2013-2018年上海高考试题汇编-函数
函数()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ）A.B. C. D. 0答案：B解析：()1f 是A 、C 、D 时，图像为如图中的12个点，不能构成函数的图像答案：(],2a ∈-∞（2014年文3）设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f = ．答案：3(2016年高考18)设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以T 为周期的函数，则、、均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）、①和②均为真命题 、①和②均为假命题、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题()f x ()g x ()h x R ()()f x g x +()()f x h x +()()g x h x +()f x ()g x ()h x ()()f x g x +()()f x h x +()()g x h x +()f x ()g x ()h x A B C D （2014年理4）设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =，则a 的取值范围为 ．答案：D（2014年文理20）设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(．（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数()1y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由． 解：（1）因为2424x x y +=-，所以()4121xy y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-． 因此，所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-，()(),11,x ∈-∞-+∞．（2）方法一：当0a =时，()1f x =，定义域为x R ∈，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x xx f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数；当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．方法二：若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-对任意x 均成立，∴2222x x x x a aa a--++=--，整理可得()220x x a --= ∵220x x --≠，∴0a =，此时()1,f x x R =∈，满足条件；若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--对任意x 均成立，∴2222x x x x a aa a--++=---，整理可得210a -=，1a =± ∵0a ≥，∴1a =，此时()21,021x x f x x +=≠-，满足条件；综上所述，当0a =时，函数为偶函数；当1a =时，函数为奇函数；当0a ≠且1a ≠时，函数为非奇非偶函数（2013年理12）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+一切0x ≥成立，则a 的取值范围为 ．答案：8,7⎛⎤-∞-⎥⎝⎦（2018年春20）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．答案．（1）121()log (01)xf x x x--=<<； （2）2112max y aa=++（0x =时取最值）；（3） 提示： 12211()=,(2(0,1])2212122332x x x x x a ag x t a a a a a t a t---=-==∈+⋅+⋅⋅++⋅++因为0a -<，所以当0,1xt ==时，分母取到最小值，从而分式值取到最小值，此时2210a t t a t =⇒=≥⇒<≤（2014文9）设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ___ ． 答案：(],2a ∈-∞（2014理18）设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） (A) [1,2]- (B) [1,0]- (C) [1,2] (D) [0,2]答案：D（2013理12）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+一切0x ≥成立，则a 的取值范围为 ．答案：8,7⎛⎤-∞-⎥⎝⎦题型：奇函数、不等式恒成立（2017秋21）、已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；（2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤； （1）若()31f x ax =+，求a 的范围；（2）若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ，且)(x g 最大值为M ,)()()(x f x g x h ⋅=，求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数； 证：（3）必要性若()hx 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在x ，使得()00f x =，进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z+=∈，而()g x 恒大于0，故()00h f x k T+=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得211k x N T x +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=，但是()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<，矛盾综上，()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立 ③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A∈，则必存在2N N ∈，使得020k gx N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦，()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h gx M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-，再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-， 第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-，再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步：任取0x A∈，则必存在3N N∈，使得003g kx T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+，再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+， 第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T +=+，再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；知识点6（2017年高考8）定义在),0(+∞上的函数)(x f y =的反函数为()1y f x -=，若⎩⎨⎧>≤-=0)(013)(x x f x x g x 为奇函数，则()12f x -=的解为_______ 答案：89（2015年理10）设()1f x -为()22+2x x f x -=，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_______ 答案：4题型：单调性与反函数（2013年理14）对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0x =______ 答案：2（2018秋4）设常数a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a = 参考答案：7a =（2018秋7）已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈---，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a = 参考答案：1a =-（2017秋9）给出四个函数：（1）x y -=；（2）xy 1-=；（3）3y x =；（4）21x y =；从四个函数中任选2个，事件A ：“所选2个函数的图像有且只有一个公共点”的概率为___ 答案：31（2014年理9文11）若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．答案：(0,1)（2018秋11）已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6(,)5P p 、1(,)5Q q -，若236p q pq +=，则a =参考答案：6a =（2015年理7）方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为________ 答案：2（2013年理6文8）方程1313313x x -+=-的实数解为__________． 答案：4log 3知识点10用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30030()180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟） 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式，讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.答案：（1）45100x <<；（2）()240,0301011358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩，()g x 在(]0,32.5x ∈时单调递减，在[)32.5,100x ∈时单调递增．实际意义为：当S 中32.5%的成员自驾时，该地上班族S 的人均通勤时间达到最小值36.875分钟． 关键点：2）中()()24510a x a x -+--=可以因式分解（2016理22）已知a R ∈，函数. （1）当5a =时，解不等式；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.答案：1）()1,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭2）(]{}1,23,4 ，3） 21()log ()f x a x=+()0f x >0a >1[,1]2t ∈()f x [,1]t t +2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(3)函数与导数
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（3）函数与导数一、选择题:18．（上海市八校2013届高三下学期联合调研理）受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响，某公司2012年一年内每天的利润()Q t (万元)与时间t (天)的关系如图所示，已知该公司2012年的每天平均利润为35万元，令()C t (万元)表示时间段[0,]t 内该公司的平均利润，用图像描述()C t 与t 之间的函数关系中较准确的是( )【答案】D18．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是A ．[1,1)- B. {}1,0- C. (,1][0,1)-∞- D. [1,0](1,)-+∞【答案】A16．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是 A ．22(13)y x x =-≤< B. 22(3)y x x =->C ．22(13)y x x =--≤< D. 22(3)y x x =--> 【答案】D16．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是（ ）A ．22(13)y x x =-≤<B ．22(3)y x x =->C ．22(13)y x x =--≤<D ．22(3)y x x =--> 【答案】D17．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+= 恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．{2}∪(4,)+∞B ．(2,)+∞C ．{2,4}D ．(4,)+∞④设定义在R 上的两个函数()f x 、()g x 都有最小值，且对任意的x ∈R ，命题“()0f x >或()0g x >”正确，则()f x 的最小值为正数或()g x 的最小值为正数．上述命题中错误的个数是 （ ） （A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4． 【答案】D18、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文理)定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得 ()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个； 【答案】A16、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文理)已知函数sin (0)y ax b a =+>的图像如左图所示，则函数log ()a y x b =+的图像可能是（ ）【答案】C 二、填空题:2．（上海市八校2013届高三下学期联合调研文理）函数0.5log y x =的定义域为 。
2013-2018年上海高考试题汇编-数列
数列（2018秋6）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = 答案：14（2018春5）已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．答案：1（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得100200300,,k k k x x x +++成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2013年文22）已知函数，无穷数列满足，．（1）若，求；（2）若，且成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由．解：（1）22a =，30a =，42a =．（2）21122a a a =-=-，321222a a a =-=--．① 当102a <≤时，()31122a a a =--=，所以()22112a a =-，得11a =．② 当12a >时，()311224a a a =--=-，所以()()211142a a a -=-，得12a =去）或12a =综合①②得11a =或12a =．（3）假设这样的等差数列存在，那么212a a =-，3122a a =--．由2132a a a =+得111222a a a -+-=（*）． 以下分情况讨论：()2f x x =-{}n a 1()n n a f a +=*n N ∈10a =234,,a a a 10a >123,,a a a 1a 1a① 当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾； ② 当102a <≤时，由（*）得11a =，从而1n a = ()1,2,n =，所以{}n a 是一个等差数列；③ 当10a ≤时，则公差()2111220da a a a =-=+-=>，因此存在2m ≥使得()1212m a a m =+->．此时120m m m m d a a a a +=-=--<，矛盾．综合①②③可知，当且仅当11a =时，123,,a a a 构成等差数列．（2013理23）给定常数，定义函数．数列123,,,a a a 满足，．（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．解：（1）232,10a a c ==+．（2）()8,33+8,8,x c f x x c x c ++⎧⎪=+⎨⎪---⎩,4,4.x c c x c x c ≥---≤<-<--当n a c ≥-时，18n n a a c c +-=+>； 当4n c a c --≤<-时，()12382438n n n a a a c c c c +-=++≥--++=；当4n a c <--时，()128248n nn a a a c c c c +-=---≥-----=．0c >()24f x x c x c=++-+1()n n a f a +=*n N ∈12a c =--2a 3a *n N ∈1n n a a c +-≥1a 1a所以，对任意n N *∈，1n n a a c +-≥．方法二： 要证：24x c x c x c ++-+-≥ 24x c x c x c ++≥+++当0x c +<时，等式右边为0，不等式显然成立 当0x c +≥时，等式化为()()242x c x c ++≥+显然 （3）由（2），结合0c >得1n n a a +>，即{}n a 为无穷递增数列．又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，nac ≥-，从而，1()8n n n a f a a c +==++．由于{}n a 为等差数列，因此其公差8d c =+．① 若14a c <--，则211()8a f a a c ==---，又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--，从而20a =． 当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20naa c ≥=>-，所以，1()8n n n a f a a c +==++，而218aa c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；② 若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118aa d a c =+=++，所以，113388a c a c ++=++，得1a c =-，舍去； ③ 若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求．综上，1a 的取值集合为[){},8c c -+∞--．（2015理17）记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 答案：B（2011理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,ii a a+的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）A {}n a 是等比数列B 1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列C 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列D 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同答案：D（2016文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|,}n A x x a n N ==∈，*{|,}n B x x b n N ==∈，若同时满足条件：① {}n a ，{}n b 均单调递增；② A B =∅且*AB N =，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列．（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若2n na =且{}n a 与{}nb 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列，且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式．【解】（1）因为4,4A B ∉∉，所以4A B ∉，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列．（2）因为416a =，所以416420b =+=．数列{}n b 的前16项的和为：2345120(1220)(2222)20(22)1802++++-+++=⨯--=． （3）设{}n a 的公差为,d d N *∈，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1d =或2． 若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24na n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．（2014年理23）已知数列满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++．若1133n n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． {}n a① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤． ② 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)(23)2,nd nd +≥-⎧⎨-≥-⎩1,2,,1n k =-．当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--．所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．（2014文23）已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n N a *+≤≤∈=．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >．因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m ≥．8m =时，1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a（3）设数列12100,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =．① 当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤．② 当0d =时，999821a a a a ====，符合条件．③当d <时，9998a aaa <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+， 又0d <，所以20199d -≤<．综上，12100,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．（2012文14）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ．答案：解：由，，得， 由，得，，，，，依次类推，得全体偶数项相等， 所以 （2017春21）已知函数()21log 1xf x x+=- （1）解方程()1f x =；（2）设()()1,1,1,,x a ∈-∈+∞ 证明：()11,1ax a x -∈--，且()11ax f f x f a x a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；1()1f x x=+{}n a 11a =2()n n a f a +=20102012a a =2011a a +265133+11a =2()n n a f a +=312a =579112358,,,35813a a a a ====2()n n a f a +=211n n a a +=-20102012a a =2010201220101111a a a =-=-201012a -=20082010201011a a a =-=22010a a =2011813a a +==（3）在数列{}n x 中，()11,1x ∈-，()113113n n n nx x x ++-=--，n N *∈，求1x 的取值范围，使得3n x x ≥对任意n N *∈成立答案：（1）13x =； （3）11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2016理11）无穷数列{}na由k个不同的数组成，nS为{}n a的前n项和.若对任意*∈Nn，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为______________.答案：4（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2015理22文23）已知数列{a n }与{b n }满足a n +1﹣a n =2（b n +1﹣b n ），n ∈N *． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }的第0n 项是最大项，即0n n a a ≥（n ∈N *），求证：数列{b n }的第0n 项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn（n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且()2,2Mm∈-． 答案：（1）65n - ；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭（2016年理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明：必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g xx =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2013理1）计算：20lim 313n n n →∞+=+ ．答案：13（2018秋10）设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n N ∈），前n 项和为n S ，若11lim2n n n S a →∞+=，则q =答案：3（2017年春 8）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，则12lim nn na a a a →∞+++=______答案：32（2015理18文18）设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 解：当时，直线趋近于，与圆在第一象限的交点无限靠近，而可看成点与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为，∴ （2013文18）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）A ． 0B ．14C ． 2D ． (),n n n P x y ()2N 1nx y n n *-=∈+222x y +=1lim1n n n y x →∞-=-1-12-12n →∞21n x y n -=+21x y -=221x y +=()1,111n n y x --(),n n n P x y ()1,1222x y +=()1,11-1lim11n n n y x →∞-=--答案：D（2016理17）已知无穷等比数列}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S Snn =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a答案：B思考：1,a q 需要满足____________答案：110,0,22a q ⎛⎫⎛⎫<∈- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2014理8文10）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134l i m nn a a a a →∞=+++，则q =___知识点13：数列与函数的性质结合（2009文13）已知函数．项数为27的等差数列满足,且公差． 若，则当= ．时,．答案：14 （2015理13）已知函数()sin f x x =．若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N *--+-++-=≥∈，则m的最小值为 ． 答案：8（2012文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100 答案；Cx x tan sin +{}n a ⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a 0≠d 0)()()(2721=+⋯++a f a f a f k0)(=k a f 2sin sin...sin 777n n S πππ=+++n N *∈12100,,...,S S S（2012理18）设，，在中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100 答案：D（2013理17）在数列{}n a 中，21n na =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,,7i =；1,2,,12j =），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）A ．18B ． 28C ． 48D ． 63 答案：A（2018秋21）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”. （1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋅⋅⋅，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.解析：（1）1112n n nb a -=-≤，所以{}n b 与{}n a “接近”； （2）[]10,2b ∈，[]21,3b ∈，[]33,5b ∈，[]47,9b ∈，{}|,1,2,3,4i M x x b i ===元素个数34m =或；（3）2d =-时，10,1,2,,200k k b b k +-≤=，即21b b -，32b b -，…，201200b b -中没有正数；当2d >-时，存在12201,,,b b b 使得210b b ->，320b b -<，430b b ->，540b b -<…，2001990b b ->，2012000b b -<，即有100个正数，故2d >-． （2018春21）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得25sin 1πn n a n =n n a a a S +++= 2110021,,,S S S10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4nc n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n nd c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由； （3）设1n nc aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a q 、的取值范围．答案：（2）不是，反例：4n =时，m 无解；（3）02a q >⎧⎨≥⎩（2017秋19）共享单车问题：每月供应量⎩⎨⎧+∞∈+-∈+=),4[47010]3,1[1554n n n n a n ，*N n ∈，每月损失量()*5N n n b n∈+=，保有量Q 为na的累计量减去n b 的累计和；（1）求第4月的保有量；（2）2(46)8800n S n =--+，记n S 为自行车停放点容纳车辆，当Q 取最大值时，停放点是否能容纳？。
2013-2018年上海高考试题汇编-集合、命题、不等式
集合、命题和不等式考试大纲高考分析（1）单纯的集合交并补运算一般在填空题的前两个位置，但是集合是后面叙述函数，数列、解析几何、立体几何和排列组合的语言，所以要深刻理解集合的元素的性质，（2）逆否命题涉及到反证法，正难则反的逆向思维方法，在后面章节，尤其是计数原理、概率计算部分应用很（3）充分条件与必要条件一般在不等式、复数、数列等知识背景下的考察，需能区分充分条件与必要条件，能转化为推出关系，一般都在选择题中考一个，（4）在与数列，解析几何、立体几何等其他问题结合时要注意不等式有解，恒成立问题的识别，比如2017春18考了不等式恒成立问题，2014年理23题就是数列与不等式恒成立近五年上海高考真题汇编一、填空题（2018春1）不等式1x >的解集为__________． 答案：(,1)(1,)-∞-+∞（2018春3）设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．答案：(0,1)（2017秋1）已知集合}4,3,2,1{=A ，集合}5,4,3{=B ，则___=B A 答案：{}3,4（2017秋3）不等式11>-xx 的解集为_______ 答案：(),0-∞（2017秋12）如图，用35个单位正方形拼成个矩形，点4321,,,P P P P 以及四个标记为“∆”的点在正方形的顶点处，设集合{}4321,,,P P P P =Ω，点Ω∈P ，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“∆”的点分布在P l 的两侧；用)(1P l D 和)(2P l D 分别表示P l 一侧和另一侧的“∆”的点到P l 的距离之和；若过P 的直线P l 中有且只有一条满足)()(21P P l D l D =，则Ω中所有这样的P 为_____答案：134,,p p p 解析：K 到直线与L 到直线的距离之差等于C 到直线的距离的2倍K 到直线l 的距离等于C 到直线l 的距离的2倍 证：过2P 的任意一条直线l 都满足条件四边形ABCD 为平行四边形，2P 是,AC BD 的交点，过2P 的任意一条直线l ，由5528,P P 到直线l 的距离之和等于D 到直线l 的距离的两倍；同理1241,P P 到直线l 的距离之和等于B 到直线l 的距离的两倍；而由于2P 为BD 的中点，故B D 、到直线l 的距离相等（2017春1）设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则A B =________ 答案：{}1,2,3,4（2017春2）不等式13x -<的解集为_____ 答案：()2,4-（2016理文1）设x R ∈，则不等式31x -<的解集为_______答案：()2,4（2015理1文2）设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤<，则U AB =ð____ 答案：{}1,3,4(2013理12)设a为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________ 解析：由()y f x =是定义在R 上的奇函数知(0)0f =，01a ≥+，1a ≤-（1-1）当0x >时，()()()229797a a f x f x x x x x ⎡⎤=--=--++=+-⎢⎥-⎣⎦，2971a x a x +-≥+，2239a a x x -⨯≥+，82371,7a a a -⨯-≥+≤-（1-2） 结合（1-1）和（1-2），得88,,77a a ⎛⎤≤-∈-∞-⎥⎝⎦二、选择题（2018秋14）已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ）． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【解析】（A ）（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得k k k x x x +++300200100,,成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2017秋16）已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OQ OP ⋅=ω，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个 （ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D（2017春14）设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要 D 、既非充分有非必要 答案：C（2016理15）设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：A（2015理15）设12,z z C ∈，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：B（2014理15）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ） (A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.答案：B（2013理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =，则的取值范围为（ ）答案：B（2013文15理15）设常数a R ∈，集合()(){}{}10,1A x x x a B x x a =--≥=≥-，若a .A (,2)-∞.B (,2]-∞.C (2,)+∞.D [2,)+∞A B R =，则a 的取值范围为（ ）． A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞答案：B（2013理16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）．.A 充分条件 .B 必要条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件答案：B 三、解答题（2017秋21）已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；（2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤； （1）若1)(3+=ax x f ，求a 的范围；（2）若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ，且)(x g 最大值为M ,)()()(x f x g x h ⋅=，求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数； 证：（3）必要性若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在0x ，使得()00f x =，进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z +=∈，而()g x 恒大于0，故()00h f x k T+=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得21k x N Tx +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=，但是 ()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<，矛盾综上，()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020k g x N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦，()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h g x M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-， 再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步：任取0x A ∈，则必存在3N N ∈，使得003g k x T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+， 再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T +=+， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；（2016理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明： 必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g x x =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2017春18）设a R ∈，函数()221x x a f x +=+，（1）求a 的值，使得()f x 是奇函数； （2）若()22a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围. 参考答案：（1）由()f x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，可得()00f =，即102a+=，解得1a =-， 此时()2121x x f x -=+，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，即1a =-时，()f x 是奇函数；（2）()22a f x +<对任意x R ∈成立，即为22221x x a a ++<+对任意x R ∈成立， 等价于1221x a a-<+对任意x R ∈成立，（2014年理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1)若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2)设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3)若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.答案：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． ① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤． ② 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)(23)2,n d n d +≥-⎧⎨-≥-⎩ 1,2,,1n k =-． 当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--． 所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．。
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近五年上海高考真题——解析几何（2018春12）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）答案：4.4关键点：引入时刻t ，表示点,P Q ，直线PQ ，列出（不等式）圆心到直线PQ 的距离小于等于半径，解不等式可得提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则40(0,1.5),(20,20),03P t Q t t -≤≤ 则0 1.5:20020 1.5PQ x y tl t t--=---，化简得(8)8120t x y t --+= 点(10,10)O 到直线PQ1≤，化简得23161280t t +-≤t ≤≤0 4.4t t ≤≤⇒∆=≈P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．答案：22143x y +=知识点：（2018秋20）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：28y x =()0,0x t y ≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）2BF t =+；（2）73AQP S =△；（3）245,5P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 关键点：FQ FP PM =+u u u r u u u r u u u u r知识点：中点弦（2018春18）已知a R ∈，双曲线22:1x y Γ-=．直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．答案．51-． 关键点：1212x x +=，因此用设而不求，韦达定理 知识点：和立体几何相关19．（7分+7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3答案．（1）14；（2）9.59︒．知识点：双曲线2017秋-6、设双曲线)0(19222>=-b b y x 的焦点为P F F ,,21为该双曲线上的一点，若5||1=PF ，则_____||2=PF答案：11关键点：双曲线的定义，发散：若16PF =，则2______PF = 关键点：216PF PF =± 知识点：参数方程(2017秋16)已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D 关键点：法一：椭圆的参数方程()1212126cos cos 2sin 3sin 6cos θθθθθθ+=-法二：柯西不等式121211226623x x y y x y y x +=+≤从本题也可看出，柯西不等式和两角差的余弦定理，参数方程之间的联系知识点：和向量相关秋-20、在平面直角坐标系中，已知椭圆1422=+Γy x ：，A 是其上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 是x 轴正半轴上的一点； （1）若点P 在第一象限，且2||=OP ，求点P 的坐标；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛5358，P ，且APM ∆为直角三角形，求M 的横坐标； （3）若MA MP =，4PQ PM =u u u r u u u u r ，直线AQ 交椭圆Γ于另一点C ，2AQ AC =u u u r u u u r,求直线AC 的方程；答案、（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛36,332P ; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2029M 或⎪⎭⎫ ⎝⎛0,53M 或)0,1(M ； （3）设点()00,P x y 线段AP 的中垂线与x 轴的交点03,08M x ⎛⎫⎪⎝⎭，因为4PQ PM =u u u r u u u u r ，所以003,32Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为2AQ AC =u u u r u u u r ，所以00133,42y C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入并联立椭圆方程，解得001,99x y ==-，所以13Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AQ的方程为110y x =+ 关键点：（2）直角=向量数量积为0；（3）设出点P 的坐标，根据题意，依次表示点M Q C 、、，点,P C 在椭圆上，建立方程组，可求出点,P C 的坐标春-10、设椭圆2212x y +=的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，则使得12F F P ∆是等腰三角形的点P 的个数是______答案：6关键点：半弦长的值域是[],a c a c -+春-20、已知双曲线()222:10,y x b bΓ-=> 直线():0l y kx m km =+≠，l 与Γ交于P Q 、 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点()0,N n（1）若点()2,0是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若1b =，点P 的坐标为()1,0-，且32NP P Q ''=u u u u r u u u u r，求k 的值；（3）若2m =，求n 关于b 的表达式答案：（1）y = （2）12k =± （3）22b n =-知识点：应用题（2016秋-20）（6+8分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
(2021年整理)2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)
2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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2018年一模汇编—-函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】 设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= 。
【答案】2-。
【解析】()11144f --==，()()1124f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭。
【点评】考察函数的概念。
【例2】函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【答案】()1a ,∈-∞-. 【解析】①当0a ≥时,112a a ->，2a <-（舍）；② 当0a <时,1a a>，1a >（舍）或1a <-；综上,所以()1a ,∈-∞-.【点评】考察分段函数的概念.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2x f x x x -=+，则(1)g(1)f += .【答案】12-。
【解析】()()()2x f x g x x ----=+-，根据奇偶性可得,()()2x f x g x x -+=-,所以()()1111212f g -+=-=-.【点评】考察函数的奇偶性，利用奇偶性求解析式。
(完整word版)2013-2018年上海高考试题汇编-数列.docx
（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列
{cn}是公比为正数的等比数列，
b1c51，
b5
c181，anbn
cn判断{an}是否具有性质
P，并说明理由；
（3）设{bn}是无穷数列，已知an
1bn
sinan(n
N*).求证：“对任意a1,{an}都具有性
质P”的充要条件为“
{bn}是常数列”.
,L均是等比数列
,L均是等比数列，且公比相同
知识点6：等差数列与等比数列综合
（2016文22） 对 于 无 穷 数 列{an}与{bn}， 记A { x| xan,nN*}，
B{ x| xbn,nN*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A I B且
A U BN*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．
答案：（1）a316；（2）由于a1
a5，但a2a6，故an不具有性质P；
（3）证明：必要性： 若对于任意
a1，an
都具有性质P，则a2b1
sin a1，设函数
f x
x b1, g x
sin x,由f
x , g
x
图像可得， 对于 任意的b1，二者图像必有一个
交点，所以一定能 找到
a1，使得a1
b1
sin a1，所以a2b1sin a1a1，所以anan 1，
3
3
n
1, 2, L ,99
．
①当d
0
时，a99
a98
L
a2
a1
，所以0
d
2 a1，即
0
d
2
．
②当d
0
时，a99
a98
2013年上海高考数学理科试卷(带详解)
为 (ai a j ak ) ( dr ds dt ) 的最小值、最大值，其中
{ i , j , k} {1,2,3, 4,5} ,{ r, s,t} {1,2,3, 4,5} ,则 m, M 满足
平行于平面 D1AC ，并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离 .
第 19 题图
【测量目标】直线与平面平行的判定，锥的体积
.
【考查方式】给出长方体及若干条件，根据直线与平面平行的判定定理以及三棱锥的体积公
式求出答案 .
【难易程度】容易
【试题解析】因为 ABCD A1B1C1D1 为长方体， AB C1D1 , AB C1D1 ，
【测量目标】奇函数的性质 . 【考查方式】给出了在某段定义域内的函数解析式，利用奇函数的性质求出 【难易程度】中等
8 【参考答案】 a ,
7 【试题解析】 f (0) 0，故 0 厔a 1 a 1 （步骤 1）；当 x 0 时
a 的范围 .
a2
f (x) 9x
7 …a 1（步骤 2）
x
即 6 | a |… a 8 ，又 a , 1，故 a ,
f (x) [0,1) ，而 y f (x) 的定义域为 [0,3] （步骤 2），故当 x [2,3] 时， f (x) 的取值应在
( ,0) [1,2] (4, ) ，故若 f ( x0 ) x0 ，只有 x0 2．（步骤 3）
二、选择题
15．设常数 a R ，集合 A { x | ( x 1)( x a) 厖0}, B { x | x a 1} ，若 A B R ，则 a
2013-2018年上海高考试题汇编-集合、命题、不等式(带参考答案)
集合、命题和不等式考试大纲高考分析（1）单纯的集合交并补运算一般在填空题的前两个位置，但是集合是后面叙述函数，数列、解析几何、立体几何和排列组合的语言，所以要深刻理解集合的元素的性质，（2）逆否命题涉及到反证法，正难则反的逆向思维方法，在后面章节，尤其是计数原理、概率计算部分应用很（3）充分条件与必要条件一般在不等式、复数、数列等知识背景下的考察，需能区分充分条件与必要条件，能转化为推出关系，一般都在选择题中考一个，（4）在与数列，解析几何、立体几何等其他问题结合时要注意不等式有解，恒成立问题的识别，比如2017春18考了不等式恒成立问题，2014年理23题就是数列与不等式恒成立近五年上海高考真题汇编一、填空题（2018春1）不等式1x >的解集为__________． 答案：(,1)(1,)-∞-+∞（2018春3）设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．答案：(0,1)（2017秋1）已知集合}4,3,2,1{=A ，集合}5,4,3{=B ，则___=B A 答案：{}3,4（2017秋3）不等式11>-xx 的解集为_______ 答案：(),0-∞（2017秋12）如图，用35个单位正方形拼成个矩形，点4321,,,P P P P 以及四个标记为“∆”的点在正方形的顶点处，设集合{}4321,,,P P P P =Ω，点Ω∈P ，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“∆”的点分布在P l 的两侧；用)(1P l D 和)(2P l D 分别表示P l 一侧和另一侧的“∆”的点到P l 的距离之和；若过P 的直线P l 中有且只有一条满足)()(21P P l D l D =，则Ω中所有这样的P 为_____答案：134,,p p p 解析：证：过2P 的任意一条直线l 都满足条件四边形ABCD 为平行四边形，2P 是,AC BD 的交点，过2P 的任意一条直线l ，由5528,P P 到直线l 的距离之和等于D 到直线l 的距离的两倍；同理1241,P P 到直线l 的距离之和等于B 到直线l 的距离的两倍；而由于2P 为BD 的中点，故B D 、到直线l 的距离相等K 到直线l 的距离等于C到直线l 的距离的2倍K 到直线与L 到直线的距离之差等于C 到直线的距离的2倍（2017春1）设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则A B =________ 答案：{}1,2,3,4（2017春2）不等式13x -<的解集为_____ 答案：()2,4-（2016理文1）设x R ∈，则不等式31x -<的解集为_______答案：()2,4（2015理1文2）设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤<，则UAB =____ 答案：{}1,3,4(2013理12)设a为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________解析：由()y f x =是定义在R 上的奇函数知(0)0f =，01a ≥+，1a ≤-（1-1）当0x >时，()()()229797a a f x f x x x x x ⎡⎤=--=--++=+-⎢⎥-⎣⎦，2971a x a x +-≥+，2239a a x x -⨯≥+，82371,7a a a -⨯-≥+≤-（1-2） 结合（1-1）和（1-2），得88,,77a a ⎛⎤≤-∈-∞-⎥⎝⎦二、选择题（2018秋14）已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ）． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【解析】（A ）（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得k k k x x x +++300200100,,成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2017秋16）已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OQ OP ⋅=ω，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个 （ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D（2017春14）设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要 D 、既非充分有非必要 答案：C（2016理15）设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：A（2015理15）设12,z z C ∈，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：B（2014理15）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ） (A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.答案：B（2013理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =，则的取值范围为（ ）答案：B（2013文15理15）设常数a R ∈，集合()(){}{}10,1A x x x a B x x a =--≥=≥-，若a .A (,2)-∞.B (,2]-∞.C (2,)+∞.D [2,)+∞A B R =，则a 的取值范围为（ ）． A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞答案：B（2013理16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）．.A 充分条件 .B 必要条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件答案：B 三、解答题（2017秋21）已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；（2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤； （1）若1)(3+=ax x f ，求a 的范围；（2）若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ，且)(x g 最大值为M ,)()()(x f x g x h ⋅=，求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数； 证：（3）必要性若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在0x ，使得()00f x =，进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z +=∈，而()g x 恒大于0，故()00h f x kT +=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得211k x N T x +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=，但是()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<，矛盾综上，()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020k g x N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦，()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h g x M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-， 再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步：任取0x A ∈，则必存在3N N ∈，使得003g k x T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+， 再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T +=+， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；（2016理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明： 必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g x x =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2017春18）设a R ∈，函数()221x x a f x +=+，（1）求a 的值，使得()f x 是奇函数； （2）若()22a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围. 参考答案：（1）由()f x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，可得()00f =，即102a+=，解得1a =-， 此时()2121x x f x -=+，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，即1a =-时，()f x 是奇函数；（2）()22a f x +<对任意x R ∈成立，即为22221x x a a ++<+对任意x R ∈成立， 等价于1221x a a-<+对任意x R ∈成立，（2014年理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1)若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2)设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3)若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.答案：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． ① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤．① 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，国产考试小能手 得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)2,(23)2,n d n d +≥-⎧⎨-≥-⎩ 1,2,,1n k =-． 当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--． 所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．。
(完整版)-2018年上海高考试题汇编-函数
函数知识点1：函数的概念与函数三要素（2018秋16）设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数,若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ) A. 3 B. 32C. 33D. 0答案:B解析：()1f 是A 、C 、D 时，图像为如图中的12个点，不能构成函数的图像答案:(],2a ∈-∞（2014年文3）设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =,则(1)f = ． 答案：3知识点2函数的单调性（2016年高考18）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ )A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题,②为真命题答案：D（2014年理4）设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =，则a 的取值范围为 ．(2014年文理20）设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(．(1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数()1y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．解：（1）因为2424x x y +=-,所以()4121xy y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-． 因此,所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-,()(),11,x ∈-∞-+∞．（2)方法一：当0a =时，()1f x =，定义域为x R ∈，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x xx f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数;当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．方法二:若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-对任意x 均成立,∴2222x x x x a aa a--++=--，整理可得()220x x a --= ∵220x x --≠，∴0a =，此时()1,f x x R =∈,满足条件； 若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--对任意x 均成立,∴2222x x x x a aa a--++=---，整理可得210a -=,1a =± ∵0a ≥,∴1a =,此时()21,021x x f x x +=≠-，满足条件;综上所述，当0a =时，函数为偶函数；当1a =时，函数为奇函数；当0a ≠且1a ≠时，函数为非奇非偶函数（2013年理12）设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+一切0x ≥成立，则a 的取值范围为 ．答案：8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(2018年春20）设0a >,函数1()12xf x a =+⋅．（1)若1a =，求()f x 的反函数1()f x -;（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示)；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞,)(()0g x g ≥恒成立,求a 的取值范围． 答案．（1）121()log (01)xf x x x--=<<； （2）2112max y a a=++（0x =时取最值)；（3） 提示： 12211()=,(2(0,1])2212122332xx x x x a a g x t a a a a a t a t---=-==∈+⋅+⋅⋅++⋅++因为0a -<,所以当0,1xt ==时，分母取到最小值，从而分式值取到最小值，此时2210a t t a t =⇒=≥⇒<≤(2014文9)设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ___ ． 答案:(],2a ∈-∞（2014理18）设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ） (A ） [1,2]- （B) [1,0]- (C) [1,2] (D) [0,2]答案：D（2013理12）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 ．答案：8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦题型:奇函数、不等式恒成立（2017秋21）、已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；(2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤; （1）若()31f x ax =+，求a 的范围;（2)若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ,且)(x g 最大值为M ，)()()(x f x g x h ⋅=,求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数； 证：(3)必要性若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在0x ，使得()00f x =,进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z +=∈,而()g x 恒大于0，故()00h f x kT +=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得211k x N T x +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=,但是()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<,矛盾综上,()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020k g x N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦,()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h g x M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-， 再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-, 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性,可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步:任取0x A ∈，则必存在3N N ∈,使得003g k x T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+， 再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+,第二步:用0g x T -代替第一步中的0x ,同理可得()()002g g f x T f x T +=+， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去,可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；知识点6（2017年高考8）定义在),0(+∞上的函数)(x f y =的反函数为()1y f x -=，若⎩⎨⎧>≤-=0)(013)(x x f x x g x 为奇函数,则()12f x -=的解为_______答案：89题型：单调性与反函数（2013年理14）对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==,若方程()0f x x -=有解0x ，则0x =______答案：2(2018秋4）设常数a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a = 参考答案：7a =(2018秋7）已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈---，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =参考答案：1a =-(2017秋9）给出四个函数：（1）x y -=;（2）xy 1-=；（3）3y x =；（4)21x y =；从四个函数中任选2个,事件A ：“所选2个函数的图像有且只有一个公共点”的概率为___（2015年理10）设()1f x -为()22+2x xf x -=，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_______ 答案：4答案：31(2014年理9文11）若2132()f x x x -=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．答案：(0,1)（2018秋11）已知常数0a >,函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6(,)5P p 、1(,)5Q q -，若236p q pq +=，则a =参考答案:6a =（2015年理7)方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为________ 答案：2（2013年理6文8）方程1313313x x-+=-的实数解为__________． 答案：4log 3知识点10(2018秋19）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30030()180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟） 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式，讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a .考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1-B ．0C ．12D ．16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．538．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a .10．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．12．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案 考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f < D ．(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2==f f ， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．【答案】1【答案分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：14．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B.2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =- B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112⎛-= ⎝⎭，而22491670-=+=>，41102⎛-=> ⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知g g <，4112⎛-= ⎝⎭，而22481682)0-=+-=-=-<，112<-，所以(2g g >，综上，(2g g g <<， 又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>. 故选：A.4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选：D5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x -==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质，属于基础题．考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ，设()22e 1x xf x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ， 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =， 故答案为：0.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++， 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=， 则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =. 故选：D.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1- B ．0C ．12D ．1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =， 当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-， 故此时()f x 为偶函数. 故选：B.6．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 【答案】 12-； ln 2．【答案分析】根据奇函数的定义即可求出． 【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意． 故答案为：12-；ln 2．7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x ¢>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =， 故答案为：110．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点评】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【答案分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=， 由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【名师点评】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项，先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行答案分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增， (0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减， ,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=， 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【名师点评】结论名师点评：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]： 因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本答案分析判断能力，属中档题.。