高三数学 简单的三角恒等变换复习课件 新人教A版

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[解] (1)由已知条件及三角函数的定义，可知 cosα＝
102，cosβ＝2
5
5 .
因为 α 为锐角，故 sinα>0，
A．{x|2kπ＋3π≤x≤2kπ＋π，k∈Z} B．{x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z} C．{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋56π，k∈Z} D．{x|kπ＋6π≤x≤kπ＋56π，k∈Z}
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解析：f(x)＝ 3sinx－cosx＝2sin(x－6π)≥1， ∴sin(x－6π)≥12， ∴2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋56π(k∈Z)， ∴2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，(k∈Z)．
三角函数的给值求值、给值求角问题
[例 2] 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，以
Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别交单位圆
于
A，B
两点．已知
A，B
两点的横坐标分别是
102，2 5
5 .
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(1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 α＋2β 的值．
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[思路点拨] 本题是三角函数的求值问题，对第(1)问， 先利用条件，结合三角函数的定义可以求得 cosα，cosβ，进 而求出 sinα，sinβ，再求得 tanα，tanβ，最后由和角公式计 算出 tan(α＋β)的值；对第(2)问，先由第(1)问，利用角变换 求得 tan(α＋2β)的值，再由角的范围确定角 α＋2β 的大小．
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知识梳理
1．用 cosα 表示 sin2α2，cos2α2，tan2α2 sin2α2＝1－2cosα，cos2α2＝1＋2cosα，tan2α2＝11－ ＋ccoossαα .
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2．用
sinα，cosα
表示
α tan2
tanα2＝1＋sincoαsα＝1－sincoαsα.
3．辅助角公式
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[解析] coss2i1n5151°0－°ssinin2201°55°＝sinc7o0s°3s1in02°0° 1
＝cosc2o0s°5s0in°20°＝2ssiinn4400°°＝12， 故选 B.
[答案] B
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[规律总结] 给角求值问题的基本特点是式子中含有已 知角，但均为非特殊角，所以无法直接代入求得结果，解题 的基本策略是善于发现角间的关系，通过三角公式的运用， 或者产生特殊角，代值求解，或者式子中出现正项和负项相 抵消，或者出现分子和分母相约分等情况，从而求得结果．
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(2)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使 被开方数不含三角函数． (3)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名， 异角化同角，降幂或升幂．
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2．三角函数式的求值 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思 路为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名 及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
必考部分
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1
第三章
三角函数、解三角形
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2
第六节 简单的三角恒等变换
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3
考 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、
纲 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差
点 化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
击
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4
理基础 明考向
悟题型 课时作业
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研
1＋ 解析：原式＝
2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4 cosα
＝1＋cosc2oαs＋α sin2α＝2cos2α＋co2ssαinαcosα
＝2×(cosα＋sinα)＝2×(35＋45)＝154.
答案：C
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3．已知函数 f(x)＝ 3sinx－cosx，x∈R，若 f(x)≥1，则 x 的取值范围为( )
asinα＋bcosα＝ a2＋b2 sin(α＋φ)(其中 tanφ＝ba)．
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4．“1”的妙用 sin2α＋cos2α＝1，cos2α＋2sin2α＝1,1＝2cos2α－cos2α， sinπ2＝cos0＝tanπ4＝1.
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基础自测
1．已知 sin10°＝a，则 sin70°等于( )
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变式训练 1
sins2i3n52°0－°12的值为(
)
1 A.2
B．－12
C．－1
D．1
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[解析] sins2i3n52°0－°12＝2si2ns2i3n52°0－°1 ＝－2scions2700°°＝－2ssiinn2200°°＝－12，故选 B.
[答案] B
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热点题型二
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解析：tanβ＝11－ ＋ttaannαα＝tan(4π－α)． ∵α、β 为锐角，∴β＝4π－α，∴α＋β＝4π， ∴tan(α＋β)＝1.
答案：1
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要点点拨
1．三角函数式的化简 (1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数 名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．
答案：A
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4．函数 f(x)＝sin2(2x－4π)的最小正周期是__________．
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解析：由 f(x)＝sin2(2x－4π)＝1－cos24x－2π ＝12－12sin4x， ∴T＝2ωπ＝24π＝π2.
答案：π2
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5．已知 α、β 均为锐角，且 tanβ＝ccoossαα－ ＋ssiinnαα，则 tan(α ＋β)＝__________.
A．1－2a2
B．1＋2a2
C．1－a2
D．a2－1
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解析：由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－ 2a2.
答案：A
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2．已知角
α
在第一象限且
cosα＝35，则1＋
2cos2α－π4 sinα＋π2
等于( )
2
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A.5
B.5
14 C. 5
D．－25
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热点题型一
三角函数的给角求值问题
[例 1] coss2i1n5151°0－°ssinin2201°55°的值为(
)
A．－12
1 B.2
3 C. 2
D．－
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[思路点拨] 分子中，sin110°＝sin70°＝cos20°，于是分 子可化为12sin40°，分母中，cos2155°－sin2155°＝cos310°＝ cos50°＝sin40°，故可约分求值．