芝诺悖论解答ppt课件
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哲学悖论故事-课前推荐PPT课件
第二十二条军规
13
2021
根据第二十二条军规，只有疯子才能获准免于飞行， 但必须由本人提出申请，但你一旦提出申请，恰好 证明了你是一个正常人，还是在劫难逃。第二十二 条军规还规定，飞行员飞满32架次就能回国，但 它又说，你必须绝对服从命令，要不就不能回国。 因此上级可以不断给飞行员增加飞行次数，而你不 得违抗。如此反复，永无休止。 源出美国作家约瑟夫·赫勒（Joseph Heller）根据 自己在第二次世界大战中的亲身经历创作的黑色幽 默小说《第二十二条军规》（1961）。在当代美 语中，Catch-22已作为一个独立的单词，使用频 率极高，用来形容任何自相矛盾、不合逻辑的规定 或条件所造成的无法摆脱的困境、难以逾越的障碍， 表示人们处于左右为难的境地，或者是一件事陷入 了死循环，或者跌进逻辑陷阱，等等。
2021
11
上帝万能悖论
“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？”
伊壁鸠鲁悖论
12
2021
如果是上帝想阻止“恶”而阻止不了， 那么上帝就是无能的；如果是上帝能阻 止“恶”而不愿阻止，那么上帝就是坏 的；如果是上帝既不想阻止也阻止不了 “恶”，那么上帝就是既无能又坏；如 果是上帝既想阻止又能阻止“恶”，那 为什么我们的世界充满了“恶”呢？
外祖母悖论
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2021
如果一个人真的“返回过去”，并且在其外祖母 怀他母亲之前就杀死了自己的外祖母，那么这个 跨时间旅行者本人还会不会存在呢？这个问题很 明显，如果没有你的外祖母就没有你的母亲，如 果没有你的母亲也就没有你，如果没有你，你怎 么“返回过去”，并且在其外祖母怀他母亲之前 就杀死了自己的外龟 6
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌 龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100 米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在 竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿 基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米， 于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追， 而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前 爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样， 乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之 间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要 乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上 乌龟！ “乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体 追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点， 此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总 是在追赶者前面。 ”
悖论ppt
“彼亦一是非，此亦一是非。”
这是《庄子· 齐物论》中的一句话，以强调事物 的相对性而著称，比如，人睡在潮湿的地方会腰疼， 但泥鳅会腰疼吗？人爬到高树上会胆怯，猿猴会胆 怯吗？于是，他的结论是：“彼亦一是非，此亦一是 非。”各有各的相对标准。
悖论vs哲学
“白马非马” 战国时赵国人公孙龙曾经著有《公孙龙子》一 书，平原君礼遇甚厚。其“白马非马”和“坚白异同之 辩”都是他的著名命题。 据说，公孙龙有一次骑马过关，把关的人对他 说：“法令规定马不许过。”公孙龙回答说：“我骑的 是白马，白马不是马，这可是两回事啊。”
黑格尔在《小逻辑》中说：“辩证法切不可与单 纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看 事物，把本身片面的、抽象的规定，认为是可 靠的。”（《逻辑学概念的进一步规定和部门划 分》）
谁在说谎？
柏拉图调侃他的老师 ：“苏格拉底下面说的 话是谎话” 苏格拉底说：“柏拉图 上面的话是对的”
悖论是什么？
悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之 结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论 体系。 悖论的出现往往是因为人们对某些 概念的理解认， 对 它们的深入研究有助于数学、逻辑学、 语义学等等理论学科的发展，因此具 有重要意义。
这四种可能彼此相悖，无论学生作出怎样的回答，老师都可 以予以反驳，因为他不需要有一个客观的标准，这就是诡辩。
三、由一因多果片面推理引致的悖论
公孙龙论秦赵之约 《吕氏春秋》介绍过公孙龙的一个诡论：秦国与赵 国订立条约：今后，秦国想做的，赵国帮助；赵国想做 的，秦国帮助。不久，秦国兴师攻打魏国，赵国打算援 救。秦王不高兴，差人对赵王说：秦国想做的，赵国帮 助；赵国想做的，秦国帮助。现在秦国要打魏国，而赵 国援救他们，这是违约。赵王把这个消息转告给平原君， 平原君向公孙龙请教。公孙龙回答：“赵王也可以派人 对秦王说：赵国打算援救魏国，现在秦国却不帮助赵国， 这也不合乎条约。”
芝诺悖论
作为一个的女王，她把键牛皮切成细细的 条子，并决定用它围成面积最大的土地。
伟大的类比——开普勒
2、“阿基里斯追鬼”悖论
阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄，让乌龟在 阿基里斯前100米处，与阿基里斯一同起跑，阿基里 斯的速度是乌龟的10倍。最初起跑时，阿基里斯与乌 龟的距离为100米，当阿基里斯跑完100米时，乌龟前 进了10米，这时阿基里斯与乌龟的距离为10米，当阿 基里斯跑完100米时，乌龟前进了1米，这时阿基里斯 与乌龟的距离为1米 …..，这样阿基里斯与乌龟的距离 渐次为100，10，1，0.1，0.01，…..按线段无限可分 理论，他们之间的距离永远不为零。因此善跑的阿基 里斯追不上乌龟。
解析：拥有最高德行的人如同水一样，具 有宽广的胸怀、谦逊的品德、与世无争的情 操、宽厚诚实的作风。具体地讲就是心胸要 像水渊一样，宽广无边、清湛悠然；要像水 的流势一样谦虚卑下，不可处处与人争高低， 要择地而居。对人要亲切自然，以诚相待， 老厚道。为人处世重诺守信，如同潮汐一般， 起落守时。
《道德经》第二十七八章 善行无辙—— “瞒天过海”
芝诺悖论
1、“二分说”悖论：运动是不可 能的 一个物体从甲地到乙地，永远不能到达。 因为从甲地到乙地，首先要通过道路的一半， 但是要通过一半，必须通过一半的一半，即 道路的四分之一，要通过道路的四分之一， 必须通过八分之一。这样分下去，永无止境。 芝诺的结论是此物体根本不能开始运动，因 为它被道路的无限分割阻碍着。
“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
意大利的裴波那契在《算盘书》中写了这 样一个问题： 7个老妇同赴罗马，每人有7匹骡，每匹 骡驮7个袋，每个袋盛7个面包，每个面包带 有7把小刀，每把小刀放在7个鞘之中，问各 有多少？
古代的数学迷宫——图形数
科学与逻辑方法论0710悖论ppt课件
（ iff = if and only if = 当且仅当）
两种性质：
自有性质：例如，“可理解”这种性质自身 是可理解的。因此，“可理解”是自有性质。
非自有性质：例如，“红”这种性质自身并 不红，因此，“红”是非自有性质。
如果P是自有性质，则P（P）成立； 如果P是非自有性质，则 P（P）成立。
[思考]
罗素悖论引起的震动 第三次数学危机！
集合论-语形悖论的消解
罗素的分支类型论 从素朴集合论到公理集合论
罗素的分支类型论
恶性循环原则：
“凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身 不能是该汇集的一分子”
---- 罗素
总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。 ---- 张家龙
“非自有”性质 所确定的集合
第二，代价尽量小；（尽量保留一切有 价值的东西）
第三，自然。
悖论的分类 语形 （syntactic） 语义 （semantic） 语用 （pragmatic）
集合论-语形悖论及其研究
素朴集合论
概括规则：对于任一性质，所有具有该 性质的对象就构成一个集合。所有不具有该 性质的对象不属于该集合。
对任一性质P，存在唯一的集合A：对任 一对象a，a∈A iff P（a）
理查德悖论
自然数的任一性质均可用有限多的文字表达。如偶数、 奇数、素数、3的倍数、能被7整除的数，等等。现把所有这 些性质排序，序号均为自然数。如果一种性质的序号不具有 此种性质，则称该序号（自然数）为理查德数；否则就为非 理查德数。例如，如果偶数这种性质的编号是3，则3是一个 理查德数，因为3不是偶数；如果奇数这种性质的编号是5， 则5是非理查德数，因为5是奇数。理查德数也是自然数的一 个性质，因此，也有一个序号，记为n。
两种性质：
自有性质：例如，“可理解”这种性质自身 是可理解的。因此，“可理解”是自有性质。
非自有性质：例如，“红”这种性质自身并 不红，因此，“红”是非自有性质。
如果P是自有性质，则P（P）成立； 如果P是非自有性质，则 P（P）成立。
[思考]
罗素悖论引起的震动 第三次数学危机！
集合论-语形悖论的消解
罗素的分支类型论 从素朴集合论到公理集合论
罗素的分支类型论
恶性循环原则：
“凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身 不能是该汇集的一分子”
---- 罗素
总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。 ---- 张家龙
“非自有”性质 所确定的集合
第二，代价尽量小；（尽量保留一切有 价值的东西）
第三，自然。
悖论的分类 语形 （syntactic） 语义 （semantic） 语用 （pragmatic）
集合论-语形悖论及其研究
素朴集合论
概括规则：对于任一性质，所有具有该 性质的对象就构成一个集合。所有不具有该 性质的对象不属于该集合。
对任一性质P，存在唯一的集合A：对任 一对象a，a∈A iff P（a）
理查德悖论
自然数的任一性质均可用有限多的文字表达。如偶数、 奇数、素数、3的倍数、能被7整除的数，等等。现把所有这 些性质排序，序号均为自然数。如果一种性质的序号不具有 此种性质，则称该序号（自然数）为理查德数；否则就为非 理查德数。例如，如果偶数这种性质的编号是3，则3是一个 理查德数，因为3不是偶数；如果奇数这种性质的编号是5， 则5是非理查德数，因为5是奇数。理查德数也是自然数的一 个性质，因此，也有一个序号，记为n。
芝诺悖论的解释
悖论的解释
当阿基里斯无限接近于乌龟之时，时间也停 滞了。所以在有限的时间里，阿基里斯永远 无法追上乌龟。从这个意义上讲，阿基里斯 悖论倒不是悖论了，只是有个隐含件没有被
大家所发现——有限时间内。
时间的连续性
个人认为用时间的连续性来解释更清晰。在这 个假设里，时间的发展被设定为无限的趋近于 一个点。而实际情况是我们生活的这个时空， 时间的发展是连续，不会出现无限接近某一个 时刻的情况。例如，从这一刻开始，往后数4 秒，你能说有3.9，3.99，3.999，3.999….就
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
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阿基里斯继续追乌龟跑0.01s，此时乌龟又跑了0.01米
。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。
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阿基里斯追乌龟跑1000米用100s，此时乌龟又跑了100米
阿基里斯继续追乌龟跑10s，此时乌龟又跑了10米
阿基里斯继续追乌龟跑1s，此时乌龟又跑了1米
阿基里斯继续追乌龟跑0.1s，此时乌龟又跑了0.1米
第四节 无穷小与无穷大
无穷小
芝诺悖论 无穷小的概念 小结
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芝诺断言阿基里斯与龟赛跑PPT课件
C1
A
D
B1 D1
B
C
A1
1—（2）
分析： 正方形的面积仍然组成一个无穷递缩等比数列，首项为a1= a2, 先求相邻 的两个正方形中小正方形与大正方形的边长比——如图令A1D1=x,则
x cos x sin a 所以边长比为 x
1
a cos sin
面积比即公比q为 (
1
)2
1
cos sin 1 sin 2
从而所有正方形的面积和为
S a1 (1 sin 2 )a2
1 q
sin 2
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经验积累：与实际问题结合的无穷递缩等比数列的求和问题，关键是求出 首项及公比，求公比时，要特别注意相邻两个图形之间的联系。 1
例2.如图所示，Ｐ是一块半径为１的半圆形纸板，在Ｐ的左下端剪去一个半径为 2的
1—（1）
解：正方形的面积组成一个无穷递缩等比数列，首项为a1= a2，由于相邻的两个正
方形中小正方形与大正方形的边长比为 1 ,
2
所以面积比即公比q=
1 2
，
因此所有正方形的面积之和为S=
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变式：如果使内接正方形与相邻前一正方形的一边的夹角为 ，
如图1—（2）求所有正方形的面积之和。
.
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小结：
1、理解无穷递缩等比数列（公比|q|<1)，尽管项数无限，但它的 和是一个确定的数.
2、与实际问题结合的无穷递缩等比数列的求和问题，关键是求出 首项及公比，求公比时，要特别注意相邻两个图形之间的联系。
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课外思考题：
一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时发现一个正三角形（边长为 1个单位）的军事建筑物如图（1），第二次观测时如图（2）发现它每 边中央1/3处还有一个正三角形，第三次观测时如图（3）还发现原先每 一小边的中央1/3处又有一向外突出的正三角形…把第1、2、3…n次观
芝诺悖论
芝诺悖论解答芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。
），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。
这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
留传下来的芝诺悖论共有8个，最为著名的主要有4个，分别为二分法悖论、阿基里斯(Achilles)悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论。
二分法悖论的内容是：事物想要运动完全程，就必须运动完全程的一半，而全程的一半还有一半，一半的一半还是有一半，这样一来一半的概念是可以无限地划分的，因而，事物在运动的过程中是永远无法经过“一半”的。
因此，运动是永远无法终结和进行的，因而运动不存在。
这里的问题所在是把时间看作了一个有限的概念而把空间看做了一个无限的范畴。
因而认为无法在有限中完成无限。
然而事实上，根据马克思理论，事物的有限无限的概念完全是相对的，不能片面地承认一方面的存在而否定另外一方。
比如说，一条线段（距离）包括无限的点，人永远无法走完这无数的点，正如他永远无法数清这些点一样。
为什么人们不认为数不清这无数的点是个悖论，却认为走完这无数的点就成了悖论了呢？原因就在于数数和运动是不同性质的东西，数数是空间中的行为，运动是本身的时间中的行为，不能混淆时间和空间。
第二个悖论是最为复杂的阿基里斯(Achilles)悖论。
芝诺认为追赶者，即阿基里斯需要一定的时间才能达到被追赶者（乌龟）于该时间开始的出发之处。
芝诺悖论
芝诺悖论解答芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。
），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。
这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
留传下来的芝诺悖论共有8个，最为著名的主要有4个，分别为二分法悖论、阿基里斯(Achilles)悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论。
二分法悖论的内容是：事物想要运动完全程，就必须运动完全程的一半，而全程的一半还有一半，一半的一半还是有一半，这样一来一半的概念是可以无限地划分的，因而，事物在运动的过程中是永远无法经过“一半”的。
因此，运动是永远无法终结和进行的，因而运动不存在。
这里的问题所在是把时间看作了一个有限的概念而把空间看做了一个无限的范畴。
因而认为无法在有限中完成无限。
然而事实上，根据马克思理论，事物的有限无限的概念完全是相对的，不能片面地承认一方面的存在而否定另外一方。
比如说，一条线段（距离）包括无限的点，人永远无法走完这无数的点，正如他永远无法数清这些点一样。
为什么人们不认为数不清这无数的点是个悖论，却认为走完这无数的点就成了悖论了呢？原因就在于数数和运动是不同性质的东西，数数是空间中的行为，运动是本身的时间中的行为，不能混淆时间和空间。
第二个悖论是最为复杂的阿基里斯(Achilles)悖论。
芝诺认为追赶者，即阿基里斯需要一定的时间才能达到被追赶者（乌龟）于该时间开始的出发之处。
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但时间的流 动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，加起来也 只是个常数而已——1秒。这就就是说：“芝诺悖论根本不存在。”
“芝诺时间”
芝诺悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远， 在于芝诺与我们采取了不同的时间系统—— 人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解 释则采取了离散的时间系统。换句话说，连续时间是离散 时间将时间间隔取为无穷小的极限。
假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001SM需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................
芝诺悖论PPT课件
狄多女王巧画地
威尔吉的罗马史诗中描绘了狄多女王的 故事：她是泰雅王的女儿，在她的兄弟杀害 了她的丈夫之后便逃亡非洲，在那里，她乞 求当地的土著雅布王赐给她一些土地。出于 对她请求的疑虑，雅布王问她希望得到多大 的土地。她回答说她所要求的只是一张键牛 皮所能围起来的地方。由于这似乎是一个很 微小的请求，所以雅布王痛快地答应了她的 要求。
解析：“有“是存在的意思，它代表一种孕育万 物的状态，万物的生母，万物是从“有”中孕育生产 出来的。“无是没有的意思，代表天地还没有生成以 前的混沌状况，天地是从无中生出来的。“道”理解 为一种“无”的状态，一种“有”的能力。它的本源 是“无”，却可以生出天地万物。大道无言，大道无 际，它孕育了天地万物，并使天地万物感受到了它的 存在和威力。
47给我一个支点我可以撬动地球阿基米德想象是人类最美丽的翅膀48大自然偏爱囿将一条具有固定长度的柔软细丝两端连接起来形成一条封闭曲线将它轻轻地放在一个蒙有肥皂膜的铁框内
芝诺悖论
1、“二分说”悖论：运动是不可 能的一个物体从甲地到乙地，永远不能到达。 因为从甲地到乙地，首先要通过道路的一半， 但是要通过一半，必须通过一半的一半，即 道路的四分之一，要通过道路的四分之一， 必须通过八分之一。这样分下去，永无止境。 芝诺的结论是此物体根本不能开始运动，因 为它被道路的无限分割阻碍着。
2、“阿基里斯追鬼”悖论
阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄，让乌龟在 阿基里斯前100米处，与阿基里斯一同起跑，阿基里 斯的速度是乌龟的10倍。最初起跑时，阿基里斯与乌 龟的距离为100米，当阿基里斯跑完100米时，乌龟前 进了10米，这时阿基里斯与乌龟的距离为10米，当阿 基里斯跑完100米时，乌龟前进了1米，这时阿基里斯 与乌龟的距离为1米 …..，这样阿基里斯与乌龟的距离 渐次为100，10，1，0.1，0.01，…..按线段无限可分 理论，他们之间的距离永远不为零。因此善跑的阿基 里斯追不上乌龟。
高中数学选修课《悖论》课件
诉 讼 悖 论
从前一个老律师立了一个规矩：跟他学习法律的 学生可以先不交纳学费。学成毕业后，徒弟如果打 赢了第一场官司就得支付学费，否则就可以免付学 费。数年后，他的一名弟子满师后的第一件事就是 和老律师打一场官司。 徒弟所打的主意是：如果我赢了，按照法官的判 决，我可以不付学费；如果我输了，那么按照老师的 规矩，我也可以不付学费。老律师也积极应诉，他打 的算盘是：如果我赢了，按法官的判决收回学费；反 之，如果我输了，那按我的规矩学生还是得付钱。
小说《唐· 吉诃德》里描写过一个残酷 的国王，在他所统治的国家有一条奇怪的 法律：每一个旅游者都要回答一个问题： “ 你来这里干什么？” 如果旅游者回答对 了，一切都好办；如果回答错了，旅游者 立刻会被绞死。 有一天，有个旅游者来到这个国家， 他答道：“我来这里是要被绞死。 ”这时， 卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，旅 游者就说错了，就得受绞刑。可是，如果 他们绞死旅游者，他就说对了，就不应该 绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那 里。国王苦苦想了好久，才说：“不管我 做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。 我们还是宽大为怀算了，让这个人自由 吧。”
数学上的三次危机与悖论
第一次危机是古希腊时代关于无理数的争论 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即“宇宙一彻现象都能归结 为整数或整数之比” 希伯索斯在研究边长为1的正方形时，发现对角线与边长是不可 通约的，即不能用整数之比表示这个数。 无理数的发现与” 可通约“的信条想矛盾公开化，人们将这个矛 盾称为毕达哥拉斯悖论，它引起了第一次数学危机。 它促使人们进一步认识无理数，扩大了数域，为实数理论的创建 和发展作了奠基工作。 希腊人开始重视几何学的演绎推理，一门新的学科欧氏几何学诞 生，欧几里得《几何原本》的出现，标志着第一次数学危机的结束， 从此，几何学公理化与数理逻辑成为数学界关注的问题。
悖论与解悖
“我现在说的这句话是谎话。” “本语句是假的” ---- 说谎者语句 L: L是假的 推导过程： L= L是假的 “L是假的”等于L “L是假的”是真的，当且仅 当，L是假的 L是假的, 当且仅当，L是真 的
（1）如果假设K为真，可推出K为假。
能否由假设K为假可推论出其为真呢？单从K 本身和伊壁门尼德是克里特人的经验事实， 尚无法做出。但若增加假定只有伊壁门尼德 一个人是克里特人并且K是他说过的一句话， 或者假定其他克里特人的确都是说谎者（对 克里特人所说的其他所有话成立），即可获 得
（2）如果假设K为假，可推出K为真 矛盾等价式：K真，当且仅当，K假
普罗泰戈拉悖论
普罗泰戈拉是古希腊晚期一位具 有雄辩能力的大哲学家。他在训 练和培养诉讼人才时，曾立下一 条规定：保证他的学生毕业后能 打赢每场官司。凡学生打赢的第 一场官司所得的诉讼费必须交给 他，算作学费；如果学生打不赢 官司，他就不收学费。 他的一个学生却不遵守这条规定。 他毕业后的第一场官司就是告老 师的这个规定，并到处声称： “不管输赢，我都不该交学费！ 我赢了官司，当然不交；输了官 司，是老师教学无方，按规定我 也不该交。” 普罗泰戈拉则饶有风趣地说： “不管输赢，你都要交。我赢了 官司，你当然该交；我输了，就 是我把你教成了，按原来合同规 定，你也该交。” 法官对这场官司一时竟无所适从。 悖论的矛盾等价式：学生应该Hale Waihona Puke 学费，当且仅当，学生不应该交 学费
悖论与解悖 The Paradox and Its Solution
悖论 解悖 物理学体系的自恰性 与完备性 自恰性:相容性,一致 性,无矛盾性 完备性:所有真理都 能包含,所有谬误都 可排除的特性
芝诺悖论 (Zeno’s Paradoxes)
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
资料仅供参考芝诺时间?芝诺悖论本身的逻辑并没有错它之所以与实际相差甚远在于芝诺与我们采取了不同的时间系统?人们习惯于将运动看做时间的连续函数而芝诺的解释则采取了离散的时间系统
阿基里斯追不上乌龟
一、芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛 中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面 追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须 到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已 经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里 斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已 经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样， 乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造 出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但时间的流 动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，加起来也 只是个常数而已——1秒。这就就是说：“芝诺悖论根本不存在。”
“芝诺时间”
阿基里斯追不上乌龟
一、芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛 中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面 追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须 到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已 经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里 斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已 经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样， 乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造 出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但时间的流 动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，加起来也 只是个常数而已——1秒。这就就是说：“芝诺悖论根本不存在。”
“芝诺时间”
第八讲悖论与数学基础问题ppt课件
改造的方案主要有二： 一、罗素的类型论； 二、策莫洛（E.Zermelo）的公理集合论。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
§3 策莫洛对悖论的解决方案
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
§1 悖论的定义和起源
悖论分为三种主要形式
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论） 。 3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论的类型
逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
§2 悖论举例和数学三次危机
第三次危机
在今天，人们恰当地把集合悖论的出现及其引起的 争论局面称之为数学的第三次危机。
背景：建立严格的分析理论是以实数理论为基础的，而建 立的实数理论又必须以集合论为基础，而集合论的诞生与 发展却又偏偏出现一系列的悖论，从而构成了更大的危机。
•康托悖论 ——其来源康托定理是集合论最早也是最重要的定理之一
•罗素悖论 ——在古典集合论里可划归为最基本逻辑概念的形式， 而且能用日常语言来表述其基本原则，如著名的 “理发师悖论”
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
§3 策莫洛对悖论的解决方案
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
§1 悖论的定义和起源
悖论分为三种主要形式
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论） 。 3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论的类型
逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
§2 悖论举例和数学三次危机
第三次危机
在今天，人们恰当地把集合悖论的出现及其引起的 争论局面称之为数学的第三次危机。
背景：建立严格的分析理论是以实数理论为基础的，而建 立的实数理论又必须以集合论为基础，而集合论的诞生与 发展却又偏偏出现一系列的悖论，从而构成了更大的危机。
•康托悖论 ——其来源康托定理是集合论最早也是最重要的定理之一
•罗素悖论 ——在古典集合论里可划归为最基本逻辑概念的形式， 而且能用日常语言来表述其基本原则，如著名的 “理发师悖论”
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
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内容：龟（乌龟）人（阿基里斯）赛跑，龟 在前，人在后，人不可能追上龟
理由：在竞赛中，追者先必须到达被追者的 出发点，当阿基里斯追到乌龟的出发点，乌 龟已经又向前爬了一点，于是，一个新的起 点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追 到乌龟的新起点时，乌龟又已经向前爬了一 小点。就这样，乌龟会制造出无穷个起点， 它总能在起点与自己之间制造出一个距离， 不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟6！
解释：事实上，阿基里斯追到新起点的 所用时间也越来越短。要判断阿基里斯 能不能追上乌龟，关键是看这无限段时 间之和是否有限。用数学极限思想很容 易得出这无限段时间之和的确是有限的 （具体内容即场演绎，实际上是等比数 列和的极限）。于是阿基米斯实事上是 可以追上乌龟的。这个悖论也是利用了 人的错觉。
7
相关链接——错觉引出的怪想象
3个房客，每人10元，凑齐了30元给房 东租房一晚。房东让服务生拿回5块钱 返现，服务生偷拿了2块钱，剩下的3 元返还给房客。房客实际上每人交了9 块钱，即总共是27块钱，再加上服务 生那2块钱，总共是29块钱，剩下的一 块钱去了哪里？
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总结 所谓悖论很多时候只是“理所 当然”的错觉。我们之所以会误 入圈套，是因为对事情认识得不 够深刻。这告诫我们要看清这个 世界，必须要有严谨科学的态度 和扎实的知识基础，还要有洞悉 世间一切伪像的决心与毅力。
1
2
内容：一支飞行的箭是静止的
理由：每一时刻这支箭都占据与其 大小相等的确定位置，因而是静止 的；所有静止状态加起来还是静止 的，于是飞行的箭是静止的
3
解释：我们判断物体是静是动是根据物 体位置变动，位置变动是速度在时间长 度上的累积（s=vt）。“瞬间”时间长 度t为零，于是位置移动s当然也为零， 这与速度v=0（静止）有本质上的区别。 人们受日常生活经验限制，错觉以为位 置不变动就一定是由v=0引起的。这个悖 论利用了人的错觉。
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内容：龟（乌龟）人（阿基里斯）赛跑，龟 在前，人在后，人不可能追上龟
理由：在竞赛中，追者先必须到达被追者的 出发点，当阿基里斯追到乌龟的出发点，乌 龟已经又向前爬了一点，于是，一个新的起 点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追 到乌龟的新起点时，乌龟又已经向前爬了一 小点。就这样，乌龟会制造出无穷个起点， 它总能在起点与自己之间制造出一个距离， 不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟6！
解释：事实上，阿基里斯追到新起点的 所用时间也越来越短。要判断阿基里斯 能不能追上乌龟，关键是看这无限段时 间之和是否有限。用数学极限思想很容 易得出这无限段时间之和的确是有限的 （具体内容即场演绎，实际上是等比数 列和的极限）。于是阿基米斯实事上是 可以追上乌龟的。这个悖论也是利用了 人的错觉。
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3个房客，每人10元，凑齐了30元给房 东租房一晚。房东让服务生拿回5块钱 返现，服务生偷拿了2块钱，剩下的3 元返还给房客。房客实际上每人交了9 块钱，即总共是27块钱，再加上服务 生那2块钱，总共是29块钱，剩下的一 块钱去了哪里？
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总结 所谓悖论很多时候只是“理所 当然”的错觉。我们之所以会误 入圈套，是因为对事情认识得不 够深刻。这告诫我们要看清这个 世界，必须要有严谨科学的态度 和扎实的知识基础，还要有洞悉 世间一切伪像的决心与毅力。
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内容：一支飞行的箭是静止的
理由：每一时刻这支箭都占据与其 大小相等的确定位置，因而是静止 的；所有静止状态加起来还是静止 的，于是飞行的箭是静止的
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解释：我们判断物体是静是动是根据物 体位置变动，位置变动是速度在时间长 度上的累积（s=vt）。“瞬间”时间长 度t为零，于是位置移动s当然也为零， 这与速度v=0（静止）有本质上的区别。 人们受日常生活经验限制，错觉以为位 置不变动就一定是由v=0引起的。这个悖 论利用了人的错觉。
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