高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换

高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 例1 设 abcd 为平行四边形，过顶点 a 作直线
ae 与对角线 bd 平行．证明：直线 ab、ad
与直线 ac、ae 成调和共轭．
证明：因 ae 与 bd 平行，故 a
设二者交点为无穷远点 p．
o
p e
d
记(ac)(bd) o．则
的线性变换：
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
(3.1)
证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列．
在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依
Hale Waihona Puke 次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
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§1 一维射影变换
➢ 同类一维基本形间的透视：
若两个点列是同一线束的 若两个线束是同一点列的
截影，则称这两个点列是 投影，则称这两个线束是
透视的．
透视的．
线束的心称为透视中心． 点列的底称为透视轴．
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
11 0 0 11
/1 /2
1 0
/1 /2
0 1
1 1
u1 u2
t1 t2
v1 v2
1 2
u1 u2
1 2
v1 v2
t1 t2
x vI x/ v/ II
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§1 一维射影变换
令
u1 u2
t1 t2
v1 v2
t1 t2
，则
/1 /2
v21 u21
v12， u12
从而
u21 u12 /2
v21 v12 /1
透视点列的等价定义是它 透视线束的等价定义是它
们的对应点连线共点． 们的对应直线交点共
x
线．x/
x
d/
a/ b/
c/
/
a bc d
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/ / / /
§1 一维射影变换 ➢记号：用“ ”表示透视．
如前面三图中的透视分别记为：
{, , , } {a, b, c, }，
，
若记 a11 v2，a12 v1，a21 u2，a22 u1，
则得所求射影变换式为
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
反之，也可证明(3.1)必为射影对应．
➢ 在 (3.1) 中令 1/2，/ /1//2，a a21，b
a11，c a22，d a12，则可得
➢ 解法一：(非齐次坐标法) 设对应式为 a/ b
c/ d = 0，则
由 0 1 得
c d 0，
由10得
b d 0，
由 2 2 得
4a 2b 2c d 0．
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§1 一维射影变换
由以上三式联立求解，得
a: b: c: d 3 : 4 : 4: 4，
这表明在边 ab上，a、b与 u、z 成调和共轭．
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§1 一维射影变换
➢2. 一维基本形之间的射影对应
➢ 一维基本形 I 与 II 之间的一一对应 T: III，若保 持交比不变，则称为射影对应．
➢ 关于射影对应的表达式，有 ➢ 定理3 两个一维基本形之间的射影对应是非退化
只需证二点列情形．
a bc d
若{a, b, c, d, } x {a/, b/, c/, d/, }，则
{a, b, c, d, } x{a, b, c, d, } {a/, b/, c/, d/, }， 故 (ab; cd) (xa, xb; xc, xd) (a/b/; c/d/)． ➢ 注意：{xa, xb, xc, }可简写为 x{a, b, c, }．
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0．
➢ 解法二：(齐次坐标法) 设对应式为
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
由 (0, 1) (1, 1) 得
1 1
a12 a22，
由 (1, 1) (0, 1) 得
0
2
a11 a21
a12 a22，
由 (2, 1) ( 2, 1) 得
{ a, b, c, } x {a/, b/, c/, }，
{, , , } { /, /, /, }，
写在记号“ ”上方的文字表示透视中心或透视 轴．
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§1 一维射影变换 x
➢ 定理2 透视保持交比不变．
d/
a/ b/
c/
/
证明：由定理1及对偶原理，
23 2a11 a12
3 2a21 a22．
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§1 一维射影变换
将以上三组方程中的第一个联立，可解得
➢ 例2 求证：完全四点形的一边
x
上的二顶点，两条对角线与此
边的二交点，四点成调和共
d
轭．(可作结论使用)
m
证明：如图，由完全四点形的
对角线上的调和共轭性质， a
有 (yz; mn) 1．
c yn ub z
又以点 x 为中心，有 {u, z, a, b} {y, z, m, n}， 故(uz; ab) (yz; mn) 1．
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§1 一维射影变换
➢ 推论1 采用非齐次坐标，两个一维基本形之间的
射影对应式为
a/ b c/ d 0，ad bc 0．
➢ 推论2 三对对应元素决定两个一维基本形之间的
射影对应．
➢ 例3 求射影对应，使直线 上坐标为0、1、2的
三点依次对应于 /上坐标为 1、0、2的三点．
b
c
a{b, d, c, e} {b, d, o, p}， 故 (ab, ad; ac, ae) (bd; op)．
因平行四边形对角线互相平分，故 (bd; op) 1． 所以 (ab, ad; ac, ae) 1．
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§1 一维射影变换