式：429ax ay −24. 分解因式：322x x x ++25. 分解因式：()2m p q p q −−+26. 分解因式：()()229m n m n +−−27. 分解因式：2229166824a b c ab ac bc ++−+−28. 分解因式：322333x x y xy y +++29. 分解因式：()222224a b a b +−30. 计算：2221999100033⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31. 计算：()22221052100595−⨯−+32. 计算：22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−− ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33. 分解因式：()()()33x y x y xy y x −−−−−34. 已知5a b +=，3ab =，求代数式32232a b a b ab −+的值.35. 分解因式：()()22924a b a b +−−36. 分解因式：53182a a −+37. 分解因式：()()22229a a b x y +−+38. 分解因式：8881a b −39. 分解因式：322206045x x y xy −+−40. 分解因式：()2222224x y z x y +−−41. 分解因式：338a b +42. 分解因式：75()()a b b a −+−43. 分解因式：2243()27()x x y y x −−−44. 分解因式：22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +−+−+−45. 分解因式：44244()4p q p q +−46. 分解因式：222()4()4x x x x +−++47. 分解因式：22(23)9(1)x x +−−48. 分解因式：22223(2)27a a b a b +−49. 分解因式：222222(35)(53)a b a b −−+−50. 分解因式：22222(91)36a b a b +−−51. 分解因式：1xy x y −+−52. 分解因式：2ma mb m mn na nb −+++−53. 分解因式：434164a a a +−−54. 分解因式：26432xy yz x xz −+−55. 分解因式：322288a a b b a −+−56. 分解因式：3223636x x y x z xyz +−−57. 分解因式：ax by bx ay −−+58. 分解因式：32acx bcx adx bd +++59. 分解因式：42244a x ax a −+−60. 分解因式：()()22ax by bx ay ++−61. 分解因式：()()2221ab x x a b +++62.分解因式：()()()211y y m m −−−+63.分解因式：32232x x xy y y −+−−64.分解因式：3254222x x x x x −−++−65. 分解因式：()()2222ab x y xy a b −+−66. 已知3210x x x +++=，求20082000199625x x x ++的值.67. 分解因式：()()22114m n mn −−+68. 分解因式：()()()222222a b b c c a a b c +++++−−−69. 分解因式：22(1)12a b b b −−+−70. 分解因式：(1)(2)6x x x −−−72. 分解因式：241194n n m x x y +−+73. 分解因式：5544()x y x y xy +−+74. 分解因式：2222()()()()a b a c c d b d +++−+−+75. 分解因式：325153x x x −−+76. 分解因式：2226923ax a xy xy ay −+−77. 分解因式：222221x y z x z y z −−+78. 分解因式：22221a b a b −−+79. 分解因式：251539a m am abm bm −+−81. 分解因式：2910x x −−82. 分解因式：()238x x −−83. 分解因式：2367928x x −+84. 分解因式：21166x x −−+85. 分解因式：()()222211224x x x x −−−+86. 分解因式：2222360x y xyz z −+87. 分解因式：222536x y xyz z −−89. 分解因式：22310x xy y +−90. 分解因式：2672x x −+91. 分解因式：2121115x x −−92. 分解因式：256x x −++93. 分解因式：26136x x −+94. 分解因式：2273x x ++95. 分解因式：2253x x −+96. 分解因式：222064xy y x −++98. 分解因式：2273320x x −−99. 分解因式：2612x x −+−100. 分解因式：2214425x y xy +−101. 分解因式：22672x xy y −+102. 分解因式：22121115x xy y −−103. 分解因式：2358x x +−104. 分解因式：2212197x xy y −+105. 分解因式：2212()11()()2()x y x y x y x y +++−+−107. 分解因式：2(2)8(2)12a b a b −−−+108. 分解因式：222()14()24x x x x +−++109. 分解因式：()233x m n x mn +++110. 分解因式：2()()x a b c x a b c +++++【提高篇】1. 分解因式：321246n n n y y y +++−+−2. 分解因式：222232284163915a b x a x a b −−3. 分解因式：()()()()2223326a b x y b c a b x y b c ++−++4.分解因式：()()()()56m x y a b c n y x b a c −−++−−−5.分解因式：()()()()()()22322132212123x x x x x x x −+−−+++−6.计算：20.1737 2.017530201.7⨯+⨯+7.分解因式：()()()()()21222n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−8. 分解因式：8684279a a −9. 分解因式：32233111248x y x y x y −+−10. 分解因式：()()2232p p q p p q +−+11. 分解因式：()()()()322522322n n x y x y −−−−−12. 分解因式：()()()1232n n n a x y b y x c y x ++−−−+−13. 分解因式：()()13122n n n x x x x +−−−14. 分解因式：23229632x y x y xy ++15.分解因式：3222524261352xy z xy z x y z −++16.分解因式：212146n m n m a b a b ++−−(m 、n 为大于1的自然数)17.分解因式：23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b −−−+−18.分解因式：()()2121510n n a a b ab b a +−−−（n 为正整数）19.分解因式：2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−（n 为正整数）20. 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +−+−+−−+−−−−21. 分解因式：229312554a ab b −+22. 分解因式：2222()4()4()m n m n m n +−−+−23. 分解因式：()()()24c a b c a b −−−−24. 分解因式：()()24422a a b c b c −+++25. 分解因式：()()222122x x x x −++−26. 分解因式：()()24222222x a b x a b −++−27. 分解因式：77x y xy −28. 分解因式：5131214242n n n n n n x y x y x y −−+−+−+−29. 分解因式：3333a b c abc ++−30. 分解因式：3223332x x y xy y +++31. 分解因式：()()()()333333ax by ay bx a b x y +++−++32. 分解因式：()()2222224c b d a ab cd −+−−−33. 已知2471−可被40到50之间的两个整数整除，求这两个数.34. 求证：22823x xy y −−是两个整系数多项式的平方差.35. 分解因式：222139x xy y −+−36. 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ++−−−37. 分解因式：81644x −38. 计算：()12351721n −⨯⨯⨯+39.分解因式：44()()a x a x +−−40.分解因式：2224244a b c ab ac bc +++−−41.分解因式：()()()()ab c d c d cd a b a b +−++−42.分解因式：()()3211x y xy x y ++−−−43.分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++−−−44. 分解因式：()()222x b c d y d b c c d b +−−−−−+−45. 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z −−++−46. 分解因式：()()3322332a b a b a b ++++++47. 分解因式：432234a a a b ab b b ++++−48. 分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−++49. 分解因式：()222231b a x ab x +−−50. 分解因式：224632x xy ax a x y +−+−−51. 分解因式：222221x y z xy z +−−−−52. 分解因式：()222223691x y x y −+−53.分解因式：2222224x y x z y z z −−+54.分解因式：232232a b abc d ab cd c d −+−55.分解因式：22224946a b c d ac bd −+−++56.分解因式：221x ax x ax a +++−−57.分解因式：222332154810ac cx ax c +−−58.分解因式：22abx bxy axy y +−−59.分解因式：()()x x z y y z +−+60. 分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++61.分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++62.分解因式：2231()b a x abx +−−63.分解因式：22(3)(43)x ab x a b −+−64.分解因式：2222()()ab c d a b cd −−−65.分解因式：3254222x x x x x −−++−66.分解因式：222(1)()ab x x a b +++67.分解因式：222222()()ax by ay bx c x c y ++−++68.分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−−+69. 分解因式：()222124m x mx m −−−+70.分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++71.分解因式：2222()abcx a b c x abc +++72.分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++73.分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++74.分解因式：2()2a b x ax a b −+++75.分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++−+−76.分解因式：()221999199911999x x −−−77.分解因式：22276212x xy y x y −++−−78.分解因式：22121021152x xy y x y −++−+79.分解因式：22534x y x y −+++80.分解因式：226731385x xy y x y −−++−81.分解因式：224434103x xy y x y −−−+−82.分解因式：22344883x xy y x y +−+−−83.分解因式：2265622320x xy y x y −−++−84.分解因式：226136222320x xy y x y −++−+85.分解因式：22223345a b c ab ac bc +++++86.分解因式：222311642x xy y xz yz z −+−−−87.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++88.分解因式：2222372x y z xy yz xz −−+++89.分解因式：22265622320x xy y xz yz z −−−−−90.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++91.分解因式：332x x ++92.分解因式：3234x x +−93.分解因式：9633x x x ++−94.分解因式：432433x x x x ++++95. 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++96. 分解因式：444a b +97. 分解因式：44x +98. 分解因式：12631x x −+99. 分解因式：841x x ++100. 分解因式：422411x x y y −+101. 分解因式：4224(1)(1)(1)x x x ++−+−102. 分解因式：22(1)(1)4m n mn −−+103. 分解因式：412323x x −+104. 分解因式：42511x x −+105. 分解因式：444m n +106. 分解因式：422241x x ax a −++−107. 分解因式：2284025a ax xy y −−−108. 分解因式：22a ax xy y ++−109. 分解因式：2232x mx mx x −+−+110. 分解因式：()2232x a x a b b −−+−111. 分解因式：()()()2212121a a b a a b −−+−−112. 分解因式：22226x ax bx a ab b +−−−+113. 分解因式：4222x ax x a a −++−114. 分解因式：()32322x x a x a −++−115. 分解因式：222232x y x y xy xy x y ++++++116. 分解因式：22222a b ab ab a b ++−−−117. 分解因式：3222222x x y x z xz xyz y z yz −+−−++118. 分解因式：()()()2222abc a b c b c a c a b ++++++119. 分解因式：32539x x x ++−120. 分解因式：32256x x x +−−121. 分解因式：32694x x x −+−122. 分解因式：3210x x x +−−123. 分解因式：3487x x −−124. 分解因式：432262x x x x −−−+125. 分解因式：343115x x −+126. 分解因式：3292624x x x +++127. 分解因式：32252x x x −−−128. 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++−129. 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++130. 分解因式：222(231)22331x x x x −+−+−131. 分解因式：2(2)(3)(4)(6)42x x x x x ++++−132. 分解因式：4(1)(21)(31)(41)6x x x x x ++−−+133. 分解因式：()()22216112a a a a a ++−++134. 分解因式：()()2254272x x x x −+−−−135. 分解因式：2244661124864x y x y x y −+−136. 分解因式：168243528x x y y −−137. 分解因式：()()222224x xy y xy x y ++−+138. 求证：(2016)(2017)(2018)(2019)1n n n n +++++是一个完全平方数.139. 计算：(472)(692)(8112)...(199419972)(362)(582)(7102) (199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+140. 计算：44444444(1064)(1864)(2664)(3464)(664)(1464)(2264)(3064)++++++++141. 分解因式：432227447x x x x −−−+142. 分解因式：435159x x x ++−143. 多项式32226x x x k +−+有一个因式是21x +，求k 的值.144. 若()()x a x b k −−−中含有因式x b +，求用a 、b 表示k 的式子.145. 21y x −+是2244xy x y k −−−的一个因式，求k 的值.146. 设多项式324715ax bx x +−−含有因式31x +、23x −，试试将此多项式因式分解.147. 已知关于x 、y 的二次式22754324x xy my x y ++−+−可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.148. 多项式2256x axy by x y ++−++的一个因式是2x y +−，试确定a b +的值.149. 已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值.150. 若多项式432511x x x mx n −+++能被2(1)x −整除，求m n +的值.。
沪教版(上海)七年级上册数学 第九章 第五节 因式分解(含解析)
第五节 因式分解一、单选题1．（2020·上海浦东新区初一期末）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式有是（ ） A ．﹣x 2+16 B ．x 2+9 C ．﹣x 2﹣4 D ．x 2﹣2y【答案】A 【解析】−x 2＋16＝（4＋x ）（4−x ），而B 、C 、D 都不能用平方差公式分解因式，故选：A ． 2．（2020·上海市静安区实验中学初三专题练习）下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．296y y -+ B ．2144m m -+C ．2224a ab b -+D ．222x xy y --【答案】A 【解析】A 、22(963)y y y =--+，故A 正确；B 、221142(2)42m m m -+=+，故B 错误； C 、22244(2)a ab b a b -+=-，故C 错误；D 、2222()x xy y x y -+=-，故D 错误； 故选择：A.3．（2020·上海市卢湾中学初一期末）将下列多项式分解因式，结果中不含因式1x -的是（ ） A ．2x x +B ．21x -C ．221x x -+D ．(2)(2)x xx【答案】A 【解析】2(1)x x x x +=+,A 项正确；()()2111x x x -=+-，B 项错误；()22211x x x -+=-，C 项错误；(2)(2)21x xx xx，D 项错误.故答案选A4．（2020·上海闵行初一期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）①221x x -- ①214xx -+ ①22a b -- ①22a b -+ ①2244x xy y -+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】①221x x --不能用公式法因式分解；②原式＝2112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ①22a b --不能用公式法因式分解； ④原式＝（b -a ）（b+a ）， ⑤原式＝()22x y - 故选：C ．5．（2020·上海杨浦复旦二附中初一月考）下列式子从左到右的变形是因式分解的是① ① A ．①x ①2①①x –2①①x 2①4 B ．.x 2①4①3x ①①x ①2①①x –2①①3x C ．x 2①3x ①4①①x ①4①①x ①1① D ．x 2①2x ①3①①x ①1①2①4 【答案】C【解析】试题分析：A 、是整式的乘法，不是因式分解；B 、右边不是因式的积的形式，不是因式分解；C 、把多项式化成因式的积的形式，是因式分解；D 、右边不是因式的积的形式，不是因式分解．故选C ．6．（2020·湖南邵阳初三一模）把8a 3①8a 2+2a 进行因式分解，结果正确的是（ ① A ．2a ①4a 2①4a +1① B ．8a 2①a ①1① C ．2a ①2a ①1①2 D ．2a ①2a +1①2【答案】C 【解析】 8a 3①8a 2+2a =2a(4a 2①4a+1) =2a(2a①1)2①①①C.7．（2020·广西兴宾初一期中）对多项式2()2a b a b +--进行因式分解的结果是（ ）A ．(22)()a b a b ++B ．2242a ab b a b ++--C ．)()21(2a b a b ++-D ．())21(2a b a b +++【答案】C 【解析】原式=()()()()()()2=212212a b a b b a b a b a a b -+++-=++-⎡⎤⎣⎦+． 故选：C ．8．（2020·甘肃平川区四中初二期末）多项式：①16x 2﹣8x ；②（x ﹣1）2﹣4（x ﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x （x+1）2+4x 2；④﹣4x 2﹣1+4x 分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ） A ．①和② B ．③和④C ．①和④D ．②和③【答案】C 【解析】①16x 2−8x ＝8x （2x−1）；②（x−1）2−4（x−1）＋4＝（x−1−2）2＝（x−3）2；③（x ＋1）4−4x （x ＋1）2＋4x 2＝[（x ＋1）2−2x]2＝（x 2＋1）2； ④−4x 2−1＋4x ＝−（2x−1）2； ∴结果中含有相同因式的是①和④； 故选：C ．9．（2020·湖南湘潭电机子弟中学初二月考）因式分解x 2+mx ①12①①x +p ①①x +q ），其中m ①p ①q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ） A ．1 B ．4C ．11D ．12【答案】C 【解析】①(x①p)(x①q)= x 2①①p+q①x+pq= x 2①mx①12①p+q=m①pq=-12.①pq=1×①-12①=①-1①×12=①-2①×6=2×①-6①=①-3①×4=3×①-4①=-12①m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.10．（2020·扬州市江都区第三中学初一期中）已知a①b①c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值① ①A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定【答案】C【解析】a2-2ab+b2-c2=①a-b①2-c2=①a+c-b①[a-①b+c①]①①a①b①c是三角形的三边．①a+c-b①0①a-①b+c①①0①①a2-2ab+b2-c2①0①故选C①11．（2020·安徽蚌埠初一期末）已知a=2012x+2011①b=2012x+2012①c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab①bc①ca 的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】a2+b2+c2①ab①bc①ac①a2①ab+b2①bc+c2①ac①a ①a ①b ①+b ①b ①c ①+c ①c ①a ①当a ①2012x +2011①b ①2012x +2012①c ①2012x +2013时①a -b =①1①b ①c =①1①c ①a =2①原式＝（2012x +2011①×①①1①+①2012x +2012①×①①1①+①2012x +2013①×2 ①①2012x ①2011①2012x ①2012+2012x ×2+2013×2 ①3① 故选D①12．（2020·全国初二课时练习）①2017重庆市兼善中学八年级上学期联考①在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =① 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=① ()18x y +=①()22162xy +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x①10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ① A ．201030 B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B 【解析】x 3-xy 2=x①x 2-y 2①=x①x+y①①x -y①① 当x=20①y=10时，x=20①x+y=30①x -y=10① 组成密码的数字应包括20①30①10① 所以组成的密码不可能是201010① 故选B①二、填空题13．（2020·温州市南浦实验中学初三二模）因式分解：249m -=________．【答案】()()2323m m +- 【解析】249m -=()()2323m m +-．故答案为：()()2323m m +-14．（2020·广东高州初二期末）如果2x Ax B ++因式分解的结果为()()35x x -+，则A B +=_______． 【答案】-13 【解析】()()22=531521535x x x x x x x ++--+--=∴A=2，B=-15 ∴A+B=-13 故答案为：-13．15．（2020·东北师大附中明珠学校初三其他）把多项式因式分解22a b ab b -+的结果是__________．【答案】2(1)b a -【解析】()()2222211a b ab b b a a b a -+=-+=-．故答案为: ()21b a -．16．（2020·上海市静安区实验中学初三专题练习）分解因式：3244a a a -+=__________．【答案】2(2)a a -； 【解析】3244a a a -+=a(a 2-4a+4)=a(a -2)2.故答案是：a(a -2)2.17．（2020·陕西西安初二期末）多项式2ax a -与多项式2242x x -+的公因式分别是______.【答案】x-1 【解析】多项式2ax a -＝a (x ＋1)(x －1) 2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2所以两个多项式的公因式是x －118．（2020·山东东明初三一模）已知a ﹣b ＝5，ab ＝1，则a 2b ﹣ab 2的值为_____． 【答案】5 【解析】∵a ﹣b ＝5，ab ＝1,∴a 2b ﹣ab 2＝ab （a ﹣b ）＝5×1＝5; 故答案为：5．19．（2020·杭州市文澜中学初一期中）若多项式429n n k ++可化为()2a b +的形式，则单项式k 可以是__________．【答案】36n 或36n -或814或636n①当4n 和29n 作为平方项，k 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：()223±n n ，即42224329(3)69++=±=±+n n k n n n n n ，∴36=±k n ；②当4n 和k 作为平方项，29n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(22+n，即4222429(++=+=++nn k n n k ，∴229=n ，解得：814=k ； ③当29n 和k 作为平方项，4n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(23n ，即42229(39++=+=++nn k n n k ，∴4=n ，解得：636=n k ；故答案为：36n 或36n -或814或636n ．20．（2020·全国初一课时练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：2232a ab b ++=______．【答案】()()2a b a b ++．由面积可得：()()22a 3ab 2b a 2b a b ++=++．故答案为()()a 2b a b ++．21．（2020·黑龙江龙凤初一期末）2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_______． 【答案】20014000【解析】2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111111111111......111122331999199920002000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1341998200019992001 (223319991999200022000)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1200122000⨯=2001400022．（2020·全国初一课时练习）若a, b, c 满足2223331,2,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则444a b c ++=________【答案】146【解析】因为1,a b c ++=所以()21a b c ++= ，即22221ab c ab ac bc因为2222a b c ++=所以12ab ac bc =-++ 因为()()2222a b c a b c++++=所以3332ab c ab abbc b c ac a c因为3331,3a b c a b c ++=++=所以31112ab c bc a ac b即332abbaacabc13322abc16abc因为()()3333a b c a b c++++=即4442222223ab c ab a b ac a c bc b c4442222223a b c ab c ac b bc a 44423a b c abbcacabc abc4441136a b c444146a b c故答案为：146三、解答题23．（2020·江苏高港初一期中）因式分解 ①-2x 2+8；②3222x x y xy -+；③222(4)16x x +-．【答案】①()()222x x -+-；②2()x x y -；③22(2)(2)x x +-【解析】 分析：①首先提取公因式2-，再利用平方差公式进行二次分解； ②首先提取公因式x ，再利用完全平方公式进行二次分解； ③先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行二次分解． ①228x -+()224x =--()()222x x =-+-；②3222x x y xy -+22(2)x x xy y =-+ 2()x x y =-；③222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++- 22(2)(2)x x =+-．24．（2020·江苏射阳初一期中）因式分解 （1）2126ab c ab -（2）269a a -+- （3）2464x -【答案】（1）()621ab bc -；（2）()23a --；（3）()()444x x +-【解析】 分析：（1）直接提取公因式即可求解； （2）根据完全平方公式即可求解； （3）先提取4,再根据平方差公式即可求解．()1解：原式()621ab bc =- ()2解：原式()269a a =--+()23a =--()3解：原式()2416x =-=4(x+4)(x -4)．25．（2020·山东定陶初一期末）分解因式（1）2425x - （2）22363ax axy ay -+（3）()()222ma m a -+- （4）()()251101a a ---【答案】（1）()()2525x x +-；（2）()23-a x y ；（3）()()21m a m -- ；（4）()()511a a -+ 【解析】 分析：（1）原式根据平方差公式分解；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解； （3）原式利用提公因式法分解； （4）原式利用提公因式法分解． 解：（1）2425x -=()()2525x x +-；（2）22363ax axy ay -+=()2232a x xy y-+=()23-a x y ； （3）()()222ma m a -+-=()()222ma m a ---=()()21m a m --；（4）()()251101a a --- =()()251101a a -+-=()()5112a a --+ =()()511a a -+．26．（2020·广西江州初一期中）已知x -y=-2，xy=12，求代数式x 3y -2x 2 y 2+xy 3的值. 【答案】xy （x -y ）2，2 【解析】 分析：首先根据x -y=2，xy=12，应用完全平方公式，求出（x -y ）2的值是多少；然后根据因式分解的方法，求出x 3y -2x 2 y 2+xy 3的值是多少即可． 解：∵x -y=-2，xy=12， ∴（x -y ）2=（-2）2=4， ∴x 3y -2x 2 y 2+xy 3 =xy （x 2-2xy +y 2） = xy （x -y ）2 =12×4 =227．（2020·广西来宾初一期末）已知矩形的长为a ，宽为b ，它的周长为24，面积为32．求22a b ab +的值． 【答案】384 【解析】解：由题意可得：2()24a b +=，32ab =，则12a b +=，故22()a b ab ab a b +=+ 3212=⨯384=．28．（2020·全国初二课时练习）已知下列单项式：①4m 2，②9b 2a ，③6a 2b ，④4n 2，⑤-4n 2，⑥-12ab ，⑦-8mn ，⑧a 3．请在以上单项式中选取三个．．组成一个能够先用提公因式法，再用公式法因式分解的多项式并将这个多项式分解因式． 【答案】见解析 【解析】 4m 2+4n 2-8mn =4（m 2+n 2-2mn ） =4（m -n ）229．（2020·全国初二课时练习）某同学碰到这么一道题“分解因式x 2+2x ﹣3”，不会做，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上1，再减去1，这样原式化为（x 2+2x+1）﹣4，…”，老师话没讲完，此同学就恍然大悟，他马上就做好了此题．请你仔细领会该同学的做法，将a 2﹣2ab ﹣3b 2分解因式． 【答案】（a+b ）（a ﹣3b ） 【解析】 分析：根据老师所说的话，可知需要利用平方差公式，故仿照x 2+2x ﹣3的分解方法，应该凑个完全平方，然后再整体利用平方差公式分解，最后将括号内的同类项合并即可．解：a2﹣2ab﹣3b2＝a2﹣2ab+b2﹣4b2＝（a﹣b）2﹣4b2＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）＝（a+b）（a﹣3b）．30．（2020·全国初二课时练习）请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题：解：令x2﹣4x+2＝y，则：原式＝y（y+4）+4（第一步）＝y2+4y+4（第二步）＝（y+2）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x﹣1）4【解析】分析：（1）根据完全平方公式即可求解；（2）根据完全平方公式即可求解；（3）设x2﹣2x＝y，根据因式分解的方法即可求解．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；故答案为：C；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2﹣2x+1）2，＝（x﹣1）4．31．（2020·江苏相城初一期末）如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推出2a2+3ab+b2因式分解的结果；（3）请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【答案】（1）222a ab b ++；（a +b ）2 （2）()()2a b a b ++ （3）见解析 【解析】 分析：（1）从整体和部分两个方面进行计算即可； （2）根据计算图2面积的不同计算方法可得答案；（3）利用图形面积法，可以拼成长为（3a +2b ），宽为（a +b ）的长方形． 解：（1）从整体上看，图1是边长（a +b ）的正方形，其面积为（a +b ）2， 各个部分的面积之和：a 2+2ab +b 2；（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得，2a 2+3ab +b 2＝（a +b ）（2a +b ）； （3）3a 2+5ab +2b 2＝（a +b ）（3a +2b ），32．（2020·常德市淮阳中学初一期中）观察下列式子的因式分解做法： ①x 2-1=(x -1)(x+1)； ①x 3﹣1 =x 3﹣x+x ﹣1 =x （x 2﹣1）+x ﹣1=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x+1）+1]=（x﹣1）（x2+x+1）；①x4﹣1=x4﹣x+x﹣1=x（x3﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；…（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；（2）观察以上结果，猜想x n﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．【答案】（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）（2）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）（3）6431【解析】分析：（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；（2）由分解的规律直接得出答案即可；（3）把式子乘4﹣1，再把计算结果乘13即可．解：（1）x5﹣1=x5﹣x+x﹣1=x（x4﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1=x n﹣x+x﹣1=x（x n-1﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x n-2+x n-3+…+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x n-2+x n-3+…+x+1）+1]=（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）；（3）45+44+43+42+4+1=13×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）=13×（46﹣1）=6431．。
12.1因式分解的意义(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
12.1因式分解的意义
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区
别和联系.（重点）
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式
法分解因式.（难点）
情景导入
我们已经学习了整式的乘法，可以将几个整式的乘积化为一个整式如：
+ + = + + ;
因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，
如在 4 − 1的因式分解的过程中，因式 2 + 1不能继续因式分解，
2 − 1还能继续因式分解为 + 1 − 1 .
课本例题
例1
1
分析
Hale Waihona Puke 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？
− 2 + 3 = 2 + − 6;
1 等式 − 2 + 3
b=_______；
9
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以
将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知
多项式比较解决问题.
(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式
2x2+5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个
因式及k的值.
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以
根据上述算式，完成下列因式分解：
5
2
（6）25
− 1 = (5x+1))(5x−1) 。
3² + 6 = 3x(x+2) 。
（7）a²−8a+16=
−4 ²
。
（8）2 − 5 − 6= − 6 + 1。
沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第8讲 因式分解综合(解析版)
本节课的内容，主要是对因式分解的四种方法——提取公因式法，公式法，十字相乘，分组分解法进行综合练习．通过本节课的学习，可以帮助同学们在做题目时，更加快速准确地找准分解因式的方法．并且可以用因式分解的思想去解决实际问题．【例1】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）．A ．()x a b ax bx -=-B ．2221(1)(1)x y x x y -+=-++C ．21(1)(1)x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=++【答案】C【解析】因式分解是将一个多项式分解成因式乘积的形式． 【总结】考察因式分解的定义．因式分解综合内容分析知识结构例题解析【例2】如果一个多项式因式分解的结果是()()2222b b +-，那么这个多项式是（）．A ．44b -B ．44b -C ．44b +D ．44b -【答案】B【解析】()()()()2222422224b b b b b +-=+-=-． 【总结】考察平方差公式的运用．【例3】下列各式中，是完全平方式的是（）．A ．214y y -+ B ．21m +C ．1a ab ++D ．221x x +-【答案】A 【解析】2211(42y y y -+=-． 【总结】考察用完全平方公式的运用．【例4】如果2x mx n ++是一个完全平方式，则m n 、的关系是___________． 【答案】24m n =．【解析】22()42mn m n ==，．【总结】考察对完全平方式的理解及运用．【例5】利用因式分解计算：（1）2299101-；（2）212114411121441691213⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）-400；（2） 287．【解析】 （1）2299101-(99101)(99101)200(2)400=+-=⨯-=- （2） 令11121213a b ==，，原式可化为2222()()()()a ba b a b a b a b a b a b+-÷-=-+-÷-=--，将a 、b 代入上式，得原式221112111312121328712111213111312+⨯+===-⨯-． 【总结】考察因式分解在简便运算中的应用．【例6】已知a b c 、、是ABC ∆的三边，且222a b c ab ac bc ++=++，那么ABC ∆的形状是（）．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】由222a b c ab ac bc ++=++，得：2222()2()0a b c ab ac bc ++-++=，即222()()()0a b b c a c -+-+-=，a b b c a c ===所以，，． 即ABC ∆为等边三角形．【总结】本题一方面考察完全平方式的运用，另一方面考查几个非负数的和为零的基本模型．【例7】如果多项式216x kx ++可分解成两个一次因式的积，且k 为整数，那么k 不可能是（）．A ．10B ．17-C ．15-D ．8【答案】C【解析】1616116(1)444(4)282(8)=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-， 所以17810k =±±±或或，故选C ． 【总结】考察对十字相乘法的理解及运用．【例8】分解因式： （1）()229(2)252______________x y x y +--=； （2）2101_________n -=； （3）222__________x y y -=；（4）2363__________a a -+=；（5）2111__________216a a ++=；（6）26__________x x --=；（7）4278___________x x +-=；（8）231110__________y y ++=．【答案】（1）8(2)(8)x y x y ---；（2）(101)(101)n n +-；（3）2(1)(1)y x x +-；（4） 23(1)a -； （5） 21(1)4a +；（6）(3)(2)x x -+；（7）2(1)(1)(8)x x x +-+；（8）(35)(2)y y ++．【解析】（1）（2）（3）用平方差公式分解；（4）（5）用完全平方公式法分解；（6）（7）（8）用十字相乘法分解．【总结】本题主要考察利用适当的方法对多项式进行因式分解，注意分解一定要彻底．【例9】已知一矩形面积()()22545635S n n n n =++++=，求此矩形的周长． 【答案】24．【解析】由题意，可得：222(5)10(5)110n n n n +++-=， 分解因式，得：22(511)(51)0n n n n +++-=，则2511n n +=-或251n n +=． 因为矩形边长为正整数，所以251n n +=，所以一组邻边长为5和7，所以此矩形的周长为：()57224+⨯=．【总结】本题一方面考查因式分解在实际问题中的应用，另一方面考查整体思想的运用．【例10】已知3a b +=，2ab =-，利用因式分解求解()()22a a b b a b +++的值． 【答案】39．【解析】()()22a a b b a b +++222()()()[()2]3(94)39a b a b a b a b ab =++=++-=⨯+=． 【总结】考察因式分解的运用，利用已知条件求值．【例11】已知222224470x y z x y z ++-+++=，则________xyz =． 【答案】2．【解析】因为222224470x y z x y z ++-+++=，所以222(1)(2)2(1)0x y z -++++=．即121x y z ==-=-，，，所以2xyz =．【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型．【例12】已知2222220a b c d ab cd +++--=，求ac ad bc bd --+的值． 【答案】0．【解析】由题意，得22()()0a b c d -+-=，所以a b c d ==，． 所以()()0ac ad bc bd a c d b c d --+=---=．【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型．【例13】已知代数式422269264x x y y x y +++++的值为7，求代数式422269261x x y y x y ++---的值．【答案】-2或14．【解析】由题意，得：4222692630x x y y x y ++++-=， 因式分解，得：22(31)(33)0x y x y +-++=，则223133x y x y +=+=-或． 因为422222269261(3)2(3)1x x y y x y x y x y ++---=+-+-，所以当23=1x y +时，原式2=-；当233x y +=-时，原式14=．【总结】考察根据已知条件求值，本题关键在于将已知条件的等式因式分解．【例14】分解因式：()()22221x y ab x y a b +-+-+． 【答案】(1)(1)x y ab x y ab +--+-+．【解析】本题先采用一三分组，再利用公式法进行因式分解． 【总结】考察较复杂的多项式的因式分解的方法． 【例15】分解因式：()()22238320x x x x +-+-．【答案】(5)(2)(1)(2)x x x x +-++．【解析】()()22238320x x x x +-+-22(310)(32)x x x x =+-++(5)(2)(1)(2)x x x x =+-++．【总结】本题主要考查利用十字相乘法进行因式分解，注意分解要彻底．【例16】分解因式：()()22114x y xy --+． 【答案】(1)(1)xy x y xy x y ++-+-+．【解析】原式222222221421(2)y x x y xy x y xy x xy y =--++=++--+22(1)()(1)(1)xy x y xy x y xy x y =+--=++-+-+．【总结】考察利用分组分解法分解因式，本题需要先展开后再分组．【例17】分解因式：222946124x y z xy yz xz ++--+． 【答案】2(32)x y z -+．【解析】222946124x y z xy yz xz ++--+222(3)4(3)4(32)x y z x y z x y z =-+-+=-+． 【总结】本题先利用分组分解法，然后再用完全平方公式进行因式分解，注意观察每一项的特征．【例18】分解因式：()()222222ax by ay bx c x c y ++-++． 【答案】22222()()x y a b c +++．【解析】原式22222222222222a x abxy b y a y abxy b x c x c y =+++-+++ 222222222()()()a x y b x y c x y =+++++22222()()x y a b c =+++．【总结】考察利用分组分解法分解因式，本题需要先将小括号展开后再分组． 【例19】分解因式：()()()12340x x x x -++-． 【答案】2(4)(2)(25)x x x x +-++．【解析】原式22222(23)(2)40(2)3(2)40x x x x x x x x =+-+-=+-+- 222(28)(25)(4)(2)(25)x x x x x x x x =+-++=+-++．【总结】本题综合性较强，主要是观察前面几个因式的特征之后，通过合理的分组，然后利用整体思想进行因式分解，注意分解要彻底．【例20】分解因式：()444x y x y +++（拆项添项）． 【答案】2222()x y xy ++．【解析】原式()444222222x y x y x y x y =++++--322y-yxx ()42222222222222222222222222222()()()[()][()]()()(3)()()(222)2()x y x y x y x y x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy =+-++-=+++-++++-=+++-+++++=++++=++【总结】本题综合性较强，主要考查通过添项，构造完全平方式，然后再利用平方差公式进行分解，注意分解要彻底．【例21】分解因式：22276x xy y x y +--+-（双十字相乘法）． 【答案】(2)(23)x y x y -++-． 【解析】【总结】考察用双十字相乘法分解因式的方法． 【例22】利用乘法分配律可知：()()22______________a b a ab b +-+=； ()()22____________a b a ab b -++=．由整式乘法与因式分解的关系，我们又可以得到因式分解中的另两个公式：33______________a b +=；33____________a b -=．请利用新的公式对下列各题进行因式分解． （1）338x y +；（2）66x y -．【答案】33a b +；33a b -；()()3322a b a b a ab b +=+-+；()()22a b a ab b -++． （1）22(2)(24)x y x xy y +-+；（2）2222()()()()x y x xy y x y x xy y +-+-++． 【解析】（1） 33338(2)x y x y +=+=22(2)(24)x y x xy y +-+；（2）6633332222()()()()()()x y x y x y x y x xy y x y x xy y -=+-=+-+-++．【总结】考察用新的公式进行因式分解．【例23】已知a b c 、、满足1a b c ++=，2222a b c ++=，3333a b c ++=，求444a b c ++的值． 【答案】256．【解析】因为2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++，即122()ab bc ac =+++，所以12ab bc ac ++=-．因为3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---，即13322abc -=+，所以16abc =． 因为333444()()7()()a b c a b c a b c ab ac bc abc a b c ++++=+++++-++，即4441137()126a b c =+++⨯--⨯，所以444256a b c ++=．【总结】本题综合性较强，主要考察整式乘法与因式分解的综合运用以及整体思想的运用．【例24】若230x x +-=，则32199119871990_______x x x +++=． 【答案】7960【解析】令a =1990，原式可化为： 32(1)(3)x a x a x a +++-+322223(3)(1)x ax x ax x a x x x a x x =+++-+=+-+++4a =，将1990a =代入，得：原式419907960=⨯=．【总结】考察利用因式分解的思想进行根据已知条件求值，本题用a 代换较大的数1990，便于计算．【例25】计算：32322012220122010201220122013-⨯-+-． 【答案】20102013．【解析】令2012a =，原式可化为：32322323222(2)22(1)(2)231(1)1(1)(1)11a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -----+---====-+-++---+++，将2012a =代入，得：原式332010112012120132013=-=-=+． 【总结】考察利用因式分解的思想进行化简求值，本题用a 代换较大的数2012，便于化简．②【习题1】下列各式中，是完全平方式的是（ ）．①2242a ab b ++；②2212x x+-；③2296m mn n --；④2214x xy y ++；⑤43222a a b a b -+；⑥24212x x x++． A ．①②③B ．②④⑤C ．③④⑤⑥D ．①②⑤⑥【答案】B【解析】②④⑤是，①③⑥不是． 【总结】考察完全平方式的意义．【习题2】已知正方形的面积是2296x xy y ++（00x y >>，），利用因式分解，写出表示该正方形的边长的代数式是____________．【答案】3x y +．【解析】22296(3)x xy y x y ++=+． 【总结】考察用完全平方式分解因式．【习题3】已知2a b +=，2ab =，则322311___________22a b a b ab ++=．【答案】4．【解析】322322111(2)222a b a b ab ab a ab b ++=++211()24422ab a b =+=⨯⨯=．【总结】考察用完全平方式分解因式，然后利用整体代入进行求值．【习题4】甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时，甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++；乙看错了a ，分解结果为()()19x x ++，则______a b +=．【答案】15．【解析】甲看错了b ，所以一次项系数正确，为2+4=6；乙看错了a ，所以常数项正确，为199⨯=， 所以6915a b +=+=． 【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法．随堂检测【习题5】如果二次三项式28x ax --（a 为整数）在整数范围内可分解因式，那么a 的取值可以是_____________．【答案】72±±或．【解析】因为881182442-=-⨯=-⨯=-⨯=-⨯，所以72a =±±或． 【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法． 【习题6】分解因式： （1）3223121824a b c a b c ac -+； （2）()()()a a b c b c a b c b a c --+-++-+；（3）2221632n n n a a a +--+-；（4）43221a a a a ++++．【答案】（1） 2236(234)ac a b ab -+；（2）2()a b c --； （3）2222(2)(2)n a a a --+-；（4）22(1)(1)a a a +++．【解析】（1）（2）提取公因式法；（3）先提取公因式再用公式法；（4）拆项分组法． 【总结】本题主要考查利用合适的方法进行因式分解．【习题7】分解因式：()()()24b c a b c a ----． 【答案】2(2)a b c --．【解析】()()()24b c a b c a ----22224()b bc c ac a bc ab =-+---+222224444(2)b bc c ac a bc ab a b c =-+-++-=--．【总结】本题直接无法因式分解，因此要先把每一项都拆开，然后重新分组进行因式分解．【习题8】分解因式：2210256308x xy y x y -+-++． 【答案】(54)(52)x y x y ----．【解析】原式2(5)6(5)8(52)(54)x y x y x y x y =---+=----．-21y-2y x x 【总结】本题主要是先利用分组分解法进行分组，然后再利用十字相乘法进行因式分解．【习题9】分解因式：22252x xy y x y ---+-．【答案】(21)(2)x y x y -++-．【解析】【总结】考察较复杂分解因式的方法，本题用双十字相乘法比较简单．【习题10】设23x z y +=，试判断222944x y z xz -++的值是不是定值，如果是定值，求出 它的值；否则，请说明理由． 【答案】是定值，0．【解析】222944x y z xz -++22(2)9(23)(23)600x z y x z y x z y y =+-=+++-=⋅=．【总结】考察先因式分解，再根据已知条件求值．【习题11】试讨论对于哪些m 值，24x xy x my +++能分解成两个一次因式的积．【答案】4【解析】24(4)()x xy x my x x y x m +++=+++所以当4m =时，上式才可以继续因式分解成(4)()x x y ++．【总结】考察分组分解法可以继续分解的条件．【习题12】已知()()200019981999a a --=，求()()2220001998a a -+-的值． 【答案】4002．【解析】因为()()200019981999a a --=， 所以()()200019981999a a --=-．()()()()()()22220001998[20001998]22000199842(1999)4002a a a a a a -+-=-+----=-⨯-=【总结】考察完全平方公式的变形，再根据已知条件求值．班秋季级年七12 / 16【习题13】分解因式：432262x x x x ---+（拆添项）．【答案】22(232)(1)x x x ++-．【解析】原式4332222333322x x x x x x x =+----++322(1)3(1)3(1)2(1)x x x x x x x =+-+-+++32(1)(2332)x x x x =+--+322(1)(225522)x x x x x x =++--++2(1)[2(1)5(1)2(1)]x x x x x x =++-+++22(1)(252)x x x =+-+ 2(1)(21)(2)x x x =+--．【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底．【习题14】分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-（拆项添项）．【答案】(1)(1)(1)(1)x x y xy x x y xy +++-----．【解析】()()()222241211y x y x y +-++- ()()()()()22222[11]21121y x y y x y x y =++--+⋅--+()()22222[11]2(11)y x y x y y =++---++()()222[11]4y x y x =++--()()()()22[112][112]y x y x y x y x =++-+++--2222[(1)(1)][(1)(1)]x y x x y x =++--+-(1)(1)(1)(1)x x y xy x x y xy =+++-----．【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底．课后作业【作业1】已知多项式22x bx c ++分解因式为()()231x x -+，则b c 、的值为（ ）．A ．3b =，1c =-B ．6b =-，2c =C ．6b =-，4c =-D ．4b =-，6c =-【答案】D 【解析】根据常数项2(3)16c =⨯-⨯=-，即可知选D ．【总结】考察十字相乘法的逆用．【作业2】下列分解因式错误的是（ ）．A ．()()25623a a a a -+=--B ．()2214212m m m -+=-C ．224(2)(2)x y x y x y -+=-+-D ．2221139342ab a b ab ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】22142(421)m m m m -+=---不可因式分解．【总结】考察因式分解的方法，本题B 中需要先提取负号，小括号内已不可分解．【作业3】已知210x y +=，22420x y -=，则______xy =．【答案】12【解析】因为210x y +=，由224(2)(2)20x y x y x y -=+-=可得：22x y -=，联立方程组可解得34x y ==，，故12xy =．【总结】考察根据已知条件求值．【作业4】分解因式：2221xy x y +--．【答案】(1)(1)x y x y +--+．【解析】2221xy x y +--222(2)1()1(1)(1)x xy y x y x y x y =--++=--+=+--+．【总结】考察用公式法分解因式的方法．【作业5】已知()212a a a b -=--，求222a b ab +-的值． 【答案】2【解析】由()212a a a b -=--，得：2a b -=， 所以222222()422222a b a b ab a b ab ++---====． 【总结】考察利用因式分解根据已知条件求值．【作业6】已知3210x x x +++=，那么20082000199625x x x ++的值为__________．【答案】8【解析】因为3210x x x +++=，所以2(1)(1)0x x x +++=，即2(1)(1)0x x ++=， 所以1x =-，将1x =-代入，得：200820001996251258x x x ++=++=．【总结】考察根据已知条件求值．【作业7】分解因式：（1）()()311111b a a b -+-； （2）11232639m n m n x y x y ++-+-；（3）()()2222224x x x y +-+； （4）4422127x y x y +-； （5）()()225()6x y a y x ab b x y -+-+-．【答案】（1）1()(11)(11)11b a b a b a --+--；（2） 213213(23)m n x y x y -+-； （3）22(44)(2)(2)x x y x y x y +++-；（4）22(3)(2)(2)x y x y x y -+-；（5）()(3)(2)x y a b a b ---．【解析】（1）（2）（5）提取公因式法；（3）平方差公式法；（4）十字相乘法．【总结】考察利用适当的方法进行因式分解．-21-y 3y 3x2x 【作业8】已知关于x y 、的二次六项式226372x axy y x y +----能分解为一次式 2x by c ++与2dx ey +-的积，求a b c d e ++++的值．【答案】13．【解析】 由二次项系数和常数项可得31d c ==，，利用双十字相乘可得如下图交叉式：所以31b e ==-，，927a =-=，所以13a b c d e ++++=． 【总结】考察双十字相乘法的应用．【作业9】已知2x y +=，4xy a =+，3326x y +=，求a 的值．【答案】-7．【解析】由题意有：33222()()()[()3]x y x y x y xy x y x y xy +=++-=++-，即262[43(4)]a =-+，解得：7a =-．【总结】考察立方和公式的应用．【作业10】计算：()2222002200120032002200220012001-⋅-⋅+．【答案】2003． 【解析】令2002a =，则原式可化为：22222[(1)](1)(1)(1)1(1)(1)1a a a a a a a a a a a a a --+-++==+--+--+， =2003．【总结】本题综合性较强，主要考察利用因式分解先化简再计算，令2002a =可使计算简单．【作业11】已知3x y z ++=，22229x y z ++=，33345x y z ++=，求xyz 的值．【答案】-24．【解析】因为2222()2()x y z x y z xy yz xz ++=+++++，即9292()xy yz xz =+++， 所以10xy yz xz ++=-， 因为3332223()()x y z xyz x y z x y z xy xz yz ++-=++++---， 即4533(2910)xyz -=+，所以24xyz =-．【总结】考察整式乘法与因式分解的综合练习，综合性较强，注意观察每一项的特征．。
串讲03 因式分解(9个常考点 5种重难点题型 2个易错)七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)
请你选择一种方法因式分解：
mx － my ＋ nx － ny ；
【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny )
＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ).
(1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4；
【解】 原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.4×10＝2 024.
(2)36.8×
＋20.2×
【解】 原式＝
＝
×55＝13.
－2×来自.×(36.8＋20.2－2)
题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
考点2 公因式的定义
4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为
2a
5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是( D
A. xmyn
B. xmyn－1
C. 4 xmyn
D. 4 xmyn－1
2x3–2x2y+8y–8x
解
6k2+9km – 6mn–4kn
=2(x3–x2y+4y–4x)
=(6k2+9km) – (6mn+4kn)
=2[(x3–x2y) +(4y–4x)]
=3k(2k+3m) –2n (3m+2k)
=2[x2(x-y)-4(x-y)]
沪教新版七年级上册《第12章_因式分解》2024年同步练习卷+答案解析
沪教新版七年级上册《第12章因式分解》2024年同步练习卷一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为()A. B.C. D.2.如果一个多项式因式分解的结果是，那么这个多项式是()A. B. C. D.3.下列各式中，是完全平方式的是()A. B. C. D.4.把多项式分解因式的结果是()A. B.C. D.5.已知a，b，c是的三边长，且，则的形状为()A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、单选题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
6.若能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有()A.2个B.3个C.4个D.6个三、填空题：本题共14小题，每小题3分，共42分。
7.多项式中各项的公因式是______.8.分解因式：______.9.分解因式：______.10.如果多项式，那么m的值为______.11.如果，且，则n的值是______.12.已知，，则______.13.已知，则的值是__________.14.若长方形的面积是，且其中一边长为，则长方形的另一边长是______.15.已知正方形的面积是，利用分解因式写出表示该正方形的边长的代数式______.16.已知，，则的值为______.17.分解因式，甲看错了a值，分解的结果是，乙看错了b值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果应该是______.18.已知是一个完全平方式，则______.19.已知，则______.20.如果二次三项式为整数在整数范围内可分解因式，那么a的取值可以是______.四、解答题：本题共10小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题8分分解因式：22.本小题8分分解因式：计算：23.本小题8分分解因式：24.本小题8分分解因式：25.本小题8分分解因式：26.本小题8分因式分解：27.本小题8分因式分解：；已知：x、y为正整数，、且，求x、y的值.28.本小题8分阅读下面解题过程：分解因式：解：然后按照上述解题思路，完成下列因式分解：29.本小题8分利用乘法分配律可知：______；______.由整式乘法与因式分解的关系，我们又可以得到因式分解中的另两个公式：______；______.请利用新的公式对下列各题进行因式分解.；30.本小题8分先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题.例：若多项式分解因式的结果中有因式，求实数m的值.解：设为整式，若，则或由得左式为零，所以是方程的解，所以，所以问题：若多项式分解因式的结果中有因式，则实数p是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；C、，正确；D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．故选：根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：故选：根据平方差公式得，进而解决此题．本题主要考查平方差公式以及因式分解的定义，熟练掌握平方差公式以及因式分解的定义是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：，属于完全平方式；B.不属于完全平方式；C.不属于完全平方式；D.不属于完全平方式；故选：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方；另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：原式故选：先分两组，前面一组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式因式分解即可．本题考查了因式分解-分组分解：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．5.【答案】B【解析】解：，，，即，，，，，的形状为等边三角形．故选：欲判断三角形的形状，不妨试着从边的关系出发，求出a、b、c之间的关系；给等式两边同时乘以2，再利用完全平方公式进行配方，可得到；接下来根据非负数的性质可得答案．考查学生综合运用数学知识的能力．此题是一道把等边三角形的判定、因式分解和非负数的性质结合求解的综合题．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查因式分解的意义和十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键，属于拔高题．根据十字相乘法的分解方法和特点可知：k的值应该是20的两个因数的和，从而得出k的值．【解答】解：，，，，，，则k的值可能为：，，，，，，故整数k可以取的值有6个，故选：7.【答案】【解析】解：，所以多项式中各项的公因式是故答案为：先变形得出，再找出多项式的公因式即可．本题考查了公因式，能熟记找公因式的方法①系数找各项系数的最大公因数，②相同字母找最低次幂是解此题的关键．8.【答案】【解析】解：，故答案为：先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．9.【答案】【解析】解：，，故答案为：先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10.【答案】【解析】解：，故答案为：把等式右边利用完全平方公式展开，然后根据对应项系数相等解答．本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的公式结构是解题的关键．11.【答案】【解析】解：，，，，故答案为：先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值．本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．12.【答案】【解析】解：，即，且①，②，①+②，得：，解得，故答案为：由，即得出，结合，将两式相加消去b即可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握平方差公式和等式的性质．13.【答案】7【解析】解：，，故答案为：把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．完全平方公式：本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．14.【答案】【解析】解：矩形的长为，故答案为：由题意得矩形的长为，然后利用多项式除以单项式的法则即可求出结果．本题考查多项式除以单项式运算．多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．15.【答案】【解析】解：，正方形的边长的代数式是因为正方形的面积是，可以分解为，又有正方形的面积等于边长的平方可得，正方形的边长的代数式是此题考查对完全平方公式再实际中的应用，应熟练识记完全平方公式：16.【答案】4【解析】解：原式，当，时，原式故答案是：首先对所求的式子提公因式，然后利用完全平方公式分解，最后把，代入求值．本题考查了分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．17.【答案】【解析】解：分解因式，甲看错了a值，分解的结果是，，，乙看错了b值，分解的结果是，，，故答案为：根据已知分解因式，甲看错了a值，分解的结果是，可得出b的值，再根据乙看错了b值，分解的结果是，可求出a的值，进而因式分解即可．此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．18.【答案】或2【解析】解：由于，则，或故答案为：或这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故，再解k即可．此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．19.【答案】6【解析】解：已知等式变形得：，，，，，，，，解得：，，，则故答案为：已知等式左边14分为，结合后利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x，y与z的值，代入原式计算即可求出值．此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20.【答案】或【解析】解：8可以分解为和，当8可以分解为时，根据十字相乘因式分解，，则；8可以分解为时，根据十字相乘因式分解，，则；故答案是或根据因式分解十字相乘，将8分解为和，再按照十字相乘进行因式分解即可．本题考查的是因式分解，用十字相乘的方法时，要注意数字的符号不能出现差错．21.【答案】解：【解析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式．此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键．22.【答案】解：；【解析】先进行变形，再运用提公因式法进行因式分解；先运用平方差公式进行运算，再计算单项式乘以多项式．此题考查了整式乘法和因式分解的能力，关键是能准确运用对应法则和方法进行求解．23.【答案】解：【解析】先分组，分成，再运用完全平方公式分解．本题考查了因式分解．分解因式的一般步骤是：一提公因式，二套用公式，三分组，解本题的关键在于运用分组分解法进行因式分解，注意因式分解要彻底，一定要分解到每个因式都不能再分解为止．24.【答案】解：【解析】先将拆分为，再分组，利用完全平方公式及平方差公式求解即可．本题考查了分组分解法，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．25.【答案】解：【解析】先利用完全平方公式和多项式乘以多项式展开，重新组合即可得出结论．此题主要考查了因式分解，完全平方公式，多项式乘以多项式，重新分组是解本题的关键．26.【答案】解：原式【解析】根据完全平方公式，可得答案．本题考查了因式分解，利用了完全平方公式分解因式．27.【答案】解：；，，，、y为正整数，，与也是整数，，，或，【解析】根据分组分解法分解因式即可；根据结论整体代入即可得到结论．本题考查了因式分解-分组分解法，熟练掌握分解因式的方法解题的关键．28.【答案】解：【解析】直接利用例题进行补项，进而分解因式得出答案．此题主要考查了分组分解法分解因式，正确补项是解题关键．29.【答案】【解析】解：；；；；；；故答案为：，，；根据多项式乘多项式的法则计算即可，再根据推导的公式进行因式分解．本题考查了因式分解和多项式乘多项式的逆向应用能力30.【答案】解：设为整式，若，则或由得左式为零，所以是方程的解，所以，所以【解析】仿照题例，先设，再求一次方程的值，代入计算得结果．本题考查了解一元一次方程、高次方程，理解题例，掌握题例的步骤是解决本题的关键．。
12.2因式分解的方法(第1课时 提公因式法)(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
＝4 a ( x － y )＋2 b ( x － y )
＝2( x － y )(2 a ＋ b ).
7.先分解因式，再计算求值：
(1)4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2，其中 x ＝1， m ＝3；
【解】4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2
＝(2 x ＋ y )(2 x －3 y ＋3 x )＝(2 x ＋ y )(5 x －3 y ).
＋ ＝ ，
＋ = ，
∵
∴
∴原式＝3×(－2)＝－6.
− ＝ − .
+ = ，
14. 试说明817－279－913能被45整除.
【解】因为817－279－913＝328－327－326
2)( a ＋4).将 a ＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋
4)＝－8.
分层练习-巩固
8. 计算320－318×6的值是( A
)
A. 319
B. 318
C. 3 2
D. 0
9. [新考法 数形结合法]△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，
且 a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，则△ ABC 是(
提取公因式法.
新知探究
如何将6 2 + 9因式分解？
先找出6 2 + 9各项的公因式，再用提取公因式法因式分解. 这个整式有两项
6 2 与9, 这两项的系数6与9有最大公因数3，这两项的字母部分 2 与都含
有字母和, 且和的最低次数都是1，因此可提取公因式3，得
− = ，
= ，
所以
解得
因式分解(6种常考题型专项训练)原卷版—七年级数学上学期期中(沪教版2024)
因式分解（6种常考题型专项训练）因式分解的意义 公式法因式分解因式分解在有理数简算中的应用 十字相乘法分组分解法 因式分解的应用题型一：因式分解的意义一、单选题1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．253(5)3x x x x -+=-+B ．2(2)(5)310x x x x -+=+-C ．22(23)4129x x x +=++D ．2244(2)-+=-x x x 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ）（1）()()2224x x x +-=- （2）()2111x x x ++=++（3）12223=´´ （4）()3222323a a a a a a ++=++A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（ ）A ．22816(4)a a a ++=+B ．22(4)=816a a a +++C ．2816(8)16a a a a ++=++D ．228(2)816a a a a ++=++4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式33ab 与单项式239a b 的公因式是（ ）A ．23a b B ．333a b C ．2a b D ．33a b 二、填空题5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式2x x m -+含有一个因式(3)x +，则m 的值是 ．6．（2022七年级上·上海·专题练习）28(9)()x x m x x n -+=--，则nm =7．（23-24七年级上·上海长宁·期中）326a bc 和228a b c 的最大公因式是 ．题型二：公式法因式分解一、单选题1．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（ ）A ．2249a b -B ．222a ab b -+-C ．21a --D ．2114b -+2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．21x x ++B ．221x x --C ．224x x ++D ．214x x -+二、填空题3．（2024·上海嘉定·三模）因式分解：()2224x xy y ---=4．（2024·上海·模拟预测）因式分解：62xy xy -=三、解答题5．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：2221a ab b ++-．6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：222(4)8(4)16a a a a -+-+7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：()22222169+--m n mn m n ．8．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：22139164525a ab b -+-．9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：()()2242452x x x x -+-++题型三：因式分解在有理数简算中的应用1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：2220052003-= ．2．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算：227.5 1.6 2.5 1.6´-´3．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算：2201120072015-´4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：()()22202020262020403720212017201920222023-+´´´´．题型四：十字相乘法一、填空题1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：2812x x -+=．2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：221112x xy y --=．3．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：21336a a -+= ．4．（23-24七年级上·上海·单元测试）分解因式：26x x +-= ，3443ax by ay bx --+=．5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式：22514x xy y --=．二、解答题6．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：4234x x --．7．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：()()222412a a a a +++-．8．（23-24七年级上·上海·单元测试）因式分解：()()21556a b b a ---+．9．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：()()2233820x x x x ----．题型五：分组分解法一、填空题1．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解：am an bm bn +--= ．2．（2024·上海·模拟预测）因式分解：221x x --= .二、解答题3．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：842ax by ay bx -+-．4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：22643a bc ab ac -+-；5．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：32248x x y x y +--.6．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：()22222224mnx m x n x m n -++--；7．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：22424a b a b --+．8．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：5322x x x +-- ．9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：22168-+-a b b ．10．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：32332a a a +++．11．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解：()()22114x y xy ---题型六：因式分解的应用一、单选题1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x 的一次整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-二、填空题2．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）与()27x y -之积等于4249y x -的因式为 ．3．（2022七年级上·上海·专题练习）当1996,200x y =-=时，代数式32266x xy x y x --+= 4．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知22313x y x y -=+=，，则32238x y x y xy -+的值为 5．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到：()()2232222333a b a ab b a a b ab a b a b b a b +-+=-++-+=+即：()()2233a b a ab b a b +-+=+，我们把这个公式叫做立方和公式，同理：()()2233a b a ab b a b -++=-，我们把这个公式叫做立方差公式，请利用以上公式分解因式：34381a b b -=6．（23-24七年级下·上海静安·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n ，的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用()()22m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ．三、解答题7．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a ，b ，c 三个数两两不等，且有222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，试求m 的值．222222 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）证明：()()()2a b c x y z ax by cz++++³++。
沪教版七年级数学(-因式分解练习题)
（
A、 an
B、 an 1
C、 a2n 1
D、 9 4
） D、 a 2n 1 1
3、要使二次三项式 x2 mx 12 能在整数范围内分解因式，则 m 不可取 的值是
（
）
A、 1
B、 2
C、 4
D、 11
4、下列各式中因式分解结果为 ( x 2)( x 1) 的多项式是（
）
A、 x2 3x 2
B、 x2 x 2
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七年级因式分解练习卷
一、 填空题（每空 2 分，共 40 分） 1、 5m(a b) a b ( a b) ___________
： 号 学
线
订
2、已知
2
x
mx
16 是完全平方式， 则 m
_____________，已知
2
4x
2mxy
2
9y
是完全平方式，则 m =____________。
C、 x2 3x 2
D、 x2 x 2
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5、 把多项式 x2 4 xy 4y2 4 先分组再应用公式分解因式，分组正确的是
（
）
A、 (x2 4xy ) (4 y2 4)
B、 (x2 4) (4 xy 4y2 )
C、 (x2 4xy 4y2 ) y2
6、下列各多项式的因式分解结果正确的是 A、 (a 2 b2 )2 4 a2b2 (a b) 2( a b) 2
5、已知：
2
(x
2
2
y )( x
4
2
y ) 12
0
，求
2
x
2
上海市七年级上学期因式分解精炼
上海市七年级数学因式分解精炼一、用提公因式法把多项式进行因式分解1、.-+--+++ax abx acx ax m m m m 2213 2、.a a b a b a ab b a ()()()-+---322223、.不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
4、.证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
5、. 已知：xbx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
课堂小练1. 分解因式：（1）-+-41222332mn m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a ab a b a ab b a ()()()-+---322222 （4）322x x x ()()--- （6）412132q p p ()()-+-2. 计算：()()-+-221110的结果是______________3. 已知x 、y 都是正整数，且x xy y y x ()()---=12，求x 、y 。
4. 证明：812797913--能被45整除。
2、运用公式法进行因式分1、已知多项式232xx m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
2、已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足ab c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
3、两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
4、 已知：am b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。
5、. 若xy x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。
6、 分解因式（1）()()aa +--23122 （2 ）x x y x y x 5222()()-+-（3）3223288xy x y xy ++ (4)a a b b 2222+--7、. 已知：xx +=-13，求x x 441+的值。
上海市沪教版(五四制)七年级第一学期因式分解专练学案-文档精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版因式分解提取公因式、公式法【知识要点】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 提公因式法：=++mc mb ma .3. 公式法:（1）=-22b a ；（2）=++222b ab a ；（3）=+-222b ab a .4．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 5．易错知识辨析（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.【典型例题】例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( ) A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6 B. ax －ay+1=a(x －y)+1C. x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1)例2 将下列多项式分解因式 （1）（2）121m n m n a b a b -+-（3）253243143521x y x y x y +-（4）()()23aa b a b a ---（5）)3(7)23)(3(x x x -+--（6）xy xy y x 36922+--例3 把下列各式分解因式 （1）a 2－4b 2（2）24251b a +-（3）()()22916b a b a +--（4）()()122++++b a b a（5）442-+-x x（6）181222+-x x（7）22332y ax axy y ax -+（8） 3y 2－2722x x -（9）x x x ++232（10）()222224y x y x -+例4 分解因式（1）()()()()222510b a b a n m n m ++++-+（2）()()()()229262n m n m m n n m +++---例5 计算（1）199919992+（2）20002－4000×2019+20192例6已知,21,1-==+xy y x 利用因式分解求2)())((y x x y x y x x +--+的值.例7设n 为整数，用因式分解说明25)12(2-+n 能被4整除.【小试锋芒】1．分解因式39a a -=，221218x x -+= 2. 分解因式：34a a -=3．因式分解： 4.因式分解：4)4)(2(2-+++x x x = 5．简便计算：=2271.229.7－ 6．按照完全平方公式填空：7．多项式a ax 42-与多项式442+-x x 的公因式是 8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A ．x 2－xyB ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 29．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A ．1)32(1322+-=+-a a a aB ．)11(1xyxy xy -=-C ．)1)(1(12-+=-x x xD ．22)21(412+=++x x x 10．下列因式分解错误的是( ) A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+11．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（） A ．B ．=+-+)(3)(2y x y x a b a b >222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+C ．D ．12．因式分解：（1）32)(12)(18b a b a ---（2）32)()(x y y x --- （3）22819212++（4）22821y x - 【大展身手】1．把下列各式分解因式正确的是（） A ．xy 2－x 2y = x(y 2－xy) B.9xyz －6x 2y 2=3xyz(3－2xy)C.3a 2x －6bx+3x=3x(a 2－2b)D.221xy +y x 221=xy 21(x+y) 2．－6x n －3x 2n 分解因式正确的是（）A ．3（－2x n －x 2n ）B.－3x n (2－x n )C.－3(2x n +x 2n )D.－3x n (x n +2)3．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）①x 2－4x+4②6x 2+3x+1③4x 2－4x+1④x 2+4xy+2y 2⑤9x 2－20xy+16y 2A ．①②B ．①③C ．②③D ．①⑤4．把多项式（3a －4b ）(7a －8b)＋(11a －12b)(8b －7a)分解因式的结果是（） A ．8(7a －8b)(a －b) B ．2(7a －8b)2C ．8(7a －8b)(b －a)D ．－2(7a －8b)25．在多项式①16x 5－x ；②(x －1)2－4(x －1)+4；③(x+1)4－4x(x+1)2+4x 2④－4x 2－1+4x 中，分解因式的结果中含有相同因式的是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③6．观察下列各式①2a ＋b 和a ＋b ，②5m(a －b)和－a ＋b ，③3(a ＋b)和－a －b ，④x 2－y 2和x 2＋y 2其中有公因式的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．分解因式： （1）916222-z y x（2）()()22481b a b a --+（3）3212123a a a -+-（4）()()16585222+-+-x x（5）222224)(b a b a -+ （6）3)(111)(11a b b a -+- 十字相乘法【知识要点】1、x 2+px+q 型的二次三项式中p 和q 都是整数：22()()a b a b a b -=+-22(2)()2a b a b a ab b +-=+-（1）找出a,b 使a+b=p 且ab=q（2）把q 分解成两个整数的积的符号规律：q>0则a,b 同号,若p>0,a,b 同正,若p<0,a,b 同负;q<0则a,b 异号,若p>0,a,b 中正数绝对值大,若p<0,a,b 中负数的绝对值大. （3）当二次项系数为负时,先提负号. （4）注意题目中换元思想的运用. 2、十字相乘法的步骤:（1）把二次项系数和常数项分别分解因数（2）尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次系数 （3）确定合适的十字图并写出因式分解的结果 （4）检验(我们形象的把它比喻成“拆两头,凑中间”) 【典型例题】 例1. 分解因式（1）2x 2-5x ＋3（2）-3x 2－5x-2（3）5x 2＋7xy-6y 2．（4）12722+-xy y x（5）1002924+-x x （6）322222318126z xy z y x z y x ++- 例2. 分解因式（1）36)(5)(2-+++n m n m （2）26)(11)(222--+-x x x x （3）2220)(9)(c bc ac b a ++-+（4）)3(4)(2+---y x y x例3. 已知多项式62++ax x 可分解为两个整系数的一次因式的积，求a 的值. 例4 分解因式：()mn x n m mnx +++222【小试锋芒】1. _____))(12(______102-+=-+x x x x 2. )4____)((______52++=++x x x x3. )3)(2(x x +-是多项式_____________的因式分解.4. 如果),3)((62+-=+-x n x mx x 那么m-n 的值是_________.5. 若关于x 的二次三项式122-+px x 能分解成两个整系数的一次多项式的积，则p 有_______个可能的取值. 6. 因式分解（1）342++x x （2）1522-+x x（3）2452-+x x （4）2142--x x（5）2232y xy x --（6）x 2＋7xy ＋12y 2； （7）2243y xy x -+（8）222816y xy x ++ （9）2223y xy x --（10）228185y xy x -- （11）2212y xy x -+（12）226197y xy x -+ 7. 因式分解（1）y xy y x 1582-+-（2）36)5(12)5(222++-+a a a a （3）24)8)(6(22--+-+x x x x （4）26)(11)(222--+-x x x x 【大显身手】 1.把下列各式分解因式（1）91024+-x x （2）x x x 4335-+（3）1002924+-x x （4）120)8(22)8(2222++++a a a a （5）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ （6）3)5)(3(22-----x x x x 2.用简便方法计算： 1699809982++ 3.把48)4)(3)(2)(1(-----x x x x 分解因式.分组分解法【知识要点】 1.分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式.（2）原则：分组后可直接提取公因式或直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解. （3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可.（4）对于四项式，在分解时可以“二二”分组或“一三”分组； 对于五项式，在分解时一般是“三二”分组；对于六项式，在分解时采用“三三”、“三二一”或“二二二”分组。
因式分解 知识归纳与题型突破(12类题型清单)(原卷版)—2024-2025学年七年级数学上册沪教版
因式分解知识归纳与题型突破（12类题型）知识点一、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.知识点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.m m 01 思维导图02 知识速记（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.知识点三、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点四、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点五、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则()()22a b a b a b -=+-a b a b ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b 2x bx c ++pq c p q b=ìí+=î()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q、同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.知识点六、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项.知识点七、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a三项、二项、一项可化为二次三项式知识点八：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.知识点九：因式分解的解题步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.题型一 判断是否是因式分解1．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（ ）A ．21(1)(1)a a a -=+-B ．222()ab ac a b c +=+C ．2269(3)x x x -+=-D ．241(2)(2)1m m m m -+=+-+2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()22244a c ab ac b --=--B ．()a x y ax ay +=+C ．()()22339x y x y x y+-=-D ．()222963a ab b a b ++=+3．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()24313x x x x -+=--03 题型归纳B ．()27373x x x x +--=+C ．()()2339x x x +-=+D ．()()213113x x x x x +=+-+-巩固训练1．下列变形是因式分解的是（ ）A ．()()243223a a a a a-+=-++B ．2244(2)x x x ++=+C ．111x x x æö+=+ç÷èøD ．2(1)(1)1x x x +-=-2．给出下列六个多项式：①x 2＋y 2；②－x 2＋y 2；③x 2＋2xy ＋y 2；④x 4－1；⑤x(x ＋1)－2(x ＋1)；⑥m 2－mn ＋14n 2.其中，能因式分解的是(填序号)．3．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？(1)2(1)(2)2x x x x +-=--；(2)2223(1)2x x x ++=++；(3)2)39631)(2(xy xy x x y y -+=--；(4)2224129()23x xy y x y ++=+ 题型二 已知因式分解的结果求参数4．若多项式2x x b ++因式分解的结果为(3)(2)x x +-，则b 的值是（ ）A ．5B ．5-C ．6D ．6-5．若()2242x mx x ++=-，则下列结论正确的是（ ）A ．等式从左到右的变形是乘法公式，4m =B ．等式从左到右的变形是因式分解，4m =C ．等式从左到右的变形是乘法公式，4m =-D ．等式从左到右的变形是因式分解，4m =-6．把多项式232x ax +-分解因式，结果是()()31x x b ++，则a ，b 的值为（ ）A ．72a b ==，B ．52a b ==，C ．72a b =-=-，D ．52a b =-=-，巩固训练1．因式分解()()2122x mx x x n +-=++，其中m 、n 都为整数，则m 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．4-D ．42．已知二次三项式24x x m -+有一个因式是3x +，则m 的值为 .3．仔细阅读下面例题，解答问题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得24(3)()x x m x x n -+=++则224(3)3x x m x n x n-+=+++343n m n+=-ì\í=î解得：7,21n m =-=-．∴另一个因式为(7)x -，m 的值为21-． 问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式23x x k -+有一个因式是(2)x +，求另一个因式以及k 的值．(2)已知二次三项式223x x k +-有一个因式是(25)x -，则另一个因式为 ，k 的值为 ．(3)已知二次三项式2341x ax ++有一个因式是()x a +，a 是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ．题型三 提公因式法分解因式7．如图，长方形的长和宽分别是x ，y ，它的周长为14，面积为10．则22x y xy +的值为（ ）A ．140B ．70C ．14D ．108．若4a b +=，2ab =，则22a b ab +的值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．169．已知23a b -=，2ab =，则222a b ab -的值为（ ）A ．5-B ．6C ．6-D ．5巩固训练1．把多项式()()2262a x a -+-分解因式，结果是（ ）A ．()()226a x -+B ．()()226a x --C ．()()2213a x -+D ．()()2213a x --2．多项式229363x y xy xy -+-提公因式3xy -后的另一个因式为 ．3．分解因式：(1)²²a x ax-(2)214749abc ab ab c--+题型四 公因式10．把22mn mn +分解因式，应提取的公因式是（ ）A ．2mB ．mnC ．2mnD ．2mn 11．用提公因式法因式分解多项式： 232812a b a b c -，其中的公因式是（ ）A ．28a bB ．3212a b cC ．4abD ．24a b12．多项式2210mx nx -的公因式是（ ）A ．2B ．xC ．2xD ．2mn巩固训练1．把多项式3123ab ab +分解因式，应提的公因式是（ ）A ．12abB ．4abC ．3abD ．33ab 2．多项式323612a m a m am -+的公因式是．3．已知：2312A x =-，233510B x y xy =+，(1)(3)1C x x =+++．问多项式A ，B ，C 是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．题型五 平方差公式分解因式13．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．222x y --B ．21x -+C ．21x +D ．244x x ++14．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（ ）A ．21x +B ．21x -+C ．22x y --D ．244x x ++15．已知4821-可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是（ ）A ．61，62B ．61，63C ．63，65D ．65，67巩固训练1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b +B ．22a b -C ．224a b --D ．229a b -+2．小明抄在作业本上的式子29x y Å-（“Å”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为小于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：．3．小明遇到下面一个问题：计算．()()()248(21)212121++++．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：()()()248(21)212121++++()()()()()2482121212121=-++++()()()()224821212121=-+++()()()448212121=-++()()882121=-+1621=-．请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：(1)()()()()24816(21)21212121+++++(2)()()()()24816(31)31313131+++++(3)2222211111111112344950æöæöæöæöæö-´-´-´´--ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL 题型六 完全平方公式分解因式16．下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（ ）A ．222x y xy ++B ．222x y xy -++C ．222x y xy--+D ．222x y xy---17．下列多项式（1）22a b +；（2）22a ab b -+；（3）()22222x y x y +-；（4）29x -；（5）22288x xy y ++．其中能用公式法分解因式的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18．无论a 、b 为任何实数，代数式224613a b a b +-++的值总是（ ）A ．非正数B ．非负数C ．0D ．正数巩固训练1．若223894613M x xy y x y =-+-++，则M 的值一定是（ ）A ．0B ．负数C ．正数D ．非负数2．已知实数x ，y 满足22145x xy y y -+-=-，则2x y +=．3．若2025,2026,2027202720272027m m ma b c =+=+=+，求222a b c ab bc ca ++---的值．题型七 综合运用公式法分解因式19．下列因式分解不正确的是（ ）A ．﹣x 2﹣2x ﹣1＝﹣（x +1）2B ．2x 2﹣4xy ﹣2y 2＝2（x ﹣y ）2C ．4x 2﹣16y 2＝4（x +2y ）（x ﹣2y ）D ．x 2+4x ＝x （x +4）20．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2﹣9＝（x ﹣3）2B ．x 2﹣2x ﹣1＝x （x ﹣2）﹣1C ．4y 2﹣8y ＋4＝（2y ﹣2）2D ．x （x ﹣2）﹣（2﹣x ）＝（x ﹣2）（x ＋1）21．在把多项式2223m mn n --因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式()()()222222443m mn n n m n n m n m n =-+-=--=+-，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式2265a ab b +-因式分解的结果是（ ）A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b -+C ．()()5a b a b +-D ．()()5a b a b --巩固训练1．对于：①()2242x x -=-；②()()2111x x x -+=+-；③()23242x x x +-=+；④22111142x x x æö-+=-ç÷èø．其中因式分解正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④2．在实数范围内因式分解：2236x x --= ．3．因式分解：(1)3269x y x y xy-+(2)()222416x x +-题型八 综合提公因式和公式法分解因式22．代数式()()3327x y x y +-+分解因式的结果正确的是（ ）A ．()()()333x y x y x y ++++-B ．()()239x y x y éù++-ëûC ．()()233x y x y +++D ．()()233x y x y ++-23．规定新运算：32a b a b Å=-，其中22a x xy =+，236b xy y =+，则把a b Å因式分解的结果是（）A ．3(2)(2)x y x y +-B ．23(2)x y -C ．223(4)x y -D ．3(4)(4)x y x y +-24．多项式2m m -与多项式2242m m -+的公因式是（ ）A ．1m -B ．1m +C ．21m -D ．2(1)m -巩固训练1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）A ．()22369a a a +=++B ．()24444a a a a -+=-+C ．()()22222ax ay a x y x y -=+-D ．()()21234a a a a --=-+2．分解因式：32242x x x ++= ．3．把下列各式因式分解．(1)261215x y xy y --+；(2)()()322n m n m -+-；(3)()()()22221211x y x y y -++--；(4)()()131x x --+．题型九 因式分解在有理数简算中的应用25．若3m n +=，则222425m mn n ++-的值为（ ）A ．13B ．18C ．5D ．126．若a +b =1，则222a b b -+的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．127．已知ab ＝4，b ﹣a ＝7，则a 2b ﹣ab 2的值是（ ）A ．11B ．28C ．﹣11D ．﹣28巩固训练1．计算22222111111111123456æöæöæöæöæö-´-´-´-´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø的值为（ ）．A ．512B ．12C ．712D ．11302．计算：2222211111111112345n æöæöæöæöæö----×××-=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø ．3．如图，从边长为a 的正方形纸片中剪掉一个边长为b 的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是 ．(2)利用你从（1）中得出的等式，计算：①已知22412x y -=，24x y +=求2x y -的值．②计算：222211111111234100æöæöæöæö-´-´-´×××´-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø．题型十 十字相乘法28．若多项式212x ax -+可分解为()()3x x b -+，则a b +的值为（ ）A ．11-B ．3-C ．3D ．1129．将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）A ．2(1)()3x x ++B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --30．若多项式212x ax -+可分解为()()3x x b -+，则a b +的值为（）A ．11-B ．3-C ．3D ．7巩固训练1．若二次三项式27x x n -+可分解成(3)()x x m -+，则m n -的值是（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．8D ．162．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式232x x ++的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到()()23212x x x x ++=++．请用“十字相乘法”分解因式：2253x x --= ．3．提出问题：你能把多项式256x x ++因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a ，b 为常数，由面积相等可得：22()()()x a x b x ax bx ab x a b x ab ++=+++=+++，将该式从右到左使用，就可以对形如2()x a b x ab +++的多项式进行进行因式分解即2()()()x a b x ab x a x b +++=++．观察多项式2()x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：2256(23)23(3)(2)x x x x x x ++=+++´=++运用结论：(1)基础运用：把多项式进行因式分解．①2524x x --；②2812x x ++；③212x x --．(2)知识迁移：对于多项式24415x x --进行因式分解还可以这样思考：将二次项24x 分解成图2中的两个2x 的积，再将常数项15-分解成5-与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为4x -，就是24415x x --的一次项，所以有24415(25)(23)x x x x --=-+．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：231914x x --题型十一 分组分解法31．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．632．已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a ac b a c ---的值为（ ）A ．4B ．4-C ．12-D ．3-33．若实数x 满足x 2-2x-1=0，则2x 3-7x 2+4x-2019的值为（ ）A ．-2019B ．-2020C ．-2022D ．-2021巩固训练1．用分组分解法将222x xy y x --+分解因式，下列分组不恰当的是（ ）A ．()()222x x y xy --+B ．()()222x xy y x --+C ．()()222x y xy x ++--D ．()()222x x xy y ---2．因式分解222a x ax x xb -+-= ．3．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“222m mn m n -+-，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为()()()()()()22222222m mn m n m mn n m m n m n m n m -+-=-+=-+-=-+．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)分解因式：32339a a a -+-；(2)已知7m n +=，1m n -=，求2222m n m n -+-的值．题型十二 因式分解的应用34．已知3xy =-，2x y -=，则代数式22xy x y -的值是（ ）A ．6-B ．6C ．5-D ．1-35．若4a b +=，1a b -=，则()()2211+--a b 的值为（ ）A ．12B ．4C ．6D ．12-36．多项式26x ax +-分解因式为()()x m x n ++，其中a ，m ，n 为整数，则a 的取值有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数个巩固训练1．已知a 、b 、c 为正整数，且22219a b c ab bc ac ++---=，那么a b c ++的最小值等于（ ）A ．11B ．10C ．8D ．62．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： 222222831,1653,2475=-=-=-，因此8，16，24都是“正巧数”． m 、n 为正整数，且m n >，若 ()()2772m m n mn -++-是“正巧数”，则m n -的值为 ．3．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式()()()()()()22222321412121231x x x x x x x x x =+-=++=+-=+++-=+--；例如：求代数式2246x x +-的最小值．原式()()222246223218x x x x x =+-=-=+-+．可知当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是－8．(1)分解因式：223a a --=______．(2)试说明：x 、y 取任何实数时，多项式22426x y x y +-++的值总为正数．(3)当m ，n 为何值时，多项式22224425m mn n m n -+--+有最小值，并求出这个最小值．。
沪教版(上海)数学七年级第一学期9.5 因式分解 专项巩固训练(一)
【因式分解】专项巩固训练（一）一．选择题1．如果x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2），那么k应为（）A．3B．﹣3C．1D．﹣12．如果多项式abc+ab2﹣a2bc的一个因式是ab，那么另一个因式是（）A．c﹣b+5ac B．c+b﹣5ac C．ac D．﹣ac3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6B．6xy＝2x2•3y3C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）4．若x2﹣6x+m＝（x﹣n）2，那么m、n的值分别是（）A．m＝3，n＝3B．m＝9，n＝3C．m＝3，n＝﹣3D．m＝9，n＝﹣35．下列多项式因式分解结果是（x+1）（x﹣6）的是（）A．x2﹣5x+6B．x2+5x﹣6C．x2﹣6x﹣5D．x2﹣5x﹣66．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱学B．爱广益C．我爱广益D．广益数学7．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017的值为（）A．2019B．﹣2019C．2020D．﹣20208．因式（m+2n）（m﹣2n）是下列哪个多项式分解因式的结果（）A．m2+4n2B．﹣m2+4n2C．m2﹣4n2D．﹣m2﹣4n29．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2019的值为（）A．﹣2019B．﹣2020C．﹣2022D．﹣2021 10．如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（）A．60B．16C．30D．11二．填空题11．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝．12．因式分解：2m2﹣12m+18＝．13．分解因式：m3﹣m＝．14．把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是．15．若m3+m﹣1＝0，则m4+m3+m2﹣2＝．三．解答题16．分解因式：（1）3a2﹣9ab；（2）x2（x﹣y）+9（y﹣x）；（3）﹣3ma2+12ma﹣12m；（4）（x+y）2﹣2x﹣2y+1．17．你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？（1）上式能利用完全平方公式进行因式分解吗？（2）常数项6是哪两个因数的乘积？一次项系数5是否等于6的某两个因数的和？（3）由多项式乘法，（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解．多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．你能据此将x2+5x+6写成两个一次多项式的乘积吗？x2+（+）x+×＝（x+）（x+）请把填上数后的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于x2+5x+6．（4）从第（3）题，你能看出把x2+5x+6进行因式分解的关键步骤是什么吗？（5）你能运用上述方法将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解吗？18．已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．19．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n，（以上长度单位：cm）（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果；（2）若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．20．我们把只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式．同样，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式．小明同学用自己的方法来解一元二次不等式：x2+x﹣12＞0．小明观察到不等式右侧为0．左边可以利用因式分解的方法，分解为（x+4）（x﹣3），根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，可以将不等式等价转化为两个不等式组：∵（x+4）（x﹣3）＞0∴（1）或（2）解得：由（1）式得x＞3，由（2）式得x＜﹣4．∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣4．利用以上信息解以下不等式：①2x2+x﹣3＜0；②x3+2x2﹣x﹣2＜0；③x3﹣3x+2＞0．（2）已知x＝2是不等式a2x2+2ax﹣3≥0的解，且x＝﹣1是不等式a2x2﹣3ax﹣2a﹣12＞0的解，求实数a的取值范围．参考答案一．选择题1．解：由题意得，x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，则k＝1．故选：C．2．解：abc+ab2﹣a2bc＝ab（c+b﹣5ac），故另一个因式为（c+b﹣5ac），故选：B．3．解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；B、不属于因式分解，故此选项不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；故选：D．4．解：∵x2﹣6x+m＝（x﹣3）2＝（x﹣n）2，∴m＝32＝9，n＝3，故选：B．5．解：A、原式＝（x﹣2）（x﹣3），不符合题意；B、原式＝（x﹣1）（x+6），不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式＝（x+1）（x﹣6），符合题意．故选：D．6．解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）＝3（x2﹣1）（a﹣b）＝3（x+1）（x﹣1）（a﹣b），∵x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，∴3（x+1）（x﹣1）（a﹣b）对应的信息可能是我爱广益，故选：C．7．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，2x3﹣7x2+4x﹣2017＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017＝6x﹣3x2﹣2017＝﹣3（x2﹣2x）﹣2017＝﹣3﹣2017＝﹣2020．故选：D．8．解：A．m2+4n2是平方和，不能进行因式分解，此选项不符合题意；B．原式＝﹣[m2﹣（2n）2]＝﹣（m+2n）（m﹣2n），此选项不符合题意；C．原式＝m2﹣（2n）2＝（m+2n）（m﹣2n），此选项符合题意；D．不能进行因式分解，此选项不符合题意；故选：C．9．解：∵x2﹣2x﹣1＝0∴x2﹣2x＝1∴2x3﹣7x2+4x﹣2019＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2019＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2019＝6x﹣3x2﹣2019＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019＝﹣3﹣2019＝﹣2022故选：C．10．解：∵边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，∴2（a+b）＝10，ab＝6，∴a+b＝5，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝6×5＝30．故选：C．二．填空题11．解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，故答案为：﹣y（3x﹣y）212．解：原式＝2（m2﹣6m+9）＝2（m﹣3）2．故答案为：2（m﹣3）2．13．解：m3﹣m，＝m（m2﹣1），＝m（m+1）（m﹣1）．故答案为：m（m+1）（m﹣1）．14．解：3ax2﹣12a＝3a（x2﹣4）＝3a（x+2）（x﹣2），故答案为：3a（x+2）（x﹣2）．15．解：∵m3+m﹣1＝0，∴m3+m＝1，∴m4+m3+m2﹣2＝m4+m2+m3﹣2＝m（m3+m）+m3﹣2＝m×1+m3﹣2＝m+m3﹣2＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题16．解：（1）原式＝3a（a﹣3b）；（2）原式＝（x﹣y）（x2﹣9）＝（x﹣y）（x+3）（x﹣3）；（3）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）＝﹣3m（a﹣2）2；（4）原式＝（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．17．解：（1）不能利用完全平方公式进行因式分解．（2）常数项6＝2×3，一次项系数5＝2+3，答：常数项6是2和3乘积，一次项系数5正好等于6的某两个因数2与3的和；（3）x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3），故答案为：2，3，2，3，2，3；（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6，（4）关键的步骤为：将常数项分解成两个因数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和，（5）x2﹣x﹣2＝x2+（﹣2+1）x+（﹣2）×1＝（x﹣2）（x+1）．18．解：（1）∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，∴b﹣c＝3﹣1＝2，∴5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；（2）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，b﹣c＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（1+9+4）＝7．19．解：（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）（2）若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2则mn＝7cm2，2m2+2n2＝100cm2∴m2+n2＝50∴（m+n）2＝50+7×2＝64∴m+n＝8∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝48（cm）∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为48cm．20．（1）解：①∵（x﹣1）（2+3）＜0，∴①或②，①式无解；由②式得﹣＜x＜1，∴原不等式的解集为﹣＜x＜1；②x3+2x2﹣x﹣2＜0，∴x3+2x2＜x+2，即x2（x+2）＜x+2，当x＜﹣2时，x2＞1成立；当x＝﹣2时不成立；当x＞﹣2时要使x2＜1成立，所以﹣1＜a＜1综上所述：原不等式的解集为x＜﹣2或﹣1＜a＜1；③∵x3﹣3x+2＞0可化为（x﹣1）（x2+x﹣2）＞0，即（x﹣1）（x﹣1）（x+2）＞0，∴（x﹣1）2（x+2）＞0，∵（x﹣1）2≥0，∴x+2＞0，即原不等式解集为x＞﹣2且x≠1；（2）将x＝2和x＝﹣1别代入不等式得4a2+4a﹣3≥0且a2+a﹣12≤0，对于第一个不等式：∵（2a﹣1）（2a+3）＜0，∴①或②，①无解；由②得﹣＜a＜，所以第一个不等式的解集为：﹣＜a＜；对于第二个不等式∵a2+a﹣12≤0即（a﹣3）（a+4）≤0，∴①或②，由①得﹣4≤a≤3；②无解；所以第二个不等式的解集为：﹣4≤a≤3．综合两个不等式得a得取值范围为：﹣＜a＜．。
沪教版七年级上册 因式分解,带答案
因式分解课时目标1. 正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别.2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式.3. 理解整式乘法公式在因式分解中的作用.4. 掌握运用公式法分解因式.知识精要1. 因式分解的意义：把一个多项式化为______________，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2. 多项式的公因式（1） 意义：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的_______.（2） 找公因式的方法公因式的系数应取各项系数的__________，字母取各项中都含有的相同的字母，而且各个相同字母的指数取次数_______.3. 提取公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把公因式提到括号外面，将公因式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做______________.4. 公式法（1） 意义逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做_______.（2） 因式分解公式平方差公式：22__________a b -=完全平方公式：=++222b ab a _________________=+-222b ab a _________________33_____________a b +=，33_____________a b -=.5. 十字相乘法一般地，))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++十字相乘法的关键：把常数项分解成两个数的乘积，并且满足这两个数相加等于一次项系数；（口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中）6. 分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做__________.7. 因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式（2）如果多项式的各项无公因式，那么可以尝试运用公式法或十字相乘法来分 解.一般地，若是二项式，则考虑平方差公式；若是三项式，则考虑用完全 平方公式或十字相乘法.（3）如果上述方法不能分解，那么应考虑分组分解法.（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能分解为止.热身练习1.从下列从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）()a m n am an +=+ ；（2）2221(2)(1)(1)a ab b a a b b b ++-=+++-；（3）211()x x x x+=+； （4）4(4)ax x x a -=-；（5）22()()a b a b a b -=+-；2.多项式32215()10()a b a b c a b a b +++的公因式是_____________.3. 分解因式（1）232322x y x y x y z --+； （2）26()12()a x y a y x -+-；（3） 6(2)(2)x x x ++--； （4）3223()9()m x y m y x ---；精解名题将下列各式分解因式（1）4116x -；（2）2225()4()a b c a b c -+-+-；(3) 22222()4x y x y +-;(4) 22()4()4a b c c a b c c ++-+++；（5）2215x x --；(6) 2()4()12x y x y +-+-;(7) 2x bx a ab --+;备选例题1.配凑法分解因式（1）444x y +；（2）3253x x --；（3）在实数范围内分解因式4323231x x x x ++++（4）2222x ax b ab --+（5）51a a ++2. 用待定系数法分解因式（1） 22282143x xy y x y +-++-（2）224434103x xy y x y +----3. 换元法分解因式（1）22(23)(224)90x x x x +-+-+（2）432653856x x x x +-++方法提炼因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：1、首项有负常提负，2、各项有“公”先提“公”，3、某项提出莫漏1，4、括号里面分到“底”.巩固练习1.分解因式（1） 1xy x y -+- （2）222a ab -（3） 2221a b a --+ （4）33222ax y axy ax y +-（5）328m m - （6）am an bm bn +++2.计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----．3.（勾股定理）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的形状.当堂总结多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.自我测试一、选择题1.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）A ．(2)(3)(3)(2)m m m m --=--B ．21(1)(1)a a a -=+-C ．2(1)(1)1x x x +-=-D ．2223(1)2a a a -+=-+2.下列各式的公因式是a 的是（ ）A ．5ax ay ++B ．246ma ma +C ．2510a ab +D ．24a a ma -+3.一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（ ）A ．22(1)(1)x x -+B ．22(1)(1)x x +-C ．2(1)(1)(1)x x x -++D ．3(1)(1)x x -+4.多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ）A ．2(2)x y -B ．2(2)x y --C ．2(2)x y --D ．2()x y + 5. 222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（ ）A ．40B ．40±C ．20D ．20±6、若E p q p q q p ⋅-=---232)()()(，则E 是（ ）A.p q --1B.p q -C.q p -+1D.p q -+17、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.28、一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A.32(1)x x x x -=- C.2222()x xy y x y -+=-B.22()x y xy xy x y -=-D.22()()x y x y x y -=-+ 9、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A.46-bB.64b -C.46+bD.46--b10、下列多项式的分解因式，正确的是（ ）A 、)34(391222xyz xyz y x xyz -=-B 、)2(363322+-=+-a a y y ay y aC 、)(22z y x x xz xy x -+-=-+-D 、)5(522a a b b ab b a +=-+11、下列各式不能．．继续因式分解的是 ( ) A 、41x - B 、22x y - C 、2()x y - D 、22a a +二、填空题12、要在二次三项式x 2+□x -6的□中填上一个整数，然后按x 2＋（a ＋b ）x ＋a b 型分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式，那么这个数是___________.13、如果=+=+-==+2222,3,5y x xy y x xy y x ，则.14、如果2a +3b =1,那么3-4a -6b = ．15、若＝，，则b a b b a ==+-+-01222.16、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.17、若a 2+2a +b 2-6b +10=0， 则a = ，b = .18、把3222x x y xy -+分解因式，结果是___________.19、因式分解：224a a -=___________.（x +3）2 - (x +3) =___________.20、已知正方形的面积是9x 2+6xy +y 2平方单位，则正方形的边长是___________.三、计算题21、因式分解（1）22105m mn + （2）222120x x ++（3）x x x 2718323+- （4）()()3224x y y x ---（5）()222164x x -+ （6）122222++--+a b ab b a（7）()()()()14321+++++x x x x （8）()()ab b a 41122---22、先分解因式，再求值：21,34,412922-==++y x y xy x 其中.23、先分解因式，再求值：已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值。
特训03 因式分解压轴题(原卷版)2023-2024学年七年级数学上册同步讲义全优学案(沪教版)
特训03因式分解压轴题一、解答题1．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m ，n 的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：__________________________________________________．(2)若640a b ab +-+-=，求()2a b -的值．(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：2232m mn n ++=______．2．观察下列各式，解答问题：第1个等式：22213-=；第2个等式：22325-=；第3个等式：22437-=；…第n 个等式：______．（n 为整数，且1n ≥）【尝试】(1)根据以上规律，写出第4个等式：______；【发现】(2)根据这个规律写出你猜想的第n 个等式，并说明其正确性；【应用】(3)利用以上规律，直接写出2220232022-的值为______．(4)利用以上规律，求357197+++⋅⋅⋅+的值．3．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．(1)S =甲_______，S =乙__________（用含a 、b 的代数式分别表示）；(2)利用（1）的结果，说明2a 、2b 、()()a b a b +-的等量关系：(3)应用所得的公式计算：22222111111111123499100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋯-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明2()a b +、2()a b -、ab 三者的等量关系．4．方法探究：已知二次多项式2421x x --，我们把3x =-代入多项式，发现24210x x --=，由此可以推断多项式中有因式（x ＋3）．设另一个因式为（x ＋k ），多项式可以表示成()()24213x x x x k --=++，则有()2242133x x x k x k --=+++，因为对应项的系数是对应相等的，即34k +=-，解得7k =-，因此多项式分解因式得：()()242137x x x x --=+-．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．问题解决：(1)对于二次多项式24x -，我们把x ＝代入该式，会发现240x -=成立；(2)对于三次多项式3233x x x --+，我们把x ＝1代入多项式，发现32330x x x --+=，由此可以推断多项式中有因式（1x -），设另一个因式为（2x ax b ++），多项式可以表示成()()322331x x x x x ax b --+=-++，试求出题目中a ，b 的值；(3)对于多项式324318x x x +--，用“试根法”分解因式．5．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．(1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a 的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为()<b b a 的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵BC a =，AB a b =-，CF b =，∴长方体①的体积为()ab a b -．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a -b =6，ab =2，求33a b -的值．(6)类比以上探究，尝试因式分解：33+a b =．6．阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令x+y ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣37．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到222()2a b a ab b +=++（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；（3）已知实数,,a b c 满足2221,1a b c a b c ++=++=．求：①ab bc ca ++的值；②3333a b c abc ++-的值．8．阅读以下内容解答下列问题．七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是．（2）对于多项式x 3﹣5x 2+x+10，我们把x ＝2代入此多项式，发现x ＝2能使多项式x 3﹣5x 2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x 3﹣5x 2+x+10中有因式（x ﹣2），【注：把x ＝a 代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x ﹣a ）】，于是我们可以把多项式写成：x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），分别求出m 、n 后再代入x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），就可以把多项式x 3﹣5x 2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．①求式子中m 、n 的值；②用“试根法”分解多项式x 3+5x 2+8x+4．9．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =∙，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =∙，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=⨯，8(4)2-=-⨯，而21(4)12-=⨯-+⨯所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=⨯，3(1)3-=-⨯，212=⨯而2131(1)=⨯+⨯-，1(1)231=-⨯+⨯，31211=⨯+⨯所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+=．②22261915x xy y x y --++-=．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．10．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()()()2111111x x x x x x x x x +++++=++++⎡⎤⎣⎦()()()23111x x x =++=+.（1）上述分解因式的方法是______，共应用了______次；（2）若分解()()()220141111x x x x x x x ++++++++ ，则需应用上述方法______次，结果是______；（3）分解因式：()()()21111n x x x x x x x ++++++++ .（n 为正整数）11．若一个整数能表示成a 2＋b 2（a 、b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”。
十字相乘和分组分解法因式分解-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
十字相乘和分组分解法因式分解【知识梳理】一、十字相乘十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式， 即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．二、分组分解如何将多项式am an bm bn +++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn +++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n +=+,()bm bn b m n +=+而：()()()()a m n b m n m n a b +++=+．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法． 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【考点剖析】一．因式分解-十字相乘法等（共22小题）1．（2022秋•静安区校级期中）多项式77x 2﹣13x ﹣30可因式分解成（7x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，求a +b +c 之值为何？（ ）A ．0B ．10C ．12D ．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x ﹣30因式分解，继而求得a ，b ，c 的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30＝（7x﹣5）（11x+6）．∴a＝﹣5，b＝11，c＝6，则a+b+c＝（﹣5）+11+6＝12．故选：C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．2．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：x2+3x﹣10＝．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+5），故答案为：（x﹣2）（x+5）【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．3．（2022秋•闵行区校级期末）因式分解：（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案【解答】解：原式＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．4．（20222x2﹣6x﹣8＝．【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣3x﹣4）＝2（x﹣4）（x+1），故答案为：2（x﹣4）（x+1）．【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．5．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝．【分析】由十字相乘法进行分解因式即可．【解答】解：x2﹣7xy﹣18y2＝（x﹣9y）（x+2y）．故答案是：（x﹣9y）（x+2y）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．6．（2022秋•宝山区期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．【分析】先提公因式，再用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：2x2+6xy+4y2＝2（x2+3xy+2y2）＝2（x+2y）（x+y）．【点评】本题考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．7．（2022秋•宝山区期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一个常数，则□的值是（）A．7B．2C．﹣2D．﹣7【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），∴□表示﹣2，故选：C．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．8．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】∵4＝﹣1×（﹣4），﹣1+（﹣4）＝﹣5，∴可以用十字相乘法因式分解．【解答】解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键．9．（2022x2﹣5x﹣6＝．【分析】因为﹣6×1＝﹣6，﹣6+1＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．10．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解a2﹣a﹣6＝．【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用十字相乘法求解．【解答】解：a2﹣a﹣6＝（a+2）（a﹣3）．故答案为：（a+2）（a﹣3）．【点评】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握十字相乘法因式分解．11．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2﹣5x﹣24＝．【分析】用十字相乘法因式分解．【解答】解：x2﹣5x﹣24＝（x﹣8）（x+3），故答案为：（x﹣8）（x+3），【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知a、b是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值是解题关键．12．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝．【分析】根据因式分解﹣十字相乘法进行分解即可．【解答】解：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3），故答案为：（x+7）（x﹣3）．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．13．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．14．（2022ax4﹣14ax2﹣32a．【分析】首先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式，再结合平方差公式分解因式即可．【解答】解：ax4﹣14ax2﹣32a＝a（x4﹣14x2﹣32）＝a（x2+2）（x2﹣16）＝a（x2+2）（x+4）（x﹣4）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用公式是解题关键．15．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．【分析】把原式中的第二项的系数1变为4﹣1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【解答】解：x4+3x2y2+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣x2y2＝（x2+2y2）2﹣x2y2＝（x2+2y2+xy）（x2+2y2﹣xy）．【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式．16．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．17．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．【分析】先变形，局部逆用完全平方公式，再使用十字相乘法．【解答】解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8＝（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1﹣9＝（a2﹣a+1）2﹣9＝（a2﹣a+1+3）（a2﹣a+1﹣3）＝（a2﹣a+4）（a2﹣a﹣2）＝（a2﹣a+4）（a﹣2）（a+1）．【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本题的关键．18．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝．【分析】因为﹣6×2＝﹣12，﹣6+2＝﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．故答案为：（x﹣6）（x+2）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．19．（2022秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解．【解答】解：3x2﹣9x﹣30＝3（x2﹣3x﹣10）＝3（x﹣5）（x+2）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和十字相乘法是解决本题的关键．20．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法；（2）先利用十字相乘法，再利用公式法和十字相乘法．【解答】解：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2＝2ab2（1﹣3a+2a2）＝2ab2（2a﹣1）（a﹣1）；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24＝（x2﹣4x﹣8）（x2﹣4x+3）＝[（x2﹣4x+4）﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝[（x﹣2）2﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）（x﹣3）（x﹣1）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．（2021秋•金山区期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．【分析】把（x2﹣x）看成一个整体，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72＝[（x2﹣x）﹣6][（x2﹣x）﹣12]＝（x2﹣x﹣6）（x2﹣x﹣12）＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）（x+3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法和整体的思想是解决本题的关键．22．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】因为﹣2×（a2+a）＝﹣2（a2+a），﹣6×（a2+a）＝﹣6（a2+a），所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．【解答】解：根据十字相乘法，（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．二．因式分解-分组分解法（共12小题）23．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．【分析】根据分组法和十字相乘法因式分解即可．【解答】解：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）＝xy+（xy+x+y+1）（xy+1）＝xy+[（xy+1）+（x+y）]（xy+1）＝（xy+1）2+（x+y）（xy+1）+xy＝（xy+x+1）（xy+y+1）．【点评】本题考查了分组法进行因式分解，熟练掌握分组法和十字相乘法是解题的关键．24．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【分析】首先重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案即可．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，正确分组是解题关键．25．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式解答；（2）用提公因式法和十字相乘法解答．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．【点评】本题考查了因式分解，熟悉乘法公式和提公因式法是解题的关键．26．（2022秋•闵行区校级期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【分析】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．27．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16．【分析】先分成两组，用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：原式＝（a2﹣6ab+9b2）﹣16＝（a﹣3b）2﹣42＝（a﹣3b+4）（a﹣3b﹣4）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键．28．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．【分析】首先将前两项以及后两项提取公因式，进而分解因式得出即可．【解答】解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd＝2a（c﹣3d）+b（c﹣3d）＝（c﹣3d）（2a+b）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．29．（2022秋•上海期末）分解因式：x2﹣xy+ax﹣ay＝．【解答】解：x2﹣xy+ax﹣ay＝x（x﹣y）+a（x﹣y）＝（x﹣y）（x+a）．故答案为：（x﹣y）（x+a）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法和提公因式法是解决本题的关键．30．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．【分析】利用分组分解法，将﹣4a2﹣1+4a分为一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝b2﹣（4a2+1﹣4a）＝b2﹣（2a﹣1）2＝[b+（2a﹣1）][b﹣（2a﹣1）]＝（b+2a﹣1）（b﹣2a+1）．【点评】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组的原则和分组的方法是正确解答的前提，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解决问题的关键．31．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解：x2﹣4+4y2﹣4xy．【分析】直接将原式分组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4+4y2﹣4xy＝x2+4y2﹣4xy﹣4＝（x﹣2y）2﹣4＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．32．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝．【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式．【解答】解：x2+4z2﹣9y2+4xz＝x2+4z2+4xz﹣9y2＝（x+2z）2﹣9y2＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．故答案为：（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．33．（2022秋•宝山区期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．【分析】先分组再利用平方差公式．【解答】解：m2﹣2m+1﹣4n2＝（m﹣1）2﹣4n2＝（m﹣1+2n）（m﹣1﹣2n）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．34．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式．【解答】解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y＝（x2+9xy+18y2）﹣（3x+9y）＝（x+3y）（x+6y）﹣3（x+3y）＝（x+3y）（x+6y﹣3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键．三．因式分解的应用（共9小题）35．（2022秋•青浦区校级期末）用合理的方法计算：7.52×1.6﹣2.52×1.6．【分析】先利用提取公因式法，再利用平方差公式因式分解求得答案即可．【解答】解：原式＝（7.52﹣2.52）×1.6＝（7.5+2.5）×（7.5﹣2.5）×1.6＝10×5×1.6＝80．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握提取公因式法和平方差公式是解决问题的关键．36．（2022秋•黄浦区期中）已知x﹣y＝2，x2+y2＝6，（1）求代数式xy的值；（2）求代数式x3y﹣3x2y2+xy3的值．【分析】（1）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再将已知代入即可；（2）将所求的式子变形为xy（x2﹣3xy+y2），再将x2+y2＝6，xy＝1代入求值即可．【解答】解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，又∵x﹣y＝2，x2+y2＝6，∴6＝4+2xy，∴xy＝1；（2）x3y﹣3x2y2+xy3＝xy（x2﹣3xy+y2），∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝1×（6﹣3）＝3．【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的变形形式，提取公因式法因式分解是解题的关键．37．（2022秋•静安区校级期中）已知x2﹣x﹣3＝0，那么x3﹣2x2﹣2x+2022＝．【分析】根据x2﹣x﹣3＝0，得出x2＝x+3，代入求值即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2＝x+3，x3﹣2x2﹣2x+2022＝x（x+3）﹣2x2﹣2x+2022＝﹣x2+x+2022＝﹣（x2﹣x﹣3）+2019＝2019，故答案为：2019．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．38．（2022秋•静安区校级期中）n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）＝[1﹣1]（n2﹣1）＝0，当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）＝×（1+1）（n+1）（n﹣1）＝，设n＝2k﹣1（k为整数），则＝＝k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，故选：C．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．39．（2022秋•闵行区校级期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝．【分析】根据已知条件得到a2﹣a＝1，将要求的代数式化简得到a（a2+a）﹣a2﹣2a+6，两次代入求解即可．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，a3﹣2a+6＝a3﹣a2+a2﹣2a+6＝a（a2﹣a）+a2﹣2a+6＝a+a2﹣2a+6＝a2﹣a+6，将a2﹣a＝1代入原式＝1+6＝7．故答案为：7．【点评】本题考查因式分解的应用，合理利用已知条件是关键．40．（2022秋•闵行区校级期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，a2＝33124，c2＝33856，那么b2＝．【分析】由于a2＝33124，c2＝33856，则利用平方差公式得到（c+a）（c﹣a）＝732，再根据a、b、c是三个连续正整数得到c﹣a＝2①，于是可计算出c+a＝366②，然后由①②可解得c，从而得到b的值．【解答】解：c2﹣a2＝（c+a）（c）＝33856﹣33124＝732，∵a、b、c是三个连续正整数，∴c﹣a＝2，∴c+a＝366，∴c＝184，∴b＝183，∴b2＝33489．故答案为：33489．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．41．（2022秋•宝山区校级期中）a，b，c是正整数，且满足①a+b2﹣2c﹣2＝0②3a2﹣8b+c＝0，求abc的最小值（要有过程）．【分析】根据②3a2﹣8b+c＝0，得出c＝8b﹣3a2，代入①a+b2﹣2c﹣2＝0，得出（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，根据完全平方数得出a，b，c的值即可．【解答】解：∵②3a2﹣8b+c＝0，∴c＝8b﹣3a2，∵a+b2﹣2c﹣2＝0，即a+b2﹣2（8b﹣3a2）﹣2＝0，整理得（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，∴66﹣6a2﹣a是完全平方数，∴66﹣6a2﹣a的值可能为1，4，9，16，25，36，49，64，∵a为正整数，∴a＝3，可得b＝5或11，c＝13或61，∴abc的最小值为3×5×13＝195．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的知识是解题的关键．42．（2022秋•杨浦区期中）已知：x﹣2y＝8，xy＝5，求代数式x3y+4xy3的值．【分析】首先运用提取公因式法分解因式，再配方，然后代入已知条件计算即可．【解答】解：∵x﹣2y＝8，xy＝5，∴x3y+4xy3＝xy（x2+4y2）＝xy[（x﹣2y）2+4xy]＝5（82+4×5）＝5×84＝420．43．（2022秋•奉贤区期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式：．（2）从图3可得（a+b）（a+b+c）＝．（3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．【分析】（1）（2）根据题意利用面积公式计算即可求解；（3）首先根据面积公式得到（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，然后利用已知条件即可求解．【解答】解：（1）（a+1）（a+2）＝a2+a+2a+2＝a2+3a+2；故答案为：a2+3a+2；（2）（a+b ）（a+b+c ）＝a2+b2+ab+ab+ac+bc ＝a2+2ab+b2+ac+bc ；故答案为：a2+2ab+b2+ac+bc ；（3）根据题意得；（a+b+c ）（a+b+c ）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ，而a+b+c ＝6，a2+b2+c2＝14∴6×6＝14+2ab+2ac+2bc ，∴ab+bc+ca ＝11．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题意求解．【过关检测】一、单选题 1．（2023·上海·七年级假期作业）如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、252x x −+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； B 、253x x −+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C 、()()25414x x x x −+=−−，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D 、255x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校考阶段练习）把多项式2+x ax bw +分解因式得(+1)(-3)x x ，则a.b 的值分别是（ ）【答案】A【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x-3）的值，对比系数可以得到a ，b 的值．【详解】∵(x+1)(x−3)=x ⋅x−x ⋅3+1⋅x−1×3=x 2−3x+x−3=x 2−2x−3，∴x 2+ax+b=x 2−2x−3∴a=−2，b=−3.故选A.【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则求出（x+1）（x-3）的值.3．（2021秋·上海·七年级期中）若1a −是25a a m ++的因式，则m 的值是（ ）A ．4B ．6C ．－4D ．－6【答案】D【分析】利用因式分解与整式乘法的恒等关系计算解答即可．【详解】∵多项式25a a m ++因式分解后有一个因式为1a −， ∴设另一个因式是a k −，即25a a m ++＝()()1a a k −−＝()21a k a k −++，则()15k k m ⎧−+=⎨=⎩，解得：66k m =−⎧⎨=−⎩，故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．A ．5m =，1n =B ．5m =−，1n =C ．5m =，1n =−D ．5m =−，1n =−【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点解答．【详解】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n ），得：-5-n=-4，（-5）（-n ）=-m所以n=-1，m=5．故选：C ．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．5．（2021秋·上海·七年级期中）多项式3333a b c abc −++有因式（ ）A ．a b c ++B ．c a b +−C ．222a b c bc ac ab ++−+−D ．bc ac ab −+【答案】B【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．【详解】原式=33()33()a c b abc ac a c +−+−+=22()[()()]3()a c b a c b a c b ac a c b +−++++−+−=22()[()()3]a c b a c b a c b ac +−++++−=222()[23]a c b a c ac ab ac b ac +−+++++−=222()()a c b a c b ab ac ac +−++++−． 故选：B ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．本题还需要熟练掌握立方和立方差公式． 6．（2023·上海·七年级假期作业）给出下面四个多项式：①2232x xy y −−；②22x x y y +−−；③76x xy −；④33x y +，其中以代数式x y −为因式的多项式的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】综合提公因式法和公式法，十字相乘法，将四个多项式分解因式，根据分解的结果，逐一判断即可得到答案．【详解】解：①()()223322x y x y x xy y −−=+−； ②()()()()()()()22221x x y y x y x y x y x y x y x y x y +−−=−+−=+−+−=−++； ③()()()()()()()663333222276x x y x x y x y x x y x y xy x xy x y x xy y =−=+−=+−+−++−； ④()()2323x y x y y x xy =++−+，∴以代数式x y −为因式的多项式为①②③，共3个，故选C ．【点睛】本题考查了公因式的确定，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：21124x x −+=________．【答案】()()38x x −−【分析】根据十字相乘法可进行因式分解．【详解】解：()()2112438x x x x −+=−−； 故答案为：()()38x x −−． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握十字相乘法因式分解是解题的关键．8．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：256x x −−=________．【答案】()()61x x −+【分析】直接根据十字相乘法分解即可．【详解】256x x −−=()()61x x −+， 故答案为()()61x x −+．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．【答案】241x x −+【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【详解】解：原式()2234x x =−−()()241x x =−+， 故答案为：()()241x x −+． 【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．10．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：2x －ay ＋ax －2y ＝________．【答案】()()2x y a −+【分析】首先分组，然后利用提取公因式法分解因式．【详解】解：原式＝()()()()()()22222x ax y ay x a y a x y a +−+=+−+=−+， 故答案为：()()2x y a −+．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 11．（2023·上海·七年级假期作业）如图，边长分别为a ，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则2233a b ab +=__________．【答案】225【分析】根据长方形的周长及面积可得出152a b +=，10ab =，将其代入2233a b ab +中即可求出结论．【详解】解：长方形的周长为15，面积为10，152a b ∴+=，10ab =，()22153333102252a b ab ab a b ∴+=+=⨯⨯=． 故答案为：225．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及长方形的周长及面积，根据长方形的周长及面积找出152a b +=，10ab =是解题的关键．【答案】27x y −−/27y x −−【分析】根据平方差公式将4249y x −分解因式，并变形为()()222277y x x y −−−，即可得出答案．【详解】解：∵()()2224224977y x y x y x =−−+()()222277y x x y ⎡⎤=−+−⎣⎦()()222277y x x y =−−−， ∴与()27x y −之积等于4249y x −的因式为27x y −−．故答案为：27x y −−． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b −=+−． 13．（2020秋·上海闵行·七年级期中）分解因式：321024a a a +−=____．【答案】()()122a a a +−【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法因式分解，即可求解．【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +−=+−=+−． 故答案为：()()122a a a +− 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并根据多项式的特征灵活选合适方法解答是解题的关键．14．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解a 2－a －6＝_____．【答案】(a ＋2)(a －3)【分析】利用公式()()()2x p q x pq x p x q +++=++ 公式进行因式分解. 【详解】解：()()()()226323232a a a a a a −−=+−++−⨯=−+ ， 故填（a-3）（a+2）【点睛】本题考查因式分解，基本步骤是一提二套三检查. 15．（2020秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考阶段练习）已知多项式223x mx ++可以分解成两个一次多项式，则整数m 的值是_____________【答案】7±或5±【分析】分别把2和3分解成2个因数的积的形式，共有4种情况，所以对应的m 也有4种情况．【详解】解：221=⨯，313=⨯或13−⨯−，∴①2311m =⨯+⨯或2(3)1(1)⨯−+⨯−，即7m =±，②2131m =⨯+⨯或2(1)1(3)⨯−+⨯−，即5m =±，故答案为：7±或5±．【安静】此题主要考查了分解因式−十字相乘法，解题的关键是要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：2()()()x m n x mn x m x n +++=++，即常数项与一次项系数之间的等量关系． 16．（2023·上海·七年级假期作业）已知a ，b ，c 是三个连续的正整数，233124a =，233856c =，那么2b =_____．【答案】33489【分析】利用平方差公式得到()()732c a c a +−=，再根据a 、b 、c 是三个连续正整数得到2c a −=，于是可计算出366c a +=，然后可得c ，从而得到b 的值．【详解】解：()()223385633124732c a c a c a −=+−=−=，∵a 、b 、c 是三个连续正整数，∴2c a −=，∴366c a +=，∴184c =，182a =，∴183b =，∴233489b =．故答案为：33489．【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．17．（2023·上海·七年级假期作业）23x +______多项式43225101518x x x x −−++的因式（填“是”或“不是”）【答案】是【分析】假设23x +是多项式43225101518x x x x −−++的因式，则只需将多项式43225101518x x x x −−++进行分组，43225101518x x x x −−++可写成4332223812231218x x x x x x x +−−++++，此时两两一组分解因式即可得到结果．【详解】43225101518x x x x −−++，4332223812231218x x x x x x x =+−−++++，32(23)4(23)(23)6(23)x x x x x x x =+−+++++，32(23)(46)x x x x =+−++，∴23x +是多项式43225101518x x x x −−++的因式．故答案为：是【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键． 18．（2022秋·七年级单元测试）已知关于x 的多项式x 2+kx ﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k 的值为 _____．【答案】2±【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k 就等于那两个整数之和．【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k ＝﹣3+1＝﹣2或k ＝﹣1+3＝2，∴整数k 的值为：±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：2244x x a +−+．【答案】(2)(2)x a x a +++−【分析】分组，利用完全平方公式以及平方差公式分解即可求解．【详解】解：2244x x a +−+2244x x a =++−22(2)x a =+−(2)(2)x a x a =+++−．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键．20．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）分解因式2812x x −+：．【答案】()()26x x −−【分析】根据十字相乘法，进行因式分解即可．【详解】解：()()281226x x x x −+=−−．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握十字相乘法因式分解，是解题的关键．21．（2022秋·上海·七年级校考期末）分解因式：()224516x xy y −−． 【答案】()()()22454x y x y x xy y −−−−【分析】先直接利用完全平方公式，然后再运用十字相乘法继续因式分解即可．【详解】解：()224516x xy y −− ()()222254x xy y =−− ()()()()22225454x xy y x xy y ⎡⎤⎡⎤=−+−−⎣⎦⎣⎦ ()()22225454x xy y xxy y =−+−− ()()()22454x y x y x xy y =−−−−．【点睛】本题考查了运用平方差公式和十字相乘法进行因式分解；解题的关键是分解因式要彻底．22．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：4289ax ax a −−．【答案】()()()2331a x x x ++−【分析】先提取公因式a ，再用十字相乘法分解，最后再用平方差公式分解．【详解】解：4289ax ax a −−()4289a x x =−−()()2291a x x +=−()()()2331a x x x ++=−． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．23．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：23930x x −−．【答案】()()352x x −+．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法继续分解即可．【详解】解：23930x x −−()23310x x =−−()()352x x =−+．【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．24．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）分解因式：22944a ab b −+−.【答案】()()3232a b a b +−−+【分析】先将多项式分组为()22944a ab b −−+，再分别利用完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：22944a ab b −+−()22944b a a b =−−+()292a b =−−()()3232a b a b =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()3232a b a b =+−−+．【点睛】本题考查了因式分解-分组分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，能根据多项式特点进行适当分组是解题关键．25．（2022秋·上海·七年级专题练习）阅读并解答：对于多项式32510x x x −++，我们把2x =代入多项式，。
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辅导用练习题（六）内部使用请勿外传一、选择题1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）A 、－a 、B 、))((b x x a a ---C 、)(x a a -D 、)(a x a --2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=-12、3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、计算)1011)(911()311)(211(2222----的值是（ ） A 、21 B 、201C 、101 D 、2011 5、下列各式的因式分解结果中，正确的是（ ）A 、a 2b ＋7ab －b ＝b(a 2＋7a)B 、3x 2y －3xy －6y=3y(x －2)(x ＋1)C 、8xyz －6x 2y 2＝2xyz(4－3xy)D 、－2a 2＋4ab －6ac ＝－2a(a ＋2b －3c)6、多项式m(n －2)－m 2(2－n)分解因式等于（ ）A 、(n －2)(m ＋m 2)B 、(n －2)(m －m 2)C 、m(n －2)(m ＋1)D 、m(n －2)(m －1)7、在下列等式中，属于因式分解的是（ ）A 、a(x －y)＋b(m ＋n)＝ax ＋bm －ay ＋bnB 、a 2－2ab ＋b 2＋1=(a －b)2＋1C 、－4a 2＋9b 2＝(－2a ＋3b)(2a ＋3b)D 、x 2－7x －8=x(x －7)－88、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、a 2＋b 2B 、－a 2＋b 2C 、－a 2－b 2D 、－(－a 2)＋b 29、若9x 2＋mxy ＋16y 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A 、－12B 、±24C 、12D 、±1210、若a 2＋a ＝－1，则a 4＋2a 3－3a 2－4a ＋3的值为（ ）A 、8B 、7C 、10D 、1211、把(m 2＋3m)4－8(m 2＋3m)2＋16分解因式得（ ）A 、(m ＋1)4(m ＋2)2B 、(m －1)2(m －2)2(m 2＋3m －2)C 、(m ＋4)2(m －1)2D 、(m ＋1)2(m ＋2)2(m 2＋3m －2)212、多项式2n n a a -提取公因式后，另一个因式是 （ ）A 、n aB 、1n a -C 、21n a -D 、211n a --13、在完全平方式23a a m -+中，m 应是 （ ）A 、32 B 、34 C 、92 D 、9414、 若1=x ，21=y ，则2244y xy x ++的值是（ ）． Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．23 Ｄ．21 15、已知a 为任意整数，且()2213a a +-的值总可以被(1)n n n ≠为自然数，且整除，则n 的值为（ ）A 、13B 、26C 、13或26D 、13的倍数16、把代数式29xy x -分解因式，结果正确的是（ ）Ａ．2(9)x y -Ｂ．2(3)x y + Ｃ．(3)(3)x y y +- Ｄ．(9)(9)x y y +-17、将整式29x -分解因式的结果是（ ）A ．2(3)x -B ．(3)(3)x x +-C ．2(9)x -D ．(9)(9)x x +-18、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）（A ）xy x -2 （B ）xy x +2 （C ）22y x + （D ）22y x -19、下列分解因式正确的是（ ）A ． )1(222--=--y x x x xy xB ． )32(322---=-+-x xy y y xy xyC ． 2)()()(y x y x y y x x -=---D ． 3)1(32--=--x x x x20、(3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）Ａ．229a y + Ｂ．229a y -+ Ｃ．229a y - Ｄ．229a y --21、把多项式a n+4－a n+1分解得A ．a n (a 4－a)B ．a n -1(a 3－1)C ．a n+1(a －1)(a 2－a ＋1)D ．a n+1(a －1)(a 2＋a ＋1) 22、将−3x 2n −6x n 分解因式，结果是( )A ．−3x n (x n +2)B ．−3(x 2n +2x n )C ．−3x n (x 2+2)D ．3(−x 2n −2x n )23、已知x 2＋y 2＋2x －6y ＋10=0，那么x ，y 的值分别为A ．x=1，y=3B ．x=1，y=－3C ．x=－1，y=3D ．x=1，y=－324、多项式(x+y−z)(x−y+z)−(y+z−x)(z−x−y)的公因式是( )A ．x+y−zB ．x−y+zC ．y+z−xD ．不存在25、多项式x 2－ax －bx ＋ab 可分解因式为A ．－(x ＋a)(x ＋b)B ．(x －a)(x ＋b)C ．(x －a)(x －b)D ．(x ＋a)(x ＋b)26、下列各式x 3－x 2－x ＋1，x 2＋y －xy －x ，x 2－2x －y 2＋1，(x 2＋3x)2－(2x ＋1)2中，不含有(x －1)因式的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个27、把9－x 2＋12xy －36y 2分解因式为A ．(x －6y ＋3)(x －6x －3)B ．－(x －6y ＋3)(x －6y －3)C ．－(x －6y ＋3)(x ＋6y －3)D ．－(x －6y ＋3)(x －6y ＋3)28、下列因式分解错误的是A ．a 2－bc ＋ac －ab=(a －b)(a ＋c)B ．ab －5a ＋3b －15=(b －5)(a ＋3)C ．x 2＋3xy －2x －6y=(x ＋3y)(x －2)D ．x 2－6xy －1＋9y 2=(x ＋3y ＋1)(x ＋3y －1)29、已知a 2x 2±2x ＋b 2是完全平方式，且a ，b 都不为零，则a 与b 的关系为A ．互为倒数或互为负倒数B ．互为相反数C ．相等的数D ．任意有理数30、64a 8－b 2因式分解为A ．(64a 4－b)(a 4＋b)B ．(16a 2－b)(4a 2＋b)C ．(8a 4－b)(8a 4＋b)D ．(8a 2－b)(8a 4＋b)二、因式分解1、22(32)(4)a b a b +--2、664x -3、224(2)12(2)(1)9(1)x x x x ---+++4、222()14()24x x x x +-++5、222ax ay xy y -+-6、2222()6()9()m n m n m n ++-+-7、3p 2﹣6pq8、2x 2+8x+89、x 3y ﹣xy10、3a 3﹣6a 2b+3ab 2．11、a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ）12、（x 2+y 2）2﹣4x 2y 213、2x 2﹣x14、16x 2﹣115、6xy 2﹣9x 2y ﹣y 316、4+12（x ﹣y ）+9（x ﹣y ）217、2am 2﹣8a18、4x 3+4x 2y+xy 219、3x ﹣12x 320、（x 2+y 2）2﹣4x 2y 221、x 2y ﹣2xy 2+y 322、（x+2y ）2﹣y 223、234352x x x --24、2633x x -25、22414y xy x +-- 26、13-x27、323812a b ab c + 28、2()3()a b c b c +-+ 29、282m n mn + 30、22129xyz x y -31、2a(y -z)-3b(z -y)32、p(a 2+b 2)-q(a 2+b 2)33、4x 2-934、(x+p) 2-(x+q) 235、44x y -36、3a b ab -37、a 22125b -38、9a 2-4b 239、x 2y -4y40、416a -+41、16x 2+24x+942、-x 2+4xy -4y 243、3ax 2+6axy+3ay 244、(a+b) 2-12(a+b)+3645、x 2+12x+3646、-2xy -x 2-y 247、a 2+2a+148、4x 2-4x+149、ax 2+2a 2x+3a50、-3x 2+6xy -3y 251、3252、12abc-3bc2a a151053、6p(p+q)-4q(p+q) 54、m(a-3)+2(3-a)55、1-36b256、12x2-3y257、0.49p2-144 58、(2x+y) 2-(x+2y) 2 59、1+10t+25t260、m2-14m+4961、y2+y+0.25 62、(m+n) 2-4m(m+n)+4m2 63、25a2-80a+64 64、a2+2a(b+c)+(b+c) 2 65、(a-b) 2+4ab 66、(p-4)(p+1)+3p67、4xy2-4x2y-3y68、3ax2-3ay269、x2-169 70、5x2-20。