第五章稳恒磁场

意义：电流元所激发的磁场在距离为r 处的 磁感应强度。
叠加原理：整个闭合回路激发的磁场是各
电流元所激发磁场的矢量和。
0 Id er B 4 C r 2
毕奥—萨伐尔定律
说明：
（1）一个孤立的稳恒的电流元并不存在，毕奥—萨伐尔定律
的正确性只能从由它所推出的结果与实验符合这一事实来断 定。 （2）根据广泛的实验材料，电子论将电流的相互作用归结为 运动电子的相互作用，每一个电流元都是名符其实的电流元。
物理意义：磁场的环流不为零，是非保守场（有
旋场）。
S B d 0 j dS 一定有电流穿过闭合的磁感应线。电流
以涡旋方式激发磁场
磁场的安培环路定理 安培环路定理的应用：
当电流分布具有高度对称性时，可 以应用安培环路定理方便地计算磁感应强 度
0 I 2R 2 r (r R) B 例题1：无限长载流圆柱体磁场的计算 I 0 (r R) 2r
力于场中的其它电流。
电流间的相互作用力 安培定律
分析：
决定电流之间相互作用的问题分解为两个比较 简单的问题— 决定任意电流的磁场；决定已知 磁场作用于在这一磁场中的电流上的力。 研究方法：通过探索电流元之间的相互作用， 了解电流之间相互作用的规律。
电流间的相互作用力 安培定律
电流元 1 对电流元 2 的作用力为：
S B dS 0
链着。

S 高斯定理
磁通量： 定理内容：
（韦伯 1Wb=1T· 2） m
对于稳恒电流的磁场，通过任意闭合曲面
定理内容： S
磁场的安培环路定理 B d I
0

k
k
在稳恒电流的磁场中，磁感应强度沿任 意闭合路径的线积分，等于穿过这一闭合路径的全部 电流代数和的μ0倍。
电流间的相互作用力 安培定律
安培定律：两个载流回路之间的相互作用
力为
FC1 C2 k
C1 C2

I 2 d 2 ( I1d 1 e21 ) 2 r21
此结论与实验结果一致
两个电流元之间的作用力不符合牛顿第三定 律（孤立的电流元根本不存在），但两个闭合 回路之间的作用力完全符合牛顿第三定律。
1 qB T 2m
半径 频率
， 周期
特点：R与v成正比，T和 f与v无
带电粒子在匀强磁场中的运动
纵向匀强磁场中带电粒子的运动
（磁感应强度与带电粒子 速度互相平行）
带电粒子受力
F=0
带电粒子运动——匀速直线运动
运动速度V恒定
带电粒子在匀强磁场中的运动
任意方向的匀强磁场中带电粒子的运
动
F q(v// vÍ) B qvÍ B
基本磁现象： 磁铁对磁铁的相互作用
磁铁对电流的作用 电流对电流的作用
磁现象的本质：安培分子环流假说——
磁性起源于分子电流。
电流间的相互作用力 安培定律
安培对磁现象的认识： 载流螺线管与条形磁铁的等效性实验 平行载流直导线相互作用实验 问题：电流之间是怎样相互作用的？ 实验结论：两个载流回路间的作用力与带电 体之间的相互作用相似。任意电流周围的空间 有由此电流所引起的力场存在着 ， 而这力场施
§5.4
带电粒子在电场和磁场中的运动
洛伦兹力
带电粒子在匀强磁场中的运动 带电粒子在电磁场中运动的实例 思考题和计算题
洛伦兹力 B 磁场对运动电荷的作用力 F qv
F qvB sin 意义：磁场对运动电荷的作用力大小为 方向垂直于带电粒子速度和磁感应 强度所组成的平面。 特点：作用力恒与粒子运动方向垂直——它 不对粒子作功 只改变粒子的运动方向，不改变其 速率。
第五章 稳恒电流的磁场
§5.1 §5.2 §5.3 基本磁现象 安培定律 电流的磁场 磁感强度 稳恒电流磁场的基本方程式
§5.4
带电粒子在电场和磁场中的运动
§5.1
基本磁现象 安培定律
磁现象
电流间的相互作用力 安培定律 安培定律的应用 思考题和计算题
磁现象
人类对磁性现象的认识始于天然磁石的研
究。
mvÍ 2mv// R h v //T qB qB 带电粒子运动——螺旋线运动
带电粒子受力
螺距
回转半径
磁聚焦原理：带电粒子流在磁场的
作用下，各粒子沿不同半径的螺旋线前进，经过
带电粒子在电磁场中运动的实 例 电子荷质比的测量
原理：利用电场和磁场对带电粒子的作
用，通过测量带电粒子在电磁场中的偏转计算电子的
在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相
计算题：
载流正方形线圈的边长为2a，通以电流 I，求线圈轴线 上距其中心O为 r 处的磁感强度。 2
(B 2 0 Ia
2 2
(r a )( r 2a )
2 2
1
)
2
在半径为R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为 相互平行，以单层盖住半个球面。沿导线流过的电流为 I ，总匝数为N，求此电流在球中心O产生的磁感强度
§5.3
稳恒电流磁场的基本方程式
磁场的高斯定理
磁场的安培环路定理 稳恒电流磁场的基本方程式 思考题和计算题
磁感应线： 磁场的高斯定理
规定： 切线方向与该点的磁感应强度的方
向相同 疏密程度正比与磁感应强度的大
小。
性质： 磁感应线是无头无尾的闭合曲线， 与产生磁场的闭合电流线相互交 B dS
q 电荷和质量之比。 Ed 1.7 1011 C kg 1 2
结论：
m
B La
意义：第一次发现电子。
1897年，J.J.汤姆孙通过电场和磁场对 阴极射线的作用，得出了这种射线不是以太波而是物 质微粒的结论，并测量了这些微粒的荷质比。射线质 粒的荷质比很大，说明这种质粒是比原子更小的质 粒——电子。
I 2 d 2 ( I1d 1 e21 ) dF21 k 2 r21
意义：两电流元之间作用力大小为
I1 I 2 sin 1 sin 2 d 1d 2 dF21 k 2 r21
方向由双重叉积决定。
比例系数
0 k 10 7 N A 2 ( 0 : 真空磁导率) 4
带电粒子在电磁场中运动的实 例 质谱仪
原理： 将物质电离成离子，利用电场
与磁场对离子的作用将不同质量的离子分离开并对离
q 2U 子的质量进行定性或定量的分析。 m B2r 2
B
1 0i 2
2R x
2

0 IR 2
2

3
Leabharlann Baidu
2
0 R 2 2 x 2
2 ( R x
2 2
2 x)
例题3：求载流螺线管内部的磁场
1 B 0 nI (cos 1 cos 2 ) 2
平面载流线圈在磁场中所受的力和力矩
载流线圈磁矩的定义： m IS 磁场对载流回路的力矩 m B
提供另一种定义磁感应强度的大小和方向的方法。 力矩有使磁矩转向与外场方向相平行的趋势， 相互作用能的变化可以用磁矩作的功来量度 磁矩一定的载流小回路——磁偶极子。
非均匀磁场中：载流回路除受到磁场的力矩作用
外，还受到不等于零的合力的作用，因此回路将发生 移动。
思考题：
比较电场强度和磁感应强度的定义，为什么 不以磁场作用于电流元上的力的方向作为磁 场的方向？ 比较电偶极子在电场中所受的电场力和力矩 与磁偶极子在磁场中所受的磁场力和力矩。
B
计算题：
分布在横截面上，圆柱的半径为
R1，圆筒的内外半径分别为R2
B 0(r R3 )
和R3，求空间各处的磁感应强度。 在一个半径为a的无限长圆柱形 导体内挖一个半径为b 的圆柱形
2 方向与过O和O 轴的平面垂直
B
0 j
d
空腔，它们的轴线互相平行，两
轴的距离为d(b>a+d),电流密
方法：
安培定律的应用
将载流回路看成是大量无限短的电流元的集 合，由电流元之间相互作用力的规律而得到电流之
间的相互作用力。
例题：
求两平行的无限长载流直导线之间的相互 0 I1 I 2 f er 作用力。 2r
载流导线1作用于载流导线2的单位长度上的力 为
思考题：
在安培定律的表达式中，若 r →0，则 dF
洛伦兹力公式 空间除了存在磁场外，还存在电场，
则运动电荷所受到的力为
F q( E v B)
带电粒子在匀强磁场中的运动 横向匀强磁场中带电粒子的运动
（磁感应强度与带电粒子 速度互相垂直） F qvB
带电粒子受力
v 带电粒子运动——匀速圆周运动 2 R f Bq
T
m
Bq m
→∞,这一结论是否正确？如何解释？
比较库仑定律在静电学中的地位与安培定律在
静磁学中的地位。
把一个电流元依次放在无限长的载流直导线附
近的两点A和B，如果A点和B点到导线的距离
相等，问电流元所受到的磁力大小是否一定相
等？
计算题： 根据安培定律证明：
两个电流元之间的作用力不符合牛 顿第三定律（孤立的电流元根本不存在）； 但两个闭合回路之间的作用力完全符 合牛顿第三定律。 两根无限长平行载流直导线AB和CD，垂直 距离为a，电流分别为 I1和 I2，方向相同， II df df 求两导线每单位长度所受的作用力。 ( 12 21 0 1 2 )
磁场
磁感应强度
0 物理量 I 0 d 0 Id er F C r 2 4
通过磁场对电流的作用引入描写磁场的
磁感应强度的定义： B 0 Id er 4 C r 2
载流回路的磁场对电流元的作用力
F I 0 d0 B
引入安培公式
磁场
磁感应强度矢量的意义 磁感应强度是一个矢量，其大小等于试探电流元在 该点所受最大磁场力的大小 ，方向由右手定则确定
（电流元不受力的方向）。
适用条件：磁感应强度的定义适用于任意磁场。 磁感应强度的单位：特斯拉 （1T=1N· -1· -1） A m
毕奥—萨伐尔定律
0 Id er 表达式： dB 4 r 2
因此将非无限小电流分解成诸电流元的总和这一数学方法，
在某一方面和所有电流都可归结为个别电子（或离子）的运 动这一近代的物理观念相一致
毕奥—萨伐尔定律的应用
例题1：求无限长载流直导线的磁场
0 I B 2r 应用——无限大载流平面的磁场
B
B
例题2：求圆电流轴线上的磁场
应用——旋转带电圆盘轴线上的磁场
一根磁感应线上各点的B的值是否恒定？ 在没有电流的区域，是否可能存在着有这 样的磁感应线：它们是一族平行直线，但 是沿着与它垂直的方向逐渐变密？为什么？ 能否直接应用安培环路定理求长为L的载 流直导线产生的磁场？ 在载流螺线管的外面环绕闭合路径一周， 磁感强度的回路积分等于多少？
0 Ir (0 r R1 ) 同轴电缆由一导体圆柱和一与它 2 2R1 同轴的导体圆筒所构成。使用时，B 0 I ( R r R ) 1 2 2r 电流 I 从一导体流入，从另一导 0 I ( R32 r 2 ) B ( R2 r R3 ) 2 体流出，设导体中的电流均匀地 2r ( R32 R2 )
(B
0 NI
4R
)
一多层螺线管内外半径分别为R1和R2，长为2L，设总匝 数为N，导线中通过的电流为 I ，求这螺线管中心O点的 R R2 l 2 磁感强度。 0 NI 2 2
(B ) ln 2 2 2( R2 R1 ) R1 R1 l
dl 2 dl1 2 a
§5.2
磁场
电流的磁场 磁感强度
毕奥—萨伐尔定律
毕奥—萨伐尔定律的应用
平面载流线圈在磁场中所受的力和力矩
思考题和计算题
磁场
磁相互作用的本质
磁相互作用通过磁场来传递
电流（磁铁）↔ 磁场 ↔ 电流（磁铁） 磁相互作用归根结底是电流之间的相互作用 运动电荷 ↔ 磁场 ↔ 运动电荷 运动电荷的性质：不仅产生电场，而且产生磁场； 除受电场力作用外，还受到磁场力的作用。
B 0 nI
例题2：无限长载流螺线管内部磁场的计算
稳恒电流磁场的基本方程式 磁场的高斯定理
B dS 0
闭合性
S
安培环路定理

场
S
B d 0 I k
k


——磁场是无源场，磁感线具有
—— 磁 场 是 有 旋
思考题： 从毕奥—萨伐尔定律出发，证明稳恒电流
磁场的高斯定理。