最新2019-2020年高考数学小题综合训练4

2019-2020年高考数学小题综合训练411．已知全集U＝{1,2,3,4}，若A＝{1,3}，B＝{3}，则(∁U A)∩(∁U B)等于( ) 2A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}3答案D4解析根据题意得∁U A＝{2,4}，∁U B＝{1,2,4}，5故(∁U A)∩(∁U B)＝{2,4}．62．设i是虚数单位，若复数z＝i1＋i，则z 的共轭复数为( )7A.12＋12i B．1＋12i C．1－12i D.12－12i8答案D 9解析复数z＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝i＋12，10根据共轭复数的概念得，z的共轭复数为12－12i.113．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中12视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力13的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为( )14115A．30 B．25 C．22 D．2016答案D17解析50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.184．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，f(－1))处切线的斜率为8，则f(－1) 19等于( )20A．7 B．－4 C．－7 D．421答案B22解析∵y′＝4x3＋2ax，∴－4－2a＝8，23∴a＝－6，∴f(－1)＝1＋a＋1＝－4.245．已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为( ) 25A．1 B.2262C.12D.2227答案D28解析设a与b的夹角为θ，29∵a⊥(a－b)，30∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，即a2－|a|·|b|cos θ＝0，31∴cos θ＝2 2，32∴向量a在b方向上的投影为|a|·cos θ＝2 2 .336．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )3435A.83B.163C.203D．83634答案 B37解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．3839 ∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.407．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，41且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为( )42A.23 B ．1 C.43 D ．2 43答案 A44解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ， 45当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ， 46两式相减，得π4ω＝(k1－2k2)π－π6或(k1－2k2)π－5π6，k1，k2∈Z，47即ω＝4(k1－2k2)－23或4(k1－2k2)－103，k1，k2∈Z，48又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.49方法二直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，50解得ω＝2 3 .518．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠52日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图53所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出54的i的值为( )5556A．4 B．5 C．6 D．75756答案 C58解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，59 y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋60⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，61 故选C.62639．在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是64 ( )65A ．(2,22]B ．(22，4]66C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]67答案 C68解析 由题意可得69tanA ＋B2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2sinC 270＝2sin C 2cos C2， 71则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12，727∴cos C ＝0，C ＝π2. 73据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 74则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 75据此有a ＋b ≤22，76∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 77三角形满足两边之和大于第三边， 78则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.79综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．8010．一个三棱锥A －BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD ＝13，81 则球心O 到平面ABC 的距离是( )82A.152 B.153 C.154 D.15683答案 D84解析 由题意可得三棱锥A －BCD 的三对对棱分别相等，85886 所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF －GCHB ，如图所示，87该长方体的外接球就是三棱锥A －BCD 的外接球O ，长方体AEDF －GCHB 共顶88 点的三条面对角线的长分别为3,4，13，89设球O 的半径为R ，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，90由题意可知，⎩⎨⎧x 2＋y 2＝9，x 2＋z 2＝16，y 2＋z 2＝13，解得⎩⎨⎧x 2＝6，y 2＝3，z 2＝10，91则(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝6＋3＋10＝19，即4R 2＝19. 92在△ABC 中，由余弦定理得 93cos∠ACB ＝32＋42－1322×3×4＝12， 94则sin∠ACB ＝32，959再由正弦定理得AB sin∠ACB＝2r (r 为△ABC 外接圆的半径)，则r ＝133， 96因此球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝156. 9711．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *98 且m ≥2，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )99A.24143B.1143100C.2413D.613101答案 D102解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， 103∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，104a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15， 105又∵数列{a n }为等差数列，106∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2，107∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1a 1＋m －1m －22×－2＝13，ma 1＋m m －12×－2＝0，10810解得a 1＝13，109∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 110当a n ≥0时，n ≤7.5， 111当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， 112∴数列的前7项为正数，113∴1a n a n ＋1＝115－2n13－2n114＝12⎝⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n 115∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为11612⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.11712．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，118x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 3－2x 4－2x 1x 2的取值119 范围是( )120A ．(0,12)B ．(0,16) 121C ．(9,21)D ．(15,25)122答案 A123解析函数的图象如图所示，124125∵f(x1)＝f(x2)，∴－log2x1＝log2x2，126∴log2x1x2＝0，∴x1x2＝1，127∵f(x3)＝f(x4)，128由函数对称性可知，129x 3＋x4＝12,2<x3<x4<10，130∴x3－2x4－2x1x2＝x3x4－2(x3＋x4)＋4131＝x3x4－20＝x3(12－x3)－20＝－(x3－6)2＋16，132∵2<x3<4，133∴x3－2x4－2x1x2的取值范围是(0,12)．1341113．已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到135β的距离为3，Q到α的距离为23，则P，Q两点之间距离的最小值为________．136答案23137解析如图，分别作QA⊥α于点A，AC⊥l于点C，PB⊥β于点B，PD⊥l 138于点D，连接CQ，BD，则∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝23，BP＝3，∴AC＝PD＝1392.又∵PQ＝AQ2＋AP2＝12＋AP2≥23，当且仅当AP＝0，即点A与点P重合时140取最小值．14114214.已知正方形的四个顶点A(1,1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)分143别在曲线y＝x2和y＝1－x2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 144中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．1451213146 答案8＋3π24147解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝14843， 149y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，150则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 151即π×122＝π2，152故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.1531415．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝x ＋y2xy的取154值范围为________．155答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163156解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，157158 令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，159由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2.160u ＝x ＋y 2xy＝x 2＋2xy ＋y 2xy161＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 16215易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减，163在[1,2]上单调递增．164当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；165当t ＝2时，u ＝92，166所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163. 16716．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双168 曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双169 曲线的离心率的取值范围是________．170答案 (1，3＋1]171解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，17217316则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．174设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，175只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 176即1a 2－3b2≤1，177两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 178由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，179所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，180解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，181故1<ca≤3＋1.182183。