人带着猫、鸡、米过河问题

摘要：
本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

问题的重述：
人带着猫、鸡、米过河，船触需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

模型假设
不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。

符号说明
i=1人
i=2猫
i=3鸡
i=4米
Xi=1在此岸
在对岸
xi=0
S=(x1,x2,x3,x4)此岸状态
S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4)对岸状态
d=(u1,u2,u3,u4)乘船方案
ui=1i在船上时
ui=0i不在船上
Sk第k次渡河前此岸的状态
dk第k次渡河的决策
问题分析
安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。

每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。

否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。

因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s表示某一岸的状况，决策变量d表示是乘车方案，我们容易得到s和d的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。

模型建立与求解
Ⅰ. 模型的建立：
人、猫、鸡、米分别记为i=(1,2,3,4)，当i 在此岸时记xi=1，否则记xi=0，
则此岸的状态可用S=(x1,x2,x3,x4)表示。

记s 的反状态为S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4，允许状态集合为
S={(1,1,1,1,)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)}
（1）
以及他们的5个反状态。

决策为乘船方案，记作d=(u1,u2,u3,u4)，当i 在船上时记ui=1，否则记ui=0，允
许决策集合为
D={(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)} （2）
记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为
(3)
设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转
移律由初始状态s1=(1,1,1,1,)经n 步达到sn+1=(0,0,0,0)。

Ⅱ. 模型的求解：
从而我们得到一个可行的方案如下：
因此，该问题的最优方案是：1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过
河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。

模型评价与推广
（Ⅰ）优点：
1、模型简单，切合实际，易于理解；
2、建立了合理、科学的状态转移的模型。

3、结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性；
（Ⅱ）缺点：
由于问题的求解没有使用LINGO 或MATLAB 软件，当状态和决策过多
时，采用上述方法求解显得繁琐，容易出错。

（Ⅲ）推广：
正如课本上的商人们安全过河问题，当商人和随从人数增加或小船的容量加
大时，靠逻辑思考就有些困难了，而适当地设置状态和决策，确定状态转移率，建立多步决策模型，仍可方便有效地求解此类型问题。

参考文献：
【1】 杨启帆，边馥萍. 数学建模. 浙江大学出版社，1990
【2】 姜启源，谢金星，叶俊. 数学建模. 第三版.北京：高等教育出版社，2003。